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命题中的“推陈出新”的探究
只要高考还存在，那对高考命题的研究就永远就都是一个热点。如何在已有的基础上，在稳定的前提下，随着课改的到来，给高考也带来一些丝丝绿意，让高考展现他的风采！命题的“新”可以来自很多方面，本文就“如何将‘新’的知识点与‘旧’的主干知识进行交汇以达到‘推陈出新’ ”的目的进行探究。以已有高考题作为引例，探索新的出题方向，力求达到高考的能力要求，体现数学思想方法。
一、零点存在定理、二分法
高考要求：了解函数的零点与方程根的联系，根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．
零点存在定理为我们解决方程“根的存在性的问题”时提供了大前提；二分法为我们提供“缩小区间”的解决方法。
引例1．（09福建省质检）函数
的零点所在的区间是（）
A. B. C. D.
引例只是进行零点存在定理的简单应用。题面是求函数的零点存在区间，只考查了零点存在定理。
例1题面是求方程的解的个数，依然在考查零点存在定理，但结合了函数与方程的思想；第一问，通过运算填写表格，缩小范围研究；第二问，分析数据，再次缩小范围，是一个从特殊到一般的过程；第三问，用数学归纳法证明结果，体现数学的严谨；最后运用数形结合，将范围扩大到整个定义域，探究两个图像的交点个数。整体上体现探究的过程，最终完成探究。
可以看出，例1在命题的过程，不仅考虑到零点存在定理的实际应用，还结合了合情推理、演绎推理等知识，考查了考生，运算求解、数据分析的能力，考查了函数与方程、数形结合、特殊到一般的数学思想。
例1．某学习兴趣小组在研究方程的实数根问题时，确定如下研究方案，请完成步骤（Ⅰ）~（Ⅳ）
（Ⅰ）填表
1
2
3
4
5
6
7
8
（Ⅱ）根据表中的数据猜想：若，则当 时，；
（Ⅲ）用数学归纳法证明（Ⅱ）中的猜想；
（Ⅳ）试推测结论：若，则方程的实数根个数为 。
二、三视图
引例2．（2008山东卷6）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）
(A)9π　　　　　　　（B）10π
(C)11π (D)12π
引例3：（2008广东）将正三棱柱截去三个角（如图1所示，分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）

引例2给出一个几何体的三视图，求这个几何体的表面积；引例3给出一个几何体，直接要求做出几何体的三视图。
高考要求：能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，了解空间图形的不同表示形式．
而立体几何作为培养学生空间想象力的一个有利工具，它还强调对空间图形的整体认识和把握，从实物到图形，从三视图、直观图想像空间几何体，再从空间几何体的整体来把握直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系．一方面，对基本的几何图形（平面或立体）要非常熟悉，才能正确画图；另一方面，正确识别图形，了解三视图和直观图的关系，分析几何图形中各元素在空间中的形状、大小和位置关系，才能突破习惯看平面图形的思维定势．所以可以（如例2）这样，以三视图为载体，根据数量关系不仅可以计算几何体的体积（或表面积），进而判断几何体中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系。
例2.如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图、侧视图（其中正视图为直角梯形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形，尺寸如图所示）
（Ⅰ）求四棱锥的体积；
（Ⅱ）证明：∥面；
（Ⅲ） 是否存在BC上的动点G，使得．
三、算法、框图
算法通常是指按一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤。
引例4．阅读图4的程序框图，若输入，，则输出 ， ．
（注：框图中的赋值符号“”也可以写成“”或“”）
引例4为阅读一个程序框图，从中得出算法，计算最后结果。考查考生对算法、程序框图的应用能力。
高考要求：了解算法的含义，了解算法的思想，了解程序框图．
就算法本质而言，它是培养学生逻辑思维的一个有力工具。又因为运用公理、定理、或已有的结论进行解决问题的过程就是一个算法的实施过程；所以可以将算法的考察与常考知识点进行很好的交汇，（如例3）。
例3．对于任意，，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：
①输入数据，经过数列发生器输出；
②若，则数列发生器结束工作；若，
则将反馈输入端，再输出，并依此规律继续下去．
现定义．
（I）若输入，则由数列发生器产生数列，请写出数列的所有项；
（II）若数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据的值；
（III）若输入时，产生的无穷数列满足：对任意正整数，均有，求的取值范围．
例3将算法（框图）与函数、数列进行融合；由函数来产生数列，用算法来展现数列产生的过程，它是一个循环结构，循环停止的条件又是来之函数的定义域，读懂算法，才能明白其中代换过程，明白程序结束的条件是，将算法与函数的性质紧密联系。（I）问给定函数、给定初值，要求请写出数列的所有项；不仅考查考生的算法以及函数的基础知识，考查考生的运算求解的能力，而且为后续问题做一个台阶；（II）问，在（I）问的基础提出，它其实是一个开放性题。因为给定的函数的定义域是，所以只有当是程序才会停止；又因为此函数为反比例函数，所以会使程序停止的所有自变量所形成的数列只有一个，将这列数排除以后，其他自变量均可作为初值；还可以引用特殊数列（常数列）来解决。即令得到或。第Ⅲ问又是在第二问无穷数列的基础上在添条件，表示产生的数列是一个递增数列，即要求，它也是读懂算法后才有的结论。
例4．（2008江苏）某地区为了解岁的老人的日平均睡眠时间（单位：），随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表：
序号
分组（睡眠时间）
组中值（）
频数（人数）
频率（）
1
6
2
10
3
20
4
10
5
4
在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S的值为 ▲
例4是以统计中的频率分布表为背景，通过算法来呈现即将进行怎样的数据处理——计算平均数，考生只要读懂算法即可顺利解题。
例5.某工厂有十批羊毛，在处理前后，分别测得含脂率(%)分别如下：
羊毛一
羊毛二
羊毛三
羊毛四
羊毛五
羊毛六
羊毛七
羊毛八
羊毛九
羊毛十
处理前
6
14
15
20
21
23
30
33
44
56
处理后
4
5
7
8
10
12
13
15
16
26
将处理前后的羊毛含脂率用茎叶图表示，并由图出发分析比较后，你有何结论；
(2)若分别在处理前与处理后从这十批羊毛中各随机抽出1批羊毛进行检查，求两次检查中至少有1批羊毛含脂率在5%到15%之间(包括5%与15%)的概率；
(3)为了检验羊毛抽脂机的抽脂性能，请设计一程序框图，求出这十批羊毛处理前的含脂率%关于处理后的含脂率%的线性回归方程中的斜率与截距。
统计学是一门处理数据的学科，存在着繁杂的、重复的运算，因此将它的有些内容编制成算法程序，可以大大提高解决问题的速度，具有很强的现实意义。例5就在这样的现实背景下，通过具体数据，考查考生对数据的统计能力。第1设问对数据进行简单处理（用茎叶图表示），并进行分析，学生易于入手；第2问是一个古典概型的问题，学生可以通过列举法得出结论；第3问，求回归直线方程。求回归直线方程是一个复杂的计算过程，因此本题回避计算，而通过算法进行考查，让程序为我们服务，提高试卷的效度，也从另一个角度考查算法的思想。
算法具有三大结构，其中顺序结构能将三段论完美呈现、条件结构能将分类思想得以体现、循环结构可将循环体（循环体内部还可含有顺序结构、条件结构、循环结构）进行有限次的重复，将算法与统计、数列、函数等知识点结合，不仅能考查考生识图、收集数据和处理数据的能力，并且考查考生分析问题，解决问题的能力；还可以考查考生抽象概括能力、推理论证的能力；并在一定程度上减少运算量。
四、几何概型、随机数、统计案例
引例5．（2008江苏卷6）在平面直角坐标系中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域， E是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率 ．
引例5，根据条件构成平面区域，用面积比得到概率，是一道考查几何概型的题目。
“几何概型、随机数、统计案例”也是新课程中新增加的一个内容，在学习的程度也只是要求把握到了解这个层次就已经足够，那么在高考这一选择性考试中如何将他们融入常考知识点，融入重点知识点呢？这也必将是命题的又一个亮点！
高考要求：了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；了解几何概型的意义；了解下列一些常见的统计方法（独立性检验、假设检验、回归分析），并能应用这些方法解决一些实际问题．
例6．已知（），
（Ⅰ）当，时，在右边的坐标系内分别做出两个函数的图像，观察图像并判断当时，与的大小关系．
（Ⅱ）当，时，任取，使得<成立的概率。
（Ⅲ）若，，
事件A={任取，<恒成立}，
请设计一个“求使得事件A发生的概率为0.5的t的最小值，其中精确度ε=0.01” 的程序框图。
例6，以函数知识作为出发点，通过函数图像判断两个函数值的大小关系作为背景，还是再考查概率的知识。第1问是一个铺垫，提示解决问题的方法——作图、读图、归纳，考查考生识图以及对图形的处理的能力，考查数形结合的思想；第2问在第1问的基础上稍作改变，引发几何概型的产生；第3问的根本是一个古典概率。通过给定的概率求解参变量的最小值，是古典概型的概率求法的逆运用，存在一定的难度。经过分析求解，可以得到最小值为方程的根，将函数的图像、函数的交点，二分法、古典概率、几何概率有机的融合在一起，并通过程序来体现概率、二分法的的思想，避免了繁杂的计算和求解过程。
满足的数的个数
满足的数的个数
合计
满足的数的个数
110
1200
满足的数的个数
550
合计
2400
则数据表中数据计算出的概率P的估计值为

例7以求在一定条件下二次函数的存在两个相异零点为背景，考查几何概型的知识点。本题的第一看点，通过随机数来计算概率，第二看点，将统计结果以列联表来呈现；第三看点，要求概率的或然性而不是必然性。它将二次函数的零点、几何概型、随机数、列联表、以及用频率来估计概率等知识进行交汇，对各知识点的要求不高，但区分度较高的一道好题。
五、推理、证明
引例6．（2008福建）设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意，都有，，，（除数），则称P是一个数域．例如有理数集Q是数域；数集也是数域．有下列命题：
①整数集是数域；②若有理数集，则数集M必为数域；③数域必为无限集；④存在无穷多个数域．
其中正确的命题的序号是　　　　．（把你认为正确的命题的序号都填上）
引例6是定义型的信息迁移题。数域原本是大学的一个概念，本题目的是：在考生原有认知水平的基础上，通过即时学习便可即时理解和掌握的新知识，考查考生将数学概念迁移到不同情景下的探究能力，检测考生进一步学习的潜能。
例8．定义：平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系（两条数轴的原点重合且单位长度相同）称为平面斜坐标系；在平面斜坐标系中，若（其中、分别为斜坐标系轴、轴正方向上的单位向量，，为坐标系的原点），则有序数对称为点的斜坐标.在平面斜坐标系中，若，点的斜坐标为（1，2），则以点为圆心，1为半径的圆在斜坐标系中的方程是（）
A. B.
C. D.
例8也是在考查新概念的探究，但它是在学生已有的知识上稍作变化——即将斜二测画法进一步一般化，建立一个斜坐标系；并在此坐标系中求圆的方程。考查了解析几何的内涵，圆的本质；也考查了类比的思想：将直角坐标系的亮点的距离的求法进行类比（也就是解直角三角形与解斜三角形的类比）。此题的区分度较高，有效地将解三角、求远的方程、坐标系的建立等知识点结合起来，形成一个新的概念，更接近与学生的最近发展区，更能考查考生的学习潜能。
例9．为了探究函数最值，请完成以下步骤：
（Ⅰ）先探究当自变量x在区间上的最值情况，列表如下：
x
…
0.1
0.2
0.5
0.7
0.9
1
1.1
1.2
1.3
2
3
4
5
…
y
…
30.00
15.01
6.13
4.63
5.01
4
4.06
4.23
4.50
9.50
28
64.75
125.6
…
观察表中y值随x值变化的趋势，当x= 时，的最小值为 ；
（Ⅱ）再探究函数当自变量x在区间和在区间上的最值情况。问：是否存在最值？若存在，是最大值或最小值？请写出你的结论，不要求证明。
（Ⅲ）请证明你在（Ⅰ）所得到的结论是正确的。
例9的题面是求函数的最值，但它不是简单的求解最值的题目，而是展现求最值的一种探究方法——用特殊来研究一般，并通过（Ⅰ）的设问考查对数据的处理能力和归纳推理的能力，（Ⅱ）问是一个函数图像堆成性的问题（奇偶性），考生也可以再次运用（Ⅰ）问所给的方法进行探究，只需要结果，不需要过程的程现，是合情推理的体现；（Ⅲ）问才要求考生运用演绎推理的方式进行验证；为即时解决问题的一个探究过程。确实考查学生的探究问题的能力，另一方面，将探究的过程做部分呈现，又降低了解题的门槛。
例10．先阅读下列不等式的证法：
已知：函数的定义域为，其中， ．
求证：．
证明：因为函数的定义域为
所以对一切恒成立
所以，故得．
再解决下列问题：
（Ⅰ）已知：函数的定义域为，其中，，，
求证：；
（Ⅱ）试将上述命题中的参变量的个数推广到n个，并证明你的结论．
例10，通过一个已有的命题的论证过程的呈现，引发看书在即时理解的基础上，通过（Ⅰ）问，引导考生将论证方法进行简单类比；（Ⅱ）问考查考生抽象概括能力，从有限的论证过程中寻找变化的规律，并通过演绎法对结论进行论证。考查考生即时的归纳演绎的能力，难度中，区分度高，是一个考查考生创新能力的题目。
后记：命题是一个长久的、永恒的话题，如何体现素质教育的结果，如何体现数学修养的形成过程，如何才能检验一个学习者的理性思维是否形成，综合考查考生各种能力，这将是高考命题的难点与重点。
附注：
能力要求
1．空间想像能力（1）识图与画图的结合（2）概念与推理的结合（3）对图形的处理
2．抽象概括能力（1）数学语言——一是要求考生读懂题目的叙述，把所给的文字和数学符号翻译成数学关系输入大脑，以便于大脑加工；二是要求考生有一定的语言表达能力，能清楚、准确、流畅地表达自己的解题过程，并要求表达条理清晰，层次分明，没有逻辑错误，能准确规范地使用各种数学名词、术语和数学符号．（2）对模式和方法的概括（3）从现实问题中概括出具体的数学模型
3．推理论证能力（1）演绎推理（2）合情推理
4．运算求解能力（1）运算的合理性（2）运算的准确性（3）运算的熟练性（4）运算的简捷性
5．数据处理能力
第一步： 将收集到的数据资料加以整理和归纳，用列表、作图等方法，并借助于少数几个简单的特征数字，把这些数据的主要特点表现出来；
第二步：将整理、归纳后所得到的数据资料加以分析，发掘这些数据资料所遵循的规律；
第三步：依据统计或统计案例中的方法对数据进行整理、分析，抽取对研究问题有用的信息，并作出判断.
6．应用意识
在考查应用意识时，应注意如下若干问题：①导向性②有效性③综合性④恰当性⑤公平性
7．创新意识
数学思想方法
1．函数与方程思想2．数形结合思想3．分类与整合思想4．化归与转化思想5．特殊与一般思想6．有限与无限思想7．必然与或然思想。

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