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串讲 复数
知识网络
二、常考题型
三、知识梳理
1.复数的定义
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b．
2.复数的分类
复数z＝a＋bi(a，b∈R)
3.复数相等
a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
4.共轭复数
a＋bi与c＋di共轭 a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)．
5.复数的模
向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，a，b∈R)．
6.复数的几何意义
（1）复数z＝a＋b与复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)一一对应．
（2）复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内向量一一对应．
7.复数的运算
（1）复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
（2）复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
8.复数的常用结论
（1）(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.
（2）－b＋ai＝i(a＋bi)．
（3）.
四、常考题型探究
考点一 复数的概念
例1. 已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用复数相等的条件得到方程组，求出答案.
【详解】，故，
所以，解得.
故选：B
例2. 已知复数z满足，则的虚部是（ ）
A． B．1 C． D．i
【答案】B
【分析】
先由等式，反解出，再利用复数的除法运算法则，求出复数z即可.
【详解】
由已知，得，
所以z的虚部为1.
故选：B.
【变式探究】1 若，则z的虚部为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】
先将等式变形为，利用复数的除法运算求解即可.
【详解】
依题意，得，
，
则复数z的虚部为：，
故选：C．
【变式探究】2 以的虚部为实部，以的实部为虚部的复数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
化简复数，再利用复数的概念求解即得.
【详解】的虚部为2，的实部为，
所以所求复数的实部为2，虚部为，复数为．
故选：A
考点二 复数的几何意义
例3. 复数在复平面上对应的点在第二象限，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由复数确定点的坐标，再根据第二象限坐标的特点，解关于的一元一次不等式组即可求出的范围.
【详解】复数在复平面上对应的点的坐标为，
根据第二象限坐标的特点可得，从而可得.
故选：D.
例4. 已知复数满足，复数的共轭复数为，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】
根据复数的运算、共轭复数的定义以及复数的几何意义判定选项即可.
【详解】因为，所以，
所以，所以，
所以在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限.
故选:C.
【变式探究】1 复数，在复平面上对应的点分别为，，则 ；
【答案】
【分析】结合复数的几何意义和四则运算，即可求解.
【详解】因为复数，在复平面上对应的点分别为，，
则，
则
故答案为：
【变式探究】2 已知复数满足，则在复平面的对应点的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据复数的除法运算求得复数，再由复数的几何意义即可求得结果.
【详解】将整理成，
所以，
由复数的几何意义可得在复平面的对应点的坐标为.
故答案为：
考点三 复数的模
例5. 为虚数单位，若，则（ ）
A．5 B．7 C．9 D．25
【答案】A
【分析】
化简复数，再进行求模计算即可.
【详解】因为，
所以，
故选：A.
例6.若，则（ ）
A．i B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】根据复数的运算法则进行运算，继而直接求模即可.
【详解】因为，
所以，
所以，
故选：B．
【变式探究】1 已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】利用复数的乘法和除法法则计算出，进而得到，求出.
【详解】，
故，
故，故.
故选：D
【变式探究】2 若复数满足，则（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【分析】利用复数的模的性质求复数的模.
【详解】因为，所以：.
故选：A
考点四 复数的加减
例7. 复数，其中为实数，若为实数，为纯虚数，则（ ）
A．6 B． C． D．7
【答案】C
【分析】
利用复数代数形式的加减法，结合实数、纯虚数的定义求解即得.
【详解】复数，为实数，则，
由为实数，得，解得，又，
显然，由为纯虚数，得，解得，
所以.
故选：C
例8. 已知复数，，则的实部与虚部分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【分析】
应用复数加法求，根据实部、虚部定义得答案.
【详解】
因为，，所以，其实部与虚部分别为，.
故选：A
【变式探究】1 ，则 ； .
【答案】 /
【分析】利用复数的运算化简复数，利用复数的模长公式可求得的值，再利用共轭复数的定义结合复数的加法可得出复数.
【详解】因为，
所以，，则，
.
故答案为：；.
【变式探究】2 已知复数，，则 ．
【答案】
【分析】利用复数的减法可求得复数.
【详解】因为复数，，则.
故答案为：.
考点五 复数的乘除
例9. 已知是虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用复数的四则运算法则即可得出结论.
【详解】.
故选：B.
例10. 已知复数，是z的共轭复数，则（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】B
【分析】
首先分析题意，对给定复数化简，再利用共轭复数知识求解即可.
【详解】，
而，
可得.
故选：B.
【变式探究】1 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由复数的乘法运算即可得解.
【详解】
．
故选：C.
【变式探究】2 已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将代入利用复数的乘法运算可得，再结合模长公式计算可得.
【详解】由可得，
则.
故选：B
考点六 共轭复数
例11. 复数的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据复数的运算法计算后，结合共轭复数的概念，即可求解.
【详解】根据复数的运算法则，可得，
所以其共轭复数是.
故选：A.
例12. 复数，则的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用复数的除法运算化简为标准形式，进而根据共轭复数的定义得解.
【详解】,
,
故选：B.
【变式探究】1 若，则
【答案】
【分析】根据共轭复数的概念写出，然后作差运算即得.
【详解】∵，∴，
∴，
故答案为：.
【变式探究】2 复数（为虚数单位）的共轭复数是 ．
【答案】
【分析】利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，由此可得出复数的共轭复数.
【详解】，
因此，复数的共轭复数为，故答案为.串讲 复数
知识网络
二、常考题型
三、知识梳理
1.复数的定义
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b．
2.复数的分类
复数z＝a＋bi(a，b∈R)
3.复数相等
a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
4.共轭复数
a＋bi与c＋di共轭 a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)．
5.复数的模
向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，a，b∈R)．
6.复数的几何意义
（1）复数z＝a＋b与复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)一一对应．
（2）复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内向量一一对应．
7.复数的运算
（1）复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
（2）复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
8.复数的常用结论
（1）(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.
（2）－b＋ai＝i(a＋bi)．
（3）.
四、常考题型探究
考点一 复数的概念
例1. 已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
例2. 已知复数z满足，则的虚部是（ ）
A． B．1 C． D．i
【变式探究】1 若，则z的虚部为（ ）
A． B． C． D．1
【变式探究】2 以的虚部为实部，以的实部为虚部的复数是（ ）
A． B． C． D．
考点二 复数的几何意义
例3. 复数在复平面上对应的点在第二象限，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例4. 已知复数满足，复数的共轭复数为，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式探究】1 复数，在复平面上对应的点分别为，，则 ；
【变式探究】2 已知复数满足，则在复平面的对应点的坐标为 ．
考点三 复数的模
例5. 为虚数单位，若，则（ ）
A．5 B．7 C．9 D．25
例6.若，则（ ）
A．i B．1 C． D．2
【变式探究】1 已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．1
【变式探究】2 若复数满足，则（ ）
A．1 B． C． D．2
考点四 复数的加减
例7. 复数，其中为实数，若为实数，为纯虚数，则（ ）
A．6 B． C． D．7
例8. 已知复数，，则的实部与虚部分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【变式探究】1 ，则 ； .
【变式探究】2 已知复数，，则 ．
考点五 复数的乘除
例9. 已知是虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
例10. 已知复数，是z的共轭复数，则（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【变式探究】1 （ ）
A． B．
C． D．
【变式探究】2 已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
考点六 共轭复数
例11. 复数的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
例12. 复数，则的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
【变式探究】1 若，则
【变式探究】2 复数（为虚数单位）的共轭复数是 ．

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