资源简介

专题04 平面向量
01专题网络·思维脑图（含基础知识梳理、常用结论与技巧）
02考情分析·解密高考
03高频考点·以考定法
考点一 平面向量的概念及线性运算
命题点1 平面向量的概念及线性运算
命题点2 向量共线定理及平面向量基本定理
考点二 平面向量的数量积
命题点一 平面向量的数量积的简单运算
命题点二 平面向量的数量积的最值与范围
04创新好题·分层训练（★精选9道最新名校模拟考试题+8道易错提升）
02考情分析·解密高考
平面向量作为高考必考题，高考题型一般作为客观题出现，偶尔也会出现解答题。
高考要求：1．平面向量的实际背景及基本概念：
（1）了解向量的实际背景；（2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；（3）理解向量的几何表示；2．向量的线性运算：（1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；（2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；（3）了解向量线性运算的性质及其几何意义；
3.平面向量的基本定理及坐标表示：（1）了解平面向量的基本定理及其意义；（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；（3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；（4）理解用坐标表示的平面向量的贡献的条件。
4．平面向量的数量积：（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义；（2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系；（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5．向量的应用：（1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.（2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
真题多维细目表
考点 考向 考题
平面向量 ①平面向量的概念及线性运算 ②平面向量的坐标运算 ③平面向量的数量积及夹角问题 ④平面向量的综合应用 2023年全国乙卷·T12,2023年全国甲卷·T4，2023年新课标全国Ⅰ卷·T15，2023年新课标全国Ⅱ卷·T13，2022新高考全国I卷·T6，2022年高考全国甲卷数学，2022年高考全国乙卷数学·T3，2021年新高考全国Ⅱ卷，2021年高考全国乙卷·T16，2020年新高考全国卷Ⅱ数学·T7,2020年高考课标Ⅱ卷·2020年高考课标Ⅲ卷·T6，2019·全国Ⅰ·T9，2019·全国Ⅱ·理·T3，2019·全国Ⅰ·T7
考点一 平面向量的概念及线性运算
命题点1 平面向量的概念及线性运算
典例01 (2021年高考浙江卷·第3题)已知非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】若，则，推不出；若，则必成立，故“”是“”的必要不充分条件,
故选：B．
典例02 (2022新高考全国I卷·)在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因点D在边AB上，，所以，即，
所以．
故选：B．
典例03 (2023年天津卷·)在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，则可用表示为_________；若，则的最大值为_________．
【答案】①． ②．
【解析】空1：因为为的中点，则，可得，
两式相加，可得到，即，则；
空2：略
故答案为：．
(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．
(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．
命题点2 向量共线定理及平面向量基本定理
典例01 （2020年江苏卷13）在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________．
【答案】
【解析】∵三点共线
∴可设
∵
∴，即
∵三点共线
∴，即
∵
∴
∵,,
∴
设，，则，.
∴根据余弦定理可得，
∵
∴，解得.
∴的长度为.
故答案为：.
典例02 (2023年天津卷·)在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，则可用表示为_________；若，则的最大值为_________．
【答案】①． ②．
【解析】空1：因为为的中点，则，可得，
两式相加，可得到，即，则；
：因为，则，可得，
得到，即，即．于是．记，
则，
在中，根据余弦定理：，
于是，
由和基本不等式，，
故，当且仅当取得等号，则时，有最大值．
故答案为：；．
典例03 (2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题)在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如下图
则，，，，连结，过点作于点
在中，有
即
所以圆的方程为
可设
由可得
所以，所以
其中，
所以的最大值为，故选A．
法二：通过点作于点，由，，可求得
又由，可求得
由等和线定理可知，当点的切线(即)与平行时，取得最大值
又点到的距离与点到直线的距离相等，均为
而此时点到直线的距离为
所以，所以的最大值为，故选A．
另一种表达：如图，由“等和线”相关知识知，当点在如图所示位置时，最大，且此时若，则有，由三角形全等可得，知，所以选A．
法三：如图，建立平面直角坐标系
设
根据等面积公式可得圆的半径是，即圆的方程是
，若满足
即 ， ，所以，设 ，即，点在圆上，所以圆心到直线的距离，即 ，解得，所以的最大值是，即的最大值是，
故选：A．
法四：由题意，画出右图．
设与切于点，连接．以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴建立直角坐标系
则点坐标为．∵，．∴．切于点．
∴⊥．∴是中斜边上的高．
即的半径为．∵在上．∴点的轨迹方程为．
设点坐标，可以设出点坐标满足的参数方程如下：
而，，．
∵
∴，．
两式相加得：
(其中，)
当且仅当，时，取得最大值3．
预计2024年高考仍会从平面向量的线性运算向进行命制.
1．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）如图，在中，点在的延长线上，，如果，那么（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵，
∴，
故选：B．
2．（2023秋·湖北鄂东南·高三省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考）已知向量，，若向量与向量共线，则实数的值为_____.
【答案】0或
【解析】向量，，若向量与向量共线
则，解得0或.
故答案为：0或2.
考点二 平面向量的数量积
命题点一 平面向量的数量积的简单运算
典例01 (2023年新课标全国Ⅰ卷·)已知向量，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，，
由可得，，
即，整理得：．
故选：D．
典例02 (2023年新课标全国Ⅱ卷·第13题) 已知向量，满足，，则______．
【答案】
【解析】设，则，
由题意可得：，则，
整理得：，即
故答案为：．
典例03 (2023年全国甲卷·第4题) 已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为,所以,
即,即,所以．
如图,设,
由题知,是等腰直角三角形,
AB边上的高,
所以,,
．
故选:D．
命题点二 平面向量的数量积的最值与范围
典例01 (2023年全国乙卷·第12题) 已知的半径为1，直线PA与相切于点A．直线PB与交于B．C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，，则由题意可知:，
由勾股定理可得
当点位于直线异侧时，设，
则：
，则当时，有最大值．
当点位于直线同侧时，设，
则：
，则
当时，有最大值．综上可得，的最大值为．
故选：A．
典例02 【2022年北京卷10】在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，
因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，
设，，
所以，，
所以
，其中，，
因为，所以，即；
故选：D
（1）处理向量数量积的三种方法运用区别：①定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a·b＝|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角)．②基向量法（利用数量积的几何意义）：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．③坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解。
（2）注意向量夹角的大小抓住共起点
预计2024年高考仍会从平面向量数量积综合进行命制
1．（2023秋·江苏苏州·高三期中统测）已知是两个单位向量，且，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】已知是两个单位向量，，
若，则，
，
故.
故选：B
2．（2023秋·湖南·高三湖南师范大学附属中学月考）已知正的边长为2，点为所在平面内的动点，且，则的取值范围为____________．
【答案】
【解析】由已知，点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆．取线段的中点，
则，
又因为，，所以，
则．
故答案为：.
（★精选9道最新名校模拟考试题+8道易错提升）
1．（2023秋·江苏南通如皋·高三统测）在中，点是边上靠近点的三等分点，点是的中点，若，则（ ）
A. 1 B. C. D. -1
【答案】B
【解析】点是边上靠近点的三等分点，点是的中点，如图所示，
所以.
故选：B.
2．（2023秋·广东广州中山·高三中山大学附属中学期中检测）如图，在平行四边形中，是边的中点，是的一个三等分点（），若存在实数和，使得，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为是的一个三等分点（），所以.因为是边的中点，所以.
又，所以.
故选：C
3．（2023秋·湖南长沙·高三雅礼中学月考）在边长为3的正方形ABCD中，点E满足，则（ ）
A. 3 B. C. D. 4
【答案】A
【解析】以B为原点，BC，BA所在直线分别为x，y轴，建立如图所示直角坐标系，
由题意得，
所以，，
所以.
故选：A.
4.（江苏省南通市2023届高三高考前练习）在平行四边形中，，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在平行四边形中，，，，，
则，，

所以，
，可得，
，，
所以，.
故选：B.
5．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）（多选）下列说法不正确的是（ ）
A．若，则与的方向相同或者相反
B．若，为非零向量，且，则与共线
C．若，则存在唯一的实数使得
D．若，是两个单位向量，且．则
【答案】ACD
【解析】对于A，当时，与的方向可以既不相同也不相反，所以该选项错误；
对于B，，为非零向量，表示与方向相同的单位向量，表示与方向相同的单位相同，由于，所以与共线，所以该选项正确；
对于C，当，为非零向量时，不存在，所以该选项错误；
对于D，由得，所以，所以该选项错误．
故选：ACD．
6．（2023秋·福建厦门·高三厦门外国语学校期中）（多选）已知非零单位向量和，若，向量在向量上的投影向量为，向量在向量上的投影向量为，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】，
，
对选项A：，正确；
对选项B：，正确；
对选项C：，，不共线，错误；
对选项D：，正确.
故选：ABD.
7．（2023秋·湖北鄂东南·高三省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考）已知向量，，若向量与向量共线，则实数的值为_____.
【答案】0或
【解析】向量，，若向量与向量共线
则，解得0或.
故答案为：0或.
8．（2023春·江苏南京、盐城·高三一模）已知向量，满足，，.设，则 .
【答案】/-0.8
【解析】法一：设，，则，
所以.
法二：，又，
则.
故答案为：
9．（2023春·江苏·高三校考）在平行四边形ABCD中，＝6，＝5，则＝ .
【答案】
【解析】
由题设，则，
所以，
而，则，
则，故.
故答案为：
1．（2023秋·湖南长沙·高三长郡中学月考）已知非零向量，满足，，若，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以，
∴，又，所以，∴或（舍去），
所以，
所以在方向上的投影向量为.
故选：A.
2．（2023秋·湖南·高三湖南师范大学附属中学月考）中，为上一点且满足，若为上一点，且满足为正实数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小值为 B. 的最大值为1
C. 的最小值为4 D. 的最大值为16
【答案】C
【解析】为正实数，，
，而共线，
，
当且仅当时，结合，即时取等号，A，B错误；
，
当且仅当，即，即时取等号，
即的最小值为4，C正确；
又，
由于为正实数，，则，
则，时取最大值，
当趋近于0时，可无限趋近于0，
故，故无最大值，D错误，
故选：C.
3．（2023春·江苏镇江·高三3月校考）已知半径为1的圆O上有三个动点A，B，C，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，又，所以，所以，
以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系：

则，，设，则，
，，
所以，
设，即，
依题意直线与圆有公共点，
所以，得，
所以的最小值为.
故选：A
4.（2023春·江苏南通如皋·高三4月校考）单位圆上有两定点，及两动点，且.则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设中点为，中点为，则，.
由已知，可知，
所以，所以为等边三角形，所以.
同理可得，.
.
如图，当、方向相反时，有最大值为，
即的最大值是.
故选：A.
5．（2023秋·江苏镇江丹阳·高三吕叔湘中学10月月考）如图，在梯形中，，，，，，为线段的中点，为线段上一动点（包括端点），，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 若为线段的中点，则
C. D. 的最小值为6
【答案】AC
【解析】选项A，过作的垂直，交于，所以，又，，，，，
所以，故选项A正确；
建立如图所示平面直角坐标系，则，，，，
选项B，因为为线段的中点，则，，，
所以，由，得到，所以，故选项B错误；
设，则，，
选项C，由，得到，解得，故选项C正确；
选项D，，，所以，
令，对称轴为，又，当时，所以的最小值为，故选项D错误；
故选：AC.
6.（2023春·江苏南通·高三下学期第二次调研测试）重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形COD，其中，，动点P在上（含端点），连结OP交扇形OAB的弧于点Q，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C． D．
【答案】ABD
【解析】如图，作,分别以为x，y轴建立平面直角坐标系，
则，
设，则，
由可得 ，且，
若，则，
解得，（负值舍去），故，A正确；
若，则，，所以，
所以，故B正确；
，由于，故，
故，故C错误；
由于，
故
，而，所以，
所以，故D正确，
故选：ABD
7．（2023秋·江苏苏州·高三期中统测）如图，一个半径为的半圆，、两点为直径的三等分点，、两点为弧上的三等分点，则________.
【答案】
【解析】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴，
过点且垂直于的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，连接、，
由题意可知，，，
则、、、，
所以，，，故.
故答案为：.
8．（2023求·江苏校考）已知P是半径为1圆心角为的一段圆弧AB上的一点，若，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，过点作，垂足为，
因为，且，所以，又，
所以，在中，因为，所以，
，则，所以，设，
则
，又，所以，则，
即的取值范围是
故答案为：专题04 平面向量
01专题网络·思维脑图（含基础知识梳理、常用结论与技巧）
02考情分析·解密高考
03高频考点·以考定法
考点一 平面向量的概念及线性运算
命题点1 平面向量的概念及线性运算
命题点2 向量共线定理及平面向量基本定理
考点二 平面向量的数量积
命题点一 平面向量的数量积的简单运算
命题点二 平面向量的数量积的最值与范围
04创新好题·分层训练（★精选9道最新名校模拟考试题+8道易错提升）
02考情分析·解密高考
平面向量作为高考必考题，高考题型一般作为客观题出现，偶尔也会出现解答题。
高考要求：1．平面向量的实际背景及基本概念：
（1）了解向量的实际背景；（2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；（3）理解向量的几何表示；2．向量的线性运算：（1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；（2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；（3）了解向量线性运算的性质及其几何意义；
3.平面向量的基本定理及坐标表示：（1）了解平面向量的基本定理及其意义；（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；（3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；（4）理解用坐标表示的平面向量的贡献的条件。
4．平面向量的数量积：（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义；（2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系；（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5．向量的应用：（1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.（2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
真题多维细目表
考点 考向 考题
平面向量 ①平面向量的概念及线性运算 ②平面向量的坐标运算 ③平面向量的数量积及夹角问题 ④平面向量的综合应用 2023年全国乙卷·T12,2023年全国甲卷·T4，2023年新课标全国Ⅰ卷·T15，2023年新课标全国Ⅱ卷·T13，2022新高考全国I卷·T6，2022年高考全国甲卷数学，2022年高考全国乙卷数学·T3，2021年新高考全国Ⅱ卷，2021年高考全国乙卷·T16，2020年新高考全国卷Ⅱ数学·T7,2020年高考课标Ⅱ卷·2020年高考课标Ⅲ卷·T6，2019·全国Ⅰ·T9，2019·全国Ⅱ·理·T3，2019·全国Ⅰ·T7
考点一 平面向量的概念及线性运算
命题点1 平面向量的概念及线性运算
典例01 (2021年高考浙江卷·第3题)已知非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
典例02 (2022新高考全国I卷·)在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A． B． C． D．
典例03 (2023年天津卷·)在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，则可用表示为_________；若，则的最大值为_________．
(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．
(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．
命题点2 向量共线定理及平面向量基本定理
典例01 （2020年江苏卷13）在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________．
典例02 (2023年天津卷·)在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，则可用表示为_________；若，则的最大值为_________．
典例03 (2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题)在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
预计2024年高考仍会从平面向量的线性运算向进行命制.
1．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）如图，在中，点在的延长线上，，如果，那么（ ）

A． B．
C． D．
2．（2023秋·湖北鄂东南·高三省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考）已知向量，，若向量与向量共线，则实数的值为_____.
考点二 平面向量的数量积
命题点一 平面向量的数量积的简单运算
典例01 (2023年新课标全国Ⅰ卷·)已知向量，若，则（ ）
A． B．
C． D．
典例02 (2023年新课标全国Ⅱ卷·第13题) 已知向量，满足，，则______．
典例03 (2023年全国甲卷·第4题) 已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
命题点二 平面向量的数量积的最值与范围
典例01 (2023年全国乙卷·第12题) 已知的半径为1，直线PA与相切于点A．直线PB与交于B．C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
典例02 【2022年北京卷10】在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（1）处理向量数量积的三种方法运用区别：①定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a·b＝|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角)．②基向量法（利用数量积的几何意义）：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．③坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解。
（2）注意向量夹角的大小抓住共起点
预计2024年高考仍会从平面向量数量积综合进行命制
1．（2023秋·江苏苏州·高三期中统测）已知是两个单位向量，且，若，则（ ）
A. B. C. D.
2．（2023秋·湖南·高三湖南师范大学附属中学月考）已知正的边长为2，点为所在平面内的动点，且，则的取值范围为____________．
（★精选9道最新名校模拟考试题+8道易错提升）
1．（2023秋·江苏南通如皋·高三统测）在中，点是边上靠近点的三等分点，点是的中点，若，则（ ）
A. 1 B. C. D. -1
2．（2023秋·广东广州中山·高三中山大学附属中学期中检测）如图，在平行四边形中，是边的中点，是的一个三等分点（），若存在实数和，使得，则（ ）
A. B. C. D.
3．（2023秋·湖南长沙·高三雅礼中学月考）在边长为3的正方形ABCD中，点E满足，则（ ）
A. 3 B. C. D. 4
4.（江苏省南通市2023届高三高考前练习）在平行四边形中，，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）（多选）下列说法不正确的是（ ）
A．若，则与的方向相同或者相反
B．若，为非零向量，且，则与共线
C．若，则存在唯一的实数使得
D．若，是两个单位向量，且．则
6．（2023秋·福建厦门·高三厦门外国语学校期中）（多选）已知非零单位向量和，若，向量在向量上的投影向量为，向量在向量上的投影向量为，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7．（2023秋·湖北鄂东南·高三省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考）已知向量，，若向量与向量共线，则实数的值为_____.
8．（2023春·江苏南京、盐城·高三一模）已知向量，满足，，.设，则 .
9．（2023春·江苏·高三校考）在平行四边形ABCD中，＝6，＝5，则＝ .
1．（2023秋·湖南长沙·高三长郡中学月考）已知非零向量，满足，，若，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
2．（2023秋·湖南·高三湖南师范大学附属中学月考）中，为上一点且满足，若为上一点，且满足为正实数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小值为 B. 的最大值为1
C. 的最小值为4 D. 的最大值为16
3．（2023春·江苏镇江·高三3月校考）已知半径为1的圆O上有三个动点A，B，C，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4.（2023春·江苏南通如皋·高三4月校考）单位圆上有两定点，及两动点，且.则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023秋·江苏镇江丹阳·高三吕叔湘中学10月月考）如图，在梯形中，，，，，，为线段的中点，为线段上一动点（包括端点），，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 若为线段的中点，则
C. D. 的最小值为6
6.（2023春·江苏南通·高三下学期第二次调研测试）重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形COD，其中，，动点P在上（含端点），连结OP交扇形OAB的弧于点Q，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C． D．
7．（2023秋·江苏苏州·高三期中统测）如图，一个半径为的半圆，、两点为直径的三等分点，、两点为弧上的三等分点，则________.
8．（2023求·江苏校考）已知P是半径为1圆心角为的一段圆弧AB上的一点，若，则的取值范围是______.

展开更多......

收起↑