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微专题07 直线与圆锥曲线的相切问题
研考题·聚焦关键词
过抛物线上任意两点A、B分别作两条切线相交于点P，ΔPAB称为阿基米德三角形。
常见性质：
如图所示，为抛物线的弦，，，分别过作的抛物线的切线交于点，称为阿基米德三角形，弦为阿基米德三角形的底边．
1.阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴．
2.若阿基米德三角形的底边即弦过抛物线内定点，则另一顶点的轨迹为一条直线．
3.若直线与抛物线没有公共点，以上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点．
4.底边长为的阿基米德三角形的面积的最大值为．
5.若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积的最小值为．
6.点的坐标为；
7.底边所在的直线方程为
8.的面积为．
9.若点的坐标为，则底边的直线方程为．
10.如图，若为抛物线弧上的动点，点处的切线与，分别交于点C，D，则.
11.若为抛物线弧上的动点，抛物线在点处的切线与阿基米德三角形的边，分别交于点C，D，则．
12.抛物线和它的一条弦所围成的面积，等于以此弦为底边的阿基米德三角形面积的．
题型一 阿基米德三角形
例1.（2023·高三校考）已知中心在原点的椭圆C1和抛物线C2有相同的焦点(1，0)，椭圆C1过点，抛物线的顶点为原点．
(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程；
(2)设点P为抛物线C2准线上的任意一点，过点P作抛物线C2的两条切线PA，PB，其中A、B为切点．
设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；
②若直线AB交椭圆C1于C，D两点，S△PAB，S△PCD分别是△PAB，△PCD的面积，试问：是否有最小值 若有，求出最小值；若没有，请说明理由.
【答案】(1) 抛物线的标准方程为,椭圆的方程为:,(2)①证明见解析,②有,最小值为
【解析】(1)因为抛物线C2有相同的焦点(1，0),且顶点为原点,所以,所以,
所以抛物线的标准方程为,
设椭圆方程为,则且,解得,
所以椭圆的方程为:.
(2)①证明:设,过点与抛物线相切的直线为,
由,消去得,
由△=,得,
则.
②设
由①得,则,
所以直线的方程为,所以,
即,即直线恒过定点,
设点到直线的距离为,
所以,
当直线的斜率存在时,设直线的方程为,
设,
由,消去得,
时,△恒成立,
,
由消去得,△恒成立,
则
.
所以,
当直线的斜率不存在时,直线的方程为,
此时,,,
所以的最小值为.
变式:(2023·开封模拟)如图，过点P(m，n)作抛物线C：x2＝2py(p>0)的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，动点Q为抛物线C上在A，B之间的任意一点，抛物线C在点Q处的切线分别交PA，PB于点M，N.
(1)若AP⊥PB，证明：直线AB经过点；
(2)若分别记△PMN，△ABQ的面积为S1，S2，求的值．
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】(1)证明　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋b，
由
消去y并整理得x2－2pkx－2pb＝0，有x1x2＝－2pb，
令抛物线C：x2＝2py在点A处切线方程为y－y1＝t(x－x1)，
由
消去y并整理得x2－2ptx＋2ptx1－2py1＝0，
则有Δ＝4p2t2－4(2ptx1－2py1)＝4p2t2－4(2ptx1－x)＝0，解得t＝，
同理，抛物线C：x2＝2py在点B处切线斜率为，
因为AP⊥PB，
则有·＝＝－1，
解得b＝，
所以直线AB：y＝kx＋恒过定点.
(2)解　由(1)知，切线PA的方程为y－y1＝(x－x1)，
整理得y＝x－y1，
同理切线PB的方程为y＝x－y2，
设点Q(x0，y0)，则切线MN的方程为y＝x－y0，
而点P(m，n)，
即有n＝m－y1，n＝m－y2，
因此直线AB的方程为y＝x－n，
有|AB|＝|x1－x2|，
点Q(x0，y0)到直线AB的距离是
d2＝，
则S2＝|x1－x2|，
由
解得点M的横坐标xM＝，
同理点N的横坐标xN＝，
有|MN|＝，点P(m，n)到直线MN的距离
d1＝，
则S1＝|x1－x2|，
所以＝.
蒙日圆：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，该圆称为蒙日圆，其半径等于椭圆长半轴和短半轴平方和的算术平方根，具体结论及证明如下：
结论一：曲线的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆：．
结论二：双曲线的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆．
结论三：抛物线的两条互相垂直的切线的交点在该抛物线的准线上．
题型二 蒙日圆
例2.（2023·高三校考）已知椭圆0)．称圆心在原点，半径为的圆为椭圆的“准圆”．若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为．
(1)求椭圆的方程及其“准圆”方程．
(2)点是椭圆的“准圆”上的动点，过点作椭圆的切线交“准圆”于点．
①当点为“准圆”与轴正半轴的交点时，求直线的方程并证明．
②求证：线段的长为定值．
【答案】(1)证明见解析；(2)①直线PM：，直线； ②
【解析】(1)依题意可得，∴，∴．．
(2)证明：①由(1)题可得，设切线方程为：．联立，消去可得，整理可得．
∴，解得．
∴设直线PM：，直线．∴，即．
②设，直线．
则，消去可得．
即．
∴．整理得．
同理，设切线的斜率为，则有．∴．∴在“准圆”上．∴，∴．∴为“准圆”的直径．∴为定值，．
变式:（2023·高三校考）经过圆上一动点作椭圆的两条切线，切点分别记为，直线分别与圆相交于异于点的两点．
(1)求证：．
(2)求的面积的取值范围．
【答案】(1)，；(2)
【解析】(1)证明：设点．
(1)当直线的斜率都存在时，设过点与椭圆相切的直线方程为．
联立，消去得．
．
令，整理得：．
设直线的斜率分别为．
∴．
又．
∴．
∴，即为圆的直径，
∴．
②当直线或的斜率不存在时，不妨设，
则直线的方程为．
∴点，点，也满足．
综上，有．
(2)设点，点．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为．
联立，消去得
．
令，整理得．
则．
∴直线的方程为．
化简可得，即．
经验证，当直线的斜率不存在时，
直线的方程为或，也满足．
同理，可得直线的方程为．
∵在直线上，
∴，．
∴直线的方程为．
联立，消去得．
∴，，
∴
．
又点到直线的距离．
令，．则．
又，
∴的面积的取值范围为
巩固能力·突破高分
1.（2023·高三校考）在平面直角坐标系中，若直线上存在动点，使得过点的椭圆的两条切线相互垂直，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设，则过得切线方程为
联立，得，
所以有，
化简得，两个切线得斜率为该方程的两个根，
所以有，由韦达定理可得，化简得，
所以点的轨迹方程为圆，
要使直线上存在动点，使得过点P的椭圆的两条切线相互垂直，
只需直线与有交点即可，得，
解得.
故选：B
2.（2023·高三校考）(多选)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A，B为椭圆上两个动点．直线l的方程为bx＋ay－a2－b2＝0.下列说法正确的是(　　)
A．C的蒙日圆的方程为x2＋y2＝3b2
B．对直线l上任意一点P，·>0
C．记点A到直线l的距离为d，则d－的最小值为b
D．若矩形MNGH的四条边均与C相切，则矩形MNGH面积的最大值为6b2
【答案】AD
【解析】对于A，过Q(a，b)可作椭圆的两条互相垂直的切线x＝a，y＝b，
∴Q(a，b)在蒙日圆上，
∴蒙日圆方程为x2＋y2＝a2＋b2，
由e＝＝＝得a2＝2b2，
∴C的蒙日圆方程为x2＋y2＝3b2，A正确；
对于B，由l方程知l过P(b，a)，又P满足蒙日圆方程，
∴P(b，a)在圆x2＋y2＝3b2上，当A，B恰为过P作椭圆两条互相垂直切线的切点时，·＝0，B错误；
对于C，∵A在椭圆上，
∴|AF1|＋|AF2|＝2a，
∴d－|AF2|＝d－(2a－|AF1|)
＝d＋|AF1|－2a；
当F1A⊥l时，d＋|AF1|取得最小值，最小值为F1到直线l的距离，
又F1到直线l的距离
d′＝＝
＝b，
∴(d－|AF2|)min＝b－2a，C错误；
对于D，当矩形MNGH的四条边均与C相切时，蒙日圆为矩形MNGH的外接圆，
∴矩形MNGH的对角线为蒙日圆的直径，设矩形MNGH的长和宽分别为x，y，则x2＋y2＝12b2，
∴矩形MNGH的面积S＝xy≤＝6b2(当且仅当x＝y＝b时取等号)，即矩形MNGH面积的最大值为6b2，D正确．
故选：AD
3.(2023·廊坊模拟)(多选)如图，△PAB为阿基米德三角形．抛物线x2＝2py(p>0)上有两个不同的点A(x1，y1)，B(x2，y2)，以A，B为切点的抛物线的切线PA，PB相交于点P.给出如下结论，其中正确的为(　　)
A．若弦AB过焦点，则△ABP为直角三角形且∠APB＝90°
B．点P的坐标是
C．△PAB的边AB所在的直线方程为(x1＋x2)x－2py－x1x2＝0
D．△PAB的边AB上的中线与y轴平行(或重合)
【答案】ACD
【解析】由题意设A，
B，x1由x2＝2py，得 y＝，则y′＝，
所以kPA＝，kPB＝，
若弦AB过焦点，设AB所在直线为
y＝kx＋，联立x2＝2py，
得x2－2pkx－p2＝0，
则x1x2＝－p2，
所以kPA·kPB＝＝－1，
所以PA⊥PB，故A正确；
以点A为切点的切线方程为y－＝(x－x1)，以点B为切点的切线方程为y－＝(x－x2)，
联立消去y得x＝，
将x＝代入y－＝(x－x1)，
得y＝，
所以P，故B错误；
设N为抛物线弦AB的中点，N的横坐标为xN＝，因此直线PN平行于y轴(或与y轴重合)，即平行于抛物线的对称轴(或与对称轴重合)，故D正确；
设直线AB的斜率为
k＝＝＝，
故直线AB的方程为
y－＝(x－x1)，
化简得(x1＋x2)x－2py－x1x2＝0，故C正确
故选：ACD
4.（2022·全国·模拟预测）（多选）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则（ ）
A．椭圆的离心率为
B．面积的最大值为
C．到的左焦点的距离的最小值为
D．若动点在上，将直线，的斜率分别记为，，则
【答案】ABD
【解析】依题意，过椭圆的上顶点作轴的垂线，过椭圆的右顶点作轴的垂线，则这两条垂线的交点在圆上，
所以，得，所以椭圆的离心率，故A正确；
因为点，，都在圆上，且，所以为圆的直径，所以，所以面积的最大值为，故B正确；
设，的左焦点为，连接，因为，所以，又，所以，
则到的左焦点的距离的最小值为，故C不正确；
由直线经过坐标原点，易得点，关于原点对称，设，，则，，，又，所以，所以，所以，
故D正确
故选：ABD．
5.（2023·高三校考）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，直线与抛物线交于两点，过点作抛物线的切线，若交于点，则点的轨迹方程为 .
【答案】或
【解析】由焦点到准线的距离为2，可得抛物线.
由可得，故，
故在处的切线方程为，即，
同理在点处的切线方程为，
联立，即.
联立直线与抛物线方程：，消去得，
由题或.
由韦达定理，，
得，其中或，故点的轨迹方程为：或.
故答案为：或
6.（2023·高三校考）已知抛物线的焦点为F，点E在C上，以点E为圆心，为半径的圆的最小面积为．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)过点F的直线与C交于M，N两点，过点M，N分别作C的切线，，两切线交于点P，求点P的轨迹方程．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）设点，，则，
因为以E为圆心，以为半径的圆的最小面积为，
所以，
所以（负值舍去），解得，
所以抛物线C的标准方程为．
（2）设，，
易得，由题意知直线MN的斜率一定存在，
则设直线MN的方程为，
联立得，
，所以，．
由，得，则切线的斜率为，
则切线的方程为，即①．
同理可得切线的方程为②．
①②得，
代入①得，，
所以点P的轨迹方程为．
7.（2023·高三校考）已知椭圆的一个焦点为，离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由题意知，且有，即，解得，
因此椭圆的标准方程为；
（2）①设从点所引的直线的方程为，即，
当从点所引的椭圆的两条切线的斜率都存在时，分别设为、，则，
将直线的方程代入椭圆的方程并化简得，
，
化简得，即，
则、是关于的一元二次方程的两根，则，
化简得；
②当从点所引的两条切线均与坐标轴垂直，则的坐标为，此时点也在圆上.
综上所述，点的轨迹方程为.
8.（2023·高三校考）已知抛物线的焦点为F，且F与圆上的点的距离的最小值为4.
（1）求p；
（2）若点P在M上，PA、PB是抛物线C的两条切线，A、B是切点，求面积的最大值.
【答案】（1）2；（2）.
【解析】（1）由题意，，F与圆M上的点的距离的最小值为，所以解得：
（2）解法1：设，则
设过点P与抛物线C相切的直线为，即①，
联立消去y整理得：②，
判别式，化简得：③，
设PA、PB的斜率分别为、，则、是方程③的两个解，所以④，
，
方程②有唯一的实数解，则该解为，所以，
故直线AB的斜率，直线AB的方程为，即，将④代入得直线AB的方程为，即，所以点P到直线AB的距离，显然点P在抛物线C的下方，所以，故，
而
所以
由可得：
所以，，
故当时，取得最大值20，从而的最大值为.
解法2：由（1）知抛物线的方程为，故可设，
由得，所以，故切线PA的方程为，即
同理可得切线PB的方程为，
联立解得：，所以
如图，作轴交AB于点Q，则点Q的横坐标为，
所以Q为AB中点，即，
从而，所以
不妨设，，则，，且，代入圆M的方程得，
所以
，，
故当时，取得最大值，此时也取得最大值.
9.（江苏省苏州市八校联盟2023届高三下学期5月适应性检测（三模））已知点是圆上一动点，点，线段的垂直平分线交线段于点.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)定义：两个离心率相等的圆锥曲线为“相似”曲线.若关于坐标轴对称的曲线与曲线相似，且焦点在同一条直线上，曲线经过点.过曲线上任一点作曲线的切线，切点分别为，这两条切线分别与曲线交于点（异于点），证明：.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【解析】（1）依题意，，

由椭圆的定义知，交点的轨迹是以点为左右焦点的椭圆，且长轴长，焦距，
则，
所以曲线的方程为.
（2）由（1）知，曲线的离心率为，且焦点在x轴上，则曲线的离心率为，
曲线的焦点在x轴上，而曲线经过点，，
因此曲线的长半轴长，半焦距，短半轴长有，
于是曲线的方程为，设，

当切线的斜率不存在时，的方程为，代入得，
此时、与曲线都相切，为的中点，为的中点，则；
当切线的斜率不存在时，同理有；
当切线和的斜率都存在时，设切线的方程为，分别代入和，
化简得①，②，
依题意，方程①有两个相等的实数根，方程②有两个不相等的实数根，
于是，即，
则，此时为的中点.
同理可证，为的中点，因此，
所以.
10.(2021年高考全国乙卷理科·第21题)已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．
(1)求；
(2)若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．
【答案】(1)；(2)．
【解析】(1)抛物线的焦点为，，
所以，与圆上点的距离的最小值为，解得；
(2)抛物线的方程为，即，对该函数求导得，
设点、、，
直线的方程为，即，即，
同理可知，直线的方程为，
由于点为这两条直线的公共点，则，
所以，点、的坐标满足方程，
所以，直线的方程为，
联立，可得，
由韦达定理可得，，
所以，，
点到直线的距离为，
所以，，
，
由已知可得，所以，当时，的面积取最大值．微专题07 直线与圆锥曲线的相切问题
研考题·聚焦关键词
过抛物线上任意两点A、B分别作两条切线相交于点P，ΔPAB称为阿基米德三角形。
常见性质：
如图所示，为抛物线的弦，，，分别过作的抛物线的切线交于点，称为阿基米德三角形，弦为阿基米德三角形的底边．
1.阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴．
2.若阿基米德三角形的底边即弦过抛物线内定点，则另一顶点的轨迹为一条直线．
3.若直线与抛物线没有公共点，以上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点．
4.底边长为的阿基米德三角形的面积的最大值为．
5.若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积的最小值为．
6.点的坐标为；
7.底边所在的直线方程为
8.的面积为．
9.若点的坐标为，则底边的直线方程为．
10.如图，若为抛物线弧上的动点，点处的切线与，分别交于点C，D，则.
11.若为抛物线弧上的动点，抛物线在点处的切线与阿基米德三角形的边，分别交于点C，D，则．
12.抛物线和它的一条弦所围成的面积，等于以此弦为底边的阿基米德三角形面积的．
题型一 阿基米德三角形
例1.（2023·高三校考）已知中心在原点的椭圆C1和抛物线C2有相同的焦点(1，0)，椭圆C1过点，抛物线的顶点为原点．
(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程；
(2)设点P为抛物线C2准线上的任意一点，过点P作抛物线C2的两条切线PA，PB，其中A、B为切点．
设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；
②若直线AB交椭圆C1于C，D两点，S△PAB，S△PCD分别是△PAB，△PCD的面积，试问：是否有最小值 若有，求出最小值；若没有，请说明理由.
变式:(2023·开封模拟)如图，过点P(m，n)作抛物线C：x2＝2py(p>0)的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，动点Q为抛物线C上在A，B之间的任意一点，抛物线C在点Q处的切线分别交PA，PB于点M，N.
(1)若AP⊥PB，证明：直线AB经过点；
(2)若分别记△PMN，△ABQ的面积为S1，S2，求的值．
蒙日圆：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，该圆称为蒙日圆，其半径等于椭圆长半轴和短半轴平方和的算术平方根，具体结论及证明如下：
结论一：曲线的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆：．
结论二：双曲线的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆．
结论三：抛物线的两条互相垂直的切线的交点在该抛物线的准线上．
题型二 蒙日圆
例2.（2023·高三校考）已知椭圆0)．称圆心在原点，半径为的圆为椭圆的“准圆”．若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为．
(1)求椭圆的方程及其“准圆”方程．
(2)点是椭圆的“准圆”上的动点，过点作椭圆的切线交“准圆”于点．
①当点为“准圆”与轴正半轴的交点时，求直线的方程并证明．
②求证：线段的长为定值．
变式:（2023·高三校考）经过圆上一动点作椭圆的两条切线，切点分别记为，直线分别与圆相交于异于点的两点．
(1)求证：．
(2)求的面积的取值范围．
巩固能力·突破高分
1.（2023·高三校考）在平面直角坐标系中，若直线上存在动点，使得过点的椭圆的两条切线相互垂直，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2.（2023·高三校考）(多选)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A，B为椭圆上两个动点．直线l的方程为bx＋ay－a2－b2＝0.下列说法正确的是(　　)
A．C的蒙日圆的方程为x2＋y2＝3b2
B．对直线l上任意一点P，·>0
C．记点A到直线l的距离为d，则d－的最小值为b
D．若矩形MNGH的四条边均与C相切，则矩形MNGH面积的最大值为6b2
3.(2023·廊坊模拟)(多选)如图，△PAB为阿基米德三角形．抛物线x2＝2py(p>0)上有两个不同的点A(x1，y1)，B(x2，y2)，以A，B为切点的抛物线的切线PA，PB相交于点P.给出如下结论，其中正确的为(　　)
A．若弦AB过焦点，则△ABP为直角三角形且∠APB＝90°
B．点P的坐标是
C．△PAB的边AB所在的直线方程为(x1＋x2)x－2py－x1x2＝0
D．△PAB的边AB上的中线与y轴平行(或重合)
4.（2022·全国·模拟预测）（多选）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则（ ）
A．椭圆的离心率为
B．面积的最大值为
C．到的左焦点的距离的最小值为
D．若动点在上，将直线，的斜率分别记为，，则
5.（2023·高三校考）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，直线与抛物线交于两点，过点作抛物线的切线，若交于点，则点的轨迹方程为 .
6.（2023·高三校考）已知抛物线的焦点为F，点E在C上，以点E为圆心，为半径的圆的最小面积为．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)过点F的直线与C交于M，N两点，过点M，N分别作C的切线，，两切线交于点P，求点P的轨迹方程．
7.（2023·高三校考）已知椭圆的一个焦点为，离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程.
8.（2023·高三校考）已知抛物线的焦点为F，且F与圆上的点的距离的最小值为4.
（1）求p；
（2）若点P在M上，PA、PB是抛物线C的两条切线，A、B是切点，求面积的最大值.
9.（江苏省苏州市八校联盟2023届高三下学期5月适应性检测（三模））已知点是圆上一动点，点，线段的垂直平分线交线段于点.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)定义：两个离心率相等的圆锥曲线为“相似”曲线.若关于坐标轴对称的曲线与曲线相似，且焦点在同一条直线上，曲线经过点.过曲线上任一点作曲线的切线，切点分别为，这两条切线分别与曲线交于点（异于点），证明：.
10.(2021年高考全国乙卷理科·第21题)已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．
(1)求；
(2)若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．

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