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专题06 立体几何
第二讲 圆锥曲线中的定点、定直线与定值问题
01专题网络·思维脑图（含基础知识梳理、常用结论与技巧）
02考情分析·解密高考
03高频考点·以考定法
考点一 定点、定直线问题
考点二 定值问题
04创新好题·分层训练（★精选9道最新名校模拟考试题+8道易错提升）
02考情分析·解密高考
圆锥曲线作为高考必考题，高考题型一般作为客观题、解答题出现，圆锥曲线中的定点与定值问题经常在考题中出现。
高考要求：.（1）理解、掌握圆锥曲线的定点问题及其相关计算；（2）理解、掌握圆锥曲线的定值问题，
会定值相关的计算
考点 考向 考题
圆锥曲线 方程与性质 2023新高考全国ⅠT16 ,2023新高考全国ⅡT16,2023全国乙T12,2023全国甲T9,2022新高考全国ⅠT16,2022新高考全国ⅡT16,2022全国甲卷T15,2022全国乙卷T11,2021全国乙卷T14, 2021全国甲卷T5 ,2021全国ⅠT5,2021全国ⅡT13, T20,2020新高考全国ⅠT9 、T20,2020新高考全国ⅡT10、T21
考点一 定点、定直线问题
典例01 （2023·全国·统考高考真题）已知椭圆的离心率是，点在上．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．
【答案】(1)(2)证明见详解
【解析】（1）由题意可得，解得，
所以椭圆方程为.
（2）由题意可知：直线的斜率存在，设，
联立方程，消去y得：，
则，解得，
可得，
因为，则直线，
令，解得，即,
同理可得，
则
，
所以线段的中点是定点.

典例02 （2023年新高考2卷21）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.
【答案】(1)，(2)证明见解析.
【解析】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知，
则由可得，，
双曲线方程为.
（2）由(1)可得，设，
显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且，
与联立可得，且，
则，

直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得：
，
由可得，即，
据此可得点在定直线上运动.
典例03 （2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（九省联考）数学试题）已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，过与垂直的直线交于两点，其中在轴上方，分别为的中点．
（1）证明：直线过定点；
（2）设为直线与直线的交点，求面积的最小值．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】（1）【方法一】：由，故，由直线与直线垂直，
故两只直线斜率都存在且不，
设直线、分别为、，有，
、、、，
联立与直线，即有，
消去可得，，
故、，
则，
故，，
即，同理可得，
当时，
则，
即
，
由，即，
故时，有，
此时过定点，且该定点为，
当时，即时，由，即时，
有，亦过定点，
故直线过定点，且该定点为；
【方法二】：设，，不妨设．
设，则．由，得，
故，，，．
所以．
同理可得．
若，则直线，MN过点．
若，则直线，MN过点．
综上，直线MN过定点．
（2）法1：由、、、，
则，由、，
故，
同理可得，联立两直线，即，
有，
即，
有，由，同理，
故
，
故，
过点作轴，交直线于点，则，
由、，
故，
当且仅当时，等号成立，
下证：
由抛物线的对称性，不妨设，则，
当时，有，则点在轴上方，点亦在轴上方，
有，由直线过定点，
此时，
同理，当时，有点在轴下方，点亦在轴下方，
有，故此时，
当且仅当时，，
故恒成立，且时，等号成立，
故，
法2：设H为AD的中点，S为直线GM与AD的交点．
由M，H分别为AB，AD的中点知，所以，故．
设T为直线GN与AD的交点，同理可得．
所以．
由（1）中的法2可得，同理可得．
所以，
当且仅当时等号成立．
因此的面积的最小值为8．
求定点、定值问题常见的方法有两种：
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值。
预计2024年高考数列与不等关系仍会从作差法与利用求和结论进行放缩方向进行命制.
1．（2023·湖北襄阳·高三校考）过抛物线内部一点作任意两条直线，如图所示，连接延长交于点，当为焦点并且时，四边形面积的最小值为32

(1)求抛物线的方程；
(2)若点，证明在定直线上运动，并求出定直线方程.
【答案】(1)；(2)证明见解析，
【解析】（1）解：设，
设直线，联立方程组，整理得，
可得，
所以，
同理可得，
所以，当且仅当时取等号，
所以，所以抛物线的方程为.
（2）解：当为时，，
由共线，可得，可得 ①，
同理由共线 ②
又由共线，可得，所以 ③
同理由共线，可得 ④
由①③得，
即 ⑤
又由②④得，
即 ⑥
由⑤⑥得，
即，即，所以在上.

2．（2023·浙江·高三校联考）已知点，在椭圆 上.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于两个不同的点（异于），过作轴的垂线分别交直线于点，当是中点时，证明．直线过定点.
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】（1）由题知，又椭圆经过，代入可得，解得，
故椭圆的方程为：
（2）
由题意知，当轴时，不符合题意，故的斜率存在，设的方程为，
联立消去得，
则，
即
设 ，，，
的方程为，令得，
的方程为，令得，
由是中点，得，即，
即，
即，
即，所以 ，
得或，
当，此时由，得，符合题意；
当，此时直线经过点，与题意不符，舍去.
所以的方程为，即，
所以过定点.
考点二 定值问题
典例01 （2020年山东卷22）已知椭圆C：的离心率为，且过点A（2，1）．
（1）求C的方程：
（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
【答案】（1）；（2）详见解析.
【解析】(1)由题意可得：，解得：，故椭圆方程为：.
(2)设点.
因为AM⊥AN，∴，即,①
当直线MN的斜率存在时，设方程为,如图1.
代入椭圆方程消去并整理得：,
②,
根据,代入①整理可得：
将②代入，，
整理化简得,
∵不在直线上，∴，
∴，
于是MN的方程为，
所以直线过定点直线过定点.
当直线MN的斜率不存在时，可得,如图2.
代入得,
结合,解得,
此时直线MN过点,
由于AE为定值，且△ADE为直角三角形，AE为斜边，
所以AE中点Q满足为定值（AE长度的一半）.
由于，故由中点坐标公式可得.
故存在点，使得|DQ|为定值.
典例02 （2021年新高考1卷21改编）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，证明直线的斜率与直线的斜率之和为定值.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）因为，
所以，轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，
设轨迹的方程为，则，可得，，
所以，轨迹的方程为；
（2）设点，若过点的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线无公共点，
不妨直线的方程为，即，
联立，消去并整理可得，
设点、，则且.
由韦达定理可得，，
所以，，
设直线的斜率为，同理可得，
因为，即，整理可得，
即，显然，故.
因此，直线的斜率与直线的斜率之和为定值.
典例03 （北京·统考高考真题）已知椭圆过点，且．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）过点的直线l交椭圆C于点,直线分别交直线于点．求的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1.
【解析】(Ⅰ)设椭圆方程为：，由题意可得：
，解得：，
故椭圆方程为：.
(Ⅱ)设，，直线的方程为：，
与椭圆方程联立可得：，
即：，
则：.
直线MA的方程为：，
令可得：，
同理可得：.
很明显，且，注意到，
，
而
，
故.
从而.
（1）处理累加累乘法求通项，注意递推公式的形式特点；
（2）注意检验是否符合
预计2024年高考数列与不等关系仍会从先放缩再求和方向进行命制
1．（2023·福建厦门·厦门一中校考三模）已知点，关于坐标原点对称，，过点，且与直线相切，若存在定点，使得当运动时，为定值，则点的坐标为 .
【答案】
【解析】为圆的一条弦，是弦的中点，所以圆心在线段的中垂线上，
设，因为与直线相切，所以的半径为，
因为，所以，
因为，即，
化简得的轨迹方程为.
因为曲线：是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，
若为焦点，则.
因为，
所以存在满足条件的定点，其坐标为.
故答案为：.

2.（2024·高三校考）在椭圆：（）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆：上，称此圆为椭圆的蒙日圆.椭圆过，.
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆的蒙日圆上一点，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点，若，存在，证明：为定值.
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】（1）将，代入到，
可得，解得，，
所以椭圆的方程为：.
（2）由题意可知，蒙日圆方程为：.
（ⅰ）若直线斜率不存在，则直线的方程为：或.
不妨取，易得，，，，
.
（ⅱ）若直线斜率存在，设直线的方程为：.
联立，化简整理得：，
据题意有，于是有：.
设（），（）.
化简整理得：，
，
，.
则
，
，所以.
综上可知，为定值.

（★精选9道最新名校模拟考试题+8道易错提升）
1．（2023·高三校考）设F为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆C交于两点,设直线的斜率分别为，，则为（ ）
A．-1 B．1 C．4 D．-4
【答案】B
【解析】设，设直线，代入椭圆方程可得：.
所以.故
.又均不为0，故，即为定值
故选：B.
2．（2023·高三校考）若AB是过椭圆中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM BM与两坐标轴均不平行，kAM kBM分别表示直线AM BM的斜率，则kAM·kBM=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，，，，则，，则,，在椭圆上，，，两式相减得，即，所以，所以，
即.
故选：B.
3．（2023秋·高三校考）（多选）已知为坐标原点，过点作两条直线分别与抛物线：相切于点、，的中点为，则下列结论正确的是（ ）
A．直线过定点；
B．的斜率不存在；
C．轴上存在一点，使得直线与直线关于轴对称；
D．、两点到抛物线准线的距离的倒数和为定值.
【答案】BCD
【解析】设，，∵，∴，∴过点的切线方程为，即，∴，同理过点的切线方程为，将分别代入上式，得，，∴直线的方程为，∴直线过定点，故A错误；
联立方程得：，，则，，∴点的横坐标为，∴轴，故B正确；
设，由题意得，，设直线、的斜率分别为、，
则，当时，，即直线与直线关于轴对称，故C正确；
∵点到准线的距离为，点到准线的距离为，
∴，D选项正确，不符合题意.
故选:BCD
4.（2024·高三校考）已知点为椭圆上任一点,点是抛物线的准线上的任意一点，以为直径的圆过原点，试判断=_____________
【答案】为定值，且定值为1．
【解析】抛物线的标准方程为，其准线方程为：，
设，，
因为以为直径的圆过原点，所以，所以，
所以，即，
所以，
又因为，，
所以，
所以为定值，且定值为1．
故答案为:1
5．（2023·高三校考）已知双曲线，点，在双曲线上任取两点、满足，则直线恒过定点__________；
【答案】
【解析】设的方程为,则由.
设,则是该方程的两根,∴,.
又,,故,∴,
又,,∴,
代入,得：
整理得：,∴,
∴或.当时,过与题意不符,故舍去。当时,过定点.
故答案为:
6．（2023·山西吕梁·统考二模改编）已知抛物线：过点，，是抛物线上的两个动点，直线的斜率与直线的斜率之和为4，则直线恒过定点__________．
【答案】
【解析】坐标代入抛物线方程得，解得，
∴抛物线方程为．
显然直线斜率不为0，故可设：，将的方程与联立得，
设，，则，，
所以，
，同理：，
由题意：，
∴，
∴，即，
代入直线得，
故直线恒过定点．

7.（2023·安徽马鞍山·统考三模）已知椭圆：（）的离心率为，其左 右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，面积的最大值为1.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知，过点的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，与轴的交点分别为，，证明：以为直径的圆过定点.
【答案】(1)，(2)证明见解析
【解析】(1)解：因为椭圆的离心率为，所以.又当位于上顶点或者下顶点时，面积最大，即.
又，所以，.所以椭圆的标准方程为.
(2)解：由题知，直线的斜率存在，所以设直线的方程为，设，，将直线代入椭圆的方程得：，由韦达定理得：，，
直线的方程为，直线的方程为，所以，，
所以以为直径的圆为，整理得：.①因为，
令①中的，可得，所以，以为直径的圆过定点.
8.（2023·江苏淮安·高三校考）已知椭圆右焦点分别为，是上一点，点与关于原点对称，的面积为.
(1)求的标准方程；
(2)直线，且交于点，，直线与交于点.
证明：①直线与的斜率乘积为定值；
②点在定直线上.
【答案】(1)(2)①证明见解析；②证明见解析
【解析】（1）设为，，
则，即，
又点在曲线上，∴，
将代入，整理得，，
解得，，
∴椭圆的标准方程为.
（2）①设，，直线方程为：，，
联立直线与椭圆方程，消去得，
当，即且时，
，，
∴，
，
∴，
.
②直线方程为：，即，
直线的方程为，即，
联立直线与直线方程得，
∴，，
∴.
∴，即点在定直线上.

9．（江苏省苏锡常镇四市2023届高三下学期3月教学情况调研（一）改编）已知直线与抛物线交于两点，，与抛物线交于两点，，其中A，C在第一象限，B，D在第四象限，设，的面积分别为，，（O为坐标原点），若，证明为定值
【答案】
【解】（1）设，，，，其中，，
设，联立，整理得，
则，，
，
解得，则.
（2）设，①联立，整理得，
则，，
联立，整理得，则，，
则，即证.
②，
则，
，
其中，，解得，
则，，，则，所以为定值
1．（2023秋·高三校考）过原点的直线与双曲线交于A,B两点，点P为双曲线上一点，若直线PA的斜率为2，则直线PB的斜率为（ ）
A．4 B．1 C． D．
【答案】C
【解析】由题意可设，，，
则，，即有，即，
由，，可得，
因为，所以.
故选：C.
2．（2024·高三校考）设抛物线：的焦点为，点是抛物线上一点，且．
设直线与抛物线交于、两点，若（为坐标原点）．则直线过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵是抛物线上一点，且．∴，
解得，即抛物线的方程为.
设直线的方程为，，，
由消去得，则，．
因为，所以，即．
化简得．由得，所以直线的方程为，
所以直线经过定点．
故选:C
3.（2024·高三校考）已知离心率为的椭圆内有个内接三角形，为坐标原点，边的中点分别为，直线的斜率分别为，且均不为0，若直线斜率之和为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得，所以不妨设为.设，，，，，，，两式作差得，则，，同理可得，所以，
故选：C.
4．（2023秋·高三学校联考改编）（多选）已知为坐标原点，过点作两条直线分别与抛物线：相切于点、，的中点为，则下列结论正确的是（ ）
A．直线过定点；
B．的斜率不存在；
C．轴上存在一点，使得直线与直线关于轴对称；
D．、两点到抛物线准线的距离的倒数和为定值.
【答案】BCD
【解析】设，，∵，∴，∴过点的切线方程为，即，∴，同理过点的切线方程为，将分别代入上式，得，，∴直线的方程为，∴直线过定点，故A选项错误，符合题意；
联立方程得：，，则，，∴点的横坐标为，∴轴，故B选项正确，不符合题意；设，由题意得，，设直线、的斜率分别为、，
则，当时，，即直线与直线关于轴对称，C选项正确，不符合题意；∵点到准线的距离为，点到准线的距离为，
∴，D选项正确，不符合题意.
故选：BCD
5.（2023秋·高三校考）（多选）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点（点在第一象限），为线段的中点.若，则下列说法正确的是（ ）
A. 抛物线的准线方程为
B. 过两点作抛物线的切线，两切线交于点，则点在以为直径的圆上
C. 若为坐标原点，则
D. 若过点且与直线垂直的直线交抛物线于，两点，则为定值
【答案】BD
【解析】对于A：由已知设过点的直线方程为，，
联立方程，消去得，
可得，
又因为，所以，
则，解得,
所以抛物线方程为，准线方程为，A错误；
对于B：抛物线，即，，
易得，
所以，
故直线垂直，所以点在以为直径的圆上，B正确；
对于C：由A项知，抛物线，直线的方程为，
，
联立方程，消去得，
可得，，
，
解得，
所以，
所以，
所以，即，
所以，C错误；
对于D：由C选项知，，
因为直线垂直于直线，
所以
则，D正确.
故选：BD.
6．（江苏省苏锡常镇四市2022-2023学年高三下学期5月教学情况调研（二））已知双曲线：的渐近线为，右焦点到渐近线的距离为，设是双曲线：上的动点，过的两条直线，分别平行于的两条渐近线，与分别交于P，Q两点.
(1)求的标准方程：
(2)证明：直线PQ过定点，并求出该定点的坐标.
【答案】(1)(2)证明见解析，定点.
【解析】（1）解：因为的渐近线方程为，所以，所以.
又右焦点到渐近线的距离为，所以，得.
又因为，所以，所以.
所以双曲线的标准方程为；
（2）解：由（1）可知的方程为，
设，所以有，
过点作与平行的直线分别与双曲线交于点，
由，得，
整理得，所以，
由于，故，
则，故，
所以.
同理可得.
所以直线：恒过定点.
7.（2024·高三校考）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆：过点，离心率为，其左右焦点分别为，．
(1)若点P与，的距离之比为，求直线被点P所在的曲线截得的弦长；
(2)设，分别为椭圆的左、右顶点，Q为上异于，的任意一点，直线，分别与椭圆的右准线交于点M，N，求证：以为直径的圆经过x轴上的定点．
【答案】(1)；(2)证明见解析
【解析】（1）因为椭圆：过点，所以．
又因为离心率，即，故，
所以，即，所以，则，．
设，则，即，
所以点的轨迹为圆心，半径的圆．

其圆心到直线的距离为，
所以弦长．
故直线被点P所在的曲线截得的弦长为.
（2）证明：由（1）知，所以，，右准线．
设，，
由：，则，
同理．
假设轴上存在点在以为直径的圆上，则
因为
，
因为Q点在椭圆上，所以，即，
所以，即，解得或，
点和都满足题意.

所以以MN为直径的圆经过x轴上的定点和
8．（2023秋·高三校考）已知是圆上一动点，定点，线段的垂直平分线与直线交于点，记点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)若直线与曲线恰有一个共点，且与直线，分别交于、两点，的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）由可知，，
因为线段的垂直平分线与直线交于点，
，所以或，
所以，所以，
所以，
所以由双曲线的定义可知，点的轨迹是以、为焦点的双曲线，
所以点的方程为．

（2）设直线斜率为，设直线方程为，
因为与直线，分别交于、两点，所以，
联立方程组得，
因为，所以，
因为直线与曲线恰有一个公共点，所以直线与曲线相切，
由，得，
联立方程组得.
不直线与的交点为，则.
同理可求，所以.
因为原点到直线的距离，
所以，又因为，所以，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，又渐近线方程为：，
此时，.
故的面积为定值，且定值为.

9.（2023秋·高三校考）设抛物线的焦点为，动直线与抛物线交于，两点，且当时，.
(1)求抛物线的方程；
(2)连接，并延长分别交抛物线于两点，，设直线的斜率为，直线的斜率为，求证：是定值，并求出该值.
【答案】(1)(2)证明见解析，
【解析】（1）联立，得，
则，设，则，
当时，，
所以，
解得或(舍)，
故抛物线的方程为.
（2）由题意知,由（1）得，且，
设直线,
联立，得，
则，所以，所以，
同理可得，，所以,
所以，
又，所以,即是定值，且定值为.专题06 立体几何
第二讲 圆锥曲线中的定点、定直线与定值问题
01专题网络·思维脑图（含基础知识梳理、常用结论与技巧）
02考情分析·解密高考
03高频考点·以考定法
考点一 定点、定直线问题
考点二 定值问题
04创新好题·分层训练（★精选9道最新名校模拟考试题+8道易错提升）
02考情分析·解密高考
圆锥曲线作为高考必考题，高考题型一般作为客观题、解答题出现，圆锥曲线中的定点与定值问题经常在考题中出现。
高考要求：.（1）理解、掌握圆锥曲线的定点问题及其相关计算；（2）理解、掌握圆锥曲线的定值问题，
会定值相关的计算
考点 考向 考题
圆锥曲线 方程与性质 2023新高考全国ⅠT16 ,2023新高考全国ⅡT16,2023全国乙T12,2023全国甲T9,2022新高考全国ⅠT16,2022新高考全国ⅡT16,2022全国甲卷T15,2022全国乙卷T11,2021全国乙卷T14, 2021全国甲卷T5 ,2021全国ⅠT5,2021全国ⅡT13, T20,2020新高考全国ⅠT9 、T20,2020新高考全国ⅡT10、T21
考点一 定点、定直线问题
典例01 （2023·全国·统考高考真题）已知椭圆的离心率是，点在上．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．

典例02 （2023年新高考2卷21）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.
典例03 （2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（九省联考）数学试题）已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，过与垂直的直线交于两点，其中在轴上方，分别为的中点．
（1）证明：直线过定点；
（2）设为直线与直线的交点，求面积的最小值．
求定点、定值问题常见的方法有两种：
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值。
预计2024年高考数列与不等关系仍会从作差法与利用求和结论进行放缩方向进行命制.
1．（2023·湖北襄阳·高三校考）过抛物线内部一点作任意两条直线，如图所示，连接延长交于点，当为焦点并且时，四边形面积的最小值为32

(1)求抛物线的方程；
(2)若点，证明在定直线上运动，并求出定直线方程.
2．（2023·浙江·高三校联考）已知点，在椭圆 上.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于两个不同的点（异于），过作轴的垂线分别交直线于点，当是中点时，证明．直线过定点.
考点二 定值问题
典例01 （2020年山东卷22）已知椭圆C：的离心率为，且过点A（2，1）．
（1）求C的方程：
（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
典例02 （2021年新高考1卷21改编）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，证明直线的斜率与直线的斜率之和为定值.
典例03 （北京·统考高考真题）已知椭圆过点，且．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）过点的直线l交椭圆C于点,直线分别交直线于点．求的值．
（1）处理累加累乘法求通项，注意递推公式的形式特点；
（2）注意检验是否符合
预计2024年高考数列与不等关系仍会从先放缩再求和方向进行命制
（2023·福建厦门·厦门一中校考三模）已知点，关于坐标原点对称，，过点，且与直线相切，若存在定点，使得当运动时，为定值，则点的坐标为 .

2.（2024·高三校考）在椭圆：（）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆：上，称此圆为椭圆的蒙日圆.椭圆过，.
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆的蒙日圆上一点，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点，若，存在，证明：为定值.
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1．（2023·高三校考）设F为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆C交于两点,设直线的斜率分别为，，则为（ ）
A．-1 B．1 C．4 D．-4
2．（2023·高三校考）若AB是过椭圆中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM BM与两坐标轴均不平行，kAM kBM分别表示直线AM BM的斜率，则kAM·kBM=（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·高三校考）（多选）已知为坐标原点，过点作两条直线分别与抛物线：相切于点、，的中点为，则下列结论正确的是（ ）
A．直线过定点；
B．的斜率不存在；
C．轴上存在一点，使得直线与直线关于轴对称；
D．、两点到抛物线准线的距离的倒数和为定值.
4.（2024·高三校考）已知点为椭圆上任一点,点是抛物线的准线上的任意一点，以为直径的圆过原点，试判断=_____________
5．（2023·高三校考）已知双曲线，点，在双曲线上任取两点、满足，则直线恒过定点__________；
6．（2023·山西吕梁·统考二模改编）已知抛物线：过点，，是抛物线上的两个动点，直线的斜率与直线的斜率之和为4，则直线恒过定点__________．
7.（2023·安徽马鞍山·统考三模）已知椭圆：（）的离心率为，其左 右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，面积的最大值为1.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知，过点的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，与轴的交点分别为，，证明：以为直径的圆过定点.
8.（2023·江苏淮安·高三校考）已知椭圆右焦点分别为，是上一点，点与关于原点对称，的面积为.
(1)求的标准方程；
(2)直线，且交于点，，直线与交于点.
证明：①直线与的斜率乘积为定值；
②点在定直线上.
9．（江苏省苏锡常镇四市2023届高三下学期3月教学情况调研（一）改编）已知直线与抛物线交于两点，，与抛物线交于两点，，其中A，C在第一象限，B，D在第四象限，设，的面积分别为，，（O为坐标原点），若，证明为定值
1．（2023秋·高三校考）过原点的直线与双曲线交于A,B两点，点P为双曲线上一点，若直线PA的斜率为2，则直线PB的斜率为（ ）
A．4 B．1 C． D．
2．（2024·高三校考）设抛物线：的焦点为，点是抛物线上一点，且．
设直线与抛物线交于、两点，若（为坐标原点）．则直线过定点（ ）
A． B． C． D．
3.（2024·高三校考）已知离心率为的椭圆内有个内接三角形，为坐标原点，边的中点分别为，直线的斜率分别为，且均不为0，若直线斜率之和为，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023秋·高三学校联考改编）（多选）已知为坐标原点，过点作两条直线分别与抛物线：相切于点、，的中点为，则下列结论正确的是（ ）
A．直线过定点；
B．的斜率不存在；
C．轴上存在一点，使得直线与直线关于轴对称；
D．、两点到抛物线准线的距离的倒数和为定值.
5.（2023秋·高三校考）（多选）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点（点在第一象限），为线段的中点.若，则下列说法正确的是（ ）
A. 抛物线的准线方程为
B. 过两点作抛物线的切线，两切线交于点，则点在以为直径的圆上
C. 若为坐标原点，则
D. 若过点且与直线垂直的直线交抛物线于，两点，则为定值
6．（江苏省苏锡常镇四市2022-2023学年高三下学期5月教学情况调研（二））已知双曲线：的渐近线为，右焦点到渐近线的距离为，设是双曲线：上的动点，过的两条直线，分别平行于的两条渐近线，与分别交于P，Q两点.
(1)求的标准方程：
(2)证明：直线PQ过定点，并求出该定点的坐标.
7.（2024·高三校考）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆：过点，离心率为，其左右焦点分别为，．
(1)若点P与，的距离之比为，求直线被点P所在的曲线截得的弦长；
(2)设，分别为椭圆的左、右顶点，Q为上异于，的任意一点，直线，分别与椭圆的右准线交于点M，N，求证：以为直径的圆经过x轴上的定点．
8．（2023秋·高三校考）已知是圆上一动点，定点，线段的垂直平分线与直线交于点，记点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)若直线与曲线恰有一个共点，且与直线，分别交于、两点，的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．

9.（2023秋·高三校考）设抛物线的焦点为，动直线与抛物线交于，两点，且当时，.
(1)求抛物线的方程；
(2)连接，并延长分别交抛物线于两点，，设直线的斜率为，直线的斜率为，求证：是定值，并求出该值.

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