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2023-2024学年苏州新区实验九年级下学期月考数学试题
本试卷由单选题、填空题和解答题三大题组成，共27题，满分130分，考试用时120分钟.
一、单选题（本题满分24分，共8小题，每小题3分）
1．的相反数是（ ）
A． B．5 C． D．
2．若把一个数用科学记数法表示后为，则这个数是（ ）
A． B． C．0.0000396 D．0.00000396
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．学校篮球队队员进行定点投篮训练，每人投篮10次，其中5名队员投中的次数分别是：6，7，6，9，8，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．6，6 B．7，6 C．6，7 D．7，8
5．将抛物线向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，是的外接圆，.过点作的垂线交于点，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．若一元二次方程无实数根，则二次函数的图象必经过第（ ）象限.
A．一、二象限 B．三、四象限 C．一、二、三象限 D．一、三、四象限
8．若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”.若关于的二次函数（，为常数，）总有两个不同的倍值点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题满分24分，共8小题，每小题3分）
9．函数在实数范围内有意义的条件是 .
10．分解因式： .
11．一个圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，则此圆锥的侧面积为 .
12．如图，抛物线与轴相交于点、点，与轴相交于点，点在抛物线上，当轴时， .
13．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，点的横坐标为2，点的横坐标为，则不等式的解集是 .
14．如图，点是双曲线在第一象限上的一动点，连接并延长交另一分支于点，以为斜边作等腰，点在第二象限，随着点的运动，点的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为 .
15．如图，等腰直角中，，，，是的中点，是边上的一点，连接，以为边作等腰直角，，，若，则线段的长为 .
16．如图，在中，是边的中点，连接，若，，则对角线的最大值为 .
三、解答题（本题满分82分，共11小题）
17．计算：
18．解不等式组，并把它们的解集表示在数轴上.
19．化简，从1，，2中选一个适合的数作为的值代入求值.
20．如图，在四边形中，，，，交于点，过点作，垂足为，且.
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的面积.
21．一个不透明的箱子里装有1个白色小球和若干个红色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到白色小球的频率稳定于0.25左右.
（1）请你估计箱子里红色小球的个数；
（2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）.
22．快递使我们的生活更加便捷，可以说，快递改变了我们的生活.为了解我国的快递业务情况，我们收集了2022年11月全国31个省的快递业务数量（单位：亿件）的数据，并对数据进行了整理、描述和分析，给出如下信息：
.2022年11月快递业务量排在前3位的省的数据分别为：275.2，225，74.8，
.其余28个省份2022年11月的快递业务数量的数据的频数分布图如图：
.2022年11月的快递业务数量的数据在这一组的是：10.3，11，15.5，16.3，17.8，根据以上信息，回答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）2022年11月的31个省的快递业务数量的中位数为 ；
（3）若设图中28个省份平均数为，方差为；设31个省份的平均数为，方差为，则 ， （填“”“”或“”）.
23．如图，直线与双曲线交于点.将直线向右平移4个单位长度后，与双曲线交于点，与轴交于点.
（1）若，则的值；
（2）在（1）的条件下，若点的横坐标为，求.
24．加强劳动教育，落实五育并举.某中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地.2024年计划将其中的土地全部种植甲乙两种蔬菜.经调查发现：甲种蔬菜种植成本（单位：元）与其种植面积（单位：）的函数关系如图所示，其中，乙种蔬菜的种植成本为50元.
（1）当为多少时，是35元；
（2）设2024年甲乙两种蔬菜总种植成本为元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使最小？
25．（本题满分8分）如图，是等腰三角形的外接圆，，延长到点，使，连接交于点，连接与交于点.
（1）判断是否平分，并说明理由；
（2）若，，求的长.
26．综合与实践：
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径.通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地.
（1）发现问题：如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点.则与的数量关系： ， ；
（2）类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点.请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点，，在一条直线上，过点作，垂足为点.则，，之间的数量关系： ；
（4）实践应用：正方形中，，若平面内存在点满足，，则 .
27．已知，是抛物线：（为常数）上的两点，当时，总有.
（1）求的值；
（2）将抛物线平移后得到抛物线：.
当时，探究下列问题：
①若抛物线与抛物线有一个交点，求的取值范围；
②设抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的顶点为点，外接圆的圆心为点.如果对抛物线上的任意一点，在抛物线上总存在一点，使得点的纵坐标相等.求长的取值范围.

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