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微专题09 隐零点问题
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不含参函数的“隐零点”问题的解策略：
已知不含参函数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则有：①关系式成立；②注意确定的合适范围.
题型一 不含参函数
例1.
（2024·河北邢台·高三统考期末）
1．已知函数．证明：．
变式：
（2024·高三校考）
2．已知函数，当时，证明：.
含参函数的“隐零点”问题解题策略：
已知含参函数，其中为参数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则有①有关系式成立，该关系式给出了的关系；②注意确定的合适范围，往往和的范围有关.
题型二 含参函数
例2.
（重庆市西南大学附中、重庆育才中学、万州中学拔尖强基联盟2024届高三下学期二月联合考试数学试题）
3．已知函数，其中．
(1)若，求证：在定义域内有两个不同的零点；
(2)若恒成立，求的值．
变式：（2024·吉林长春·东北师大附中校联考模拟预测）
4．已知（其中为自然对数的底数），，求实数的取值范围.
巩固能力·突破高分
（2023·高三校考）
5．已知函数.当时，求证：在上存在极值点，且.
（广东省2024届高三上学期元月期末统一调研测试数学试卷）
6．若函数在上有定义，且对于任意不同的，都有，则称为上的“类函数”.若为上的“2类函数”，求实数的取值范围.
（2024·高三校考）
7．已知函数，其中．讨论的极值点的个数．
（2024·陕西安康·安康中学校联考模拟预测）
8．已知函数．当时，不等式恒成立，求整数的最大值．
（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考三模）
9．已知函数．
(1)当时，求函数在上的极值；
(2)用表示中的最大值，记函数，讨论函数在上的零点个数．
（浙江省温州市温州中学2024届高三第一次模拟考试数学试题）
10．已知.
(1)若过点作曲线的切线，切线的斜率为2，求的值；
(2)当时，讨论函数的零点个数.
（2024·高三校考）
11．已知函数
(1)若1是的极值点，求a的值；
(2)求的单调区间：
(3) 已知有两个解，
（i）直接写出a的取值范围；（无需过程）
（ii）λ为正实数，若对于符合题意的任意，当时都有，求λ的取值范围.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．证明见解析
【分析】
求出，然后继续求出的导函数，进而确定是增函数，设出零点，求出的单调性，进而求出其极值，然后通过放缩证明不等式.
【详解】
由已知，
令函数，则，所以是增函数．
因为，，
所以存在，使得，即．
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
．
因为，所以，
所以．
故．
2．证明见解析
【分析】
令，求出函数的导函数，说明函数的单调性，求出函数的极值，即可证明.
【详解】当时，令，，
求导得，
令，，，
即函数在上单调递增，而，
则存在唯一，使得，即，
因此存在唯一，使得，
当时，，当时，，
因此函数在上递减，在上递增，
当时，，
则，
（当且仅当即时，取等号，故式子取不到等号）
所以当时，.
【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理.
3．(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）分类讨论自变量的范围得函数的单调性，结合零点存在性定理即可求解，
（2）根据恒成立，且，可得是的一个极大值点，即可得，进而根据的单调性求解最值，结合三角函数的有界性即可求解.
【详解】（1）时，，
①时，由于均为上的单调递减函数，所以在上单调递减，所以，
所以在上单调递增，又，，
所以，使得，即在上有且仅有1个零点；
②时，知在上单调递减，
即，所以，
所以在上没有零点；
③时，，所以，
即在上单调递减，又，，
所以在上有且仅有1个零点；
综上所述，在内有两个不同的零点，.
（2）令，
由于恒成立，且，同时在上连续，
所以是的一个极大值点.
因为，所以，即，
下面证明时，在上恒成立，
由（1）知，时，，当故在上单调递增，在上单调递减；
所以，又，
故恒成立.
【点睛】方法点睛：
1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
4．
【分析】求得，根据题意，得到，令，得到使得，利用函数的单调性，求得，再由，求得，再由，设，利用导数求得函数的单调性，即可求解.
【详解】由，可得，
由，因为，可得，
令，则在上递减，
当时，可得，则，所以，
则，
又因为，使得，即
且当时，，即；
当时，，即，
所以在递增，在递减，所以，
由，可得，
由，可得，即，
由，可得，所以，
因为，设，则，
可知在上递增，且，
所以实数的取值范围是.
5．证明见解析
【分析】
先根据零点存在定理，说明存在正数解，然后利用，用表示后，构造函数，证明即可.
【详解】，则，
令，，，
当时，，递增，当时，，递减，在处取得最小值，
而，
记，，则在上单调递减，故，
于是，即；
由，
令，，
记，则，则在单增，，
故在上递增，，取，则；
记，，于是时，，递减，时，，递增，则在处取得最大值，
故，取得等号，于是，
由和零点存在定理可知，，使得，
且，，，，所以是极小值点；
由可得，，
令，代入，整理，，
于是时，，递减，时，，递增，故在处取得最大值，
故，取，故，原命题得证.
6．
【分析】
理解新定义函数的性质，将其转化为导函数在给定区间上的范围问题，接着通过参变分离法化成求对应函数的最值问题即得参数范围.
【详解】由可得：，
由题意知，对于任意不同的，都有，
可转化为对于任意，都有，
由可转化为，令，只需.
，令，在单调递减，
所以，则，即在单调递减，
，则得：；
由可转化为，令，只需.
，令，在单调递减，
且，，所以使，即，
即，
当时，，，故在单调递增，
当时，，，故在单调递减，
，则得：.
综上，即得实数的取值范围为.
7．有且仅有一个极值点
【分析】
利用导数研究函数的单调性，分析极值即可.
【详解】由题意知，函数的定义域为，
，
设，，显然函数在上单调递增，与同号，
①当时，，，
所以函数在内有一个零点，且，，，，
故在单调递减，在单调递增；
所以函数在上有且仅有一个极值点；
②当时，同①可知，函数在上有且仅有一个极值点1；
③当时，，，
因为，所以，，
又，所以函数在内有一个零点，
且，，，，
故在单调递减，在单调递增；
所以函数在上有且仅有一个极值点；
综上所述，函数在上有且仅有一个极值点．
8．2
【分析】
利用参变分离可得对任意恒成立，构造函数利用导函数求得的最小值的取值范围即可得整数的最大值为2.
【详解】由题意知对任意恒成立，
可知对任意恒成立；
设函数，只需，
对函数求导，得；
设函数，对函数求导，得，
所以函数在上单调递增．
又，
所以存在，使，即，
所以当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以，
所以．又，所以，
所以整数的最大值2．
9．(1)极大值为，极小值
(2)答案见解析
【分析】
（1）求导，得到函数的单调性和极值情况；
（2）分，和，结合，对进行分类讨论，求出零点个数.
【详解】（1）
当时，，
由，得或，则和随的变化如下表所示：
0
+ 0 - 0 + 0 -
极大 极小 极大
∴在上有2个极大值：在上有1个极小值．
（2）
由，知．
（ⅰ）当时，，
∴，故在上无零点．
（ⅱ）当时，．
故当时，即时，是的零点；
当时，即时，不是的零点．
（ⅲ）当时，．故在的零点就是在的零点，
．
①当时，，故时，在是减函数，
结合，可知，在有一个零点，
故在上有1个零点．
②当时，，故时，在是增函数，
结合可知，在无零点，故在上无零点．
③当时，，使得时，在是增函数；
时，在是减函数；
由知，．
当，即时，在上无零点，故在上无零点．
当，即时，在上有1个零点，故在上有1个零点．
综上所述，时，有2个零点；时，有1个零点；时，无零点
【点睛】
导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要学生对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的地方
10．(1)1
(2)答案见解析
【分析】（1）求导，设切点坐标为，结合导数的几何意义列式求解即可；
（2）求导，可得在内单调递减，分类讨论判断在内的单调性，进而结合零点存在性定理分析判断.
【详解】（1）由题意可得：，
设切点坐标为，
则切线斜率为，即，
可得切线方程为，
将，代入可得，
整理得，
因为在内单调递增，
则在定义域内单调递增，且当时，，
可知关于的方程的根为1，即，
所以.
（2）因为，
则，
可知在内单调递减，
且，则，且在内单调递减，
可知在内单调递减，所以在内单调递减，
且，
（i）若，即时，则在内恒成立，
可知在内单调递增，则，当且仅当时，等号成立，
所以在内有且仅有1个零点；
（ⅱ）若，即时，则在内恒成立，
可知在内单调递减，则，当且仅当时，等号成立，
所以在内有且仅有1个零点；
（ⅲ）若，即时，则在内存在唯一零点，
可知当时，；当时，；
则在内单调递增，在内单调递减，
且，可知，可知在内有且仅有1个零点，
且，
①当，即时，则在内有且仅有1个零点；
②当，即时，则在内没有零点；
综上所述：若时，在内有且仅有1个零点；
若时，在内有且仅有2个零点.
【点睛】
方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：
（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；
（2）求导数，得单调区间和极值点；
（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解．
11．(1)；
(2)答案见解析；
(3)（i）；（ii）.
【分析】
（1）求导后，利用极值点的定义可知，从而求得；
（2）分类讨论与，可得的单调情况；
（3）（i）构造，分类讨论与时的图像性质，由极大值得到，再分类讨论区间与上零点的情况可确定a的取值范围；
（ii）对进行转化得，令，则，构造函数证得，分类讨论与两种情况，从而确定.
【详解】（1）因为，所以，
因为1是的极值点，所以，故，故.
此时，则时，时，
所以上递增，上递减，则1是的极值点，满足题设.
综上，.
（2）由（1）知，
当时，，故在上单调递增；
当时，令得；令得；
所以在上单调递增，在上单调递减，
综上：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，
（3）（i）由得，即有两个解，
令，则，且在上两个零点，
当时，，故在上单调递增，则在上没有两个零点，不满足题意；
当时，令，得；令，得；
所以在上单调递增，在上单调递减，即的极大值为，
为使在上有两个零点，则，即，解得，
当时，易知，因为，故，
又在上单调递增，所以在有唯一零点；
当时，
令，则，
再令，则，故在上单调递增，
所以，即，故在上单调递增，
所以，因为，
所以，即，即，即，故，
所以，故，
又在上单调递减，所以在有唯一零点；
综上：当时，在上两个零点，即有两个解时，，即；
（ii）由（i）得，，，故，
又，所以，即，即，故，
令，则， 故，
设，则，
当时，，
故当时，恒成立，故在上为增函数，
故即在上恒成立.
当时，，而
当时，
故存在，使得，使得，
故在为减函数，故，矛盾，舍；
综上：，即.
【点睛】
方法点睛：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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