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微专题10 导数中常见的放缩问题
研考题·聚焦关键词
1．证明以下不等式：
(1)；
(2)；
(3).
题型一 与有关的放缩
（安徽省“皖江名校联盟”2024届高三上学期12月月考数学试题）
2．设函数.
(1)讨论函数的单调性.
(2)设数列满足，证明：数列是单调递增数列，且，（其中为自然对数的底）.
变式:
（2024·高三校考）
3．已知函数.
(1)若在上单调递增，求的值；
(2)证明：（且）.
题型二 与有关的放缩
（2022·高考真题）
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
变式:
（2023·湖南长沙·高三校考）
5．设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
巩固能力·突破高分
（2023·福建福州·高三校考）
6．，则（ ）
A． B．
C． D．
（2022·高考真题）
7．设，则（ ）
A． B． C． D．
（2023·山西大同·高三校考）
8．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
（2023·贵州遵义·高三统考）
9．已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
（2023·全国·高三校考）
10．当时，证明：恒成立.
（2024·高三统考）
11．已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)证明：．
（2023·江苏常州·高三校考）
12．已知函数.
(1)若，求的值；
(2)证明：当时，成立.
（2024·高三校考）
13．已知函数．
(1)讨论函数在上的单调性；
(2)当时，
①判断函数的零点个数，并证明．
②求证：．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）令，利用导数求得函数的单调性，得到，即可证得；
（2）令，利用导数求得函数的单调性，得到，即可证得；
（3）由（1）得，由（2）得，结合①式与②式取等号的条件不同，即可证得.
【详解】（1）解：令，则有.
令，即，解得；
令，即，解得，
所以在单调递减，上单调递增，
所以，即.
所以.
（2）解：令，则.
令，即，解得；
令，即，解得，
所以在单调递增，上单调递减，
所以，即，
所以.
（3）解：由（1）得，所以（当且仅当时取等号）①.
由（2）得，所以（当且仅当时取等号）②
因为①式与②式取等号的条件不同，所以.
2．(1)在区间和上都是单调递增
(2)证明见解析
【分析】（1）求出定义域，先证出，得到，故，求出单调性；
（2）在（1）的基础上，得到，故数列是单调递增数列，由（1）得到，得到，故.
【详解】（1）函数的定义域是，先证明，
设，
则，在上，单调递增，
在上，单调递减，，所以.
可得，得到，等号当且仅当时成立，
所以，
注意，所以恒成立.
因此在区间，上都是单调递增.
（2）由题设，，
，，
只需证明，
因为在上单调递增，显然成立.
下面证明，等价于证明，
也即证明，由（1）过程可知，当且仅当时等号成立，
，所以，故原不等式得证.
【点睛】利用导数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据特征式的特征而得到.
3．(1)1；
(2)证明见解析.
【分析】（1）求出函数的导数，根据给定条件可得恒成立，再利用导数分类讨论求解作答.
（2）利用（1）的结论得当时，，取，利用不等式的性质结合裂项相消法求和作答.
【详解】（1）函数，求导得，
由于函数在R上单调递增，则恒成立，
令，则，
当时，，当时，，不满足条件；
当时，，在R上单调递增，
又，即，不满足条件；
当时，令，得，
则当时，，单调递减，当时，，单调递增，
于是当时，取得最小值，
于是，即，
令，则，
当时，，单调递增；时，，单调递减，
则，由于恒成立，因此，则有，
所以单调递增时，的值为1.
（2）由（1）知，当时，，即有，当且仅当时取等号，即当时，，
因此当且时，
，
而当时，，
所以，
则，所以，.
【点睛】关键点睛：函数不等式恒成立求参数范围问题，结合已知，利用换元法构造新函数，用导数探讨函数的性质，借助数形结合的思想推理求解.
4．A
【分析】由结合三角函数的性质可得;构造函数,利用导数可得,即可得解.
【详解】[方法一]：构造函数
因为当
故，故，所以；
设，
，所以在单调递增，
故，所以，
所以，所以，故选A
[方法二]：不等式放缩
因为当，
取得：，故
，其中，且
当时，，及
此时，
故，故
所以，所以，故选A
[方法三]：泰勒展开
设，则，，
，计算得，故选A.
[方法四]：构造函数
因为，因为当，所以,即，所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以，
故选：A．
[方法五]：【最优解】不等式放缩
因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以．
故选：A．
【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；
方法5：利用二倍角公式以及不等式放缩，即可得出大小关系，属于最优解．
5．A
【分析】根据指数函数及对数函数的单调性即可比较，构造函数，，利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性即可得解.
【详解】因为，所以，所以，
所以，
令，则，
所以在上单调递增，
所以，即，所以，
令，则，
所以函数在上递增，
所以，即，即，
所以，即，
综上，.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：构造函数，，利用中间量来比较的大小是解决本题的关键.
6．D
【分析】令，利用导数研究函数的单调性可得到，即可判断、的大小关系；构造函数判断与0.1的大小，构造函数判断0.1与大小，从而可判断b、c大小．
【详解】令，，则，
所以当时，即在上单调递增，
所以，即，即，即，
令，则，
在时，，则为减函数，
∴，即；
令，，则，
故在为减函数，
∴，即；
∴，
令，则，即，∴，
所以．
故选：D．
【点睛】结论点睛：常用的不等式：，，，，，.
7．C
【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.
【详解】方法一：构造法
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
方法二：比较法
解： ， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故
8．D
【分析】通过构造函数，利用导数求函数的单调性，比较各式的大小.
【详解】，
设，函数定义域为，
则，
故在上为增函数，有，即，
所以，故.
设，函数定义域为，则，
，解得；，解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
当时，取最大值，所以，即，时等号成立，
所以，即，
又，所以.
故选：D．
9．D
【分析】构造函数，利用导数研究其单调性，利用单调性比大小即可.
【详解】令，则，，
即在上单调递增，在上单调递减，所以，
故在R上恒成立，即，
令，
则，，
即在上单调递减，在上单调递增，所以，
故在上恒成立，即，
而，，即，
令，则，，
即在上单调递增，在上单调递减，所以，
故在上恒成立，即
令，由上知恒成立，即在R上单调递增，而，故，
所以，
故.
故选：D
【点睛】方法点睛：对于比大小问题构造函数是关键，需要积累，，等常用的放缩不等式，同时对于本题熟记等的近似值更快捷.
10．证明见解析
【分析】利用导数证明出：当时，以及成立，即可证得，结合不等式的基本性质可证得所证不等式成立.
【详解】由题意可知，函数的定义域为，
先证明，令，
则，
令，其中，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，即，
所以，，
设，其中，则且不恒为零，
所以，在上为增函数，故当时，，
所以，，
因为，故，故原不等式得证.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
11．(1)极小值0，无极大值；
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用导数求出函数的极值.
（2）利用（1）中信息，构建关于的不等式，再利用累加法求和即可.
【详解】（1）函数的定义域为，求导得，
当时，，当时，，则函数在上递减，在上递增，
所以函数在处取得极小值，无极大值.
（2）证明：由（1）知，，即，，
因此，当且仅当时取等号，
令，，则，
，而，
所以.
【点睛】关键点睛：证明第（2）问的数列不等式，利用第（1）的结论，变形构造不等式，再结合累加法求和是解题之关键.
12．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）解法一：根据，可得是的极小值点求出，再利用导数检验即可；解法二：求出，分、讨论，利用导数判断单调性可得答案；
（2）当时，设，利用导数判断出单调性可得答案.
【详解】（1）解法一：由，得，
又，所以是的极小值点，
故，而，故，
若，则，
当；当，
所以在单调递减，在单调递增，
故是唯一的极小值点，也是最小值点，
由，所以当且仅当时，
解法二：由，得，又，
当时，有恒成立，所以在上单调递减，
又，则不成立，
当时，令，得，
则时，有时，有，
即在单调递减，在单调递增，
所以的最小值为，
，
函数在单调递减，单调递增，
，当且仅当取等号，
故；
（2）当时，，
设，
当时，，
又由（1）知，故，
当时，，
设，则，
则在单调递增，，
所以，则在单调递增，
，
综上，，即当时，.
【点睛】思路点睛：在证明不等式时构造函数，利用导数判断出单调性结合最值的正负是常用的方法.
13．(1)答案见解析
(2)①零点个数是2，证明见解析；②证明见解析
【分析】（1）先求得，然后对进行分类讨论来求得的单调区间.
（2）①由（1）中的单调性、零点存在性定理、构造函数法来求得的零点个数. ②由进行赋值，结合对数运算证得不等式成立.
【详解】（1）的定义域为，对求导得：．
当时，，，，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
当时，，，，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
当时，，，
所以在上单调递减．
当时，，，
，，，，
所以在，上单调递减，在上单调递增．
当时，，，，，
，，
所以在，上单调递减，在上单调递增．
（2）①由（1）可知，且，当时，，
令，
所以在上单调递增，在区间上单调递减，
所以，所以，所以．
当时，
，
即，
所以存在，使得，
根据零点存在性定理，当时，函数的零点个数是2．
另解：令，
令，
所以在上单调递增，在区间上单调递减，
所以，所以，所以．
当时，
，
即，所以存在，使得，
根据零点存在性定理，当时，函数的零点个数是2．
②由，所以，
即令，所以，
所以，，…，，
所以.
【点睛】求解函数单调区间的步骤：（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间：，则在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；，则在对应区间上是减函数，对应区间为减区间.如果导函数含有参数，则需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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