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微专题08 极值点偏移问题
研考题·聚焦关键词
对称化构造解决极值点偏移:
1、和型（或）问题的基本步骤：
①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性；
②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，
得与零进行大小比较；
③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题；
2、积型问题的基本步骤：
①求导确定的单调性，得到的范围；
②构造函数，求导可得恒正或恒负；
③得到与的大小关系后，将置换为；
④根据与的范围，结合的单调性，可得与的大小关系，由此证得结论.
题型一 构造函数
例1.（2024·云南昭通·高三统考）已知函数.
（1）讨论的单调区间；
（2）已知在上单调递增，且，求证：.
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）的定义域为.
.
①当时，由得，单调递增，
由得，单调递减，
在区间上单调递增，在区间上单调递减；
②当时，由得，或，
在区间上单调递减，在区间上单调递增；
③当时，在上单调递增；
④当时，由得，或，
由得，，
在区间上单调递减，在区间上单调递增.
综上，当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.
（2）由（1）知，当且仅当时，在上单调递增，
即：.
，
又且在上单调递增，
和均不成立.
故不妨设，
因此要证，即证，
因为在上单调递增，
所以即证.
又，
故只需证，即证.
设，
.
，
故.
因此在上单调递增，所以.
故，
又因为在上单调递增，.
变式:（2024·山西晋城·高三统考）已知函数．
（1）若恒成立，求的取值范围；
（2）若有两个零点，证明：．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）．
令，易知单调递增，且．
当时，,即，单调递减；
当时，,即，单调递增．
所以，即，
所以的取值范围是．
（2）由的单调性可设．
令．
令，则，
所以在上单调递增，则，所以．
所以，即，即．
因为当时，单调递减，且，所以，即．
例2.（2023·高三校考）已知是函数的导函数．
（1）讨论方程的实数解个数；
（2）设为函数的两个零点且，证明：．
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）函数，，令，，
（i）当时，，则在上单调递减，有且仅有1个零点；
（ii）当时，，则在上单调递减，
，则在上有一个零点；
（iii）当时，令，，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
因此的最小值为，令，解得，
又因为，，
令函数，求导得，函数在上单调递增，
于是，而，因此，
由函数零点存在定理得，在区间和上各有一个零点，
当，即时，在上只有一个零点，当时，在上没有零点，
所以当时，在上有两个零点，即方程的有两个实数解；
当或时，在上有一个零点，即方程的有一个实数解；
当时，在上没有零点，即方程的无实数解.
（2）由（1）知有两个零点，，
，，则，
由是的两个零点，得，，
即，，两式相减得，
令，则，，，
于是，，，
要证，即证，即证，只需证：，
令，，，
令,故在上单调递减，
因此，则在上单调递增，
所以，从而得证，即.
变式:（2024·高三校考）设函数.
（1）若，求函数的最值；
（2）若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：.
【答案】（1）无最小值，最大值为；（2）证明见解析
【解析】（1）由题意得，则.
令，解得；令，解得，
在上单调递增，在上单调递减，
，
无最小值，最大值为.
（2），则，
又有两个不同的极值点，
欲证，即证，
原式等价于证明①.
由，得，则②.
由①②可知原问题等价于求证，
即证.
令，则，上式等价于求证.
令，则，
恒成立，在上单调递增，
当时，，即，
原不等式成立，即.
对数平均数算术平均数平方平均数, 简记为:调几对算方.
证明：证法 1
(比值代换) 令 , 则
, 构造函数可证.
证法 2
(主元法) 不妨设 ,
记 , 则 , 得 在 上单调递减, 有 , 左边得证, 右边同理可证.
证法 3 (构造函数法)
先证 :
要证 , 只需证 , 令 , 只需证 , 设 , 则 , 可得 在 上单 调递减, .
再证:
要证 , 只需证 , 令 , 只需证 。设 , 则 , 故 在 上单调递减, .
常见等价变形:
用对数平均数求证极值点偏移问题的步骤 :
(1) 根据 建立等量关系;
(2)等量关系中如果含有参数, 可考虑消参; 如果含有指数式, 可考虑两边取对数;
(3) 通过恒等变形转化出对数平均数, 代人对数平均不等式求解.
题型二 对数均值不等式
例2.（2024·福建厦门·统考一模）已知函数有两个极值点，．
（1）求实数的取值范围；
（2）证明：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）由题设且，
若，则在上恒成立，即递增，不可能有两个极值点，不符；
故，又有两个极值点，则，是的两个不同正根，
所以，可得，即实数的取值范围是.
（2）由（1）且，，不妨设，
则
，
要证，需证，即，
只需证，即，令，则证，
由（1），时，即，
所以在上递增，又，故，即，
综上，.
变式:（2023·高三校考）已知是实数，函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个相异的零点且，求证：．
【答案】(1)当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
(2)证明过程见解析.
【解析】(1)的定义域为，，当时，恒成立，故在上单调递减；当时，令得：，令得：，故在上单调递增，在上单调递减；综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；
(2)由（1）可知，要想有两个相异的零点，则，不妨设，因为，所以，所以，要证，即证，等价于，而，所以等价于证明，即，
令，则，于是等价于证明成立，设，
，所以在上单调递增，
故，即成立，所以，结论得证.
巩固能力·突破高分
1.（2023·河南驻马店·高三统考期末）已知函数有两个零点.
（1）求的取值范围；
（2）设，是的两个零点，，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）由且，可得.
设，，则，
令，解得.
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
又当趋向于0时，趋向于，当趋向于时，趋向于0，
所以要使的图象与直线有两个交点，则，
故的取值范围是.
（2）证明：，由（1）得，
则，.
设，则，即，
.
设，则.
设，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
又，，，
所以存在唯一的，使得，即，
所以的最小值为，，
所以，故.
2.（2024·高三校考）已知函数（其中e为自然对数的底）
(1)若，是的极值点且.若，且. 证明：.
【答案】（1）证明见解析
【解析】（1），，
因为是的极值点，所以满足，
要证明，即证明，
化简得，由于在上单调递减，
且由，，可知.故，
从而可推得，而，
因此.令，
则，
，而，所以，
故单调递增，从而，即，
从而，即证得.
3.（2023·高三校考）已知，当时，若有两个极值点，求证：.
【答案】(1证明见解析
【解析】(1)方法一：当时，，，，
则，令，，
令，下证恒成立，
，设分子为，
，所以在上单调递增，，
所以在上恒大于，即在上恒大于，
所以，取，则，
所以，即.
方法二：当时，，
因为有两个极值点，
所以，即，从而，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
所以，
又因当时，，当时，，
所以，由对数均值不等式得，从而，
所以.
4.（2023·云南昆明·高三云南民族大学附属中学校考阶段练习）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，若且，求证：．
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）由题意得函数定义域为，
当时，，
则令，得，故在上单调递增；
令，得，故在上单调递减；
当时，，
则当时，，故在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
当时，，则当时，，
故在上均单调递增；
当时，，在上单调递减；
当时，，等号仅在时取到，在上单调递增；
当时，，则当时，，故在上均单调递增；
当时，，在上单调递减；
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时， 在上均单调递增，在上单调递减；
当时， 在上单调递增；
当时， 在上均单调递增，在上单调递减；
（2）当时，在上单调递增，在上单调递减，为函数的最大值点；
若且，不妨设，则可得，
要证明，只需证，此时，
故只需证，即证；
令，而，
则
，
因为，
所以恒成立，故在上单调递减，
故，
即，即，
故得证.
5.（2024··高三期初）已知函数，．
（1）求的单调区间；
（2）设是函数的两个极值点，证明：．
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析
【解析】（1），
当时，恒成立，在上单调递增，无减区间，
当时，令，得，单调递增，
令，得，单调递减，
综合得：当时，的单调递增区间为，无减区间；
当时，的单调递增区间为，的单调递减区间为；
（2），
则，
因为是函数的两个极值点，
即是方程的两不等正根，
所以，得，
令，则，
得，
则，
所以
，
则，
令，则，
所以在上单调递增，
所以，
所以，即.
6.（2023·高三校考）已知函数，其中a，b为常数，为自然对数底数，．
(1)当时，若函数，求实数b的取值范围；
(2)当时，若函数有两个极值点，，现有如下三个命题：
①；②；③；
请从①②③中任选一个进行证明．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】(1)当时，，
当时，因为，所以此时不合题意；
当时，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，所以，
要，只需，令，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以，则由得，
所以，故实数b的取值范围为．
(2)当时，，，
令，则，
因为函数有两个极值点，，所以有两个零点，
若，则，单调递增，不可能有两个零点，所以，
令得，当时，，单调递减；
当时，，单调递增；所以，
因为有两个零点，所以，则，
设，因为，，则，
因为，所以，，
则，取对数得，
令，，则，即
①令，则，因为，所以在上单调递减，在上单调递增，令，
则，在上单调递减，
因为，所以，即，亦即，
因为，，在上单调递增，所以，
则，整理得，所以，故①成立
②令，则，
因为，所以在上单调递减，在上单调递增，
令，则，在上单调递增，
又，所以当时，，即，
因为，，在上单调递增，所以，
所以，即，所以，
即，故②成立．
③令，，则，
令，则，
∴在上单调递增，则，
∴，则，
两边约去后化简整理得，即，故③成立．微专题08 极值点偏移问题
研考题·聚焦关键词
对称化构造解决极值点偏移:
1、和型（或）问题的基本步骤：
①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性；
②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，
得与零进行大小比较；
③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题；
2、积型问题的基本步骤：
①求导确定的单调性，得到的范围；
②构造函数，求导可得恒正或恒负；
③得到与的大小关系后，将置换为；
④根据与的范围，结合的单调性，可得与的大小关系，由此证得结论.
题型一 构造函数
例1.（2024·云南昭通·高三统考）已知函数.
（1）讨论的单调区间；
（2）已知在上单调递增，且，求证：.
变式:（2024·山西晋城·高三统考）已知函数．
（1）若恒成立，求的取值范围；
（2）若有两个零点，证明：．
例2.（2023·高三校考）已知是函数的导函数．
（1）讨论方程的实数解个数；
（2）设为函数的两个零点且，证明：．
变式:（2024·高三校考）设函数.
（1）若，求函数的最值；
（2）若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：.
对数平均数算术平均数平方平均数, 简记为:调几对算方.
证明：证法 1
(比值代换) 令 , 则
, 构造函数可证.
证法 2
(主元法) 不妨设 ,
记 , 则 , 得 在 上单调递减, 有 , 左边得证, 右边同理可证.
证法 3 (构造函数法)
先证 :
要证 , 只需证 , 令 , 只需证 , 设 , 则 , 可得 在 上单 调递减, .
再证:
要证 , 只需证 , 令 , 只需证 。设 , 则 , 故 在 上单调递减, .
常见等价变形:
用对数平均数求证极值点偏移问题的步骤 :
(1) 根据 建立等量关系;
(2)等量关系中如果含有参数, 可考虑消参; 如果含有指数式, 可考虑两边取对数;
(3) 通过恒等变形转化出对数平均数, 代人对数平均不等式求解.
题型二 对数均值不等式
例2.（2024·福建厦门·统考一模）已知函数有两个极值点，．
（1）求实数的取值范围；
（2）证明：．
变式:（2023·高三校考）已知是实数，函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个相异的零点且，求证：．
巩固能力·突破高分
1.（2023·河南驻马店·高三统考期末）已知函数有两个零点.
（1）求的取值范围；
（2）设，是的两个零点，，证明：.
2.（2024·高三校考）已知函数（其中e为自然对数的底）
(1)若，是的极值点且.若，且. 证明：.
3.（2023·高三校考）已知，当时，若有两个极值点，求证：.
4.（2023·云南昆明·高三云南民族大学附属中学校考阶段练习）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，若且，求证：．
5.（2024··高三期初）已知函数，．
（1）求的单调区间；
（2）设是函数的两个极值点，证明：．
6.（2023·高三校考）已知函数，其中a，b为常数，为自然对数底数，．
(1)当时，若函数，求实数b的取值范围；
(2)当时，若函数有两个极值点，，现有如下三个命题：
①；②；③；
请从①②③中任选一个进行证明．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

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