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关系数据库
第2章
目录
01
关系模型
02
关系的码
03
关系的完整性
04
关系代数
本章主要内容
本章主要介绍关系模型及其关系数据库的基本概念，研究关系数据库的一些理论问题，包括关系的完整性与关系运算问题。
关系代数
第2章
04
2.4 关系代数
关系代数是关系数据库的数学基础，它是一种抽象的查询语言，通过对关系进行运算来表达查询。
关系代数涉及运算对象、运算符和运算结果三个要素。
关系代数的运算对象和运算结果都是关系，关系运算采用一次一集合的操作方式。
关系代数的运算分为传统的集合运算和专门的关系运算两大类。
2.4.1 关系代数的运算符
关系代数的运算符主要涉及4类：传统的集合运算符、专门的关系运算符、比较运算符和逻辑运算符。
（1）传统的集合运算符：（并运算）、（差运算）、（交运算）、（广义笛卡儿积运算）。
（2）专门的关系运算符：（选取）、∏（投影）、 （连接）、（除）。
（3）比较运算符：＞（大于）、≥（大于等于）、＜（小于）、≤（小于等于）、＝（等于）、≠（不等于）。
（4）逻辑运算符： （与）、v（或）、（非）。
2.4.2 传统的集合运算
传统的集合运算是二元运算，两个关系在进行传统的集合运算时，把关系看作元组的集合，能够进行集合运算的两个关系需要有相同的关系模式，即列数相同，对应列来自相同的域。
并运算
关系R与S的并运算记作：
关系R与S执行并运算后，其运算结果为属于R或者属于S的元组构成的新关系。简单地说，就是先将关系R和S的所有元组合并在一起，然后删除重复元组中的一个，剩余的元组就构成了新的关系。
差运算
关系R与S的差运算记作：
关系R与S执行差运算后，其运算结果是由属于R且不属于S的元组构成的新关系，即从关系R中删除S中存在的元组后形成的新关系，其仍为n元关系。
交运算
关系R与S的交运算记作：
关系R与S执行交运算后，其运算结果是由既属于R又属于S的元组构成的新关系，即新关系是由那些同时出现在关系R和S中的元组组成的。
并运算和差运算是基本运算，交运算不是基本运算，可以由差运算导出。
笛卡尔积运算
关系R与S的笛卡儿积运算记作：
以上笛卡儿积运算严格来讲应该是广义笛卡儿积运算，m元关系R有r1个元组，n元关系S有r2个元组，其笛卡儿积运算结果是列数为m+n的元组形成的新关系，其元组的前m列来自关系R，后n列来自关系S，新关系元组的数量为关系R和关系S元组数的乘积r1r2。
2.4.3 专门的关系运算
专门的关系运算包括选择运算、投影运算、连接运算、除运算，其中选择运算和投影运算是一元运算，在一个关系上进行操作，连接运算和除运算是二元运算，在两个关系间进行操作。
选择运算
选择运算记作：
其中，是选取运算符，R是关系名，t是元组，F是逻辑表达式，取逻辑“真”值或“假”值。F的基本形式为XY， 代表比较运算符，X、Y或为属性名，或为常量，或为简单函数，还可以在基本的条件上进行逻辑运算构成复合逻辑表达式，表达更复杂的查询。
选择运算是从水平方向进行的操作，执行的结果是从关系R中选取的那些使逻辑表达式F为真的元组形成的新关系。
投影运算
投影运算记作：
其中，∏是投影运算符，R是操作的关系，A是R中的属性或属性组。t[A]表示元组中对应属性A的分量。
投影运算执行的结果是从关系R中选取的指定属性A组成的新关系。投影运算从“水平”和“垂直”两个方向进行操作，操作结果中去掉了某些不需要的列，同时，可能会因为去掉某些属性列后导致重复行的出现，根据关系的定义，应消除重复的行。
连接运算
连接运算记作：
其中， 是连接运算符，是比较运算符，R S表示关系R与关系S的连接运算，A和B分别是关系R和S中属性个数相等且可比的属性组。
连接又称连接，是二元运算，其运算结果是从关系R和S的笛卡儿积中选取的属性A、B满足条件的元组组成的新关系。
连接运算
根据比较运算符的不同，可产生不同的连接结果，其中等值连接和自然连接是两种最重要也是最常用的连接运算。
等值连接运算结果是从关系R和S的广义笛卡儿积中选取属性A、B值相等的那些元组组成的新关系，其属性的个数为原关系R和S的属性数量之和。
自然连接是特殊的等值连接，它在执行连接操作时要求比较属性A和B相同，即A、B属性其实为同一属性，其运算结果是将两个相同的列去掉一个。
一般的等值连接是从“水平”方向上进行的操作，而自然连接是同时在“水平”和“垂直”两个方向上进行的操作。
除法运算（象集）
假设给定关系R(X,Z)，X和Z为关系R的属性组，当存在关系R的分量X等于x的元组，即 时，x在关系R中的象集表示为：
象集是关系R中属性组X分量上值为x的各元组在Z分量上的值组成的集合。
给定关系R(X,Y)和S(Y,Z)，X、Y、Z为属性组，其中属性组Y来自相同的域，但可以有不同的属性名。
除法运算
除运算记作：
其中， 为关系S在Y属性组上的投影，YX为x在关系R中的象集。
R(X,Y)和S(Y,Z)执行除运算R÷S得到一个新的关系，该关系由关系R中满足下列条件的元组在X属性列上的投影组成，即X分量值x的象集Yx包含关系S在Y上投影的元组集合。
除运算也是同时在“水平”和“垂直”两个方向上进行操作，适合包含“全部”“至少”之类的查询。
本章小结
介绍了关系模型、关系的码、关系的完整性及关系代数。
关系数据结构、关系模型的形式化定义和关系模式是关系数据库的数据库结构的基础支撑。
关系的码为关系数据库中各关系之间的联系提供了依据。
关系的完整性约束是关系数据库完整性和一致性的保障。
关系代数为关系数据查询优化提供了数学理论支撑。

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