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微专题10 导数中常见的放缩问题
研考题·聚焦关键词
证明以下不等式：
(1)；(2)；(3).
【解析】（1）解：令，则有.令，即，解得；
令，即，解得，所以在单调递减，上单调递增，所以，即.所以.
（2）解：令，则.令，即，解得；
令，即，解得，所以在单调递增，上单调递减，所以，即，所以.
（3）解：由（1）得，所以（当且仅当时取等号）①.由（2）得，所以（当且仅当时取等号）②，因为①式与②式取等号的条件不同，所以.
题型一 与有关的放缩
例1.（安徽省“皖江名校联盟”2024届高三上学期12月月考数学试题）设函数.
（1）讨论函数的单调性.
（2）设数列满足，证明：数列是单调递增数列，且，（其中为自然对数的底）.
【答案】（1） 在区间和上都是单调递增 （2）证明见解析
【解析】（1） 函数的定义域是，先证明，
设，
则，在上，单调递增，
在上，单调递减，，所以.
可得，得到，等号当且仅当时成立，
所以，
注意，所以恒成立.
因此在区间，上都单调递增.
（2） 由题设，，
，，
只需证明，
因为在上单调递增，显然成立.
下面证明，等价于证明，
也即证明，由（1）过程可知，当且仅当时等号成立，
，所以，故原不等式得证.
变式:（2024·高三校考）已知函数.
(1)若在上单调递增，求的值；
(2)证明：（且）.
【答案】(1)1；(2)证明见解析.
【解析】（1）函数，求导得，由于函数在R上单调递增，则恒成立，令，则，当时，，当时，，不满足条件；当时，，在R上单调递增，又，即，不满足条件； 当时，令，得，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，于是当时，取得最小值，
于是，即，令，则，当时，，单调递增；时，，单调递减，则，由于恒成立，因此，则有，所以单调递增时，的值为1.
（2）由（1）知，当时，，即有，当且仅当时取等号，即当时，，
因此当且时，，
而当时，，所以，
则，所以，.
题型二 与有关的放缩
例2.（2022·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为当，
取得：，故
，其中，且
当时，，及
此时，
故，故
所以，所以，
故选：A
变式:（2023·湖南长沙·高三校考）设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，所以，
所以，
令，则，
所以在上单调递增，
所以，即，所以，
令，则，
所以函数在上递增，
所以，即，即，
所以，即，
综上，.
故选：A.
巩固能力·突破高分
1.（2023·福建福州·高三校考），则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令，，则，
所以当时，即在上单调递增，
所以，即，即，即，
令，则，
在时，，则为减函数，
∴，即；
令，，则，
故在为减函数，
∴，即；
∴，
令，则，即，∴，
所以．
故选：D．
2.（2022·高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，
所以，即
因为，
所以，即
综上所述：，
故选：C
3.（2023·山西大同·高三校考）已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
设，函数定义域为，
则，
故在上为增函数，有，即，
所以，故.
设，函数定义域为，则，
，解得；，解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
当时，取最大值，所以，即，时等号成立，
所以，即，
又，所以.
故选：D
4.（2023·贵州遵义·高三统考）已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令，则，，
即在上单调递增，在上单调递减，所以，
故在R上恒成立，即，
令，
则，，
即在上单调递减，在上单调递增，所以，
故在上恒成立，即，
而，，即，
令，则，，
即在上单调递增，在上单调递减，所以，
故在上恒成立，即
令，由上知恒成立，即在R上单调递增，而，故，
所以，
故.
故选：D
5.（2023·全国·高三校考）当时，证明：恒成立.
【答案】证明见解析
【解析】由题意可知，函数的定义域为，
先证明，令，
则，
令，其中，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，即，
所以，，
设，其中，则且不恒为零，
所以，在上为增函数，故当时，，
所以，，
因为，故，故原不等式得证.
6.（2024·高三统考）已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）证明：．
【答案】（1）极小值0，无极大值；（2）证明见解析.
【解析】（1）函数的定义域为，求导得，
当时，，当时，，
则函数在上递减，在上递增，
所以函数在处取得极小值，无极大值.
（2）证明：由（1）知，，即，，
因此，当且仅当时取等号，
令，，则，
，而，
所以.
7.（2023·江苏常州·高三校考）已知函数.
（1）若，求的值；
（2）证明：当时，成立.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）解法一：由，得，
又，所以是的极小值点，
故，而，故，
若，则，
当；当，
所以在单调递减，在单调递增，
故是唯一的极小值点，也是最小值点，
由，所以当且仅当时，
解法二：由，得，又，
当时，有恒成立，所以在上单调递减，
又，则不成立，
当时，令，得，
则时，有时，有，
即在单调递减，在单调递增，
所以的最小值为，
，
函数在单调递减，单调递增，
，当且仅当取等号，故；
（2）当时，，
设，
当时，，
又由（1）知，故，
当时，，
设，则，
则在单调递增，，
所以，则在单调递增，
，
综上，，即当时，.
8.（2024·高三校考）已知函数．
（1）讨论函数在上的单调性；
（2）当时，
①判断函数的零点个数，并证明．
②求证：．
【答案】（1）答案见解析 （2）①零点个数是2，证明见解析；②证明见解析
【解析】（1）的定义域为，对求导得：．
当时，，，，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
当时，，，，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
当时，，，
所以在上单调递减．
当时，，，
，，，，
所以在，上单调递减，在上单调递增．
当时，，，，，
，，
所以在，上单调递减，在上单调递增．
（2）①由（1）可知，且，当时，，
令，
所以在上单调递增，在区间上单调递减，
所以，所以，所以．
当时，
，
即，
所以存在，使得，
根据零点存在性定理，当时，函数的零点个数是2．
另解：令，
令，
所以在上单调递增，在区间上单调递减，
所以，所以，所以．
当时，
，
即，所以存在，使得，
根据零点存在性定理，当时，函数的零点个数是2．
②由，所以，
即令，所以，
所以，，…，，
所以.微专题10 导数中常见的放缩问题
研考题·聚焦关键词
证明以下不等式：
；(2)；(3).
题型一 与有关的放缩
例1.（安徽省“皖江名校联盟”2024届高三上学期12月月考数学试题）设函数.
（1）讨论函数的单调性.
（2）设数列满足，证明：数列是单调递增数列，且，（其中为自然对数的底）.
变式:（2024·高三校考）已知函数.
(1)若在上单调递增，求的值；
(2)证明：（且）.
题型二 与有关的放缩
例2.（2022·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
变式:（2023·湖南长沙·高三校考）设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
巩固能力·突破高分
1.（2023·福建福州·高三校考），则（ ）
A． B．
C． D．
2.（2022·高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
3.（2023·山西大同·高三校考）已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4.（2023·贵州遵义·高三统考）已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
5.（2023·全国·高三校考）当时，证明：恒成立.
6.（2024·高三统考）已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）证明：．
7.（2023·江苏常州·高三校考）已知函数.
（1）若，求的值；
（2）证明：当时，成立.
8.（2024·高三校考）已知函数．
（1）讨论函数在上的单调性；
（2）当时，
①判断函数的零点个数，并证明．
②求证：．

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