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高三数学学科素养测试试卷
一 填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第16题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.
1. 设全集．若集合，，则_________．
2. 若复数满足，其中为虚数单位，则_________．
3. 圆柱的底面半径为3，高为4，其侧面积为__________.
4. 函数的最大值为__________.
5. 二项式展开式中，系数最大的项为______．
6. 若满足，则曲线在点处切线倾斜角为__________.
7. 在平面直角坐标系中，已知点、，、是轴上的两个动点，且，则的最小值为____．
8. 若直线经过双曲线一个焦点，且与该双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的方程为__________.
9. 已知实数的平均数为4，则这四个数的中位数的取值范围是______．
10. 设a＞0,b＞0． 若关于x,y的方程组无解，则的取值范围是 ．
11. 三位好友进行乒乓球循环赛，先进行一局决胜负，负者下，由挑战 的胜者，继续进行一局决胜负，负者下，胜者下一局再接受第三人的挑战，依此进行.假设三人水平接近，任意两人的对决获胜的概率都是且不受体力影响，已知三人共比赛了3局，那么这3局中三人各胜一局的概率为__________.
12. 如图，平面内一条长度为的线段恰好能通过直角拐角，拐角点到所在直线的距离为，到所在直线的距离为，若恰好过点才能通过拐角，则的值约为__________.（结果精确到）
二 选择题（本大题共有4题，满分18分，其中第13~14题每题满分4分，第15~16题每题满分5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
13. 若正数、、均不为1，则下列不等式中与“”等价的是（ ）
A. B.
C. D.
14. 已知函数为奇函数，当时，，当时，的表达式为（ ）
A B.
C. D.
15. 有下列几何对象：①长度为的短棍（粗细忽略不计）；②面积为的正方形纸片（厚度忽略不计，不可折叠）；③体积为的正四面体木块.关于上述几何对象能否单独完全装入一个棱长为的正方体盘子（壁厚度忽略不计），正确的结论是（ ）
A. 仅①②能 B. 仅②③能
C. 仅①③能 D. ①②③均能
16. 对于命题：①存在、、的某个排列，使得对任意，这三个数均不能成等比数列；②对、、的任意排列，均存在相应的，使得这三个数成等差数列.下列判断正确的是（ ）
A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题
C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题
三 解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17. 如图，在正四棱锥中，点为中点.
（1）若为的中点，判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）正四棱锥的各棱长均为2，求直线与底面所成角的大小.
18. 袋中有大小和质地均相同的10个球，其中4个黄球，6个白球，从中随机地摸出3个球，用表示其中黄球的个数.
（1）采用不放回摸球，求的分布；
（2）采用有放回摸球，求的分布 期望和方差.
19. 如图，某公园有一三角形的花坛，已知围栏长5米，长7米，，拟在该花坛中修建一条直围栏（即线段，点分别在三角形的两边上），以种植两种不同颜色的菊花供游客观赏，花坛设计者希望通过围栏实现两种菊花的种植面积相等且同一时刻花坛边游客近距离赏花的人数的最大值相等.试问：在的边上是否存在两点，使得线段既平分的面积又平分其周长？若存在，求出所有满足要求的点的位置（结果精确到0.1米）；若不存在，请说明理由.
20. 已知函数满足：在定义域内存在实数，使得.设集合是满足上述性质的函数的全体.
（1）若，判断函数是否属于集合，并说明理由；
（2）设，若函数属于集合，求的取值范围；
（3）设，求证：对任意实数，函数均属于集合.
21. 如图，设椭圆为的左 右焦点，过点的直线与交于两点.
（1）若椭圆的离心率为的周长为6，求椭圆的方程；
（2）求证：为定值；
（3）是否存在直线，使得为等腰直角三角形？若存在，求出的离心率的值，若不存在，请说明理由.高三数学学科素养测试试卷
一 填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第16题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.
1. 设全集．若集合，，则_________．
【答案】
【解析】
【详解】因为，所以
考点：集合运算
2. 若复数满足，其中为虚数单位，则_________．
【答案】
【解析】
【详解】设，则
考点：复数相等，共轭复数
3. 圆柱的底面半径为3，高为4，其侧面积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由圆柱的侧面积公式直接计算即可.
【详解】因为圆柱的底面半径为3，高为4，
所以其侧面积为
故答案为：
4. 函数的最大值为__________.
【答案】5
【解析】
分析】借助辅助角公式计算即可得.
【详解】，其中，
由，故的最大值为5.
故答案为：5.
5. 二项式的展开式中，系数最大的项为______．
【答案】
【解析】
【分析】先得到展开式的通项公式，进而得到要想系数最大，则为偶数，比较后得到答案.
【详解】展开式通项公式为，且为整数.
要想系数最大，则为偶数，
其中，，，
，
显然系数最大项为.
故答案为：
6. 若满足，则曲线在点处切线的倾斜角为__________.
【答案】
【解析】
【分析】结合导数定义与导数的几何意义计算即可得.
【详解】，
设其倾斜角为，则有，又，故.
故答案为：.
7. 在平面直角坐标系中，已知点、，、是轴上的两个动点，且，则的最小值为____．
【答案】-3
【解析】
【分析】据题意可设E（0，a），F（0，b），从而得出|a﹣b|=2，即a=b+2，或b=a+2，并可求得，将a=b+2带入上式即可求出最小值，同理将b=a+2带入，也可求出的最小值．
【详解】根据题意，设E（0，a），F（0，b）；
∴；
∴a=b+2，或b=a+2；
且；
∴；
当a=b+2时，；
∵b2+2b﹣2的最小值为；
∴的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，的最小值为﹣3．
故答案为：﹣3．
【点睛】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．
8. 若直线经过双曲线的一个焦点，且与该双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的方程为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可以求出双曲线的焦点坐标以及渐近线方程，进而列出方程组解出的值，从而求出双曲线方程.
【详解】解：双曲线焦点在轴上，渐近线方程为：，
直线经过点，所以，且直线的斜率为，
所以，解得，所以双曲线方程为.
故答案为：
9. 已知实数的平均数为4，则这四个数的中位数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】利用平均数及中位数的概念计算即可.
【详解】由题意可知，
若该四个数按大小排列，位于中间，则位于两侧，此时中位数是；
若该四个数按大小排列，位于中间，则位于两侧，此时，不符合题意；
若该四个数按大小排列，位于中间，则位于两侧，同上，不符合题意；
若该四个数按大小排列，位于中间，则位于两侧，则有；
若该四个数按大小排列，位于中间，则位于两侧，同上；
若该四个数按大小排列，位于中间，则位于两侧，可知；
此时中位数是；
综上所述这四个数的中位数的取值范围是.
故答案为：.
10. 设a＞0,b＞0． 若关于x,y的方程组无解，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：方程组无解等价于直线与直线平行，所以且．又，为正数，所以（），即取值范围是．
考点：方程组的思想以及基本不等式的应用．
11. 三位好友进行乒乓球循环赛，先进行一局决胜负，负者下，由挑战 的胜者，继续进行一局决胜负，负者下，胜者下一局再接受第三人的挑战，依此进行.假设三人水平接近，任意两人的对决获胜的概率都是且不受体力影响，已知三人共比赛了3局，那么这3局中三人各胜一局的概率为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据相互独立事件和概率的加法公式进行计算可得答案.
【详解】设比赛A获胜为事件M，比赛C获胜为事件N，比赛B获胜为事件Q，
且相互独立，则，
设三人共比赛了3局，三人各胜一局的概率为D，
则
.
故答案为：.
12. 如图，平面内一条长度为的线段恰好能通过直角拐角，拐角点到所在直线的距离为，到所在直线的距离为，若恰好过点才能通过拐角，则的值约为__________.（结果精确到）
【答案】
【解析】
【分析】由题意可知，的值为过点的线段的最小值，设，则可得，借助导数研究单调性即可得其最小值.
【详解】由题意可知，的值为过点的线段的最小值，
设，则有，，则，
设，，
则
，
令，由，故有，
有，即，
则，，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
则，
借助计算器可得.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题关键点构造函数，借助，求出其在上的单调性以求其最小值即可得解.
二 选择题（本大题共有4题，满分18分，其中第13~14题每题满分4分，第15~16题每题满分5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
13. 若正数、、均不为1，则下列不等式中与“”等价的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合指数函数、对数函数与幂函数的单调性逐项判断即可得.
【详解】对A：当时，由可得，故A错误；
对B：由，则可能有或，故B错误；
对C：由为正数且不为，故函数在时单调递增，
故当时，有，故C正确；
对D：当时，由可得，故D错误.
故选：C.
14. 已知函数为奇函数，当时，，当时，的表达式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据奇函数定义，结合的解析式直接求解即可.
【详解】当时，，，
又为奇函数，，
即当时，.
故选：B.
15. 有下列几何对象：①长度为的短棍（粗细忽略不计）；②面积为的正方形纸片（厚度忽略不计，不可折叠）；③体积为的正四面体木块.关于上述几何对象能否单独完全装入一个棱长为的正方体盘子（壁厚度忽略不计），正确的结论是（ ）
A. 仅①②能 B. 仅②③能
C. 仅①③能 D. ①②③均能
【答案】D
【解析】
【分析】通过比较正方体体对角线的长可以判断①，通过比较正方体对角面的面积可以判断②，计算正四面体的棱长，与正方体中最大的正四面体的棱长比较，可以判断③.
【详解】①棱长为的正方体盘子，体对角线长为，
所以长度为的短棍（粗细忽略不计）放入正方体体对角线的位置就可以装入；
②棱长为的正方体盘子，对角面的面积为，
所以面积为的正方形纸片（厚度忽略不计，不可折叠）放入正方体对角面的位置就可以装入；
③设正四面体棱长为，如图正四面体，是面中心，是四面体的高，
则，，
体积为,所以，
棱长为的正方体中最大的正四面体为面对角线构成的正四面体，此时正四面体的边长为，，所以可以装入.
故选：D
16. 对于命题：①存在、、的某个排列，使得对任意，这三个数均不能成等比数列；②对、、的任意排列，均存在相应的，使得这三个数成等差数列.下列判断正确的是（ ）
A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题
C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题
【答案】C
【解析】
【分析】对①：假设、、成等比数列，则有，借助三角函数间的关系结合定义域可得其不成立，即可得①正确；对②：假设、、成等差数列，则有，结合定义域可得，即可得该等式不成立，故②错误.
【详解】对①，若、、成等比数列，则有，
由，即有，
可得或，又，故，不符合要求，
故存在、、，使得对任意，这三个数均不能成等比数列，
故①正确；
对②，若、、成等差数列，则有，
即，即，
当时，该等式不成立，故，
则，
由，故，
则，又，
故该等式不成立，故②错误.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于利用反证法，假设成立时，借助三角函数及数列的性质，找出其矛盾之处，从而证明假设不成立.
三 解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17. 如图，在正四棱锥中，点为的中点.
（1）若为的中点，判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）正四棱锥的各棱长均为2，求直线与底面所成角的大小.
【答案】（1）相交，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）依题意可得且，从而得到四边形是梯形，即可得解；
（2）依题意可得点到平面的距离为正四棱锥高的一半，求出棱锥的高与，再由锐角三角函数计算可得.
小问1详解】
由、分别为侧棱、的中点，
所以且，
又且，故且，
所以四边形是梯形，因此直线与相交.
【小问2详解】
由为的中点，得点到平面的距离为正四棱锥高的一半，
设，连接，则平面，
由正四棱锥的各棱长均为，所以，
则
即正四面体的高为，
所以点到平面的距离为，又，
设直线与底面所成角为，则，
故直线与底面所成角的大小为.
18. 袋中有大小和质地均相同的10个球，其中4个黄球，6个白球，从中随机地摸出3个球，用表示其中黄球的个数.
（1）采用不放回摸球，求的分布；
（2）采用有放回摸球，求的分布 期望和方差.
【答案】（1）分布列见解析
（2）分布列见解析，，.
【解析】
【分析】（1）服从超几何分布，依据超几何分布的公式计算即可；
（2），依据二项分布写出分布列，计算期望和方差即可
【小问1详解】
各次试验的结果不独立，故服从超几何分布.
，其中.
的分布为
0 1 2 3
【小问2详解】每次摸到黄球的概率为，且各次试验的结果是独立的，故.
，其中.
的分布为，
0 1 2 3
期望，方差.
19. 如图，某公园有一三角形的花坛，已知围栏长5米，长7米，，拟在该花坛中修建一条直围栏（即线段，点分别在三角形的两边上），以种植两种不同颜色的菊花供游客观赏，花坛设计者希望通过围栏实现两种菊花的种植面积相等且同一时刻花坛边游客近距离赏花的人数的最大值相等.试问：在的边上是否存在两点，使得线段既平分的面积又平分其周长？若存在，求出所有满足要求的点的位置（结果精确到0.1米）；若不存在，请说明理由.
【答案】存在，长约米，长约米
【解析】
【分析】由余弦定理可计算的长，进而求出的面积以及周长，分情况讨论点在上，在上，在上，列方程组计算可求出结果.
【详解】由余弦定理，，可得：，解得：.
所以，周长为20.
由余弦定理可知：，，
则，，
若点分别在上，设，于是有，则，该方程组无解.
若点分别在上，设，于是有，则，解得.
若点分别在上，设，，于是有，则，该方程组无解.
综上，存在上点和上点，其中长约7.2米，长约2.8米满足题意.
20. 已知函数满足：在定义域内存在实数，使得.设集合是满足上述性质的函数的全体.
（1）若，判断函数是否属于集合，并说明理由；
（2）设，若函数属于集合，求的取值范围；
（3）设，求证：对任意实数，函数均属于集合.
【答案】（1）不属于，理由见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）代入以及计算并判断即可证明；
（2）由，代入计算可得，即关于的方程有实数解.分类讨论一元二次方程有实根即可求解的范围；
（3）代入建立等量关系可得，令，零点存在性定理分类讨论当时以及时解的情况即可证明.
【小问1详解】
.
对任意实数，故函数不属于集合.
【小问2详解】
显然函数的定义域为，
因为，可得：，
整理得.
即关于的方程有实数解.
当时，方程有实数解；
当时，由，得或.
综上，的取值范围是.
【小问3详解】
由，得.
令.
当时，；
当时，.
根据零点存在定理，方程有实数解.
因此，对任意实数，函数均属于集合.
21. 如图，设椭圆为的左 右焦点，过点的直线与交于两点.
（1）若椭圆的离心率为的周长为6，求椭圆的方程；
（2）求证：为定值；
（3）是否存在直线，使得为等腰直角三角形？若存在，求出的离心率的值，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）存在，或
【解析】
【分析】（1）根据离心率以及焦点三角形的周长即可求，
（2）联立直线与椭圆方程，根据点点距离公式，结合韦达定理即可求解，
（3）分类讨论直角，结合椭圆定义以及边角关系，利用（2）的结论即可求解.
【小问1详解】
设椭圆的焦距为.
由题意，，解得，
故椭圆的方程为.
【小问2详解】
椭圆左焦点的坐标为.
当直线的斜率为0时，为定值.
当直线的斜率不为0时，设的方程为.
点的坐标为方程组的实数解，消，得.
于是有，异号，故.
为定值.
综上，为定值.
【小问3详解】
根据对称性，若等腰直角三角形，只需考虑为直角或为直角.
设.
若为直角，由于,故轴，将代入椭圆方程中可得，解得，
则，,进而可得,故离心率；
若为直角，则，
可解得，，
由（2），，代入可得，
又
故离心率.
综上，可以为等腰直角三角形，此时离心率为或
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.

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