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第08讲：三角恒等变换
【考点梳理】
考点一：两角和差的三角函数公式
考点二:二倍角公式
考点三：降幂公式的化简求值问题
考点四：辅助角公式的应用
考点五：三角恒等式变换中的（给角求值、给值求值、给值求角）问题
考点六：利用三角函数恒等式判断三角形形状
考点七：三角恒等式变换中化简问题
考点八：三角恒等变换综合问题
【知识梳理】
考点一　两角和与差的余弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角差的余弦公式 C(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β α，β∈R
两角和的余弦公式 C(α＋β) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β α，β∈R
考点二　两角和与差的正弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角和的正弦 S(α＋β) sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β α，β∈R
两角差的正弦 S(α－β) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β α，β∈R
考点三：　两角和与差的正切公式
名称 公式 简记符号 条件
两角和的正切 tan(α＋β) ＝ T(α＋β) α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)
两角差的正切 tan(α－β) ＝ T(α－β) α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)
考点四：二倍角的正弦、余弦、正切公式
考点五　半角公式
sin ＝±，cos ＝±，tan ＝±＝＝.
考点六　辅助角公式
辅助角公式：
asin x＋bcos x＝sin(x＋θ).
【题型归纳】
题型一：两角和差的三角函数公式
1．（2024上·湖南岳阳·高一统考期末）求值（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正切和差角公式即可求解.
【详解】
,
故选：A.
2．（2023上·江西上饶·高一校考期末）若，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】两式分别平方，相加后结合同角三角函数关系式及两角和的余弦公式化简可得.
【详解】由，，
得，，
相加得，，
解得，
故选：B.
3．（2023下·山东青岛·高一统考期中）下列等式成立的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用和差角公式合并计算即可.
【详解】A选项：，A错误；
B选项：，B错误；
C选项：，C正确；
D选项：
，D错误.
故选：C.
题型二:二倍角公式
4．（2024上·宁夏银川·高一银川二中校考期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由正弦差角公式和辅助角公式得到，再整体法利用诱导公式和二倍角公式求出答案.
【详解】由题可得，，
所以.
故选：A.
5．（2023下·辽宁沈阳·高一校联考期中）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由条件结合向量数量积的运算和三角恒等变换可得，再由诱导公式和二倍角公式即可求得．
【详解】因为，且，
所以，
所以，所以，
所以
，
故选：B
6．（2023下·福建福州·高一校考期末）下列等式不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据二倍角的正弦公式即可判断A；根据两角差的正弦公式，即可判断B；根据两角和的正切公式即可判断C；根据二倍角的余弦公式结合两角差的正弦公式即可判断D.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，
，故D正确.
故选：B
题型三：降幂公式的化简求值问题
7．（2021下·浙江·高一期末）已知则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先根据已知求出，再化简代入得解.
【详解】由得，
故.
所以.
故选：B
【点睛】方法点睛：三角恒等变换求值常用的方法有：“三看三变”，“三看”指的是看角、看名、看式，“三变”指的是变角、变名、变式.要根据已知条件，灵活选择方法求解.
8．（2020下·高一课时练习）函数是
A．最大值是的奇函数 B．最大值是的偶函数
C．最大值是的奇函数 D．最大值是的偶函数
【答案】B
【解析】先根据降幂公式以及两角和与差余弦公式化简，再根据余弦定理性质求最值与奇偶性.
【详解】
因为为最大值是的偶函数，所以B正确；
故选：B
【点睛】本题考查降幂公式、两角和与差余弦公式以及余弦定理性质，考查基本分析求解能力，属基础题.
9．（2022下·上海普陀·高一校考期末）已知函数，若在区间上的最大值为，则m的最小值是
【答案】
【分析】先将化为，由，得到，结合正弦函数图象可得，进而可解得结果.
【详解】，
当时， ，依题意，有，
解得，即的最小值为.
故答案为：
题型四：辅助角公式的应用
10．（2024上·全国·高一期末）已知，且，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先化简为，由，可得，再利用正弦函数的性质即可求解.
【详解】，
因为，所以，所以，
所以.
故选：D.
11．（2023下·广东佛山·高一校考期中）函数的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】利用两角和差的正余弦公式结合辅助角公式化简函数表达式，即可求得答案.
【详解】由题意得
，
由于的最大值为1，
故的最大值为2，
故选：D
12．（2023下·江苏徐州·高一统考期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据和差公式，辅助角公式得到，再利用诱导公式，倍角公式求出答案.
【详解】因为，
所以，即，故，
.
故选：C
题型五：三角恒等式变换中的（给角求值、给值求值、给值求角）问题
13．（2021下·上海·高一期中）已知，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】易知，利用角的范围和同角三角函数关系可求得和，分别在和两种情况下，利用两角和差正弦公式求得，结合的范围可确定最终结果.
【详解】且，，.
又，，.
当时，
，
，，不合题意，舍去；
当，同理可求得，符合题意.
综上所述：.
故选：.
【点睛】易错点睛：本题中求解时，易忽略的值所确定的的更小的范围，从而误认为的取值也有两种不同的可能性，造成求解错误.
14．（2024上·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期末）已知，，且满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据两角和的余弦公式和辅助角公式可得，由题意，利用同角三角函数的关系求得，，再次利用两角和的余弦公式计算即可求解.
【详解】，
，得，
，，，
，，，
.
故选：A
15．（2023下·安徽亳州·高一亳州二中校考期末）若，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角函数值确定角的范围，再根据角的变换有，根据三角函数值确定的值.
【详解】，符号相同，
又，，，
由可得，
又，，，
所以，，
，
由，，得，，
故选：A．
题型六：利用三角函数恒等式判断三角形形状
16．（2023下·陕西西安·高一校考期中）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形
C．直角三角形 D．锐角三角形
【答案】B
【分析】根据正弦定理边角互化可得，进而由三角函数的性质求解.
【详解】由得,
由二倍角公式可得或，
由于在，,所以或,故为等腰三角形或直角三角形
故选：B
17．（2022下·上海奉贤·高一校考期中）在中，若，则此三角形为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】A
【分析】首先利用三角恒等变换，得，再判断三角形的形状.
【详解】因为，
所以，
，又
所以，即.
故选：A.
18．（2021下·北京海淀·高一北大附中校考期中）在△ABC中，若，则△ABC为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【分析】利用和角正弦公式及三角形内角和性质，可得，讨论、情况下，判断△ABC对应形状.
【详解】由题意，，又，
∴，即，，
∴当时，；当时，，又，则；
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.
故选：D
题型七：三角恒等式变换中化简问题
19．（2023下·四川自贡·高一统考期中）已知，则 .
【答案】
【分析】先求得，然后利用同角三角函数的基本关系式、降幂公式、二倍角公式、诱导公式等知识求得正确答案.
【详解】.
.
故答案为：
20．（2022上·安徽宿州·高一校联考期末）已知函数，则该函数的最小正周期是 ； 当时，关于的方程仅有一实数根，则实数的取值范围为 .
【答案】 或
【分析】根据三角恒等变换化简，即可周期公式求解，利用整体法即可求解范围.
【详解】，
所以最小正周期为，
当时，，
因为在为增函数，在为减函数，
故在上为增函数，在为减函数，
而，，，
要使得仅有一实数根，
即在上只有一个实数根，
即，或，解得或，
故答案为：；或，
21．（2024上·天津河西·高一统考期末）已知函数．
(1)求的最小正周期；
(2)求的最大值及取得最大值时自变量的集合；
(3)求在的单调区间．
【答案】(1)
(2)1；
(3)增区间为，减区间为.
【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式化简表达式，结合正弦函数的周期公式，即可得答案；
（2）结合正弦函数的最大值以及取得最大值时x的取值，即可得答案；
（3）根据x的范围，确定的范围，结合正弦函数的单调性，即可求得答案.
【详解】（1）由题意得
,
故的最小正周期为；
（2）由，由于的最大值为1，
故的最大值为，此时，
即，即x的集合为，
（3）当时，，
故当，即时，单调递增，
当，即时，单调递减，
即在上的单调增区间为，减区间为.
题型八：三角恒等变换综合问题
22．（2024上·云南楚雄·高一统考期末）已知函数.
(1)求的单调递减区间；
(2)将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，若存在，使得不等式有解，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变化为同一个角的同一个三角函数，然后利用正弦函数的单调性即可求解；
（2）由题意得，在上分别求，从而可得到求的取值范围.
【详解】（1）由题意利用三角恒等变进行化简：
.
令，
得，
故的单调递减区间为.
（2）由将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得.
因为存在，使得不等式有解，
所以.
当时，，
所以.
当时，，
所以.
于是，即.
故的取值范围为.
23．（2024上·天津和平·高一统考期末）已知函数，
(1)求函数的最小正周期和对称轴方程；
(2)求函数的单调递减区间；
(3)若函数在上最大值与最小值的和为，求实数的值.
【答案】(1)，对称轴方程为，.
(2)，；
(3).
【分析】（1）利用二倍角公式和两角和的余弦公式进行化简为正弦型函数，进而求得最小正周期和对称轴方程；
（2）根据题意得到不等式组，解出即可.
（3）当时，，再求出的最大值与最小值，然后列出方程求得的值．
【详解】（1）函数
，
函数的最小正周期为：，
令，，解得，，
则对称轴方程为，.
（2）令，，
解得：，，
函数的单调递减区间为：，；
（3）当时， ，
令或，解得：或，
此时函数取得最小值为：，
令，解得：，
此时函数取得最大值为：，
又的最大值与最小值的和为，所以有：
，解之得：.
24．（2024上·天津滨海新·高一统考期末）已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数在上的单调递减区间；
(3)已知函数在上存在零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）应用诱导公式、倍角正弦公式及辅助角公式化简函数式，进而求最小正周期；
（2）令，结合正弦函数性质求递减区间；
（3）问题化为在上有解，令，，再结合二次函数性质求参数范围.
【详解】（1）
，
由，则的最小正周期为.
（2）由（1）知，设，，所以，
又在的单调递减区间是，
由，得，所以在上的单调递减区间是.
（3）由（2）知，所以.
函数在上存在零点，
即在上有解.
由（2）知在，上单调递增，在上单调递减.
在上，.
令，，则，
所以，解得，所以实数的取值范围为.
【强化精练】
一、单选题
25．（2024上·宁夏吴忠·高一青铜峡市高级中学校考期末）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由两角和的正弦公式运算可得结果.
【详解】由题意可得：.
故选：B.
26．（2024上·北京大兴·高一统考期末）已知为第二象限角，且，则等于（ ）
A． B．1 C． D．7
【答案】A
【分析】先通过诱导公式求出，进而根据同角三角函数关系求出，展开代入的值计算即可.
【详解】,
，即，
又为第二象限角，
，则，
.
故选：A.
27．（2024上·重庆·高一重庆八中校考期末）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【分析】由题意，利用算得，结合同角的三角函数关系计算即可求解.
【详解】由题意知，，，则，
，
，
得，，
所以，
所以.
故选：C
28．（2024上·四川雅安·高一校考期末）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用同角公式，结合的范围求出，再利用二倍角公式计算即得.
【详解】由，得，由，得，
整理得，则有，
所以.
故选：C
29．（2024上·云南昆明·高一云南师大附中校考期末）已知，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据已知条件及同角三角函数基本关系求出，；再利用已知角和来配凑；最后利用两角差的正弦公式即可求解.
【详解】，，
，，
，，
，.
.
故选：A.
30．（2024上·全国·高一期末）为了得到函数的图象，可将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
【答案】D
【分析】化简函数的解析式，再根据函数的平移变换法可得函数的变换情况.
【详解】由已知，
设将函数向左平移个单位，得，
所以，解得，
即将函数向左平移个单位长度可得，
故选：D.
31．（2023下·甘肃临夏·高一统考期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据同角的三角函数关系，切化弦，再结合两角和差的正弦公式化简，即可求得答案.
【详解】由，，
得，
即，
即，
所以，即，
所以，
故选：C
32．（2023下·四川成都·高一统考期中）下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】直接利用三角函数的关系式的恒等变换判断各选项的结论．
【详解】对于A：因为，
又函数在上单调递增，所以，所以，故A错误；
对于B：由于，故B错误；
对于C：由于，所以，
则，故C错误；
对于D：，故D正确．
故选：D．
33．（2023下·新疆阿克苏·高一校考期中）若函数，则下列结论不正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上单调递增
C．函数图象关于对称 D．函数的图象关于点对称
【答案】A
【分析】先根据三角恒等变换化简的表达式，然后根据三角函数的性质进行判断.
【详解】根据二倍角公式和诱导公式，，于是.
A选项，根据三角函数周期公式，，A选项错误；
B选项，令，解得，时可得在区间上单调递增，B选项正确；
C选项，令，解得，时可得图象关于对称，C选项正确；
D选项，，解得，为对称中心的横坐标，令，解得，故的图象关于点对称，D选项正确.
故选：A
二、多选题
34．（2024上·云南昆明·高一昆明一中校考期末）已知，，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】由两边平方即可判断A项；利用A项结论可求出，再缩小角范围即得B项；将与的值联立求出，再运用倍角公式和商数关系即得C，D项.
【详解】对于选项A，由两边平方得：，故得，即A项正确；
对于选项B，由，可得：故，
由可得：，故B项错误；
对于选项C，，故C项错误；
对于选项D，由可解得：故得：.故D项正确.
故选：AD.
35．（2023上·河北邯郸·高一校考期末）已知函数，则（　　）
A．函数的最大值为
B．函数的图象关于直线对称
C．函数的图象关于点对称
D．函数在区间上单调递增
【答案】ACD
【分析】先利用辅助角公式化简的解析式；再由三角函数的有界性判断选项A，由三角函数的对称性判断选项B、C，利用整体代入法及余弦函数的单调性判断选项D.
【详解】.
对于选项A，的最大值为，故选项A正确；
对于选项B，令，解得，
所以函数的图象关于直线对称，
则函数的图象不关于直线对称，故选项B错误；
对于选项C，因为，
所以函数的图象关于点对称，故选项C正确；
对于选项D，令 ，
解得，
所以的单调递增区间为.
因为当时，，
则函数在区间上单调递增，故选项D正确．
故选：ACD．
36．（2023下·山东青岛·高一统考期中）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的图象关于点中心对称
C．函数的单调增区间为
D．为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平行移动个单位长度
【答案】AD
【分析】化简的解析式，根据两角和的正弦公式、三角函数的对称性、单调性、三角函数图象变换等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】
.
A选项，
，A选项正确.
B选项，
，所以B选项错误.
C选项，由，解得，
所以的单调递增区间是，C选项错误.
D选项，将函数的图象向右平行移动个单位长度，
得到的图象，D选项正确.
故选：AD
37．（2023上·山东菏泽·高一校联考期末）已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A．点为函数图象的一个对称中心
B．的取值范围为
C．的一个单调递增区间为
D．图象关于直线对称
【答案】AB
【分析】运用函数的对称性的性质、单调性的定义，结合特例法、二倍角的正弦公式、降幂公式逐一判断即可.
【详解】选项A：因为
，
所以点为函数图象的一个对称中心，因此本选项正确；
选项B：因为，
所以，即的取值范围为，所以本选项正确；
选项C：因为，
所以的一个单调递增区间为不正确，因此本选项说法不正确；
选项D：当时，，
因为，
所以此时函数不关于直线对称，因此本选项不正确，
故选：AB
【点睛】关键点睛：运用特例法、函数对称性的性质，结合降幂公式是解题的关键.
三、填空题
38．（2024上·云南楚雄·高一统考期末）已知，则 .
【答案】/0.8
【分析】已知等式由同角三角函数的关系求出，通过倍角公式构造齐次式，得，代入数据计算即可.
【详解】因为，所以，
则.
故答案为：
39．（2024上·湖南岳阳·高一统考期末）若，则的值为 .
【答案】
【分析】根据题意，结合三角函数的诱导公式和余弦的倍角公式，即可求解.
【详解】因为，则.
故答案为：.
40．（2024上·浙江宁波·高一镇海中学校考期末）已知，且，则 .
【答案】
【分析】根据角的范围，确定的范围，结合，利用二倍角公式求出的值，以及的值，再利用两角和的余弦公式即可求得答案.
【详解】由于，故，结合，
可得，
则，
，
所以
；
故答案为：
41．（2024上·重庆·高一统考期末）已知满足，则 ．
【答案】
【分析】首先结合平方关系、角的范围得，再由诱导公式以及两角和的余弦公式即可得解.
【详解】因为，
所以，
又因为，
所以，
所以
.
故答案为：.
42．（2024上·天津河北·高一统考期末）已知函数，将化成的形式为 ；函数在区间上的最小值是 ．
【答案】
【分析】利用三角恒等变换的知识化简的解析式，然后根据三角函数最值的求法求得在区间上的最小值.
【详解】
.
当时，，
所以当或，
即或时，取得最小值为.
故答案为：；
四、解答题
43．（2024上·上海·高一上海市吴淞中学校考期末）已知，.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用同角公式及和角的正弦公式计算即得.
（2）利用（1）的信息，利用和角的余弦公式、二倍角的正弦公式计算即得.
【详解】（1）由，，得，，
所以.
（2）由（1）知，，
所以.
44．（2024上·广东深圳·高一统考期末）已知函数的最大值为.
(1)求的最小正周期和图象的对称轴；
(2)当时，求使成立的取值范围.
【答案】(1)最小正周期为，对称轴方程为
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为，利用正弦型函数的最值求出的值，利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期，利用正弦型函数的对称性可求得函数图象的对称轴方程；
（2）由可求出的取值范围，由可得出，可得出关于的不等式，即可解得的取值范围.
【详解】（1）解：因为
，
所以，函数的最大值为，可得，
则.
由可得.
所以，函数图象的对称轴方程为.
函数的最小正周期为.
（2）解：由可得，
当时，，
由可得，解得，
故当时，使成立的取值范围为.
45．（2024上·宁夏银川·高一银川二中校考期末）已已知函数（其中）.
(1)若函数的最小正周期是，求的对称中心；
(2)若在上有且仅有2个零点，求的取值范围.
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）首先化简函数的解析式，再根据三角函数的性质确定对称中心；
（2）根据（1）的结果，首先求的取值范围，再结合三角函数的图象和性质，确定端点的取值范围，即可求解.
【详解】（1），
，
，
由题意可知，，得，
所以，
令，，得，，
所以函数的对称中心为，；
（2），
当，，
令，即
若在上有且仅有2个零点，
则，解得：，
所以实数的取值范围是.
46．（2024上·重庆·高一校联考期末）已知函数的最大值为.
(1)求常数的值，并求函数取最大值时相应的集合；
(2)求函数的单调递增区间.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据已知条件化简函数为，根据的最大值为，解出值即可.
（2）根据正弦型函数求单调区间的方法求出的单调递增区间即可.
【详解】（1）
；
当时，函数取到最大值，所以，即；
令，得，
所以当函数取到最大值时的集合为
（2）由（1）得，
所以令，
得，
所以函数的单调递增区间为
47．（2024上·浙江宁波·高一镇海中学校考期末）已知
(1)化简；
(2)若，且满足，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据诱导公式直接化简即可；
（2）解出或，再利用二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式化简代入计算即可.
【详解】（1）
.
（2），解得或，即或，
，
当时，且，有，解得，
此时；
当时，且，有，解得，
此时；
综上.
48．（2023上·吉林·高一校联考期末）已知函数．
(1)求在上的最大值；
(2)若，求的值；
(3)若，求的值．
【答案】(1)2
(2)
(3)
【分析】（1）利用三角恒等变换先化简，再利用整体法求最大值；
（2）利用齐次式化简求值；
（3）利用配凑角结合两角差的余弦公式计算.
【详解】（1）
，
，
则，故在上的最大值为；
（2）；
（3）由（1）当则，
，
故.第08讲：三角恒等变换
【考点梳理】
考点一：两角和差的三角函数公式
考点二:二倍角公式
考点三：降幂公式的化简求值问题
考点四：辅助角公式的应用
考点五：三角恒等式变换中的（给角求值、给值求值、给值求角）问题
考点六：利用三角函数恒等式判断三角形形状
考点七：三角恒等式变换中化简问题
考点八：三角恒等变换综合问题
【知识梳理】
考点一　两角和与差的余弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角差的余弦公式 C(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β α，β∈R
两角和的余弦公式 C(α＋β) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β α，β∈R
考点二　两角和与差的正弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角和的正弦 S(α＋β) sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β α，β∈R
两角差的正弦 S(α－β) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β α，β∈R
考点三：　两角和与差的正切公式
名称 公式 简记符号 条件
两角和的正切 tan(α＋β) ＝ T(α＋β) α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)
两角差的正切 tan(α－β) ＝ T(α－β) α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)
考点四：二倍角的正弦、余弦、正切公式
考点五　半角公式
sin ＝±，cos ＝±，tan ＝±＝＝.
考点六　辅助角公式
辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋θ).
【题型归纳】
题型一：两角和差的三角函数公式
1．（2024上·湖南岳阳·高一统考期末）求值（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·江西上饶·高一校考期末）若，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023下·山东青岛·高一统考期中）下列等式成立的为（ ）
A． B．
C． D．
题型二:二倍角公式
4．（2024上·宁夏银川·高一银川二中校考期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023下·辽宁沈阳·高一校联考期中）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2023下·福建福州·高一校考期末）下列等式不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型三：降幂公式的化简求值问题
7．（2021下·浙江·高一期末）已知则（ ）
A． B． C． D．
8．（2020下·高一课时练习）函数是
A．最大值是的奇函数 B．最大值是的偶函数
C．最大值是的奇函数 D．最大值是的偶函数
9．（2022下·上海普陀·高一校考期末）已知函数，若在区间上的最大值为，则m的最小值是
题型四：辅助角公式的应用
10．（2024上·全国·高一期末）已知，且，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023下·广东佛山·高一校考期中）函数的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
12．（2023下·江苏徐州·高一统考期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
题型五：三角恒等式变换中的（给角求值、给值求值、给值求角）问题
13．（2021下·上海·高一期中）已知，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
14．（2024上·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期末）已知，，且满足，，则（ ）
A． B． C． D．
15．（2023下·安徽亳州·高一亳州二中校考期末）若，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
题型六：利用三角函数恒等式判断三角形形状
16．（2023下·陕西西安·高一校考期中）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形
C．直角三角形 D．锐角三角形
17．（2022下·上海奉贤·高一校考期中）在中，若，则此三角形为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
18．（2021下·北京海淀·高一北大附中校考期中）在△ABC中，若，则△ABC为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
题型七：三角恒等式变换中化简问题
19．（2023下·四川自贡·高一统考期中）已知，则 .
20．（2022上·安徽宿州·高一校联考期末）已知函数，则该函数的最小正周期是 ； 当时，关于的方程仅有一实数根，则实数的取值范围为 .
21．（2024上·天津河西·高一统考期末）已知函数．
(1)求的最小正周期；
(2)求的最大值及取得最大值时自变量的集合；
(3)求在的单调区间．
题型八：三角恒等变换综合问题
22．（2024上·云南楚雄·高一统考期末）已知函数.
(1)求的单调递减区间；
(2)将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，若存在，使得不等式有解，求的取值范围.
23．（2024上·天津和平·高一统考期末）已知函数，
(1)求函数的最小正周期和对称轴方程；
(2)求函数的单调递减区间；
(3)若函数在上最大值与最小值的和为，求实数的值.
24．（2024上·天津滨海新·高一统考期末）已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数在上的单调递减区间；
(3)已知函数在上存在零点，求实数的取值范围.
【强化精练】
一、单选题
25．（2024上·宁夏吴忠·高一青铜峡市高级中学校考期末）（ ）
A． B． C． D．
26．（2024上·北京大兴·高一统考期末）已知为第二象限角，且，则等于（ ）
A． B．1 C． D．7
27．（2024上·重庆·高一重庆八中校考期末）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．或
28．（2024上·四川雅安·高一校考期末）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
29．（2024上·云南昆明·高一云南师大附中校考期末）已知，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
30．（2024上·全国·高一期末）为了得到函数的图象，可将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
31．（2023下·甘肃临夏·高一统考期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
32．（2023下·四川成都·高一统考期中）下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
33．（2023下·新疆阿克苏·高一校考期中）若函数，则下列结论不正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上单调递增
C．函数图象关于对称 D．函数的图象关于点对称
二、多选题
34．（2024上·云南昆明·高一昆明一中校考期末）已知，，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
35．（2023上·河北邯郸·高一校考期末）已知函数，则（　　）
A．函数的最大值为
B．函数的图象关于直线对称
C．函数的图象关于点对称
D．函数在区间上单调递增
36．（2023下·山东青岛·高一统考期中）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的图象关于点中心对称
C．函数的单调增区间为
D．为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平行移动个单位长度
37．（2023上·山东菏泽·高一校联考期末）已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A．点为函数图象的一个对称中心
B．的取值范围为
C．的一个单调递增区间为
D．图象关于直线对称
三、填空题
38．（2024上·云南楚雄·高一统考期末）已知，则 .
39．（2024上·湖南岳阳·高一统考期末）若，则的值为 .
40．（2024上·浙江宁波·高一镇海中学校考期末）已知，且，则 .
41．（2024上·重庆·高一统考期末）已知满足，则 ．
42．（2024上·天津河北·高一统考期末）已知函数，将化成的形式为 ；函数在区间上的最小值是 ．
四、解答题
43．（2024上·上海·高一上海市吴淞中学校考期末）已知，.
(1)求的值；
(2)求的值.
44．（2024上·广东深圳·高一统考期末）已知函数的最大值为.
(1)求的最小正周期和图象的对称轴；
(2)当时，求使成立的取值范围.
45．（2024上·宁夏银川·高一银川二中校考期末）已已知函数（其中）.
(1)若函数的最小正周期是，求的对称中心；
(2)若在上有且仅有2个零点，求的取值范围.
46．（2024上·重庆·高一校联考期末）已知函数的最大值为.
(1)求常数的值，并求函数取最大值时相应的集合；
(2)求函数的单调递增区间.
47．（2024上·浙江宁波·高一镇海中学校考期末）已知
(1)化简；
(2)若，且满足，求的值.
48．（2023上·吉林·高一校联考期末）已知函数．
(1)求在上的最大值；
(2)若，求的值；
(3)若，求的值．

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