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专题05 数列
第二讲 数列的求和
01专题网络·思维脑图（含基础知识梳理、常用结论与技巧）
02考情分析·解密高考
03高频考点·以考定法
考点一 分组求和法
考点二 错位相减法
考点三 裂项相消法
考点四 奇偶项并项求和
04创新好题·分层训练（★精选9道最新名校模拟考试题+8道易错提升）
02考情分析·解密高考
数列作为高考必考题，高考题型一般作为客观题、解答题出现，数列求和经常在考题中出现。
高考要求：掌握等差、等比数列的前n项和公式；掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法。
考点 考向 考题
数列求和 ①分组求和法 ②错位相减法 ③裂项相消法 2023年全国甲卷·T17，2023年新课标全国Ⅰ卷·T7、T20，2023年新课标全国Ⅱ卷·T8、T18，2022新高考全国I卷·T17，2022年新课标全国Ⅱ卷·T17、T3，2022年高考全国甲卷数学·T17，2021年新课标全国Ⅰ卷·T16、T17，2021年新高考全国Ⅱ卷T12、T17，2020年高考课标ⅢT17卷，2020·全国Ⅱ·理·T4、T6，2019·全国Ⅰ·T9
考点一 分组求和法
典例01 【2023年新高考2卷18】已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【解析】（1）设等差数列的公差为，而，
则，
于是，解得，，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，，，
当为偶数时，，
当时，，因此，
当为奇数时，若，则
，显然满足上式，因此当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
数列通项为分段型，注意对n奇偶性的讨论分析
预计2024年高考仍会从分组求和的方向进行命制.
1．（2022·安徽·高三期末（理））已知数列的前n项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)解：当时，，
当时，，
当时，上式也成立，
所以；
(2)解：，
设数列的前项和为，
则
.
2．（2020届陕西省西安中学高三第一次模拟）已知数列的前n项和为，且n、、成等差数列，.
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）若数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值.
【答案】（1）证明见解析，；（2）11202.
【解析】（1）证明：因为n，，成等差数列，所以，①
所以.②
①－②，得，所以.
又当时，，所以，所以，
故数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，即.
（2）根据（1）求解知，，，所以，
所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列.
又因为，，，，，，，，
，，，
所以
.
考点二 错位相减法
典例01 (2023年全国甲卷理科·第17题) 设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1) (2)
【解析】(1)因为，
当时，，即；
当时，，即，
当时，，所以，
化简得：，当时，，即，
当时都满足上式，所以．
(2)因为，所以，
，
两式相减得，
，
，即，．
典例02 (2021年高考浙江卷·第20题) 已知数列前n项和为，，且．
(1)求数列通项；
(2)设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求的范围．
【答案】(1)；(2)．
【解析】(1)当时，，，
当时，由①，得②，①②得
，又是首项为，公比为的等比数列，
；
(2)由，得，
所以，
，
两式相减得
，
所以，由得恒成立，
即恒成立，
时不等式恒成立；
时，，得；
时，，得；
所以．
（1）处理错位相减法求数列和，注意相减之后的项数；
（2）注意代入n=1检验结果是否符合
预计2024年高考如果考查数列求和仍会从错位相减法的方向进行命制
1．(江苏省南京市临江高级中学2023届高三下学期二模拉练)已知数列的前项和为，满足.
(1)求的值，并求数列的通项公式.
(2)令，求数列的前项和.
【答案】(1)，，
(2)
【解析】（1），
当时，；当时，，
，
，
，
又
（2）由（1）得，
，
，
，
2．（江苏省苏锡常镇四市2023届高三下学期3月教学情况调研（一））已知等比数列的各项均为正数，且，.
(1)求的通项公式；
(2)数列满足，求的前n项和.
【答案】(1)；
(2).
【解析】（1）设数列的公比为，则，，解得，
所以，即的通项公式为；
（2）方法一：由题可知，
则，
，
所以，
.
方法二：，
所以
考点三 裂项相消法
典例01 (2022新高考全国I卷·第17题) 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【答案】(1) (2)见解析
【解析】(1)∵，∴,∴,又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,∴当时，，
∴,整理得：,
即,∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
(2)
∴
典例02 (2020天津高考·第19题) 已知为等差数列，为等比数列，．
(Ⅰ)求和的通项公式；
(Ⅱ)记的前项和为，求证：；
(Ⅲ)对任意的正整数，设求数列的前项和．
【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)．
【解析】(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为．由，，可得．
从而的通项公式为．由，又，可得，解得，
从而的通项公式为．
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得，
故，，
从而，所以．
(Ⅲ)当为奇数时，，
当为偶数时，，
对任意的正整数，有，
和 ①
由①得 ②
由①②得，
由于，
从而得：．
因此，．所以，数列的前项和为．
预计2024年高考如果考查数列求和仍会从裂项相消法的方向进行命制
1.（江苏省南京市2023届高三二模）已知数列的前项和为，，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：．
【答案】(1)；(2)证明见解析
【解析】（1），则，
整理得到，故，
故是常数列，故，即，
当时，，
验证时满足，故
（2），
故
.
2.【江苏省泰州市2023届高三下学期第一次调研测试】在①成等比数列，②，③这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，并完成解答.
已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，且满足__________，__________.
(1)求的通项公式；
(2)求.
注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案计分.
【答案】(1)选①②，①③或②③均可得；(2)
【解析】（1）若选①②，设公差为，
则，
解得：，
；
选①③，设公差为，
，
解得：，
；
选②③，设公差为，
，
解得：，
；
，
.
（★精选9道最新名校模拟考试题+8道易错提升）
1．（2023·高三校考）已知数列满足，，，为数列的前项和，则下列说法不正确的有（ ）
A． B．
C． D．的最大值为
【答案】B
【解析】对于A，当为奇数时，，又，
，则，A正确；
对于B，当为偶数时，，又，；
由A知：当为奇数时，；
则当为偶数时，；
当为奇数时，；
，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，当时，，
当为偶数时，；当为奇数时，；
当时，，
当为偶数时，；当为奇数时，；
综上所述：，D正确.
故选：B
2．（2023秋·山东聊城·高三期中统测改编）已知数列的前项和为，，，，下列说法不正确的是（ ）
A. B. 为常数列
C. D.
【答案】C
【解析】，则，
整理得，即，
故是常数列，
所以，即，故D选项正确.
当时，，
经检验时满足，故.
对于A选项，由，知，故A选项正确.
对于B选项，由，知，所以为常数列，故B选项正确.
对于C选项，由，知，故C选项错误.
故选:C
3．（2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考）已知数列满足：.则的前60项的和为（ ）
A．1240 B．1830 C．2520 D．2760
【答案】D
【解析】由，
故，，，，….
故，，，….
从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于3；
，，，….
从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以13为首项，
以24为公差的等差数列.
故.
故选：D.
4.（2023秋·高三校考）已知数列的前n项和为，且，记数列的前n项和为若对于任意的，不等式恒成立，则实数t的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】对于，
当n=1时，
当n≥2时，
经检验：对n=1也成立，
∴
所以
∴
，
两式相减得，，
，
所以 所以， 令 ，
，
故当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，t的最小值为．
故选：B．
5．（2023秋·湖南长沙·高三长郡中学月考）（多选）已知数列满足，数列满足，记数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A. 数列是等差数列 B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】因为，所以，
所以，且，
所以数列是等差数列，且该数列的首项为1，公差为，
所以，所以选项AB正确；
因为，所以，
所以，
所以
，所以选项C正确，D错误．
故选：ABC．
6．（2023·河南安阳·安阳一中校联考）在数列中，且，______．
【答案】2600
【解析】当为奇数，即时，设，，，
则，即数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，
故；
当为偶数，即时，设，，，
则，显然数列为常数列，则，即；
.
故答案为：2600
7.（2023秋·高三校考）若数列的前项和为，，则称数列是数列的“均值数列”.已知数列是数列的“均值数列”且通项公式为，设数列的前项和为，若对一切恒成立，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】由题意，数列的前项和为，由“均值数列”的定义可得，所以，
当时，；
当时，，
也满足，所以，
所以，
所以，
又对一切恒成立，
所以，整理得，解得或.
即实数的取值范围为.
故答案为：
8.（广东省执信、深外、育才等学校2024届高三上学期12月联考数学试题）已知正项数列的前n项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，若数列满足，求的前n项和．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）因为，且，则，
可知数列为常数列，且，
则，即，
当时，，
且也符合上式，所以.
（2）由（1）可得，则，
设的前n项和为，
则，
所以的前n项和为.
9.（2022·江苏南通·模拟预测）已知正项数列{}中，，是其前n项和，且满足
(1)求数列{}的通项公式：
(2)已知数列{}满足，设数列{}的前n项和为，求的最小值.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)正项数列{}，，满足，所以，
所以数列{}是以1为首项1为公差的等差数列，
所以，所以，
当时，，
当时也成立，
所以.
(2)因为
所以，
所以当为奇数时，；
当为偶数时，，
由{}递增，得，
所以的最小值为.
1．（2023·湖南郴州·统考三模）已知函数的图象在点处的切线的斜率为，则数列的前项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，则，
所以，
所以.
故选：C.
2．（2023·广东广州·统考一模）若数列满足，则的前2022项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当为奇数时，，当为偶数时，，
.
故选：D
3.（2023秋·江苏南通海安·高三期中统测）（多选）已知数列满足，且，则（ ）
A. 为递增数列
B.
C.
D.
【答案】ABC
【解析】显然，而，则，，
又，即有与同号，而，则，
对于A，，即，为递增数列，A正确；
对于B，，则，
因此，B正确；
对于C，由，得，即，
因此，C正确；
对于D，，因此（当且仅当时取等号），
所以，D错误.
故选：ABC
4.（2023秋·高三校考）设等比数列的前项和为，公比，,则数列的前项和为为 .
【答案】
【解析】，解得，
；


.
故答案为：
5.（2023秋·高三校考）在数列中，已知，且，则数列的前n项和 .
【答案】
【解析】依题意，，
所以
.
故答案为：
6.（2023秋·高三校考）已知数列的前项即为，且，若对任意，都有，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】数列的前项即为，且
，
，
两式相减可得：，
. ，单调递增，即 .
，，.
又若对任意，都有，即， .
故答案为： .
7．（2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市八中校考开学考试）已知数列的前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】（1）因为，则化为，
即，所以，所以是首项为，公差为的等差数列，
所以，解得，
当时，，
不满足上式，
所以.
（2）结合（1）得，，
所以，
因为，所以．
8.（2022·天津三中三模）已知在各项均不相等的等差数列中，，且、、成等比数列，数列中，，，.
(1)求的通项公式及其前项和；
(2)求证：是等比数列，并求的通项公式；
(3)设求数列的前项的和.
【答案】(1)，(2)证明见解析，(3)
【解析】(1)解：设等差数列的公差为，则，
由已知可得，即，解得，故，
.
(2)证明：因为，，则，
因为，故数列是以为首项和公比的等比数列，
因此，，因此，.
(3)解：设数列的前项和中，奇数项的和记为，偶数项的和记为.
当，，
则，
，
上式下式得
，
故.
当时，
，
所以，
，
因此，
9.（2022·广东佛山·模拟预测）已知数列满足，，且对任意，都有．
(1)求证：是等比数列，并求的通项公式；
(2)求使得不等式成立的最大正整数m．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】(1)由，得，
所以是等比数列.
所以
从而
所以，．
(2)设
即，所以，，
于是，．
因为，且，
所以，使成立的最大正整数．专题05 数列
第二讲 数列的求和
01专题网络·思维脑图（含基础知识梳理、常用结论与技巧）
02考情分析·解密高考
03高频考点·以考定法
考点一 分组求和法
考点二 错位相减法
考点三 裂项相消法
考点四 奇偶项并项求和
04创新好题·分层训练（★精选9道最新名校模拟考试题+8道易错提升）
02考情分析·解密高考
数列作为高考必考题，高考题型一般作为客观题、解答题出现，数列求和经常在考题中出现。
高考要求：掌握等差、等比数列的前n项和公式；掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法。
考点 考向 考题
数列求和 ①分组求和法 ②错位相减法 ③裂项相消法 2023年全国甲卷·T17，2023年新课标全国Ⅰ卷·T7、T20，2023年新课标全国Ⅱ卷·T8、T18，2022新高考全国I卷·T17，2022年新课标全国Ⅱ卷·T17、T3，2022年高考全国甲卷数学·T17，2021年新课标全国Ⅰ卷·T16、T17，2021年新高考全国Ⅱ卷T12、T17，2020年高考课标ⅢT17卷，2020·全国Ⅱ·理·T4、T6，2019·全国Ⅰ·T9
考点一 分组求和法
典例01 【2023年新高考2卷18】已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
预计2024年高考仍会从分组求和的方向进行命制.
1．（2022·安徽·高三期末（理））已知数列的前n项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
2．（2020届陕西省西安中学高三第一次模拟）已知数列的前n项和为，且n、、成等差数列，.
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）若数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值.
考点二 错位相减法
典例01 (2023年全国甲卷理科·第17题) 设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
典例02 (2021年高考浙江卷·第20题) 已知数列前n项和为，，且．
(1)求数列通项；
(2)设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求的范围．
（1）处理错位相减法求数列和，注意相减之后的项数；
（2）注意代入n=1检验结果是否符合
预计2024年高考如果考查数列求和仍会从错位相减法的方向进行命制
1．(江苏省南京市临江高级中学2023届高三下学期二模拉练)已知数列的前项和为，满足.
(1)求的值，并求数列的通项公式.
(2)令，求数列的前项和.
2．（江苏省苏锡常镇四市2023届高三下学期3月教学情况调研（一））已知等比数列的各项均为正数，且，.
(1)求的通项公式；
(2)数列满足，求的前n项和.
考点三 裂项相消法
典例01 (2022新高考全国I卷·第17题) 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
典例02 (2020天津高考·第19题) 已知为等差数列，为等比数列，．
(Ⅰ)求和的通项公式；
(Ⅱ)记的前项和为，求证：；
(Ⅲ)对任意的正整数，设求数列的前项和．
预计2024年高考如果考查数列求和仍会从裂项相消法的方向进行命制
1.（江苏省南京市2023届高三二模）已知数列的前项和为，，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：．
2.【江苏省泰州市2023届高三下学期第一次调研测试】在①成等比数列，②，③这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，并完成解答.
已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，且满足__________，__________.
(1)求的通项公式；
(2)求.
注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案计分.
（★精选9道最新名校模拟考试题+8道易错提升）
1．（2023·高三校考）已知数列满足，，，为数列的前项和，则下列说法不正确的有（ ）
A． B．
C． D．的最大值为
2．（2023秋·山东聊城·高三期中统测改编）已知数列的前项和为，，，，下列说法不正确的是（ ）
A. B. 为常数列
C. D.
3．（2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考）已知数列满足：.则的前60项的和为（ ）
A．1240 B．1830 C．2520 D．2760
4.（2023秋·高三校考）已知数列的前n项和为，且，记数列的前n项和为若对于任意的，不等式恒成立，则实数t的最小值为（ ）
A. B. C. D.
5．（2023秋·湖南长沙·高三长郡中学月考）（多选）已知数列满足，数列满足，记数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A. 数列是等差数列 B.
C. D.
6．（2023·河南安阳·安阳一中校联考）在数列中，且，______．
7.（2023秋·高三校考）若数列的前项和为，，则称数列是数列的“均值数列”.已知数列是数列的“均值数列”且通项公式为，设数列的前项和为，若对一切恒成立，则实数的取值范围为______．
8.（广东省执信、深外、育才等学校2024届高三上学期12月联考数学试题）已知正项数列的前n项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，若数列满足，求的前n项和．
9.（2022·江苏南通·模拟预测）已知正项数列{}中，，是其前n项和，且满足
(1)求数列{}的通项公式：
(2)已知数列{}满足，设数列{}的前n项和为，求的最小值.
1．（2023·湖南郴州·统考三模）已知函数的图象在点处的切线的斜率为，则数列的前项和为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·广东广州·统考一模）若数列满足，则的前2022项和为（ ）
A． B． C． D．
3.（2023秋·江苏南通海安·高三期中统测）（多选）已知数列满足，且，则（ ）
A. 为递增数列 B.
C. D.
4.（2023秋·高三校考）设等比数列的前项和为，公比，,则数列的前项和为为 .
5.（2023秋·高三校考）在数列中，已知，且，则数列的前n项和 .
6.（2023秋·高三校考）已知数列的前项即为，且，若对任意，都有，则的取值范围是 .
7．（2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市八中校考开学考试）已知数列的前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
8.（2022·天津三中三模）已知在各项均不相等的等差数列中，，且、、成等比数列，数列中，，，.
(1)求的通项公式及其前项和；
(2)求证：是等比数列，并求的通项公式；
(3)设求数列的前项的和.
9.（2022·广东佛山·模拟预测）已知数列满足，，且对任意，都有．
(1)求证：是等比数列，并求的通项公式；
(2)求使得不等式成立的最大正整数m．

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