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微专题09 隐零点问题
研考题·聚焦关键词
不含参函数的“隐零点”问题的解策略：
已知不含参函数，导函数方程的根存在，却无法求出，
设方程的根为，则有：①关系式成立；②注意确定的合适范围.
题型一 不含参函数
例1.（2024·河北邢台·高三统考期末）已知函数．证明：．
【答案】证明见解析
【解析】
令函数，则，所以是增函数．
因为，，
所以存在，使得，即．
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
．
因为，所以，
所以．
故．
变式:（2024·高三校考）已知函数，当时，证明：.
【答案】证明见解析.
【解析】当时，令，，求导得，
显然函数在上单调递增，令，，，即函数在上单调递增，而，则存在唯一，使得，即，因此存在唯一，使得，当时，，当时，，因此函数在上递减，在上递增，当时，，则，（当且仅当即时，取等号，故式子取不到等号）所以当时，.
含参函数的“隐零点”问题解题策略：
已知含参函数，其中为参数，导函数方程的根存在，却无法求出，
设方程的根为，则有①有关系式成立，该关系式给出了的关系；②注意确定的合适范围，往往和的范围有关.
题型二 含参函数
例2.（重庆市西南大学附中、重庆育才中学、万州中学拔尖强基联盟2024届高三下学期二月联合考试数学试题）已知函数，其中．
（1）若，求证：在定义域内有两个不同的零点；
（2）若恒成立，求的值．
【答案】（1）证明过程见详解； （2）
【解析】（1）时，，
①时，在上单调递减，所以，
所以在上单调递增，又，，
所以，使得，即在上有且仅有1个零点；
②时，由（1）知在上单调递减，
即，所以，
所以在上没有零点；
③时，，所以，
即在上单调递减，又，，
所以在上有且仅有1个零点；
综上所述，在内有两个不同的零点，.
（2）令，
由于恒成立，且，同时在上连续，
所以是的一个极大值点.
因为，所以即，
下面证明时，在上恒成立，
由（1）知，时，在上单调递增，在上单调递减；
所以，又，
故恒成立.
变式:（2024·吉林长春·东北师大附中校联考模拟预测）已知（其中为自然对数的底数）,，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】由，可得，
由，因为，可得，
令，则在上递减，
当时，可得，则，所以，
则，
又因为，使得，即
且当时，，即；
当时，，即，
所以在递增，在递减，所以，
由，可得，
由，可得，即，
由，可得，所以，
因为，设，则，
可知在上递增，且，
所以实数的取值范围是.
巩固能力·突破高分
1.（2023·高三校考）已知函数.当时，求证在上存在极值点，且.
【答案】证明见解析
【解析】，则，令，，由可知，时，，递增，时，，递减，在处取得最小值，
而，又记，，
故在上单调递减，故，于是，即；
，令，，记，则，则在单增，，
故在上递增，，取，则；
记，，于是时，，递减，时，，递增，故在处取得最大值，故，取得等号，于是. 于是，
由和零点存在定理可知，，使得，且，，，，所以是极小值点；由可得，，令，代入，整理，，
于是时，，递减，时，，递增，故在处取得最大值，故，取，故，原命题得证.
2.（广东省2024届高三上学期元月期末统一调研测试数学试卷）若函数在上有定义，且对于任意不同的，都有，则称为上的“类函数”.若为上的“2类函数”，求实数的取值范围；
【答案】
【解析】因为，
由题意知，对于任意不同的，都有，
可转化为对于任意，都有，
由可转化为，令，只需
，令，在单调递减，
所以，，故在单调递减，
，
由可转化为，令，只需
，令，在单调递减，
且，，所以使，即，
即，
当时，，，故在单调递增，
当时，，，故在单调递减，
，
故.
3.（2024·高三校考）已知函数，其中．讨论的极值点的个数．
【答案】有且仅有一个极值点.
【解析】由题意知，函数的定义域为，
，
设，，显然函数在上单调递增，与同号，
①当时，，，
所以函数在内有一个零点，且，，，，
故在单调递减，在单调递增；
所以函数在上有且仅有一个极值点；
②当时，由（1）知，函数在上有且仅有一个极值点；
③当时，，，
因为，所以，，
又，所以函数在内有一个零点，
且，，，，
故在单调递减，在单调递增；
所以函数在上有且仅有一个极值点；
综上所述，函数在上有且仅有一个极值点．
4.（2024·陕西安康·安康中学校联考模拟预测）已知函数．当时，不等式恒成立，求整数的最大值．
【答案】2
【解析】由题意，知对任意恒成立，
可知对任意恒成立．
设函数，只需．
对函数求导，得．
设函数，对函数求导，得，
所以函数在上单调递增．
又，
所以存在，使，即，
所以当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以，
所以．又，所以，
所以整数的最大值为2．
5.（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考三模）已知函数．
（1）当时，求函数在上的极值；
（2）用表示中的最大值，记函数，讨论函数在上的零点个数．
【答案】答案见解析
【解析】由，知．
（ⅰ）当时，，∴，故在上无零点．
（ⅱ）当时，．
故当时，即时，是的零点；
当时，即时，不是的零点．
（ⅲ）当时，．
故在的零点就是在的零点，
．
①当时，，故时，在是减函数，
结合，可知，在有一个零点，
故在上有1个零点．
②当时，，故时，在是增函数，
结合可知，在无零点，故在上无零点．
③当时，，使得时，在是增函数；
时，在是减函数；
由知，．
当，即时，在上无零点，
故在上无零点．
当，即时，在上有1个零点，
故在上有1个零点．
综上所述，时，有2个零点；
时，有1个零点；时，无零点
6.（浙江省温州市温州中学2024届高三第一次模拟考试数学试题）已知.
（1）若过点作曲线的切线，切线的斜率为2，求的值；
（2）当时，讨论函数的零点个数.
【答案】（1）1 （2）答案见解析
【解析】（1）由题意可得：，
设切点坐标为，
则切线斜率为，即，
可得切线方程为，
将，代入可得，
整理得，
因为在内单调递增，
则在定义域内单调递增，且当时，，
可知关于的方程的根为1，即，
所以.
（2）因为，
则，
可知在内单调递减，
且，则，且在内单调递减，
可知在内单调递减，所以在内单调递减，
且，
（i）若，即时，则在内恒成立，
可知在内单调递增，则，当且仅当时，等号成立，
所以在内有且仅有1个零点；
（ⅱ）若，即时，则在内恒成立，
可知在内单调递减，则，当且仅当时，等号成立，
所以在内有且仅有1个零点；
（ⅲ）若，即时，则在内存在唯一零点，
可知当时，；当时，；
则在内单调递增，在内单调递减，
且，可知，可知在内有且仅有1个零点，
且，
①当，即时，则在内有且仅有1个零点；
②当，即时，则在内没有零点；
综上所述：若时，在内有且仅有1个零点；
若时，在内有且仅有2个零点.
7.（2024·高三校考）已知函数
（1）若1是的极值点，求a的值；
（2）求的单调区间：
（3） 已知有两个解，
（i）直接写出a的取值范围；（无需过程）
（ii）λ为正实数，若对于符合题意的任意，当时都有，求λ的取值范围.
【答案】（1）； （2）答案见解析； （3）（i）；（ii）.
【解析】（1）
因为，所以，
因为1是的极值点，所以，故，故.
此时，则时，时，
所以上递增，上递减，则1是的极值点，满足题设.
综上，.
（2）由（1）知，
当时，，故在上单调递增；
当时，令得；令得；
所以在上单调递增，在上单调递减，
综上：当时，在上单调递增；
当时，上单调递增，在上单调递减，
（3）（i）由得，即有两个解，
令，则，且在上两个零点，
当时，，故在上单调递增，则在上没有两个零点，不满足题意；
当时，令，得；令，得；
所以在上单调递增，在上单调递减，即的极大值为，
为使在上有两个零点，则，即，解得，
当时，易知，因为，故，
又在上单调递增，所以在有唯一零点；
当时，
令，则，
再令，则，故在上单调递增，
所以，即，故在上单调递增，
所以，因为，
所以，即，即，即，故，
所以，故，
又在上单调递减，所以在有唯一零点；
综上：当时，在上两个零点，即有两个解时，，即；
（ii）由（i）得，，，故，
又，所以，即，即，故，
令，则， 故，
设，则，
当时，，
故当时，恒成立，故在上为增函数，
故即在上恒成立.
当时，，而
当时，
故存在，使得，使得，
故在为减函数，故，矛盾，舍；
综上：，即.微专题09 隐零点问题
研考题·聚焦关键词
不含参函数的“隐零点”问题的解策略：
已知不含参函数，导函数方程的根存在，却无法求出，
设方程的根为，则有：①关系式成立；②注意确定的合适范围.
题型一 不含参函数
例1.（2024·河北邢台·高三统考期末）已知函数．证明：．
变式:（2024·高三校考）已知函数，当时，证明：.
含参函数的“隐零点”问题解题策略：
已知含参函数，其中为参数，导函数方程的根存在，却无法求出，
设方程的根为，则有①有关系式成立，该关系式给出了的关系；②注意确定的合适范围，往往和的范围有关.
题型二 含参函数
例2.（重庆市西南大学附中、重庆育才中学、万州中学拔尖强基联盟2024届高三下学期二月联合考试数学试题）已知函数，其中．
（1）若，求证：在定义域内有两个不同的零点；
（2）若恒成立，求的值．
变式:（2024·吉林长春·东北师大附中校联考模拟预测）已知（其中为自然对数的底数）,，求实数的取值范围.
巩固能力·突破高分
1.（2023·高三校考）已知函数.当时，求证在上存在极值点，且.
2.（广东省2024届高三上学期元月期末统一调研测试数学试卷）若函数在上有定义，且对于任意不同的，都有，则称为上的“类函数”.若为上的“2类函数”，求实数的取值范围；
3.（2024·高三校考）已知函数，其中．讨论的极值点的个数．
4.（2024·陕西安康·安康中学校联考模拟预测）已知函数．当时，不等式恒成立，求整数的最大值．
5.（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考三模）已知函数．
（1）当时，求函数在上的极值；
（2）用表示中的最大值，记函数，讨论函数在上的零点个数．
6.（浙江省温州市温州中学2024届高三第一次模拟考试数学试题）已知.
（1）若过点作曲线的切线，切线的斜率为2，求的值；
（2）当时，讨论函数的零点个数.
7.（2024·高三校考）已知函数
（1）若1是的极值点，求a的值；
（2）求的单调区间：
（3） 已知有两个解，
（i）直接写出a的取值范围；（无需过程）
（ii）λ为正实数，若对于符合题意的任意，当时都有，求λ的取值范围.

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