资源简介

专题05 数列
第三讲 数列与不等关系
01专题网络·思维脑图（含基础知识梳理、常用结论与技巧）
02考情分析·解密高考
03高频考点·以考定法
考点一 作差法与先求和再放缩
命题点1 并项求和
命题点2 裂项求和
命题点3 错位相减求和
考点二 先放缩再求和
命题点1由累加法及裂项求和
命题点2 由累乘法及裂项求和
考点三 恒成立问题
04创新好题·分层训练（★精选9道最新名校模拟考试题+8道易错提升）
02考情分析·解密高考
数列作为高考必考题，高考题型一般作为客观题、解答题出现，数列与不等关系经常在考题中出现。
高考要求：证明数列不等式，有时需要应用放缩法结合数列的求和解决，求解的方法有先放缩再求和或先求和再放缩；数列中的不等式问题需要掌握常见的三种方法：（1）分离参数法，（2）单调性法，（3）最值（有界性）法。
考点 考向 考题
数列 证明数列不等式 2023年新课标全国Ⅱ卷T18，2022新高考全国I卷·T17，2021年新课标全国Ⅰ卷·T16、T17，2021年新高考全国Ⅱ卷T12、T17，2020年高考课标ⅢT17卷，2020·全国Ⅱ·理·T4、T6，2019·全国Ⅰ·T9
考点一 作差法与利用求和结论进行放缩
命题点1 并项求和
典例01 【2023年新高考2卷18】已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【解析】（1）设等差数列的公差为，而，
则，
于是，解得，，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，，，
当为偶数时，，
当时，，因此，
当为奇数时，若，则
，显然满足上式，因此当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
典例02 (2021年新高考全国Ⅱ卷·第17题) 记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
(1)求数列的通项公式；
(2)求使成立的n的最小值．
【答案】(1)=;(2)7
【解析】(1)由等差数列的性质可得：，则：，
设等差数列的公差为，从而有：，
，
从而：，由于公差不为零，故：，数列的通项公式为：．
(2)由数列的通项公式可得：，则：，
则不等式即：，整理可得：，解得：或，又为正整数，故的最小值为．
对于分段数列求和需要对n分奇偶性讨论，证明数列不等式可以通过作差法进行证明。
命题点2 裂项相消求和
典例01 (2022新高考全国I卷·第17题) 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【答案】(1), (2)见解析
【解析】(1)∵，∴,∴,又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,∴当时，，
∴,整理得：,
即,∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
(2)
∴
命题点3 错位相减求和
典例01 （2022·安徽合肥·二模）记为数列的前项和，已知，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列满足________，记为数列的前项和，证明：．
从① ②两个条件中任选一个，补充在第（2）问中的横线上并作答.
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】(1)①，
当时，，；当时，②①-②得，即
又，∴数列是从第2项起的等比数列，即当时，．．
(2)若选择①：，
．
若选择②，则③，④，
③-④得，．
预计2024年高考数列与不等关系仍会从作差法与利用求和结论进行放缩方向进行命制.
1．（2023秋·高三校考）若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互素，欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数k，且与k互素的正整数的个数，例如：，，，．下列说法正确的是（ ）
A． B．数列为递增数列
C． D．数列的前n项和为，则
【答案】ACD
【解析】与互素的正整数有，所以，故A正确；因为，所以数列不为递增数列，故B错误；与互素的正整数有，共有个，所以，因为，
所以，所以，两式相减得，所以，故D正确，
故选：ACD
2．（2022·陕西·模拟预测）已知等比数列为递增数列，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，证明：．
【答案】(1),(2)证明见解析
【解析】(1)解：由题意，，解得或，
因为等比数列为递增数列，所以，所以；
(2)解：由（1）知，
所以数列的前n项和为，①
，②
① ② 得，
所以，
又因为，所以，所以.
考点二 先放缩再求和
命题点一 由累加法及裂项求和
典例01 （2022·浙江·统考高考真题）已知数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，易得，依次类推可得
由题意，，即，
∴，
即，，，…，，
累加可得，即，
∴，即，,
又，
∴，，，…，，
累加可得，
∴，
即，∴，即；
综上：．
故选：B．
命题点二 由累乘法及裂项求和
典例01 （2021·浙江·统考高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，．
由
，即
根据累加法可得，，当且仅当时取等号，
，
由累乘法可得，当且仅当时取等号，
由裂项求和法得：
所以，即．
故选：A．
（1）处理累加累乘法求通项，注意递推公式的形式特点；
（2）注意检验是否符合
预计2024年高考数列与不等关系仍会从先放缩再求和方向进行命制
1．(2023·盐城质检)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，4Sn＝anan＋1(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列的前n项和为Tn，求证：【答案】(1)an＝2n，n∈N*,(2)证明见解析
【解析】(1)解　∵4Sn＝anan＋1，n∈N*，
∴4a1＝a1·a2，又a1＝2，∴a2＝4，
当n≥2时，4Sn－1＝an－1an，得4an＝anan＋1－an－1an.
由题意知an≠0，∴an＋1－an－1＝4，
∴数列{an}的奇数项与偶数项分别为等差数列，公差都为4，
∴a2k－1＝2＋4(k－1)＝2(2k－1)，
a2k＝4＋4(k－1)＝2·2k，
∴该数列是等差数列，首项为2，公差为2.
综上可知，an＝2n，n∈N*.
(2)证明　∵＝>＝，
∴Tn＝＋＋…＋>
＝＝.
又∵＝<＝＝.
∴Tn＝＋＋…＋
<＝<.
即得2．（2023秋·高三校考）设数列的前项之积为，且满足．
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)记，证明：．
【答案】(1)证明见解析，；(2)证明见解析
【解析】（1）方法一：当，得，当时，①②
两式相除可得：即，又，
故，变形为：，因为，所以是以为首项，1为公差的等比数列．所以化简可得
法二：因为，，所以即
令，则，所以以3为首项，以2为公差的等差数列，
所以，即，所以．又因为满足上式，
所以，所以，故，
故数列是等差数列．
（2）
因为，
所以
考点三 恒成立问题
典例01 （2021·浙江·高考真题）已知数列的前n项和为，，且.
（1）求数列的通项；
（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）当时，，
，
当时，由①，
得②，①②得
，
又是首项为，公比为的等比数列，
；
（2）由，得，
所以，
，
两式相减得
，
所以，
由得恒成立，
即恒成立，
时不等式恒成立；
时，，得；
时，，得；
所以.
典例02 (2022年浙江省高考数学试题·第20题) 已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．
(1)若，求；
(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．
【答案】(1),(2)
【解析】(1)因为，
所以，
所以，又，
所以，
所以，
所以，
(2)因为，，成等比数列，
所以，
，
，
由已知方程的判别式大于等于0，
所以，
所以对于任意的恒成立，
所以对于任意的恒成立，
当时，，
当时，由，可得
当时，，
又
所以
预计2024年高考数列与不等关系仍会从恒成立问题方向进行命制.
1.（2022·江西鹰潭·一模）已知正项数列的首项，前n项和满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前n项和为，若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)；(2)或.
【解析】(1)当时，，
∴，即，又，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，故，
又由（），
当时，也适合，所以.
(2)∵，
∴，
又∵对任意的，不等式恒成立，，
∴，解得或.即所求实数的范围是或.
2.（2022·重庆）数列满足：，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，为数列的前n项和，若恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)，(2)或
【解析】(1)解：当，，①
，，②
①－②得（*）
在①中令，得，也满足（*），所以，，
(2)解：由（1）知，，
故，
于是，
因为随n的增大而增大，
所以，解得或
所以实数m的取值范围是或.
（★精选9道最新名校模拟考试题+8道易错提升）
1．（2023 甲卷（理）改编）已知数列中，，设为前项和，．
若数列的前项和，则若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当时，，解得，
当时，，
，，
当时，可得，
，
当或时，，适合上式，
的通项公式为；
由可得，
，，
，
，所以
故选：C.
2．（2023·高三校考）已知数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得，因为对任意的，不等式恒成立，所以，解得或.
故选：A.
3．（2023秋·湖南长沙·高三长郡中学月考）（多选）已知数列满足，数列满足，记数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A. 数列是等差数列 B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】因为，所以，
所以，且，
所以数列是等差数列，且该数列的首项为1，公差为，
所以，所以选项AB正确；
因为，所以，
所以，
所以
，所以选项C正确，D错误．
故选：ABC．
4.（2023·云南·统考一模改编）记数列的前n项和为，且，设m为整数，且对任意，，则m的最小值为___________．
【答案】7
【解析】因为，所以，
当时，，故，
且不满足上式，
故数列的通项公式为
设，则，
当时，，
故，
于是．
整理可得，所以，
又，所以符合题设条件的m的最小值为7．
故答案为：7
5．（2023秋·高三校考）黎曼猜想由数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出，是至今仍未解决的世界难题.黎曼猜想涉及到很多领域的应用，有些数学家将黎曼猜想的攻坚之路趣称为：“各大行长躲在银行保险柜前瑟瑟发抖，不少黑客则潜伏敲着键盘蓄势待发”.黎曼猜想研究的是无穷级数，我们经常从无穷级数的部分和入手.已知正项数列的前项和为，且满足，则______（其中表示不超过的最大整数）.
【答案】38
【解析】当时，，，，∵，∴，
当时，，∴，，
∴，∴是以1为首项，公差为1的等差数列，∴，
∵，∴，∴，，即，
又时，，即，
令，，
，即，从而.
故答案为：38
6．（2023秋·高三校考）若数列的前项和为，，则称数列是数列的“均值数列”.已知数列是数列的“均值数列”且通项公式为，设数列的前项和为，若对一切恒成立，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】由题意，数列的前项和为，由“均值数列”的定义可得，所以，
当时，；
当时，，
也满足，所以，
所以，
所以，
又对一切恒成立，
所以，整理得，解得或.
即实数的取值范围为.
故答案为：
7.（2023·安徽马鞍山·统考三模）已知数列中，，是数列的前项和，数列是公差为1的等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：．
【答案】(1)，(2)证明见解析
【解析】（1）因为数列是首项为2，公差为的等差数列，
所以，则，得（），
两式相减得：，则，
（），
又适合上式，故．
另解：由得（），
故为常数列，
则，故．
（2）由（1）得，
所以，
则.
8.（2023·广东揭阳·校考模拟预测）已知数列、满足，，，
(1)求证：为等差数列，并求通项公式；
(2)若，记前n项和为，对任意的正自然数n，不等式恒成立，求实数的范围．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）∵，，两边同除以得：
，从而，，
是首项为1，公差为1的等差数列，，
∴；
（2）由，，
∴，∴，
∴，
∴，
，
两式相减得，，
∴
＝，
中每一项，为递增数列，∴，
∵，∴，
，
9．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知数列的前项和为，若（为非零常数），且.
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前项和，并证明：.
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】(1)数列的前项和为 时, ,解得0 ①
当时， ②①-②得 ,则即 (常数)
所以数列是以为首项,为公比的等比数列.则
又，则，所以或（舍）故.
(2)由于所以=
则
因为，所以，所以
又所以随的增大而减小
所以当时，取得最大值故
1．（2022秋·江苏南通·高三期末改编）设数列首项，前n项和为，且满足，则满足的所有n的和为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】A
【解析】由，得，
两式相减得，
则，
当时，，所以，
所以数列是以为首项为公比的等比数列，
则，，
故，
由，得，
所以，所以或5，
即所有n的和为.
故选：A
2．（2023秋·高三校考）已知数列的前n项和为，且，，则使得成立的n的最小值为（ ）
A．32 B．33 C．44 D．45
【答案】D
【解析】①，当时，②，两式相减得，
当为奇数时，为等差数列，首项为4，公差为4，所以，
中，令得，故，故当为偶数时，为等差数列，首项为2，公差为4，所以，所以当为奇数时，，
当为偶数时，，
当为奇数时，令，解得，当为偶数时，令，解得，
所以成立的n的最小值为.
故选：D
3.（2023·广东肇庆·统考二模）设数列的前项和为，且.若对任意的正整数，都有成立，则满足等式的所有正整数为（ ）
A．1或3 B．2或3 C．1或4 D．2或4
【答案】A
【解析】，
时，，
相减可得：，即
又时，，解得，满足，
数列是首项为1，公比为3的等比数列，所以．
对任意正整数n，都有成立，
得①，
又②，
②－①×3得：，
又，所以，得，
进而，
由，得，即，
记，则，
以下证明时，，
因为，
即时，单调递减，，
综上可得，满足等式的所有正整数的取值为1或3．
故选：A．
4．（2023秋·高三学校联考改编）（多选）已知数列的首项为,数列的前项和小于实数，则的取值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】当时，，即.所以当为奇数时，是常数列.又，
所以当为奇数时，，即，当为偶数时，，所以当时，.
设，则，故的前项和为
，当趋向于无穷大时，前和趋向于.所以的最小值为.
故选：AC.
5.（2023秋·高三校考）（多选）已知数列的前项和满足，，且，，数列的前项和为，则（ ）
A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C． D．
【答案】AD
【解析】对于A项， 由，得，两式相减，得，整理可得，所以，故A正确；对于B项，当时，，解得，所以，
所以数列是首项为3，公比为3的等比数列，所以，所以，所以，，显然数列不是等比数列，故B错误；对于C项，由B知，，所以，故C错误；
对于D项，，所以，故D正确.
故选：AD.
6．（2023秋·高三校考）记数列的前项和为，已知，且.若，则实数的取值范围为________.
【答案】
【解析】当时，，解得.所以.
因为，
则，
两式相减，可得，
即，
则.两式相减，
可得.
所以数列是首项为3，公差为2的等差数列，
所以，则.
令，则.
当时，，数列单调递减，
而，，，
故，即实数的取值范围为.
故答案为：。
7.（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知数列前项和，数列满足为数列的前项和．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】当时，；当时，，将代入上式，可得，则；
，
，
代入不等式，可得，整理可得，
当为偶数时，不等式为，
令，，
当时，，则在上单调递增，
由于，故，此时；
当为奇数时，不等式为，
令，（为奇数且），易知在单调递增，则，此时，
综上所述，.
故答案为：
8．（2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市八中校考开学考试）已知数列的前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】（1）因为，则化为，
即，所以，所以是首项为，公差为的等差数列，
所以，解得，
当时，，
不满足上式，
所以.
（2）结合（1）得，，
所以，
因为，所以．
9.（2023秋·高三校考）已知数列前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和；
(3)恒成立，求实数的范围.
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】（1）时，有，时有，
又，也符合上式，
故数列是首项为1，公比为2的等比数列，.
（2）由（1）知，
，①
，② 由①-②有：
（3），记则
所以当时，，即，当时，，即
所以当时，有最大值，故实数的范围为专题05 数列
第三讲 数列与不等关系
01专题网络·思维脑图（含基础知识梳理、常用结论与技巧）
02考情分析·解密高考
03高频考点·以考定法
考点一 作差法与先求和再放缩
命题点1 并项求和
命题点2 裂项求和
命题点3 错位相减求和
考点二 先放缩再求和
命题点1由累加法及裂项求和
命题点2 由累乘法及裂项求和
考点三 恒成立问题
04创新好题·分层训练（★精选9道最新名校模拟考试题+8道易错提升）
02考情分析·解密高考
数列作为高考必考题，高考题型一般作为客观题、解答题出现，数列与不等关系经常在考题中出现。
高考要求：证明数列不等式，有时需要应用放缩法结合数列的求和解决，求解的方法有先放缩再求和或先求和再放缩；数列中的不等式问题需要掌握常见的三种方法：（1）分离参数法，（2）单调性法，（3）最值（有界性）法。
考点 考向 考题
数列 证明数列不等式 2023年新课标全国Ⅱ卷T18，2022新高考全国I卷·T17，2021年新课标全国Ⅰ卷·T16、T17，2021年新高考全国Ⅱ卷T12、T17，2020年高考课标ⅢT17卷，2020·全国Ⅱ·理·T4、T6，2019·全国Ⅰ·T9
考点一 作差法与利用求和结论进行放缩
命题点1 并项求和
典例01 【2023年新高考2卷18】已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
典例02 (2021年新高考全国Ⅱ卷·第17题) 记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
(1)求数列的通项公式；
(2)求使成立的n的最小值．
对于分段数列求和需要对n分奇偶性讨论，证明数列不等式可以通过作差法进行证明。
命题点2 裂项相消求和
典例01 (2022新高考全国I卷·第17题) 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
命题点3 错位相减求和
典例01 （2022·安徽合肥·二模）记为数列的前项和，已知，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列满足________，记为数列的前项和，证明：．
从① ②两个条件中任选一个，补充在第（2）问中的横线上并作答.
预计2024年高考数列与不等关系仍会从作差法与利用求和结论进行放缩方向进行命制.
1．（2023秋·高三校考）若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互素，欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数k，且与k互素的正整数的个数，例如：，，，．下列说法正确的是（ ）
A． B．数列为递增数列
C． D．数列的前n项和为，则
2．（2022·陕西·模拟预测）已知等比数列为递增数列，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，证明：．
考点二 先放缩再求和
命题点一 由累加法及裂项求和
典例01 （2022·浙江·统考高考真题）已知数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
命题点二 由累乘法及裂项求和
典例01 （2021·浙江·统考高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ ）
A． B． C． D．
（1）处理累加累乘法求通项，注意递推公式的形式特点；
（2）注意检验是否符合
预计2024年高考数列与不等关系仍会从先放缩再求和方向进行命制
1．(2023·盐城质检)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，4Sn＝anan＋1(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列的前n项和为Tn，求证：2．（2023秋·高三校考）设数列的前项之积为，且满足．
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)记，证明：．
考点三 恒成立问题
典例01 （2021·浙江·高考真题）已知数列的前n项和为，，且.
（1）求数列的通项；
（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
典例02 (2022年浙江省高考数学试题·第20题) 已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．
(1)若，求；
(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．
预计2024年高考数列与不等关系仍会从恒成立问题方向进行命制.
1.（2022·江西鹰潭·一模）已知正项数列的首项，前n项和满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前n项和为，若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围.
2.（2022·重庆）数列满足：，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，为数列的前n项和，若恒成立，求实数m的取值范围．
（★精选9道最新名校模拟考试题+8道易错提升）
1．（2023 甲卷（理）改编）已知数列中，，设为前项和，．
若数列的前项和，则若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·高三校考）已知数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
3．（2023秋·湖南长沙·高三长郡中学月考）（多选）已知数列满足，数列满足，记数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A. 数列是等差数列 B.
C. D.
4.（2023·云南·统考一模改编）记数列的前n项和为，且，设m为整数，且对任意，，则m的最小值为___________．
5．（2023秋·高三校考）黎曼猜想由数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出，是至今仍未解决的世界难题.黎曼猜想涉及到很多领域的应用，有些数学家将黎曼猜想的攻坚之路趣称为：“各大行长躲在银行保险柜前瑟瑟发抖，不少黑客则潜伏敲着键盘蓄势待发”.黎曼猜想研究的是无穷级数，我们经常从无穷级数的部分和入手.已知正项数列的前项和为，且满足，则______（其中表示不超过的最大整数）.
6．（2023秋·高三校考）若数列的前项和为，，则称数列是数列的“均值数列”.已知数列是数列的“均值数列”且通项公式为，设数列的前项和为，若对一切恒成立，则实数的取值范围为______．
7.（2023·安徽马鞍山·统考三模）已知数列中，，是数列的前项和，数列是公差为1的等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：．
8.（2023·广东揭阳·校考模拟预测）已知数列、满足，，，
(1)求证：为等差数列，并求通项公式；
(2)若，记前n项和为，对任意的正自然数n，不等式恒成立，求实数的范围．
9．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知数列的前项和为，若（为非零常数），且.
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前项和，并证明：.
1．（2022秋·江苏南通·高三期末改编）设数列首项，前n项和为，且满足，则满足的所有n的和为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
2．（2023秋·高三校考）已知数列的前n项和为，且，，则使得成立的n的最小值为（ ）
A．32 B．33 C．44 D．45
3.（2023·广东肇庆·统考二模）设数列的前项和为，且.若对任意的正整数，都有成立，则满足等式的所有正整数为（ ）
A．1或3 B．2或3 C．1或4 D．2或4
4．（2023秋·高三学校联考改编）（多选）已知数列的首项为,数列的前项和小于实数，则的取值可以为（ ）
A． B． C． D．
5.（2023秋·高三校考）（多选）已知数列的前项和满足，，且，，数列的前项和为，则（ ）
A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C． D．
6．（2023秋·高三校考）记数列的前项和为，已知，且.若，则实数的取值范围为________.
7.（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知数列前项和，数列满足为数列的前项和．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为______．
8．（2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市八中校考开学考试）已知数列的前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
9.（2023秋·高三校考）已知数列前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和；
(3)恒成立，求实数的范围.

展开更多......

收起↑