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第五篇 三角形
专题十八 几何初步及平行线、相交线
一、考点扫描
1、了解直线、线段和射线等概概念的区别，两条相交
直线确定一个交点，
解线段和与差及线段的中点、两点间的距离、角、周角、平角、直角、锐角、钝角等概念，掌握两点确定一条直线的性质，角平分线的概念，度、分、秒的换算，几何图形的符号表示法，会根据几何语句准确、整洁地画出相应的图形；
2、了解斜线、斜线段、命题、定义、公理、定理及平行线等概念，了解垂线
段最短的性质，平行线的基本性质，理解对顶角、补角、邻补角的概念，理解对顶角的性质，同角或等角的补角相等的性质，掌握垂线、垂线段、点到直线的距离等概念，会识辨别同位角、内错角和同旁内角，会用一直线截两平行线所得的同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等性质进行推理和计算，会用同位角相等、内错角相等、或同旁内角互补判定两条直线平行
二、考点训练
1、如图，AB∥CD，∠CFE＝112°，ED平分∠BEF，
交CD于D，则∠EDF＝
2、若一个角的余角是这个角的4倍，则这个角的度数是
3、把63.5°用度分秒表示 ，把18°18′18″用度表示
4、在平面上画出四条直线，交点的个数最多应该是（　　）
(A) 4个　(B) 5个　　(C) 6个　(D) 8个
5、如果两个角的两边分别平行且一个角比另一个角的3倍少30°,则这两个角的度数分别为　　　
6、用一副三角板可以作出大于0°而小于180°的角的个数（　　　）
(A) 5个 (B) 10个 (C) 11个　 (D)以上都不对
7、已知三条直线a,b,c，下列命题中错误的是（　　）
如果a∥b,b∥c,那么a∥c　　
　(B)如果a⊥b,b⊥c,那么a⊥c
如果a⊥b,b⊥c,那么a∥c　　
　(D)如果a⊥b,a∥c,那么b⊥c
8、下列命题中(1)过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；(2)经过一点有且只有一条直线和已知直线平行；(3)过线段AB外一点P作线段AB的中垂线；(4)如果直线l1与l2相交，直线l3与l4相交，那么l1∥l3；(5)如果两条直线都与同一条直线垂直，那么这两条直线平行；(6)两条直线没有公共点，那么这两条直线一定平行；(7)两条直线与第三条直线相交，如果内错角相等，则同旁内角互补；其中正确命题的个数为（　　　）
(A) 2个 (B) 3个 (C) 4个 (D)5个
9、（2005年临汾市）如图4，将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上，若∠AOD=145°，则∠BOC=_______度．
10、如图6，是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A、B、C、D、E五等分圆，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是（ ）
A．180° B．150° C．135° D．120°
三、例题剖析
1、已知如图：AC⊥BC,HF⊥AB,CD⊥AB, ∠EDC与∠CHF互补,求证：DE⊥AC.
2、
2、（06年广安）如图5，AB∥CD，若∠ABE=120°， ∠DCE=35°，则有∠BEC=_______度．
3、.如图，AB∥CD, ∠A＝75°,∠C＝30°,
　则∠E的度数为 .
4、如图,AB∥CD,求∠BAE＋∠AEF＋∠EFC＋∠FCD的度数.
专题十九 三角形的概念和全等三角形
一、考点扫描
1、了解三角形有关概念（内角、外角、中线、高、角平分线），会画出任意三角形的角平分线、中线和高．了解三角形的稳定性。三角形两边之和大于第三边。
3、探索并掌握三角形中位线的性质。
2、全等三角形的性质与判定：
（1）性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；（对应的 中线 、高线 、 角平分线 也分别相等。）
（2）判定:一般三角形有SAS，ASA，AAS、SSS，直角三角形还有HL
二、考点训练
1、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8cm，BD=5cm，那么D点到直线AB的距离是_______cm．
2、如图4，∠A=65°，∠B=75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，则∠1+∠2的度数为______．
3、如图所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；
③△ACN≌△ABM；④CD=DN，其中正确的结论是_________．
4、如图5，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC，那么图中全等三角形共有________对．
5、（2006年河南省）如图6，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是________．
6、（2006年绍兴市）若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．6对
7、（2006年德阳市）已知△ABC的三边长分别为20cm，50cm，60cm，现要利用长度分别为30cm和60cm的细木条各一根，做一个三角形木架与△ABC相似．要求以其中一根为一边，将另一根截成两段（允许有余料）作为另外两边．那么另外两边的长度（单位：cm）分别为（ ）
A．10，25 B．10，36或12，36
C．12，36 D．10，25或12，36
8、（2005年黄冈市）如图所示，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；
③S四边形AEPF=S△ABC；④EF=AP．当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终正确的有（ ）
A．①④ B．①② C．①②③ D．①②③④
三、例题剖析
1、已知：如图，△ABC是等边三角形，过AB边上的点D作DG∥BC，交AC于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DB，连结AE、CD．
（1）求证：△AGE≌△DAC；
（2）过点E作EF∥DC，交BC于点F，请你连结AF，并判断△AEF是怎样的三角形，试证明你的结论．
2、（2006年内江市）如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：
①AB=AC ②AD=AE ③∠1=∠2 ④BD=CE．
请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个真命题（要求写出已知，求证及证明过程）

3、例9 已知：如图∠A=2∠B，CD平分∠ACB，
求证：BC=AD+AC
4、已知∠AOB=900，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB(或它们的反向延长线)相交于点D、E．
当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图1)，易证：OD+OE=OC．
当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立?若成立，请给予证明；若不成立，线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，不需证明．
四、综合应用
1、如图14－1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点(不在直线AC上)，∠ACB = 90°，M为AB边中点．
操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连结PM并延长到点E，使ME = PM，连结DE．
探究：⑴请猜想与线段DE有关的三个结论；
⑵请你利用图14－2，图14－3选择不同位置的点P按上述方法操作；
⑶经历⑵之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；
如果你认为你写的结论是错误的，请用图14－2或图14－3加以说明；
(注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分)
⑷若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”，其他条件不变，利用图14－4操作，并写出与线
段DE有关的结论(直接写答案)．
专题二十 等腰三角形
一、考点扫描
1、等腰三角形的有关概念；
2、等腰三角形的性质：
①轴对称图形；②等边对等角；③三线合一
3、腰三角形的判断方法：
①等角对等边；②两条边相等的三角形
4、等边三角形的性质与判断方法：
三边相等，三个角都等于60o。
二、考点训练
1、如图1，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC=_____°．
（1） （2）
2、如图3，一个顶角为40°的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=________度．
3、（06年烟台市）如图4，在等腰直角△ABC中，∠B=90°，将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB′C′，则∠BAC′等于________．
（3） （4）
4、（06年包头市）如图5，沿AC方向开山修渠，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从AC上的一点B取∠ABD=135°，BD=520米，∠D=45°，如果要使A、C、E成一直线，那么开挖点E离D的距离约为_______米（精确到1米）．
5、（06年诸暨市）等腰△ABC的底边BC=8cm，腰长AB=5cm，一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/秒的速度运动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P运动的时间应为________．
6、如图6，等边△ABC，B点在坐标原点，C点的坐标为（4，0），点A关于x轴对称点A′的坐标为_______．

（6） （7） （8）
7、（2006年江阴市）如图7，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=20°，且AE=AD，则∠CDE=________．
8、（2006年日照市）如图8，在△ABC中，AB=AC，D为AC边上一点，且BD=BC=AD．则∠A等于（ ）
A．30° B．36° C．45° D．72°

三、例题剖析
1、如图2，是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a，则六边形的周长是_______．

2、如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．
3、（06年常德市）如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ．
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．
（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．

4、（2005年江西省）如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别是线段AB、BC、CA上的点．
（1）若AD=BE=CF，问△DEF是等边三角形吗？试证明你的结论．
（2）若△DEF是等边三角形，问AD=BE=CF成立吗？试证明你的结论．
四、综合应用
1、（06年福建省龙岩14分）如图，已知抛物线与坐标轴交于A、B、C三点，点A的横坐标为，过点的直线与轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，于点H．若，且．
（1）确定b、c的值：；
（2）写出点B、P、Q的坐标（其中Q、P用含的式子表示）：
；
（3）依点的变化，是否存在的值，使为等腰三角形？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由．
专题二十一 直角三角形
一、考点扫描
1、了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质和一个三角形是直角三角形的条件。
①.直角三角形中两锐角互余；
②.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
③.直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半；
2、体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
3、掌握角平分线的性质定理及其逆定理，线段中垂线性质定理及其逆定理。
二、考点训练
1．直角三角形的两个锐角的平分线所交成的角的度数是（ ）
A、45°B、135°C、45°或135°D、以上答案都不对
2、等腰直角三角形中，若斜边和斜边上的高的和是6cm，则斜边长是 cm。
3、.三角形三个角的度数之比为1：2：3，它的最大边长等于16cm，则最小边长是 cm
4、如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120度，AD⊥AC，DC＝5，则BD＝ 。
(4) (5)
5、如图，△ABC中，AB＝AC，DE是AB的中垂线， ΔBCE的周长为14cm, BC＝5cm，则AB= 。
6、如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD=2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A处，则∠EAB=_________度．
(6) (7)
7、如图，矩形纸片ABCD，AB=2，∠ADB=30°，沿对角线BD折叠（使△ABD和△EBD落在同一平面内），则A、E两点间的距离为________．
8、（06年盐城）如图5，AB是⊙O的弦，圆心O到AB的距离OD=1，AB=4，则该圆的半径是_____．
(8) (9)
9、（2006年河南省）如图，C、D是两个村庄，分别位于一个湖的南、北两端的A和B的正东方向上，且D位于C的北偏东30°方向上，CD=6km，则AB=_______km．
10、（05年吉林省）如图，在Rt△ADB中，∠D=90°，C为AD上一点，则x可能是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
（10） （11）
11、2006年烟台市）如图10，CD是Rt△ABC斜边上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（ ）
A．25° B．30° C．45° D．60°
12、（2006年包头市）如图12，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，若AC=1，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．3
三、例题剖析
1、（06年日照市）如图，已知等腰Rt△AOB中，∠AOB=90°，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90°，连接AE、BF．
求证：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF．
2、如图，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则∠ABC+∠DFE=______．
3、（2006年包头市）《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时”．一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶（如图所示），在距离路边25米处有“车速检测仪O”，测得该车从北偏西60°的A点行驶到北偏西30°的B点，所用时间为1．5秒．
（1）试求该车从A点到B的平均速度；（2）试说明该车是否超过限速．
四、综合应用
1、如图，正方形网格中，小格的顶点叫做格点，小华按下列要求作图：①在正方形网格的三条不同的实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一实线上；②连结三个格点，使之构成直角三角形，小华在下面的正方形网格中作出了Rt△ABC．请你按照同样的要求，在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等．
专题二十二 解直角三角形
一、考点扫描
1、理解锐角三角形函数角的概念；
2、会由已知锐角求它的三角函数，由已知三角函数值求它对应、的锐角 ；
3、会运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题。
4、掌握根据已知条件解直角三角形的方法，运用解直角三角形的知识解决实际问题。具体做到：1）了解某些实际问题中的仰角、俯角、坡度等概念；2）将实际问题转化为数学问题，建立数学模型；3）涉及解斜三角形的问题时，会通过作适当的辅助线构造直角三角形，使之转化为解直角三角形的计算问题而达到解决实际问题
二、考点训练
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，a = 1 , c = 4 , 则sinA的值是 ( )
A、 B、 C、 D、
2、在ΔABC中，已知∠C=90°，sinB=，则cosA的值是 ( )
A． B． c． D．
3、（2006年海南省）如图9，要在离地面5m处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L1=5.2m，L2=6.2m，L3=7.8m，L4=10m的四种备用拉线材料中，拉线AC最好选用（ ）
A．L1 B．L2 C．L3 D．L4
4、如图，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为_______米．
5、半径为10cm的圆内接正三角形的边长为 ，内接正方形的边长为 ，内接正六边形的边长为
6、如果sin2 α+sin230°= 1，那么锐角α的度数是（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
7、若0＜cosα≤，则锐角α的取值范围是（）
A．0＜α＜30○ B、α≥30○
C．30○≤α≤60○ D．30○≤α≤90○
8、α为锐角，则sinα+cosα的值（ ）
A．小于1 B．大于1 C．等于1 D．不能确定
三、例题剖析
1、梅华中学九年级数学课外学习小组某下午实践活动课时，测量朝西教学楼前的旗杆的高度．如图7，当阳光从正西方向照射过来时，旗杆的顶端的影子落在教学楼前的坪地处，测得影长与地面的夹角．在同一时刻，测得一根长为1m的直立竹竿的影长恰为4m．根据这些数据求旗杆的高度．（可能用到的数据：，结果保留两个有效数字）
2、下图表示一山坡路的横截面，CM是一段平路，它高出水平地面24米．从A到B、从B到C是两段不同坡角的山坡路，山坡路AB的路面长100米，它的坡角∠BAE=5°，山坡路BC的坡角∠CBH=12°．为了方便交通，政府决定把山坡路BC的坡角降到与AB的坡角相同，使得∠DBI=5°．(精确到0．O1米)
(1)求山坡路AB的高度BE．
(2)降低坡度后，整个山坡的路面加长了多少米?
(sin5°=0．0872，cos5°=0．9962,sin12°=0．2079，cos12°=0．9781)
3、如图，初三年级某班同学要测量校园内国旗旗杆的高度，在地面的C点用测角器测得旗杆顶A点的仰角∠AFE=60°，再沿直线CB后退8米到D点，在D点又用测角器测得旗杆顶A点的仰角∠AGE=45°；已知测角器的高度是1．6米，求旗杆AB的高度．
四、综合应用
1、某校的教室A位于工地O的正西方向、，且 OA=200米，一部拖拉机从O点出发，以每秒6米的速度沿北偏西53°方向行驶，设拖拉机的噪声污染半径为130米，试问教室A是否在拖拉机噪声污染范围内？若不在，请说明理由；若在，求出教室A受污染的时间有几秒？（已知： sin53°≈0．80，sin37°≈0．60，tan37°≈0．75）
专题二十三 相似三角形
一、考点扫描
1、相似三角形定义：形状相同的三角形是相似三角形
2、相似三角形的判断
(1).两角对应相等的两个三角形
(2).两边对应成比例且夹角相等的两个三角形
(3). 三边对应成比例的两个三角形
3、相似三角形的性质
(1).对应角相等,对应线段(对应边及对应边上的高线、中线和对应角的平分线)成比例，都等于相似比
(2).周长之比等于相似比
(3).面积之比等于相似比的平方
4、了解图形 的位似，灵活运用位似将一个图形放大或缩小；
二、考点训练
1、（2006·临安市）如图，小正方形的边长均为l，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( )。
2、为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，
学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据《科学》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.4米，观察者目高CD=1.6米，则树（AB）的高度约为________米（精确到0.1米）.
3、(2006·广安市)如图, Rt△ABC, 斜边AC上有一动点D(不与点A、C重合), 过D点作直线截△ABC, 使
截得的三角形与△ABC相似, 则满足这样条件的直线共有________条.
4、（2006·鄂尔多斯市）如图9所示，某校宣传栏后面2米处种了一排树，每隔2米一棵，共种了6棵，小勇站在距宣传栏中间位置的垂直距离3米处，正好看到两端的树干，其余的4棵均被挡住，那么宣传栏的长为 米．（不计宣传栏的厚度）
2米
3米
5、2006年扬州市）如图4，有两个形状相同的星星图案，则x的值为（ ）
A．15 B．12 C．10 D．8
6、（2006·伊春市）如图，△ABC中，∠B=900，AB=6，BC=8，将△ABC沿DE折叠，使点C落在AB边上的C′处，并且C′D∥BC，则CD的长是( ) A
(A) (B) (C) (D)
三、例题剖析
1、如图等边△ABC中，P为BC边的一点，且∠APD=60o若BP=1，CD=，则△ABC的边长为________．
2、（2006·湛江市）如图10，在中，，，把边长分别为的个正方形依次放入中，请回答下列问题：
（1）按要求填表
1
2
3
（2）第个正方形的边长 ；
（3）若是正整数，且，试判断的关系．
3、有一块两直角边长分别为3cm和4cm的直角三角形铁皮，要利用它来裁剪一个正方形，有两种方法：一种是正方形的一边在直角三角形的斜边上，另两个顶点在两条直角边上，如图（1）；另一种是一组邻边在直角三角形的两直角边上，另一个顶点在斜边上，如图（2）．两种情形下正方形的面积哪个大？为什么？
四、综合应用
1、（2006·枣庄市）如图，在△ABC中，AB=AC=1，点D,E在直线BC上运动．设BD=x, CE=y
(l）如果∠BAC=300，∠DAE=l050，试确定y与x之间的函数关系式；
(2）如果∠BAC=α,∠DAE=β,当α, β满足怎样的关系时，(l）中y与x之间的函数关系式还成立？试说明理由．
2、如图所示，在正方形ABCD中，点E为C D边中点，连接BF，与AC相交于点F，则ΔABF与四边形ADEF的面积之比为多少？
（1）当CE=2DE时，
（2）当CE=3DE时，
（3）当CE=nDE时，
（4）仿照上述问题，请你提出一个问题。（分值1～4分）
（备用图）

第三篇 函数及其图象
专题九 平面直角坐标系
一、考点扫描
一、平面直角坐标系
1. 坐标平面上的点与有序实数对构成一一对应；
2. 各象限点的坐标的符号；
3. 坐标轴上的点的坐标特征。
4. 点P（a，b）关于 对称点的坐标
5、两点之间的距离
6、线段AB的中点C，若
则
二、函数的概念
1、概念：在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x 的函数。
2.自变量的取值范围：
（1）使解析式有意义
（2）实际问题具有实际意义
3.函数的表示方法；
（1）解析法
（2）列表法
（3）图象法
二、考点训练
1、若点P（a，b）在第四象限，则点M（b－a，a－b）在（ ）
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限
（D）第四象限
2、点P（－1，－3）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
（A）（－1，3） （B）（1，3） （C）（3，－1）
（D）（1，－3）
3、（2005年重庆市）点A（m-4，1-2m）在第三象限，则m的取值范围是（ ）
A．m> B．m<4 C．4
4、（2006年怀化市）放假了，小明和小丽去蔬菜加工厂社会实践，两人同时工作了一段时间后，休息时小明对小丽说：“我已加工了28千克，你呢？”小丽思考了一会儿说：“我来考考，图（1）、图（2）分别表示你和我的工作量与工作时间关系，你能算出我加工了多少千克吗？”小明思考后回答：“你难不倒我，你现在加工了________千克．”
5、菱形边长为6，一个内角为120°，它的对角线与两坐标轴重合，则菱形四个顶点的坐标分别是
6、（2006年南京市）在平面直角坐标系中，ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），则顶点C的坐标是（ ）
A．（3，7） B．（5，3） C．（7，3） D．（8，2）
(第6题) (第7题)
7、（2006年长春市）如图，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△A′OB′，若点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为（ ）
A．（a，-b） B．（b，a） C．（-b，a） D．（-a，b）
8、（2006年贵阳市）小明根据邻居家的故事写了一道小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还．”如果用纵轴y表示父亲与儿子行进中离家的距离，用横轴x表示父亲离家的时间，那么下面的图象与上述诗的含义大致吻合的是（ ）
三、例题剖析
1、（06年益阳）在平面直角坐标系中，点A、B、C的
坐标分别为A（-2，1），B（-3，-1），C（1，-1）．若四边形ABCD为平行四边形，那么点D的坐标是________．
2、（2006年绍兴市）如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2006次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…P2006的位置，则P2006的横坐标X2006=_______．
3、（2006年茂名市）如图，在平面直角坐标系XOY中，直角梯形OABC，BC∥AO，A（-2，0），B（-1，1），将直角梯形OABC绕点O顺时针旋转90°后，点A、B、C分别落在A′、B′、C′处．请你解答下列问题：
（1）在如图直角坐标系XOY中画出旋转后的
梯形O′A′B′C′．
（2）求点A旋转到A′所经过的弧形路线长．
4、（2006年烟台市）先将一矩形ABCD置于直角坐标系中，使点A与坐标系中原点重合，边AB、AD分别落在x轴、y轴上（如图1），再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转30°（如图2），若AB=4，BC=3，则图1和图2中点B的坐标为______，点C的坐标为_______．
四、综合应用
1、2006年常州市）在平面直角坐标系中描出下列各点A（2，1），B（0，1），C（-4，3），D（6，3），并将各点用线段依次连接构成一个四边形ABCD．
（1）四边形ABCD是什么特殊的四边形？
（2）在四边形ABCD内找一点P，使得△APB、△BPC、△CPD、△APD都是等腰三角形，请写出P点的坐标．
专题十 一次函数及反比例函数其应用
一、考点扫描
1、一次函数
(1)、一次函数及其图象
如果y=kx+b（k，b是常数，k≠0），那么，y叫做x的一次函数。
特别地，如果y=kx（k是常数，k≠0），那么，y叫做x的正比例函数
一次函数的图象是直线，画一次函数的图象，只要先描出两点，再连成直线
(2)、一次函数的性质
当k>0时y随x的增大而增大，当k<0时，y随x 的增大而减小。
1、反比例函数
(1) 反比例函数及其图象
如果,那么，y是x的反比例函数。
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，可用描点法画出反比例函数的图象
（2）反比例函数的性质
当K>0时，图象的两个分支分别在一、二、三象限内，在每个象限内， y随x的增大而减小；
当K<0时，图象的两个分支分别在二、四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大。
3.待定系数法
先设出式子中的未知数，再根据条件求出未知系数，从而写出这个式子的方法叫做待定系数法可用待定系数法求一次函数、二次函数和反比例函数的解析式
二、考点训练
1、若函数y=（m2-1）x为反比例函数，则m=________．
2、若一次函数y=2x+m-2的图象经过第一、第二、三象限，则m= ．
3、（2006年常德市）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3）是反比例函数y=的图象上的三点，且x1 A．y3 C．y24、已知矩形的面积为10，则它的长y与宽x之间的关系用图象大致可表示为（ ）
5、（2006年威海市）如图，过原点的一条直线与反比例函数y=（k<0）的图像分别交于A、B两点，若A点的坐标为（a，b），则B点的坐标为（ ）
A．（a，b） B．（b，a） C．（-b，-a） D．（-a，-b）
（第5题） （第6题）
6、（06年长春市）如图，双曲线y=的一个分支为（ ）
A．① B．② C．③ D．④
7、如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，则kx+b>0的解集是（ ）
A．x>0 B．x>2 C．x>-3 D．-38、（2006年贵阳市）函数y1=x+1与y2=ax+b的图象如图所示，这两个函数的交点在y轴上，那么y1、y2的值都大于零的x的取值范围是_______．
9、（2005年杭州市）已知一次函数y=kx-k，若y随x的增大而减小，则该函数的图像经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
10、（2006年绍兴市）如图，一次函数y=x+5的图象经过点P（a，b）和点Q（c，d），则a（c-d）-b（c-d）的值为________．
11、（2006年重庆市）如图，已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P， 则根据图象可得，关于的二元一次方程组的解是________．
12、（2006年安徽省）一次函数的图象过点（-1，0），且函数值随着自变量的增大而减小，写出一个符合这个条件的一次函数的解析式：___________．
三、例题剖析
1、（2006年南京市）某块试验田里的农作物每天的需水量y（千克）与生长时间x（天）之间的关系如折线图所示．这些农作物在第10天、第30天的需水量分别为2000千克、3000千克，在第40天后每天的需水量比前一天增加100千克．
（1）分别求出x≤40和x≥40时y与x之间的关系式；
（2）如果这些农作物每天的需水量大于或等于4000千克时，需要进行人工灌溉，那么应从第几天开始进行人工灌溉？
2、（2006年吉林省）小明受《乌鸦喝水》故事的启发， 利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作：
请根据图中给出的信息，解答下列问题：
（1）放入一个小球量筒中水面升高_______cm；
（2）求放入小球后量筒中水面的高度y（cm）与小球个数x（个）之间的一次函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）量筒中至少放入几个小球时有水溢出？

3、（06年烟台市）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=图象交于A（-2，1），B（1，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
4、（2006年重庆市）如图，矩形AOCB的两边OC、OA分别位于x轴、y轴上，点B的坐标为B（-，5），D是AB边上的一点，将△ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，若点E在一反比例函数的图像上，那么该函数的解析式是_________．
5、（2006年伊春市）某工厂用一种自动控制加工机制作一批工件，该机器运行过程分为加油过程和加工过程；加工过程中，当油箱中油量为10升时，机器自动停止加工进入加油过程，将油箱加满后继续加工，如此往复．已知机器需运行185分钟才能将这批工件加工完．下图是油箱中油量y（升）与机器运行时间x（分）之间的函数图象．根据图象回答下列问题：
（1）求在第一个加工过程中，油箱中油量y（升）与机器运行时间x（分）之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）；
（2）机器运行多少分钟时，第一个加工过程停止？
（3）加工完这批工件，机器耗油多少升？
应用与探究
1、某厂从2002年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，某产品的生产成本不断降低，具体数据如下表：
年度
2002
2003
2004
2005
投入技改资金x（万元）
2.5
3
4
4.5
产品成本y（万元/件）
7.2
6
4.5
4
（1）请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其他函数的理由，并求出它的解析式；
（2）按照这种变化规律，若2006年已投入技改资金5万元．
①预计生产成本每件比2005年降低多少万元？
②如果打算在2006年把每件产品成本降低到3.2万元，则还需投入技改资金多少万元？（结果精确到0.01万元）
专题十一 二次函数图象及其性质
一、考点扫描
1、理解二次函数的概念：y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)
2、会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象；
3、会平移二次函数y＝ax2(a≠0)的图象得到二次函数
y＝a(x＋k)2＋h的图象，了解特殊与一般相互联系和转化的思想；
4、会用待定系数法求二次函数的解析式；
5、利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。
二、考点训练
1、二次函数y=ax2+bx+c的图像如图，则点M（b，）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2、（2005年武汉市）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图2所示，则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3、二次函数y=x2的图象向右平移3个单位，得到新的图象的函数表达式是（ ）
A.y=x2+3 B. y=x2-3 C. y=（x+3）2 D. y=（x-3）2
4、二次函数y=-（x-1）2+3图像的顶点坐标是（ ）
A．（-1，3）B．（1，3） C．（-1，-3） D．（1，-3）
5、（2006年南充市）二次函数y=ax2+bx+c，b2=ac，且x=0时y=-4则y的最值是（ ）
A．最大值-4 B．最小值-4
C．最大值-3 D．最小值-3
6、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①a>0；②c>0；③b2-4ac>0，其中正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7、（2006年常德市）根据下列表格中二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ）
x
6.17
6.18
6.19
6.20
y=ax2+bx+c
-0.03
-0.01
0.02
0.04
A．6C．6.188、（06年长春）函数y=x2+bx-c的图象经过点（1，2），则b-c的值为______．
9、（06年宿迁市）将一抛物线向左平移4个单位后，再向下平移2个单位得抛物线y=x2，则平移前抛物线的解析式是________．
10、（06年锦州市）已知二次函数的图象开口向上，且顶点在y轴的负半轴上，请你写出一个满足条件的二次函数的表达式________．
三、例题剖析
1、如图，在坐标系中，二次函数y=ax2+c（a≠0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A，B，C，则ac的值是________．
2、观察下面的表格：
x
0
1
2
ax2
2
ax2+bx+c
4
6
（1）求a，b，c的值，并在表格内的空格中填上正确的数；
（2）求二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点坐标与对称轴．
3、13．（2006年南通市）已知抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，当x≥0时，其图象如图所示．
（1）求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标；
（2）画出抛物线y=ax2+bx+c当x<0时的图象；
（3）利用抛物线y=ax2+bx+c，写出x为何值时，y>0．
4、（06年长春市）如图，P为抛物线y=x2-x+上对称轴右侧的一点，且点P在x轴上方，过点P作PA垂直x轴于点A，PB垂直y轴于点B，得到矩形PAOB．若AP=1，求矩形PAOB的面积．
四、综合应用
1、（2006年烟台市）如图（单位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合．设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym2．
（1）写出y与x的关系式；
（2）当x=2，3.5时，y分别是多少？
（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴.

2、（06年常州市）在平面直角坐标系中，已知二次函数y=a（x-1）2+k的图像与x轴相交于点A、B，顶点为C，点D在这个二次函数图像的对称轴上，若四边形ABCD是一个边长为2且有一个内角为60°的菱形，求此二次函数的表达式．
专题十二 二次函数的应用
一、考点扫描
二次函数应用
二、例题剖析
1、（2006年旅顺口区）已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．

2、某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：
x（元）
15
20
30
…
y（件）
25
20
10
…
若日销售量y是销售价x的一次函数．
（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？
3、在距离地面2m高的某处把一物体以初速度V0（m/s）竖直向上抛出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s（m）与抛出时间t（s）满足：S=V0t-gt2（其中g是常数，通常取10m/s2），若V0=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距离地面________m．
4、影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数．有研究表明，晴天在某段公路上行驶上，速度为V（km/h）的汽车的刹车距离S（m）可由公式S=V2确定；雨天行驶时，这一公式为S=V2．如果车行驶的速度是60km/h，那么在雨天行驶和晴天行驶相比，刹车距离相差_________米．
5、（06年南京市）如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，线段EF=10．在EF上取一点M，分别以EM、MF为一边作矩形EMNH、矩形MFGN，使矩形MFGN～矩形ABCD．令MN=x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值？最大值是多少？
6、（2006年青岛市）在2006年青岛崂山北宅樱桃节前夕，某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据：
销售价x（元/千克）
…
25
24
23
22
…
销售量y（千克）
…
2000
2500
3000
3500
…
（1）在直角坐标系内，作出各组有序数对（x，y）所对应的点．连接各点并观察所得的图形，判断y与x之间的函数关系，并求出y与x之间的函数关系式；
（2）若樱桃进价为13元/千克，试求销售利润P（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式，并求出当x取何值时，P的值最大？
7、施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米，现在O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图所示）．
（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；
（2）求出这条抛物线的函数解析式；
（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．
三、综合应用
1、如图10，点在抛物线上，过点A作与轴平行的直线交抛物线于点B，延长AO,BO分别与抛物线相交于点C,D，连接AD,BC，设点A的横坐标为m，且m>0．
（1）当m=1时，求点A,B,D的坐标；
（2）当m为何值时，四边形ABCD的两条对角线互相垂直；
（3）猜想线段AB与CD之间的数量关系，并证明你的结论．
2、如图，已知抛物线与坐标轴交于A、B、C三点，点A的横坐标为-1，过点C(0,3)的直线与轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，PH⊥OB于点H．若PB=5t，且0（1）确定的值：；
（2）写出点的坐标（其中用含的式子表示）：
；
（3）依点P的变化，是否存在的值，使为等腰三角形？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由．
专题十三 函数的综合应用
一、考点扫描
函数应用
二、考点训练
1．在函数y=，y=x+5，y=x2的图象中是中心对称图形，且对称中心是原点的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．下列四个函数中，y随x的增大而减少的是（ ）
A．y=2x B．y=-2x+5
C．y=- D．y=-x2-2x-1
3．函数y=ax2-a与y=（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
4．函数y=kx-2与y=（k≠0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）
5．如图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图象，观察图象写出y2 ≥y1时，x的取值范围__________．


(第5题) (第6题)
6．（2006年旅顺口）如图是一次函数y1=kx+b和反比例函数y2=的图象，观察图象写出y1>y2时，x的取值范围是_________．
7．（2005年十堰市）在同一平面直角坐标系中，函数y=kx+k，y=（k>0）的图像大致是（ ）

8．（2005年太原市）在反比例函数y=中，当x>0时，y随x的增大而增大，则二次函数y=kx2+2kx的图像大致是（ ）
三、例题剖析
1、（2005年海门市）某校八年级（1）班共有学生50人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a元．经测算和市场调查，若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其他费用780元，其中，纯净水的销售价（元/桶）与年购买总量y（桶）之间满足如图所示关系．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若该班每年需要纯净水380桶，且a为120时，请你根据提供的信息分析一下：该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买材料，哪一种花钱更少？
（3）当a至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水一定合算？从计算结果看，你有何感想（不超过30字）？
2、一蔬菜基地种植的某种绿色蔬菜，根据今年的市场行情，预计从5月1日起的50天内，它的市场售价y1与上市时间x的关系可用图（a）的一条线段表示；它的种植成本y2与上市时间x的关系可用图（b）中的抛物线的一部分来表示．
（1）求出图（a）中表示的市场售价y1与上市时间x的函数关系式．
（2）求出图（b）中表示的种植成本y2与上市时间x的函数关系式．
（3）假定市场售价减去种植成本为纯利润，问哪天上市的这种绿色蔬菜既不赔本也不赚钱？
（市场售价和种植成本的单位：元/千克，时间单位：天）
3、如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D．已知OA=，tan∠AOC=，点B的坐标为（，-4）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
三、综合应用
1、（2006年潍坊市）为保证交通完全，汽车驾驶员必须知道汽车刹车后的停止距离（开始刹车到车辆停止车辆行驶的距离）与汽车行驶速度（开始刹车时的速度）的关系，以便及时刹车．下表是某款车在平坦道路上路况良好刹车后的停止距离与汽车行驶速度的对应值表：
行驶速度（千米/时）
40
60
80
…
停止距离（米）
16
30
48
…
（1）设汽车刹车后的停止距离y（米）是关于汽车行驶速度x（千米/时）的函数．给出以下三个函数①y=ax+b；②y=（k≠0）；③y=ax2+bx，请选择恰当的函数来描述停止距离y（米）与汽车行驶速度x（千米/时）的关系，说明选择理由,并求出符合要求的函数的解析式；
（2）根据你所选择的函数解析式，若汽车刹车后的停止距离为70米，求汽车行驶速度．
专题十四 用函数的观点看方程（组）或不等式
一、考点扫描
二、考点训练
1．（2006年广西省）已知y=-2x+m，当x=3时，y=1，则直线y=-2x+m与x轴的交点坐标为_______．
2．若直线y=x-2与直线y=-x+a相交于x轴，则直线y=-x+a不经过的象限是_____．
3．若不等式kx+b>0的解集为x>-2，则直线y=kx+b与x轴的交点为_____．
4．（2006年衡阳市）如图，直线y1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2交于点（-2，2），则当x____时，y1
(第4题) (第7题)
5．若方程2x2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则抛物线y=2x2+bx+c与x轴有____个交点．
6．直线y=ax+b与y=ax2+bx+c（a≠0）的交点为（-1，2）和（3，-4），则方程组 的解为_________．
7．函数y=kx+b（k、b为常数）的图象如图，则关于x的不等式kx+b>0的解集为（ ）
A．x>0 B．x<0 C．x<2 D．x>2
8．（2006年安徽省）已知甲、乙两弹簧的长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数解析式分别为y1=k1x+a1和y2=k2x+a2，图象如图所示，设所挂物体质量为2kg时，甲弹簧长为y1，乙弹簧长为y2，则y1与y2的大小关系为（ ）
A．y1>y2 B．y1=y2 C．y1(第8题) (第9题)
9．如图是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y（元）与销售量x（件）之间的函数图象．下列说法：①售2件时甲、乙两家售价一样；②买1件时买乙家的合算；③买3件时买甲家的合算；④买乙家的1件售价约为3元，其中正确的说法是（ ）
A．①② B．②③④ C．②③ D．①②③
10．（2006年江苏省）如图，L1反映了某公司的销售收入与销售量的关系，L2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系．当该公司赢利（收入大于成本）时，销售量应（ ）
A．小于3吨 B．大于3吨
C．小于4吨 D．大于4吨


三、例题剖析
1、（2006年陕西省）直线y=kx+b（k≠0）的图象如图，则方程kx+b=0的解为 x=_______，不等式kx+b<0的解集为x_______．
2、（2006年吉林省）已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）和直线y2=kx+b（k≠0）的图象如图，则当x=______时，y1=0；当x______时，y1<0；当x______时，y1>y2．
3、如图，平面直角坐标系中画出了函数y=kx+b的图象．
（1）根据图象，求k，b的值；
（2）在图中画出函数y=-2x+2的图象；
（3）求x的取值范围，使函数y=kx+b的函数值大于函数y=-2x+2的函数值．
4、育才中学需要添置某种教学仪器．方案1：到商
购买，每件需要8元；方案2：学校自己制作，每
件4元，另外需要制作工具的租用费120元．设需要
仪器x件，方案1与方案2的费用分别为y1，y2（元）．
（1）分别写出y1，y2的函数表达式；
（2）当购置仪器多少件时，两种方案的费用相同？
（3）若学校需要仪器50件，问采用哪种方案便宜？请说明理由．
5、如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出
发到乙港行驶过程中路程随时间变化的图象（分别是
正比例函数图象和一次函数图象），根据图象解答下
列问题：
（1）请分别求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）轮船和快艇在途中（不包括起点和终点）行驶的速度分别是多少？
（3）问快艇出发多长时间赶上轮船？
四、综合应用
1、如图所示，设田地自动喷灌水管AB高出地面1.5米，在B处有一个自动旋转的喷水头，一瞬间喷出的水流是抛物线状，喷头B和水流最高点C的连线与水平地面成45°角，点C比B高出2米，在所建的坐标系中，求水流的落地点D到点A的距离是多少？
2、某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，
如果成人按规定剂量服用，那么服药后2小时时血液
中含药量最高，达每毫升6微克（1微克=10-3毫克），
接着逐步衰减，10小时时血液中含药量为每毫升3
微克，每毫升血液中含药量y（微克）随时间x（小时）的变化如图所示．当成人按规定剂量服药后:
（1）分别求出x≤2和x≥2时x与y之间的函数关系式；
（2）如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上时在治疗疾病时是有效的，那么这个有效时间是多长？
第六篇 多边形
专题二十四 多边形与平行四边形
一、考点扫描
二、考点训练
1、（2006年河南省）如图，在ABCD中，E为CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F，求证：△ABF与 ABCD的面积相等．
2、（2005年山东省）如图，在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，当E、F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形（ ）
A．OE=OF B．DE=BF
C．∠ADE=∠CBF D．∠ABE=∠CDF
3、（2005年西宁市）如图，在ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB=6，那么对角线AC+BD=_______．
4、（2005年天津市）如图，在ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，EF与GH交于点O，则该图中的平行四边形的个数共有（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．11个
5、（2006年扬州市）ABCD的对角线交于点O，下列结论错误的是（ ）
A、ABCD是中心对称图形 B、△AOB≌△COD
C、△AOD≌△BOC D、△AOB与△BOC的面积相等
6、（2006年淄博市）如图6，在△MBN中，BM=6，点A，C，D分别在MB，NB，MN上，四边形ABCD为平行四边形，∠NDC=∠MDA，则ABCD的周长是（ ）
A．24 B．18 C．16 D．12
7、（2006年怀化市）如图7，AB=AC，AD⊥BC，AD=BC，若用剪刀沿AD剪开，则最多能拼出不同形状的四边形个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8、如图8， ABCD中，点E、F分别是AD、AB的中点，EF交AC于点G，那么AG：GC的值为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3
9、（2006年南通市）如图9， ABCD的周长是28cm，△ABC的周长是22cm，则AC的长为（ ）
A．6m B．12cm C．4cm D．8cm
三、例题剖析
1、（2006年临安市）已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．
求证：（1）△ADF≌△CBE；（2）EB∥DF．
2、如图，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，求证：BC=DE．
四、综合应用
1、（2006年江阴市）已知平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上．
（1）若AB=10，AB与CD间距离为8，AE=EB，BF=FC，求△DEF的面积．
（2）若△ADE、△BEF、△CDF的面积分别为5、3、4，求△DEF的面积．

2、如图14－1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点(不在直线
AC上)，∠ACB = 90°，M为AB边中点．
操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连结PM并
延长到点E，使ME = PM，
连结DE．
探究：⑴请猜想与线段DE有关的三个结论；
⑵请你利用图14－2，图14－3选择不同位置的点P按上述方法操作；
⑶经历⑵之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；
如果你认为你写的结论是错误的，请用图14－2或图14－3加以说明；
(注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分)
⑷若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”，其他条件不变，利用图14－4操作，并写出与线
段DE有关的结论(直接写答案)．
专题二十五 矩形、菱形、正方形
一、考点扫描
二、考点训练
1．如图1，在菱形ABCD中，已知AB=10，AC=16，那么菱形ABCD的面积为________．
2．（2006年黄冈市）如图2,将边长为8cm的正方形ABCD的四边沿直线L向右滚动（不滑动），当正方形滚动两周时，正方形的顶点A所经过的路线的长是________cm．

(1) (2)
3．用两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰三角形；⑥等边三角形；一定可以拼成的是________（只填序号）．
4．如图，点E、F是菱形ABCD的边BC、CD上的点，请你添加一个条件（不得另外添加辅助线和字母），使AE=AF，你添加的条件是________．
5．（2006年烟台市）如图4,先将一矩形ABCD置于直角坐标系中，使点A与坐标系的原点重合，边AB、AD分别落在x轴、y轴上（如图①所示），再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转30°（如图②所示），若AB=4，BC=3，则图①和图②中，点B的坐标为_________，点C的坐标为________．


6．（2006年广安市）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线相等 　　　B．对角线互相垂直平分
C．对角线平分一组对角　D．四条边相等
7．如图5，在菱形ABCD中，E、F分别是AB，AC的中点，如果EF=2，那么菱形ABCD的周长是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
8．（2006年江阴市）已知如图6，则不含阴影部分的矩形的个数是（ ）
A．15 B．24 C．25 D．16
9．（2006年潍坊市）如图7，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．1- D．1-


10．（2006年淄博市）将一矩形纸片按如图8方式折叠，BC、BD为折痕，折叠后A′B与E′B在同一条直线上，则∠CBD的度数（ ）
A．大于90° B．等于90° C．小于90° D．不能确定
三、例题剖析
1、（05年黄冈）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E，又点F在DE的延长线上，且AF=CE．求证：四边形ACEF为菱形．
2、（2006年青岛市）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．
3、（2005年吉林省）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，BC=6，沿EF折叠后，点C落在AB边上的点P处，点D落在点Q处，AD与PQ相交于点H，∠BPE=30°．
（1）求BE、QF的长．（2）求四边形PEFH的面积．
四、综合应用
1、已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于E、F，
求证：四边形AFCE是菱形．
2、（2006年河南）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=3．D是BC边上一点，直线DE⊥BC于D，交AB于E，CF∥AB交直线DF于F．设CD=x．
（1）当x取何值时，四边形EACF是菱形？请说明理由；
（2）当x取何值时，四边形EACD的面积等于2？
专题二十六 梯形
一、考点扫描
二、考点训练
1．等腰梯形的上底、下底和腰长分别为4cm、10cm、6cm，则等腰梯形的下底角为________度．
2．如图，在梯形ABCD中，∠DCB=90°，AB∥CD，AB=25，BC=24．将该梯形折叠，点A恰好与点D重合，BE为折痕，那么AD的长度为________．
(第2题) (第3题)
3．如图所示，图1中梯形符合_________条件时，可以经过旋转和翻折形成图2．
4．如图所示，梯形纸片ABCD，∠B=60°，AD∥BC，AB=AD=2，BC=6，将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕为AE，则CE=________．
5．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB≠AD，对角线AC，BD相交于点O，如下四个结论： ①梯形ABCD是轴对称图形；②∠DAC=∠DCA；③△AOB≌△DOC；④△AOD∽△BOC．
请把其中正确结论的序号填在横线上：________．

(第5题) (第7题)
6．（2006年攀枝花市）若等腰梯形两底之差等于一腰的长，那么这个梯形一内角是（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
7．（2006年温州市）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，CD=5，则AD的长是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
8．（2006年潍坊市）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BC，点E是AB的中点，EC∥AD，则∠ABC为（ ）
A．75° B．70° C．60° D．30°

(第8题) (第9题)
9．（2006年长沙市）如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，AD=2，BC=8，则此等腰梯形的周长为（ ）
A．19 B．20 C．21 D．22
10．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=3，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，连AE、CE，则△ADE的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．不能确定
(第11题) (第12题)
11．（2006年随州市）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=3，BC=6，沿AE翻折梯形ABCD，使点B落在AD的延长线上，记为B′，连结B′E交CD于F，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于O，下面四个结论：
①△AOB∽△COD; ②△AOD∽△BOC; ③; ④S△AOD=S△BOC,其中结论始终正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
三、例题剖析
1、（2005年海南省）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=60°，AD=10，AB=18，求BC的长．
2、（05年南通）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC⊥BD于F，过点F作EF∥AB，交AD于点E，CF=4cm．
（1）求证：四边形ABFE为等腰梯形；
（2）求AE的长．
3、（2006年河南省）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，E为底边BC的中点，且DE∥AB，试判断△ADE的形状，并给出证明．
四、综合应用
1、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点为，B（5,0），M为等腰梯形OBCD底边OB上一点，OD＝BC＝2，∠DMC＝∠DOB＝60°．
（1）求直线CB的解析式；
（2）求点M的坐标；
（3）∠DMC绕点M顺时针旋转α　（30°＜α＜60°）后，得到∠D1MC1（点D1，C1依次与点D，C对应），射线MD1交直线DC于点E，射线MC1交直线CB于点F　，设DE＝m，BF＝n .求m与　n的函数关系式．
第一篇 数与式
专题一 实数
一、中考要求：
1．在经历数系扩张、探求实数性质及其运算规律的过程；从事借助计算器探索数学规律的活动中，发展同学们的抽象概括能力，并在活动中进一步发展独立思考、合作交流的意识和能力．
2．结合具体情境，理解估算的意义，掌握估算的方法，发展数感和估算能力．
3．了解平方根、立方根、实数及其相关概念；会用根号表示并会求数的平方根、立方根；能进行有关实数的简单四则运算．
4．能运用实数的运算解决简单的实际问题，提高应用意识，发展解决问题的能力，从中体会数学的应用价值．
二、中考热点：
本章多考查平方根、立方根、二次根式的有关运算以及实数的有关概念，另外还有一类新情境下的探索性、开放性问题也是本章的热点考题．
三、考点扫描
1、实数的分类：
实数
2、实数和数轴上的点是一一对应的．
3、相反数：只有符号不同的两个数互为相反数．
若a、b互为相反数，则a+b=0， （a、b≠0）
4、绝对值：从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离
5、近似数和有效数字；
6、科学记数法；
7、整指数幂的运算：
（a≠0）
负整指数幂的性质：
零整指数幂的性质： （a≠0）
8、实数的开方运算：
9、实数的混合运算顺序
*10、无理数的错误认识：⑴无限小数就是无理数如1．414141···(41 无限循环）；（2）带根号的数是无理数如；（3）两个无理数的和、差、积、商也还是无理数，如都是无理数，但它们的积却是有理数；（4）无理数是无限不循环小数，所以无法在数轴上表示出来，这种说法错误，每一个无理数在数轴上都有一个唯一位置，如，我们可以用几何作图的方法在数轴上把它找出来，其他的无理数也是如此．
*11、实数的大小比较：
(1).数形结合法
(2).作差法比较
(3).作商法比较
(4).倒数法: 如
(5).平方法
四、考点训练
1、（2005、杭州，3分）有下列说法：①有理数和数轴上的点—一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④－是17的平方根，其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2、如果那么x取值范围是（）
A、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x＞2
3、－8的立方根与的平方根的和为（ ）
A．2 B．0 C．2或一4 D．0或－4
4、若2m－4与3m－1是同一个数的平方根，则m为（ ）
A．－3 B．1 C．－3或1 D．－1
5、若实数a和 b满足 b=+,则ab的值等于_______
6、在－的相反数是________，绝对值是______.
7、的平方根是（ ）
A．9 B． C．±9 D．±3
8、若实数满足|x|+x=0, 则x是（ ）
A．零或负数 B．非负数 C．非零实数D.负数
五、例题剖析
1、设a=－，b=2－，c=－1,则a、b、c的大小关系是（）
A．a＞b＞c B、a＞c＞b
C．c＞b＞a D．b＞c＞a
2、若化简|1－x|－，则x的取值范围是（）
A．X为任意实数 B．1≤X≤4
C．x≥1 D．x＜4
3、阅读下面的文字后，回答问题：小明和小芳解答题目：“先化简下式，再求值：a+其中a=9时”，得出了不同的答案 ，小明的解答：原式= a+= a+(1－a)=1，小芳的解答：原式= a+(a－1)=2a－1=2×9－1=17
⑴___________是错误的；
⑵错误的解答错在未能正确运用二次根式的性质：
________
4、计算：
5、我国1990年的人口出生数为23784659人。保留三个有效数字的近似值是　　　　人。
六、综合应用
已知△ABC的三边长分别为a、b、c, 且a、b、c满足a2 －6a+9+，试判断△ABC的形状．
2、数轴上的点并不都表示有理数，如图l－2－2中数轴上的点P所表示的数是”，这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做（ ）
A．代人法B．换无法C．数形结合D．分类讨论
3、（开放题）如图l－2－3所示的网格纸，每个小格均为正方形，且小正方形的边长为1，请在小网格纸上画出一个腰长为无理数的等腰三角形．
4、如图1－2－4所示，在△ABC中，∠B=90○ ,点P从点B开始沿BA边向点A以 1厘米／秒的宽度移动；同时，点Q也从点B开始沿 BC边向点C以 2厘米/秒的速度移动，问几秒后，△PBQ的面积为36平方厘米？
5、观察表一，寻找规律．表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，其中a、b、c的值分别为
1
2
3
4
…
2
4
6
8
…
3
6
9
12
…
4
8
12
16
…
…
…
…
…
…
A．20、29、30 B．18、30、26
C．18、20、26 D．18、30、28
专题二 整式
一、考点扫描
1、代数式的有关概念．
(1)代数式是由运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子．
(2)求代数式的值的方法：①化简求值，②整体代人
2、整式的有关概念
(1)单项式：只含有数与字母的积的代数式叫做单项式．
(2)多项式：几个单项式的和，叫做多项式
(3)多项式的降幂排列与升幂排列
(4)同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类顷．
3、整式的运算
(1)整式的加减：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接．整式加减的一般步骤是：
(2)如果遇到括号．按去括号法则先去括号：括号前是“十”号，把括号和它前面的“+”号去掉。括号里各项都不变符号，括号前是“一”号，把括号和它前面的“一”号去掉．括号里各项都改变符号．
(3)合并同类项： 同类项的系数相加，所得的结果作为系数．字母和字母的指数不变．
4、乘法公式
(1).平方差公式:
(2).完全平方公式:
5、因式分解
(1).多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．
(2).分解因式的常用方法有：提公因式法和运用公式法
二、考点训练
1、－的系数是 ，是 次单项式；
2、多项式3x2－1－6x5－4x3是 次 项式，其中最高次项是 ，常数项是 ，三次项系数是 ，按x的降幂排列 ；
3、如果3m7xny+7和-4m2-4yn2x是同类项，则x= ,y= ；这两个单项式的积是＿＿。
4、下列运算结果正确的是（ ）
①2x3-x2=x ②x3?(x5)2=x13 ③(-x)6÷(-x)3=x3 ④(0.1)-2?10-1=10
（A）①② （B）②④ （C）②③ （D）②③④
5、若x2＋2（m－3）x＋16 是一个完全平方式，则m的值是（　　）
6、代数式a2－1，0,,x+，－，m，,–3b中单项式是 ，多项式是 ，分式是 。
三、例题剖析
1、设ａ－ｂ＝－2，求－ａｂ的值。
2、若的积中不含有和项，求p、q的植。
3、从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（如图1），然后将剩余部分剪拼成一个矩形（如图2），上述操作所能验证的等式是（ ）
A．a2-b2=（a+b）（a-b） B.（a-b）2=a2-2ab+b2
C.（a+b）2=a2+2ab+b2 D．a2+ab=a（a+b）
四、综合应用
1、将连续的自然数1至36按右图的方式排成一个正方形阵列，用一个小正方形任意圈出其中的9个数，设圈出的9个数的中心的数为a，用含有a的代数式表示这9个数的和为__________．
2、用火柴棒按下图中的方式搭图形．
（1）按图示规律填空：
第n个图形
1
2
3
……
火柴棒根数
（2）按照这种方式搭下去，搭第n个图形需要_________根火柴棒．
3、右边是一个有规律排列的数表，请用含n的代数式（n为正整数），表示数表中第n行第n列的数：______________．
专题三 分式
一、考点扫描
1．分式：整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么称为分式．
注：（1）若B≠0，则有意义；（2）若B=0，则无意义；（2）若A=0且B≠0，则=0
2．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．
3．约分：把一个分式的分子和分母的公团式约去，这种变形称为分式的约分．
4．通分：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．
5．分式的加减法法则：
（1）同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加
（2）异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算．
6．分式的乘除法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后
再与被除式相乘．
7．通分注意事项：
（1）通分的关键是确定最简公分母，最简公分母应为各分母系救的最小公倍数与所有相同因式的最高次幂的积；
（2）易把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉．
8．分式的混合运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的．
9．对于化简求值的题型要注意解题格式，要先化简，再代人字母的值求值．
二、考点训练
1、已知分式当x≠______时，分式有意
义；当x=______时，分式的值为0．
2、若将分式(a、b均为正数）中的字母a、b的值
分别扩大为原来的2倍，则分式的值为（ ）
A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的
C．不变 D．缩小为原来的
3、分式，当x 时分式值为正；当整数
x= 时分式值为整数。
4、计算所得正确结果为（ ）

5、若，则= 。
6、若=___
三、例题剖析
1、求值：
2、（2005、河南，8分）有一道题“先化简，再求值：，其中。”小玲做题时把“”错抄成了“”，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？
3、已知：P=，Q=(x+y)2 －2y(x-y)，小敏、小聪每人在x－2，y—2的条件下分别计算了P和Q的值，小敏说P的值比Q大，小聪说C的值比P大．请你判断谁的结论正确，并说明理由．
3、已知：
4、若无论x为何实数，分式总有意义，则m的取值范围是 。
四、综合应用
1、已知△ABC的三边为a，b，c，=
，试判定三角形的形状．
2、(阅读理解题）阅读下面的解题过程，然后解题：
题目：已知 求x+y+z+的值
解：设=k, ，
，
仿照上述方法解答下列问题：
已知：

专题四 二次根式
一、考点扫描
1．二次根式的有关概念
(1)二次根式
叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或O．
(2)最简二次根式
被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
(3)同类二次根式
化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式．
2．二次根式的性质
3．二次根式的运算
(1)二次根式的加减
①先把各个二次根式化成最简二次根式；
②再把同类三次根式分别合并
(2)三次根式的乘法
(3)二次根式的除法
二、考点训练
1、（2006年南通市）式子有意义的x取值范围是________．
2、（2006年海淀区）下列根式中能与合并的二次根式为（ ）
A、 B、 C、 D、
3、（06烟台市）若 ，则 =______．
4、（2005年福州市）下列各式中属于最简二次根式的是（ ）
A、 B、C、 D、
5、（2006年连云港市）能使等式成立的x的取值范围是（ ）
A．x≠2 B．x≥0 C．x>2 D．x≥2
6、（2005年长沙市）小明的作业本上有以下四题：
①=4a；②a；
③a；④（a≠0），做错的题是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
7、对于实数a、b，若=b-a，则（ ）
A．a>b B．a8、当1A、－1 B、2x－1 C、1 D、3－2x
三、例题剖析
1、（1）若0（2）若=x-4+6-x=2，则x的取值范围为__________．
2、设的整数部分为ａ，小数部分为ｂ，
求ａ2＋ａｂ＋ｂ2的值。
3、把（a－b）化成最简二次根式，正确的结果是（ ）
（A） （B）
（C）－ （D）－
4、甲、乙两同学对代数式（a>0，b>0）分别作如下的变形：
甲 =;
乙：=.
这两种变形过程的下列说法中，正确的是（ ）
A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确
C．只有甲正确 D．只有乙正确
5、
四、综合应用
1、（2006年内江市）对于题目“化简求值： ，其中a=”甲、乙两人的解答不同．
甲的解答是： =
=
乙的解答是：=
=，
谁的解答是错误的是，为什么？
2、（2006年桂林市）观察下列分母有理化的计算:
…
从计算结果中找出规律利用规律计算:
3、如果ａ＋ｂ＋｜－1｜＝4＋2－4，那么ａ＋2ｂ－3ｃ的值
第二篇 方程与不等式
专题五 一次方程（组）及应用
一、考点扫描
1、方程的有关概念
含有未知数的等式叫做方程．使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解(只含有—个未知数的方程的解，也叫做根)．
2、一次方程(组)的解法和应用
只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不为零的方程，叫做一元一次方程．
解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化成1．
3、方程组的有关概念
含有两个未知数并且未知项的次数是1的方程叫做二元一次方程．两个二元—次方程合在一起就组成了一个—。元一次方程组．二元一次方程组可化为
(a，b，m、n不全为零)的形式.
使方程组中的各个方程的左、右两边都相等的未知数的值，叫做方程组的解．
4、一次方程组的解法和应用
解二元(三元)一次方程组的一般方法是代入消元法和加减消元法．
二、考点训练
1、若代数式3a4b2x与0.2a4b3x-1能合并成一项，则x的值是（ ）
A． B．1 C． D．0
2、方程组 的解是 ，则a+b=
3、已知方程是二元一次方程，则mn= 。
4、已知关于x,y的方程组的解满足2x-3y=9，则m的值是_________.
5、把一张面值50元的人民币换成10元、5元的人民币，共有_____种换法．
6、（2006年随州市）“鸡兔同笼”是我国民间流传的诗歌形式的数学题，“鸡兔同笼不知数，三十六头笼中露，看来脚有100只，几多鸡儿几多兔？”解决此问题，设鸡为x只，兔为y只，所列方程组正确的是（ ）

三、例题剖析
1、解方程：x-
1、某酒店客房部有三人间，双人间客房，收费数据如下表：
普通（元/间/天）
豪华（元/间/天）
三人间
150
300
双人间
140
400
为吸引游客，实行团体入住五折优惠措施，一个50人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了一些三人普通间和双人普通间客房．若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费1510元，则旅游团住了三人普通间和双人普通间客房各多少间？
2、（2006年青岛市）某商店的老板销售一种商品，他要以不低于进价20%的价格才能出售，但为了获得更多利润，他以高出进价80%的价格标价，若你想买下标价为360元的这种商品，最多降低多少元，商店老板才能出售？
3、（2005年岳阳市）某体育彩票经售商计划用45000元从省体彩中心购进彩票20扎，每扎1000张，已知体彩中心有A，B，C三种不同价格的彩费，进价分别是A种彩票每张1.5元，B种彩票每张2元，C种彩票每张2.5元．
（1）若经销商同时购进两种不同型号的彩票20扎，用去45000元，请你设计进票方案；
（2）若销售A型彩票一张获手续费0.2元，B型彩票一张获手续费0.3元，C型彩票一张获手续费0.5元．在购进两种彩票的方案中，为使销售完时获得手续费最多，你选择哪种进票方案？
（3）若经销商准备用45000元同时购进A，B，C三种彩票20扎，请你设计进票方案．
专题六 分式方程及应用
一、考点扫描
1．分式方程．分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2．分式方程的解法：解分式方程的关键是大分母（方程两边都乘以最简公分母人将分式方程转化为整式方程．
3．分式方程的增根问题：
⑴ 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根l增根；
⑵ 验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．
4．分式方程的应用：
列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．
5．通过解分式方程初步体验“转化”的数学思想方法，并能观察分析所给的各个特殊分式或分式方程，灵活应用不同的解法，特别是技巧性的解法解决问题．
二、考点训练
1、（2004、海口）把分式方程的两边同时乘以(x-2), 约去分母，得（ ）
A．1-(1-x)=1 B．1+(1-x)=1 C．1-(1-x)=x-2 D．1+(1-x)=x-2
2、（2004、湟中，3分）正在修建的西塔（西宁～塔尔寺）高速公路上，有一段工程，若甲、乙两个工程队单独完成，甲工程队比乙工程队少用10天；若甲、乙两队合作，12天可以完成．若没甲单独完成这项工程需要x天．则根据题意，可列方程为_______________。
3、满足分式方程的x值是（ ）
A．2 B．－2 C．1 D．0
4、若方程有增根，则增根为_____，
a=________.
5、如果，则 A=____
B＝________.
6、当 k等于（ ）时，是互为相反
A． B.  C.  D. 
三、例题剖析
1、若关于x的方程无实数解，则m的值为________.
练习：
(1)、若关于x的方程有实数根，求m的
取值范围。
(2)、若关于x的方程无实数根，求m的
取值范围。
2、当m为何值时，关于x的方程的解是正值？
四、综合应用
1、甲、乙两地相距200千米，一艘轮船从甲
地逆流航行至乙地，然后又从乙地返回甲地，已知水流的速度为4千米／时，回来时所用的时间是去时的，求轮船在静水中的速度．
2、（2005、南充，8分）列方程，解应用题：
某车间要加工170个零件，在加工完90个以后改进了操作方法，每天多加工10个，一共用 5天完成了任务．求改进操作方法后每天加工的零件个数．
3、阅读理解题）先阅读下列一段文字，然后
解答问题：
已知：方程
方程
方程
方程
问题：观察上述方程及其解，再猜想出方程：x－10 =10的解，并写出检验．
专题七 一元二次方程及应用
一、考点扫描
1．一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方 程．一般形式：ax2＋bx+c=0(a≠0）
2．一元二次方程的解法：
⑴ 配方法：用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；②移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；④化原方程为(x+m）2=n的形式；⑤如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n=＜0，则原方程无解．
⑵ 公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是(b2－4ac≥0)
⑶ 因式分解法：因式分解法的步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．
3．一元二次方程的注意事项：
⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．如关于x的方程（k2－1）x2+2kx+1=0中，当k=±1时就是一元一次方程了．
⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①化方程为一元二次方程的一般形式；②确定a、b、c的值；③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4a＜0，则方程无解．
⑶ 方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4
⑷ 注意解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．
4．构建一元二次方程数学模型：一元二次方程也是刻画现实问题的有效数学模型，通过审题弄清具体问题中的数量关系，是构建数学模型，解决实际问题的关键．
5．注重．解法的选择与验根：在具体问题中要注意恰当的选择解法，以保证解题过程简洁流畅，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性．
二、考点训练
1、下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）

2、已知方程5x2+kx－10=0一个根是－5，则它的另一个根为 ．
3、关于x的一元二次方程
，则m的值为（ ）
A．m=3或m=－1 B. ．m=－3或m= 1
C．m=－1 D．m=－3
4、方程解是（ ）
A．x1=1 B．x1=0， x2=－3
C．x1=1，x2=3 D．x1=1， x2=－3
5、（2005、杭州，3分）若t是一元二次方程
ax2＋bx+c=0(a≠0）的根，则判别式Δ=b2－4ac和完全平方式M=(2a+b)2的关系是（ ）
A．Δ=M B．Δ＞M
C．Δ＜M D．大小关系不能确定
6、（2005、温州）已知x1、x2是方程x2－3x＋1 ＝0的两个实数根，则的值是( )
A、3 B、－3 C、 D、1
7、（2005、金华）用换元法解方程(x2－x)－＝6时，设＝y，那么原方程可化为（ ）
A. y2＋y－6＝0 B. y2＋y＋6＝0
C. y2－y－6＝0 D. y2－y＋6＝0
8、已知关于x的方程
有两个不相等的实根，那么m的最大整数是（ ）
A．2 B．－1 C．0 D．l“
三、例题剖析
1、（2005、，内江，4分）等腰△ABC中，BC=8，
AB、BC的长是关于x的方程x2－10x+m= 0的两根，则m的值是________.
2、两个数的和为6，差（注意不是积）为8，以这两个数为根的一元二次方
程是__________
3、（2005、南充，3分）关于x的一元二次方程ax2 +2x+1=0的两个根同号，则a的取值范围是_
_______________
4、（2004、海口，8分）某水果批发商场经销一种高档水果 如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
5、某书店老板去批发市场购买某种图书，第一次购书
用100元，按该书定价2．8元出售，并很快售完．由
于该书畅销，第二次购书时，每本的批发价比第一次高0．5元，用去了150元，所购书数量比第一次多10本，当这批书售出时，出现滞销，便以定价的5折售完剩余的图书．试问该老板第二次售书是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其他因素片若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？
四、综合应用
1、（2005、绍兴，4分）钟老师出示了小黑板上的题目(如图1－2－2）后，小敏回答：“方程有一根为1”，小聪回答：“方程有一根为2”．则你认为（ ）
A．只有小敏回答正确
B．只有小聪回答正确
C．小敏小聪回答都正确
D．小敏A聪回答都不正确
2、（2005、南昌，3分）如图1－2－3为长方形时钟钟面示意图，时钟的中心在长方形对角线的交点上，长方形的宽为20厘米，钟面数字2在长方形的顶点处，则长方形的长为_________厘米．
3、（阅读理解题）阅读下题的解答过程，请你
判断其是否有错误，若有错误，请你写出正确答案．已知：m是关于x的方程mx2 －2x＋m＝0的一个根，求m的值．
解：把x=m代人原方程，化简得m3=m，两边同时除以m，得m2 =1，所以m=l，把=l代入原方程检验可知：m=1符合题意，答：m的值是1．
专题八 一元一次不等式（组）及应用
一、考点扫描
1．一元一次不等式及不等式组的概念
2．不等式的基本性质：（）不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变．（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
3．不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．
4．不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集．
一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集．
5．求不等式（组）解集的过程叫做解不等式．
6．一元一次不等式的解法．
解一元一次不等式的步骤：①去分母，②去话号，③移项，④合并同类项，⑤系数化为1（不等号的改变问题）
7、一元一次不等式组的解．
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集
（2）利用数轴或口诀求出这些解集的公共部分，即这个不等式的解。
8．求不等式（组）的正整数解，整数解等特解，可先求出这个不等式的解集，再从中找出所需特解．
9、列不等式解应用题的一般步骤：列不等式解应用题和列方程解应用题的一般步骤基本相似，其步骤包括：①设未知数；②找不等关系；③列不等式（组）④解不等式（组）⑤检验，其中检验是正确求解的必要环节．
二、考点训练
1、（2004、北碚）关于x的不等式2x－a≤－1的解集如图所示，
则a的取值是（ ） （ ）
A.0 B.－3
C.－2 D.－1
2、若a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ）

3、（2004、湟中）. 设 A 、B 、 C 表表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图1－1－2所示，那么“ AA”、“B ”、“ C ”这三种物体按质量从大到小的顺序排应为（ ）
A、A B C B、C B A
C、 B A C D、B C A
4、已知关于x的不等式(1－a)x＞3的解集为x<，则a的取值范围是（ ）
A．a＞0 B．a＞1 C．a＜0 D．a＜1
5、已知关于x的方程 3x－（2a－3）=5x +（3a+6）的解是负数，则a的取值范围是________
6、使不等式x－5＞4x—l成立的值中的最大的整数是（ ）
A．2 B．－1 C．－2 D．0
7、（2004、汉中，3分）把不等式组 的解集表示在数轴上，确的是图l－l－6中的（ ）


8、（2004、海淀模拟，3分）若不等式组的解集为x＞2，则a的取得范围是（ ）
A. a＜2 B. a≤2 C. a＞2 D. a ≥2
三、例题剖析
1、如果关于x的不等式（2a－b）x+a－5b＞0的
解为x＜，求关于x的不等式ax＞b的解集．
2、若不等式组有5个整数解，则a 的取范围是_______
3、若不等式组的解集是5＜x＜22时， a=____, b=_______.
4、在方程组中，若未知数x 、y满足 x＋y>0，求m的取值范围。
四、综合应用
1、（2005、绍兴，10分）班委会决定，由小敏、小聪两人负责选购圆珠笔、钢笔共22支，送给结对的山区学校的同学．他们去了商场，看到圆珠笔每支5元，钢笔每支6元．
（1）若他们购买圆珠笔、钢笔刚好用去120元，问圆珠笔、钢笔各买了多少支？
（2）若购圆珠笔可9折优惠，钢笔可8折优惠，在所需费用不超过100元的前提下，请你写出一种选购方案．
2、（新情境题）商场出售的A型冰箱每台售
价2190元，每日耗电量为1度，而B型节能冰箱每台售价虽比A型冰箱高出10％，但每日耗电量却为0．55度．现将A型冰箱打折出售时一折后的售价为原价的，问商场至少打几折，消费者购买才合算（按使用期为10年，每年365天，每度电0．4 0元计算）．
东海县横沟中学08—09年度第一学期期末复习教学案
第三章 二次根式
主备人：龚建飞 审核人：徐茂启、张梅
【知识回顾】
1.二次根式：式子（≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：
⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：
二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：
（1）（）2= （≥0）； （2）
5.二次根式的运算：
⑴二次根式的加减运算：
先把二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可。
⑵二次根式的乘除运算：
①=（≥0,b≥0）； ②
【基础训练】
1．化简：（1）__ __； （2）___ __； （3）___ _；
（4）___ _； （5）。
2.(08，安徽)化简=_________。
3.（08，武汉）计算的结果是
Ａ.2 Ｂ．±2 Ｃ．-2 Ｄ．4
4. 化简：
（1）（08，泰安）的结果是 ； （2）（08，南京）的结果是 ；
（3）(08，宁夏)= ； （4）（08，黄冈）5-2=_____ _；
（5）（08，宜昌）＋（5－）=_________； （6）(08，大庆) ；
（7）(08，荆门)＝________；（8）（08，厦门） ．
5．（08，重庆）计算的结果是
A、6 B、 C、2 D、
6．（08，广州）的倒数是 。
7. (08，聊城)下列计算正确的是
A． B． C． D．
8.下列运算正确的是
A、 B、 C、 D、
9．（08，中山）已知等边三角形ABC的边长为，则ΔABC的周长是____________；
10. 比较大小：３　　　　。
11．（08，嘉兴）使有意义的的取值范围是 ．
12.(08，常州)若式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是
A.x>-5 B.x<-5 C.x≠-5 D.x≥-5
13. (08，黑龙江)函数中，自变量的取值范围是 ．
14.下列二次根式中，的取值范围是≥2的是
A、 B、 C、 D、
15.（08，荆州）下列根式中属最简二次根式的是
A. B. C. D.
16．（08，中山）下列根式中不是最简二次根式的是
A． B． C． D．
17．（08，常德）下列各式中与是同类二次根式的是
A．2 B． C． D．
18．下列各组二次根式中是同类二次根式的是
A． B． C． D．
19.(08，乐山)已知二次根式与是同类二次根式，则的α值可以是
A、5 B、6 C、7 D、8
20．（08，大连）若，则xy的值为
A． B． C． D．
21.（08，遵义）若，则 ．
22．（08，遵义）如图，在数轴上表示实数的点可能是
A．点 B．点 C．点 D．点
23.计算：
（1）（08，长春） 　　（2）（08，长春）
（3）（08，上海）． （4）（08，庆阳）．
（5）
24.先将÷化简，然后自选一个合适的x值，代入化简后的式子求值。
25.（08，广州）如图，实数、在数轴上的位置，
化简 ：
【能力提高】
26.( 08，济宁)若，则的取值范围是
A． B． C． D．
27.(08，济宁)如图，数轴上两点表示的数分别为1和，点关于点的对称点为点，则点所表示的数是
A． B． C． D．
28．先阅读下列的解答过程，然后作答：
有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数和，使且，
则可变为，即变成开方，从而使得化简。
例如： =
=，
∴
请仿照上例解下列问题：
（1）； （2）
一元二次方程
【知识回顾】
1.一元二次方程的概念：形如：
2.一元二次方程的解法：
（1）直接开平方法：（2）配方法：（3）因式分解法：（4）公式法：求根公式：
3.一元二次方程的根的判别式：
（1）当 时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当 时，方程有两个相等的实数根；
（3）当 时，方程没有实数根。
4.用方程解决实际问题：略
【基础训练】
1．解下列方程
（1）(2x＋3)2－25＝0.（直接开平方法） （2） （配方法）
（3）（因式分解法） （4）（公式法）
2.（08，温州）我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法，开平方法，配方法和公式法．请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程．
①； ②； ③； ④．
3.（08，遵义）一元二次方程的解是 ．
4.（08，兰州）方程的解是
A． B． C．或 D．
6. (08，丽水) 一元二次方程可转化为两个一次方程，其中一个一次方程是，则另一个一次方程是 ．
7.用配方法解方程，下列配方正确的是
A． B． C． D．
8.（07，成都）下列方程中，有两个不相等实数根的是
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
11.（08，潜江）关于的一元二次方程的一个根为1，则方程的另一根为 。
A． B． C． D．
13.（08，鸡西）三角形的每条边的长都是方程的根，则三角形的周长是 ．
14.（08，达州）某商品原价100元，连续两次涨价后售价为120元，下面所列方程正确的是
A． B．
C． D．
15.（08，泰州）一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至现在的48.6元，则平均每次降价的百分率是 ．
16.（08，襄樊）某种药品零售价经过两次降价后的价格为降价前的81%,则平均每次降价
A.10% B.19% C.9.5% D.20%
17.（04，泰安）某商场第一季度的利润是82.75万元，其中一月份的利润是25万元，若利润平均月增长率为，则根据题意列方程为
A． B．
C． D．
【能力提高】
18.已知一元二次方程有一个根是2，那么这个方程可以是　　 。（填上一个符合条件的方程即可）
19.（06，铜仁）写出一个以—2和4为根的一元二次方程：_________________ _。
20. 已知是方程的一个根，则代数式的值等于
A、１ B、－１ C、0 D、2
21.（08，威海）关于的一元二次方程的根的情况是
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定
22.（08，苏州）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 ．
23.如图为长方形时钟钟面示意图，时钟的中心在长方形对角
线的交点上，长方形的宽为20厘米，钟面数字2在长
方形的顶点处，则长方形的长为_________厘米．
24.在实数范围内定义一种运算“”，其规则为，根据这个规则，方程 为： ；
25．（07，梅州）将4个数排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则 ．
26.（08，资阳）、、分别是三角形的三边，则方程的根的情况是
A．没有实数根 B．可能有且只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
27.（08，荆州）甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价均为元的商品，甲超市连续两次降价20%，乙超市一次性降价40%，丙超市第一次降价30%，第二次降价10%，此时顾客要购买这种商品最划算应到的超市是
A.甲 B.乙 C.丙 D. 乙或丙
28.(08，湘潭)阅读材料：
如果，是一元二次方程的两根，那么有.
这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题，例是方程的两根，求的值.解法可以这样：
则
.
请你根据以上解法解答下题：
已知是方程的两根，求：
（1）的值；
（2）的值.

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