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微专题06圆锥曲线中非对称韦达定理问题的处理
研考题·聚焦关键词
解析几何问题中的一些定值、定点、定线，经常出现需要证明类似，通过直线代换可得：，但此时的式子并不能完全整理为韦达定理的形式，这种式子一般称为“非对称韦达定理”
题型一 定直线
例1.【2023年新高考2卷21】已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.
【答案】(1)(2)证明见解析.
【解析】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知，
则由可得，，
双曲线方程为.
（2）由(1)可得，设，
显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且，
与联立可得，且，
则，

直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得：
，
由可得，即，
据此可得点在定直线上运动.
变式:已知点A、分别是椭圆：的上、下顶点，、是椭圆的左、右焦点，，．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于不同两点、（、与椭圆上、下顶点均不重合），证明：直线、的交点在一条定直线上．
【答案】（1） （2）答案见解析.
【解析】（1）由，，
所以所求椭圆的标准方程为：.
（2）如图：过点的直线与椭圆相交于、两点，因为、不与A、重合，故直线的斜率一定存在.
设直线方程为：，联立方程组：，消去得：.
设，，则，.所以.
直线：；
直线:.
所以：.
所以：.即直线与的交点在定直线上.
题型二 定点
例2.（安徽省六校教育研究会2023-2024学年高三下学期下学期第二次素养测试（2月）数学试题）已知点是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，记点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）若点，直线，过点的直线与交于两点，直线与直线分别交于点．证明：的中点为定点．
【答案】（1） （2）证明见解析
【解析】（1）由题意可得，且为的中点，
又为的中点，
所以，且．
因为点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，
由垂直平分线的性质可得，
所以，
所以由双曲线的定义可得，点的轨迹是以为焦点的双曲线．
，
故曲线的方程为；
（2）由题意可知：直线的斜率存在，设，
联立方程，消去得：，
则，
解得，且
，①
由，得直线，
令，解得，即，
同理可得，
则
，
所以的中点为定点.
变式:【江苏省扬州市高邮中学2023届高考前热身训练（二）】设直线与双曲线：的两条渐近线分别交于，两点，且三角形的面积为.
(1)求的值；
(2)已知直线与轴不垂直且斜率不为0，与交于两个不同的点，，关于轴的对称点为，为的右焦点，若，，三点共线，证明：直线经过轴上的一个定点.
【答案】(1);(2)证明见解析
【解析】（1）双曲线：的渐近线方程为，
不妨设，
因为三角形的面积为，所以，
所以，又，所以.
（2）双曲线的方程为：，所以右焦点的坐标为，
依题意，设直线与轴交于点，直线的方程为，
设，，则，
联立，得，
且，
化简得且，
所以，，
因为直线的斜率存在，所以直线的斜率也存在，
因为，，三点共线，所以，
即，即，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，
化简得，所以经过轴上的定点.

题型三 定值
例3.（湖南省2024届高三数学新改革提高训练一）已知圆的方程,,，抛物线过两点，且以圆的切线为准线.
（1）求抛物线焦点的轨迹C的方程；
（2）已知， 设x轴上一定点， 过T的直线交轨迹C于 两点（直线与轴不重合），求证：为定值.
【答案】（1）； （2）证明见解析．
【解析】（1）如图，是圆切线，分别过作直线的垂直，垂足分别为，又是中点，则是直角梯形的中位线，，
设是以为准线的抛物线的焦点，则，，
所以，
所以点轨迹是以为焦点的椭圆，椭圆长轴长为8，
，则，因此，
所以抛物线的焦点轨迹方程为；
（2）由题意设直线的方程为，设，
由得，
，，
，
代入，，得
为常数．
变式:【江苏省扬州中学2023届高三下学期模拟检测六】已知双曲线的左、右焦点分别为，斜率为的直线l与双曲线C交于两点，点在双曲线C上，且.
(1)求的面积；
(2)若（O为坐标原点），点，记直线的斜率分别为，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1); (2)为定值.·
【解析】（1）依题意可知，，
则，
，
又，所以，
解得（舍去），
又，所以，
则，
所以的面积.
（2）由（1）可，解得，
所以双曲线C的方程为，
设，则，则，，
设直线l的方程为，与双曲线C的方程联立，消去y得：，
由，得，
由一元二次方程根与系数的关系得，
所以，
，
则，
故为定值.·
巩固能力·突破高分
1.（广东省潮州市2022届高三上学期期末数学试题）已知椭圆的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线相切．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知点A，B为动直线y=k(x-2)(k≠0)与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点E，使得为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） （2）存在定点，使得为定值
【解析】（1）由离心率为，得，及，
又以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为，
且与直线相切，
所以，
所以，，
所以椭圆C的标准方程为；
（2）假设存在，设，
联立,消整理得，
，
设，
则，
由，
则
，
要使上式为定值，即与无关，
则应，即，
此时定值，
所以在x轴上存在定点，使得为定值.
2.(江苏省镇江中学2023届高三下学期4月（二模）)已知双曲线的右顶点为，左焦点到其渐近线的距离为2，斜率为的直线交双曲线于A，B两点，且．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点的直线与双曲线交于P，Q两点，直线，分别与直线相交于，两点，试问：以线段为直径的圆是否过定点 若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
【答案】(1)
(2)以线段为直径的圆过定点和．
【解析】（1）∵双曲线的左焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，而，∴．
∴双曲线的方程为．
依题意直线的方程为．
由 消去y整理得：，
依题意：，，点A，B的横坐标分别为，
则．
∵，∴．
∴，∴．
即，解得或（舍去），且时，，
∴双曲线的方程为．
（2）依题意直线的斜率不等于0，设直线的方程为．
由消去整理得：，
∴，．
设，，则，．
直线的方程为，令得：，∴．
同理可得．由对称性可知，若以线段为直径的圆过定点，则该定点一定在轴上，
设该定点为，则，，
故
．
解得或．
故以线段为直径的圆过定点和．
3.（2021年新高考1卷21）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】因为，
所以，轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，
设轨迹的方程为，则，可得，，
所以，轨迹的方程为；
（2）设点，若过点的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线无公共点，
不妨直线的方程为，即，
联立，消去并整理可得，
设点、，则且.
由韦达定理可得，，
所以，，
设直线的斜率为，同理可得，
因为，即，整理可得，
即，显然，故.
因此，直线与直线的斜率之和为.
4.（江苏省徐州市第七中学2023届高三上学期一检）已知双曲线的实轴长为4，左 右顶点分别为，经过点的直线与的右支分别交于两点，其中点在轴上方.当轴时，
(1)设直线的斜率分别为，求的值；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）法一：因为，所以，令得，
所以，解得，
所以的方程为
显然直线与轴不垂直，设其方程为，
联立直线与的方程，消去得，
当时，，
设，则.
因为，
所以.
法二：
由题意得，解得，
双曲线的方程为.
设方程为，
联立，可得，
，，
，
.
（2）法一：
因为，
所以，
又因为，
所以，即，（※）
将代入（※）得，
因为在轴上方，所以，所以直线方程为，
联立与直线方程，消去得，，
解得或（舍），所以，
代入，得，所以直线方程为，
联立与直线方程，消去得，，
解得或，
所以的面积为.
法二：
设，由，可得，
，解得，
方程，
联立，可得，解得，
同理联立，解得，
.
5.已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过作不平行于坐标轴的直线交于D，E两点，若轴于点M，轴于点N，直线DN与EM交于点Q.
①求证：点Q在一条定直线上，并求此定直线；
②求面积的最大值.
【答案】（1） （2）①证明见解析，；②
【解析】（1）因为为的重心，且边上的两条中线长度之和为，
所以，
故由椭圆的定义可知的轨迹是以为焦点的椭圆（不包括长轴的端点），
且，所以，
所以的轨迹的方程为.
（2）①依题意，设直线DE方程为.
联立，得，
易知
设，，则，.
因为轴，轴，
所以，.
所以直线DN：，
直线EM：，
联立解得
从而点Q在定直线上.
②因为，
又，则，
设，则，
当且仅当，即时，等号成立，
故面积的最大值为.微专题06圆锥曲线中非对称韦达定理问题的处理
研考题·聚焦关键词
解析几何问题中的一些定值、定点、定线，经常出现需要证明类似，通过直线代换可得：，但此时的式子并不能完全整理为韦达定理的形式，这种式子一般称为“非对称韦达定理”
题型一 定直线
例1.【2023年新高考2卷21】已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.
变式:已知点A、分别是椭圆：的上、下顶点，、是椭圆的左、右焦点，，．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于不同两点、（、与椭圆上、下顶点均不重合），证明：直线、的交点在一条定直线上．
题型二 定点
例2.（安徽省六校教育研究会2023-2024学年高三下学期下学期第二次素养测试（2月）数学试题）已知点是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，记点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）若点，直线，过点的直线与交于两点，直线与直线分别交于点．证明：的中点为定点．
变式:【江苏省扬州市高邮中学2023届高考前热身训练（二）】设直线与双曲线：的两条渐近线分别交于，两点，且三角形的面积为.
(1)求的值；
(2)已知直线与轴不垂直且斜率不为0，与交于两个不同的点，，关于轴的对称点为，为的右焦点，若，，三点共线，证明：直线经过轴上的一个定点.
题型三 定值
例3.（湖南省2024届高三数学新改革提高训练一）已知圆的方程,,，抛物线过两点，且以圆的切线为准线.
（1）求抛物线焦点的轨迹C的方程；
（2）已知， 设x轴上一定点， 过T的直线交轨迹C于 两点（直线与轴不重合），求证：为定值.
变式:【江苏省扬州中学2023届高三下学期模拟检测六】已知双曲线的左、右焦点分别为，斜率为的直线l与双曲线C交于两点，点在双曲线C上，且.
(1)求的面积；
(2)若（O为坐标原点），点，记直线的斜率分别为，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
巩固能力·突破高分
1.（广东省潮州市2022届高三上学期期末数学试题）已知椭圆的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线相切．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知点A，B为动直线y=k(x-2)(k≠0)与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点E，使得为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由．
2.(江苏省镇江中学2023届高三下学期4月（二模）)已知双曲线的右顶点为，左焦点到其渐近线的距离为2，斜率为的直线交双曲线于A，B两点，且．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点的直线与双曲线交于P，Q两点，直线，分别与直线相交于，两点，试问：以线段为直径的圆是否过定点 若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
3.（2021年新高考1卷21）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.
4.（江苏省徐州市第七中学2023届高三上学期一检）已知双曲线的实轴长为4，左 右顶点分别为，经过点的直线与的右支分别交于两点，其中点在轴上方.当轴时，
(1)设直线的斜率分别为，求的值；
(2)若，求的面积.
5.已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过作不平行于坐标轴的直线交于D，E两点，若轴于点M，轴于点N，直线DN与EM交于点Q.
①求证：点Q在一条定直线上，并求此定直线；
②求面积的最大值.

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