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微专题06圆锥曲线中非对称韦达定理问题的处理
研考题·聚焦关键词
解析几何问题中的一些定值、定点、定线，经常出现需要证明类似（为常数），为定值的情形，通过直线代换可得：，但此时的式子并不能完全整理为韦达定理的形式，这种式子一般称为“非对称韦达定理”
题型一定直线
例1
【2023年新高考2卷21】
1．已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.
变式
2．已知点A、分别是椭圆：的上、下顶点，、是椭圆的左、右焦点，，．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线与椭圆交于不同两点、（、与椭圆上、下顶点均不重合），证明：直线、的交点在一条定直线上．
题型二定点
例2
（安徽省六校教育研究会2023-2024学年高三下学期下学期第二次素养测试（2月）数学试题）
3．已知点是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，记点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)若点，直线，过点的直线与交于两点，直线与直线分别交于点．证明：的中点为定点．
变式
【江苏省扬州市高邮中学2023届高考前热身训练（二）】
4．设直线与双曲线：的两条渐近线分别交于，两点，且三角形的面积为.
(1)求的值；
(2)已知直线与轴不垂直且斜率不为0，与交于两个不同的点，，关于轴的对称点为，为的右焦点，若，，三点共线，证明：直线经过轴上的一个定点.
题型三定值
例3
（湖南省2024届高三数学新改革提高训练一）
5．已知圆的方程,,，抛物线过两点，且以圆的切线为准线.
(1)求抛物线焦点的轨迹C的方程；
(2)已知， 设x轴上一定点， 过T的直线交轨迹C于 两点（直线与轴不重合），求证：为定值.
变式
【江苏省扬州中学2023届高三下学期模拟检测六】
6．已知双曲线的左、右焦点分别为，斜率为的直线l与双曲线C交于两点，点在双曲线C上，且.
(1)求的面积；
(2)若（O为坐标原点），点，记直线的斜率分别为，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
巩固能力·突破高分
（广东省潮州市2022届高三上学期期末数学试题）
7．已知椭圆的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线相切．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知点A，B为动直线y=k(x-2)(k≠0)与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点E，使得为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由．
8．已知双曲线的右顶点为，左焦点到其渐近线的距离为2，斜率为的直线交双曲线于A，B两点，且．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点的直线与双曲线交于P，Q两点，直线，分别与直线相交于，两点，试问：以线段为直径的圆是否过定点 若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
9．在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.
（江苏省徐州市第七中学2023届高三上学期一检）
10．已知双曲线的实轴长为4，左 右顶点分别为，经过点的直线与的右支分别交于两点，其中点在轴上方.当轴时，
(1)设直线的斜率分别为，求的值；
(2)若，求的面积.
11．已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)过作不平行于坐标轴的直线交于D，E两点，若轴于点M，轴于点N，直线DN与EM交于点Q.
①求证：点Q在一条定直线上，并求此定直线；
②求面积的最大值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)
(2)证明见解析.
【分析】
（1）由题意求得的值即可确定双曲线方程；
（2）设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线与的方程，联立直线方程，消去，结合韦达定理计算可得，即交点的横坐标为定值，据此可证得点在定直线上.
【详解】（1）
设双曲线方程为，由焦点坐标可知，
则由可得，，
双曲线方程为.
（2）
由(1)可得，设，
显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且，
与联立可得，且，
则，

直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得：
，
由可得，即，
据此可得点在定直线上运动.
【点睛】
关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键.
2．(1)
(2)答案见解析.
【分析】（1）根据体积确定椭圆中、的值，得出椭圆的标准方程.
（2）先设出直线方程，与椭圆方程联立，消去，利用一元二次方程根与系数的关系，写出，，再表示出直线、，确定其交点，并判断它们的交点在一条定直线上.
【详解】（1）由，，
所以所求椭圆的标准方程为：.
（2）如图：过点的直线与椭圆相交于、两点，因为、不与A、重合，故直线的斜率一定存在.
设直线方程为：，联立方程组：，消去得：.
设，，则，.所以.
直线：；
直线:.
所以：.
所以：.即直线与的交点在定直线上.
【点睛】方法点睛：求证点在定直线上的问题，一般可以采用以下方法：
（1）求出点的坐标，根据横纵坐标的关系，写出直线方程，得到点在定直线上；
（2）大胆猜测定直线的性质，如该题就大胆猜测两直线的交点所在的直线与轴平行，所以直接消去x，得到y的值，从而确定交点在定直线上.
3．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由双曲线定义得到点的轨迹是以为焦点的双曲线，求出答案；
（2）设，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，得到直线，求出的坐标，同理得到的坐标，得到的中点坐标.
【详解】（1）由题意可得，且为的中点，
又为的中点，
所以，且．
因为点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，
由垂直平分线的性质可得，
所以，
所以由双曲线的定义可得，点的轨迹是以为焦点的双曲线．
，
故曲线的方程为；
（2）由题意可知：直线的斜率存在，设，
联立方程，消去得：，
则，
解得，且
，①
由，得直线，
令，解得，即，
同理可得，
则
，
所以的中点为定点.
【点睛】求轨迹方程常用的方法：直接法，相关点法，交轨法，定义法，特别重视圆锥曲线的定义在求轨迹方程中的应用，只要动点满足已知曲线的定义，就可直接得到所求轨迹方程，求解过程中要注意一些轨迹问题中包含隐含条件，也就是曲线上的点的坐标的取值范围，有时还要补充特殊点的坐标.
4．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出双曲线的渐近线方程，从而得到两点的坐标，得到三角形的面积为，列出方程，求出的值；
（2）设出直线方程，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，根据三点共线，得到斜率相等，列出方程，代入后求解出，求出直线所过的定点.
【详解】（1）双曲线：的渐近线方程为，
不妨设，
因为三角形的面积为，所以，
所以，又，所以.
（2）双曲线的方程为：，所以右焦点的坐标为，
依题意，设直线与轴交于点，直线的方程为，
设，，则，
联立，得，
且，
化简得且，
所以，，
因为直线的斜率存在，所以直线的斜率也存在，
因为，，三点共线，所以，
即，即，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，
化简得，所以经过轴上的定点.

【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是设直线的方程为，，，则，再将其与双曲线方程联立，从而得到韦达定理式，根据三点共线，则有，整理代入韦达定理式化简求出值即可.
5．(1)；
(2)证明见解析．
【分析】（1）是圆的切线，分别过作直线的垂直，垂足分别为，由，利用椭圆定义可得轨迹方程；
（2）设直线的方程为，设，直线方程代入椭圆方程后应用韦达定理得，然后计算，代入化简可得．
【详解】（1）如图，是圆的切线，分别过作直线的垂直，垂足分别为，又是中点，则是直角梯形的中位线，，
设是以为准线的抛物线的焦点，则，，
所以，
所以点轨迹是以为焦点的椭圆，椭圆长轴长为8，
，则，因此，
所以抛物线的焦点轨迹方程为；

（2）由题意设直线的方程为，设，
由得，
，，
，
代入，，得
为常数．

【点睛】方法点睛：本题考查椭圆中定值问题，解题方法是设交点坐标．设直线方程，直线方程与椭圆方程联立方程组后消元应用韦达定理得（或），利用交点坐标计算出要证明常数的量，然后代入韦达定理的结果化简变形即可得．
6．(1)
(2)为定值.·
【分析】（1）设，根据两点间长度得出与，即可根据已知列式解出，即可得出答案；
（2）根据第一问得出双曲线的方程，设，直线l的方程为，根据韦达定理得出，即可根据直线方程得出与，则根基两点斜率公式得出，化简代入即可得出答案.
【详解】（1）依题意可知，，
则，
，
又，所以，
解得（舍去），
又，所以，
则，
所以的面积.
（2）由（1）可，解得，
所以双曲线C的方程为，
设，则，则，，
设直线l的方程为，与双曲线C的方程联立，消去y得：，
由，得，
由一元二次方程根与系数的关系得，
所以，
，
则，
故为定值.·
7．(1)
(2)存在定点，使得为定值
【分析】（1）求得圆得方程，由直线与圆相切得条件，可得的值，再由离心率可求得，从而可得，即可得出答案；
（2），假设存在，设，，联立,消，利用韦达定理求得，分析计算从而可得出结论.
【详解】（1）解：由离心率为，得，及，
又以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为，
且与直线相切，
所以，
所以，，
所以椭圆C的标准方程为；
（2）解：假设存在，设，
联立,消整理得，
，
设，
则，
由，
则
，
要使上式为定值，即与无关，
则应，即，
此时为定值，
所以在x轴上存在定点，使得为定值.
【点睛】本题考查了椭圆方程的求法，考查了满足条件的定点是否存在的判断与方法，考查了定值定点问题，考查了学生的计算能力和数据分析能力，计算量较大.
8．(1)
(2)以线段为直径的圆过定点和．
【分析】（1）根据点到直线的距离公式即可求解，进而联立直线与双曲线方程，根据弦长公式即可求解，
（2）联立直线与曲线的方程得韦达定理，根据圆的对称性可判断若有定点则在轴上，进而根据垂直关系得向量的坐标运算，即可求解.
【详解】（1）∵双曲线的左焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，而，∴．
∴双曲线的方程为．
依题意直线的方程为．
由 消去y整理得：，
依题意：，，点A，B的横坐标分别为，
则．
∵，∴．
∴，∴．
即，解得或（舍去），且时，，
∴双曲线的方程为．
（2）依题意直线的斜率不等于0，设直线的方程为．
由消去整理得：，
∴，．
设，，则，．
直线的方程为，令得：，∴．
同理可得．由对称性可知，若以线段为直径的圆过定点，则该定点一定在轴上，
设该定点为，则，，
故
．
解得或．
故以线段为直径的圆过定点和．
【点睛】关键点睛：本题解题的关键是根据圆的对称性可判断定点在坐标轴上，结合向量垂直的坐标运算化简求解就可，对计算能力要求较高.
9．（1）；（2）.
【分析】(1) 利用双曲线的定义可知轨迹是以点、为左、右焦点双曲线的右支，求出、的值，即可得出轨迹的方程；
(2)方法一：设出点的坐标和直线方程，联立直线方程与曲线C的方程，结合韦达定理求得直线的斜率，最后化简计算可得的值.
【详解】(1) 因为，
所以，轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，
设轨迹的方程为，则，可得，，
所以，轨迹的方程为.
（2）[方法一] 【最优解】：直线方程与双曲线方程联立
如图所示，设,
设直线的方程为．

联立,
化简得.
则．
故．
则．
设的方程为，同理．
因为，所以，
化简得，
所以，即．
因为，所以．
[方法二] ：参数方程法
设．设直线的倾斜角为，
则其参数方程为，
联立直线方程与曲线C的方程，
可得，
整理得．
设，
由根与系数的关系得．
设直线的倾斜角为，，
同理可得
由，得．
因为，所以．
由题意分析知．所以，
故直线的斜率与直线的斜率之和为0．
[方法三]：利用圆幂定理
因为，由圆幂定理知A，B，P，Q四点共圆．
设,直线的方程为，
直线的方程为,
则二次曲线．
又由，得过A，B，P，Q四点的二次曲线系方程为：
，
整理可得：
，
其中．
由于A，B，P，Q四点共圆，则xy项的系数为0，即.
【整体点评】(2)方法一：直线方程与二次曲线的方程联立，结合韦达定理处理圆锥曲线问题是最经典的方法，它体现了解析几何的特征，是该题的通性通法，也是最优解；
方法二：参数方程的使用充分利用了参数的几何意义，要求解题过程中对参数有深刻的理解，并能够灵活的应用到题目中.
方法三：圆幂定理的应用更多的提现了几何的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单.
10．(1)；
(2).
【分析】（1）法一：根据实轴长，求得a值，根据题意，求得，可得b值，即可得曲线C方程，设直线方程为，与双曲线联立，根据韦达定理，可得表达式，代入，化简整理，即可得答案.
法二：由题意，求得a，b的值，即可得曲线C方程，设方程为，与双曲线联立，根据韦达定理，可得表达式，代入，化简整理，即可得答案.
（2）法一：因为，根据二倍角的正切公式，结合及，化简计算，可得，进而可得方程，与曲线C联立，可得M点坐标，即可得直线的方程，根据面积公式，即可得答案.
法二：设，由，结合二倍角正切公式，可得的值，进而可得直线方程，与曲线C联立，可得，同理可得，代入面积公式，即可得答案.
【详解】（1）法一：
因为，所以，令得，
所以，解得，
所以的方程为
显然直线与轴不垂直，设其方程为，
联立直线与的方程，消去得，
当时，，
设，则.
因为，
所以.
法二：
由题意得，解得，
双曲线的方程为.
设方程为，
联立，可得，
，，
，
.
（2）法一：
因为，
所以，
又因为，
所以，即，（※）
将代入（※）得，
因为在轴上方，所以，所以直线方程为，
联立与直线方程，消去得，，
解得或（舍），所以，
代入，得，所以直线方程为，
联立与直线方程，消去得，，
解得或，
所以的面积为.
法二：
设，由，可得，
，解得，
方程，
联立，可得，解得，
同理联立，解得，
.
11．(1)
(2)①证明见解析，；②
【分析】（1）根据椭圆的定义求解即可；
（2）①求出直线DN与EM方程，得到Q点坐标，即可判定；②将面积表示出来，然后换元，利用基本不等式求最值.
【详解】（1）因为为的重心，且边上的两条中线长度之和为，
所以，
故由椭圆的定义可知的轨迹是以为焦点的椭圆（不包括长轴的端点），
且，所以，
所以的轨迹的方程为.
（2）①依题意，设直线DE方程为.
联立，得，
易知
设，，则，.
因为轴，轴，
所以，.
所以直线DN：，
直线EM：，
联立解得.
从而点Q在定直线上.
②因为，
又，则，
设，则，
当且仅当，即时，等号成立，
故面积的最大值为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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