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第02讲：一元二次函数 、方程和不等式
【考点梳理】
考点一：不等式的性质应用 考点二：基本不等式求积的最大值
考点三：基本不等式求和的最小值 考点四：二次或者二次商式的最值问题
考点五：基本不等式“1”的妙用 考点六：条件等式求最值
考点七：基本不等式的恒成立求参数问题 考点八：含参数的一元二次不等式的解法
考点九：由一元二次不等式来确定参数的范围 考点十：一元二次不等式在实数上恒成立问题
考点十一：一元二次不等式在某区间恒成立问题 考点十二：一元二次不等式在某区间有解立问题
考点十三：一元二次不等式恒成立和分类讨论综合问题
【知识梳理】
知识点一　等式的基本性质
(1)如果a＝b，那么b＝a. (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c.
(3)如果a＝b，那么a±c＝b±c. (4)如果a＝b，那么ac＝bc. (5)如果a＝b，c≠0，那么＝.
知识点二　不等式的性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>b b2 传递性 a>b，b>c a>c 不可逆
3 可加性 a>b a＋c>b＋c 可逆
4 可乘性 ac>bc c的符号
ac5 同向可加性 a＋c>b＋d 同向
6 同向同正可乘性 ac>bd 同向
7 可乘方性 a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2) 同正
知识点三．基本不等式≤
1.基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
知识点四：．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)＋≥2(a，b同号)． (3)ab≤2 (a，b∈R)． (4)≥2 (a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
知识点五：．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大)
知识点六　一元二次不等式的概念
定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式
一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数
知识点七　二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1【题型归纳】
题型一：不等式的性质应用
1．（2024上·上海杨浦·高一校考期末）设，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据不等式性质逐个选项判断即可.
【详解】对A，，则，即，故A错误；
对B，，则，则，故B错误；
对C，，则，故C错误；
对D，，则，故D正确.
故选：D
2．（2023上·全国·高一期末）已知，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，则
【答案】D
【分析】利用特值法判断ABC；根据不等式的性质判断D.
【详解】若，取，得，故A错误；
若，取，得，故B错误；
若，，取，得，，故C错误；
若，即，则，即，故D正确.
故选：D.
3．（2023上·浙江杭州·高一校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】D
【分析】举反例判断AB；利用不等式的性质可判断C；做差可判断D.
【详解】对于A，当时，则，故A错误；
对于B，若，，则，故B错误；
对于C，若，，则，所以，故C错误；
对于D，若，，则，所以，
所以，故D正确.
故选：D.
题型二：基本不等式求积的最大值
4．（2024上·云南昆明·高一昆明一中校考期末）已知，为正实数，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式中“和定积最大”的方法即可求解.
【详解】因为，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：D
5．（2023上·西藏林芝·高一校考期中）下列命题中正确的是（ ）
A．若，且，则
B．若，则
C．若，则
D．对任意，均成立.
【答案】A
【分析】根据基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，，当且仅当时等号成立，A选项正确.
B选项，当时，，所以B选项错误.
C选项，当时，，所以C选项错误.
D选项，当时，，不成立，所以D选项错误.
故选：A
6．（2023上·湖北·高一洪湖市第一中学校联考期中）若，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据利用基本不等式结合一元二次不等式运算求解.
【详解】因为，即，
且，当且仅当时，等号成立，
可得，解得或（舍去），
所以，即的取值范围是.
故选：C.
题型三：基本不等式求和的最小值
7．（2024上·云南昆明·高一统考期末）下列说法正确的是（ ）
A．若，则的最小值为2 B．若，则的最小值为2
C．若正实数满足，则的最小值为2 D．若，则的最小值为4
【答案】C
【分析】A：根据分类讨论，利用基本不等式进行分析；B：利用配凑法结合基本不等式求解出最小值；C：利用“”的变换结合基本不等式求解出最小值；D：利用基本不等式求解最小值，注意分析取等条件.
【详解】对于A：当时，，当且仅当时取等号，
当时，，当且仅当时取等号，
由上可知，A错误；
对于B：因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，所以最小值为，故B错误；
对于C：因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，所以最小值为，故C正确；
对于D：当时，，
因为，
当且仅当，即时取等号，
显然不成立，故等号取不到，故D错误；
故选：C.
8．（2024上·湖北孝感·高一校考期末）下列结论正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，的最小值是2
C．当时，的最小值是5
D．设，，且，则的最小值是
【答案】D
【分析】利用基本不等式与“1”的妙用逐一检验各选项即可得解.
【详解】对于A，当时，，
当且仅当，即时取等号，显然等号不成立，故A错误；
对于B，当时，，
当且仅当，即时取等号，显然等号不成立，故B错误；
对于C，当时，，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值是，故C 错误；
对于D，，，，
则，
当且仅当且，即，时取等号，故D正确.
故选：D．
9．（2023上·重庆·高一西南大学附中校考期中）已知，且，则的最小值是（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】A
【分析】由题意，直接利用基本不等式求解最小值即可.
【详解】因为，所以，，
又，所以,
所以，
当且仅当即时，等号成立，所以的最小值是2.
故选：A
题型四：二次或者二次商式的最值问题
10．（2021下·江西吉安·高一永丰县永丰中学校考期末）函数（）的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将函数化简变形为，然后利用基本不等式求解即可
【详解】解：因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以函数（）的最小值为，
故选：B
11．（2022上·辽宁大连·高一育明高中校考期末）“”是“关于的不等式（）有解”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用基本不等式求得当时，的最小值为，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由题意知，可得，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以当时，的最小值为，
当时，可得关于的不等式有解成立，即充分性成立，
反之：关于的不等式有解时，不一定成立，即必要性不成立，
所以“”是“关于的不等式有解”的充分不必要条件.
故选：A.
12．（2022上·江西南昌·高一统考期末）当时，函数的最小值为 ．
【答案】
【分析】将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得结果.
【详解】因为，则，则，
当且仅当时，等号成立，
所以，当时，函数的最小值为.
故答案为：.
题型五：基本不等式“1”的妙用
13．（2023上·四川成都·高一校联考期末）已知，且，则的最小值为 .
【答案】
【分析】利用“1”的代换，结合基本不等式求解.
【详解】解：因为，且，
所以，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为，
故答案为：
14．（2023上·河北保定·高一保定一中校联考期中）已知，且，则的最小值是 .
【答案】9
【分析】变换，展开利用均值不等式计算得到答案.
【详解】，所以，
，
当且仅当，即，即时，等号成立.
所以的最小值是9.
故答案为：
15．（2023上·辽宁丹东·高一统考期中）已知正实数满足，则的最小值为 .
【答案】1
【分析】由题意可得，再根据基本不等式中“1”的整体代换即可得解.
【详解】因为正实数满足，所以，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：.
题型六：条件等式求最值
16．（2023上·江苏南京·高一期末）已知实数满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意通过配方，结合不等式以及解一元二次不等式即可得解，注意取等条件.
【详解】由得，，
因为，所以，即，
所以，所以当且仅当时，取最大值为.
故选：A.
17．（2023上·黑龙江·高一校联考期中）已知，，，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】A
【分析】将化为，结合，判断，将化为，利用基本不等式，即可求得答案.
【详解】由，，，得，
故，故；
所以，
当且仅当，结合，即时等号成立．
即的最小值为2，
故选：A
18．（2023上·辽宁·高一校联考期中）若，且满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合条件等式，利用基本不等式求和的最小值.
【详解】若，且满足，则有，所以，，
，
当且仅当，即时等号成立.
所以的最小值为.
故选：D
题型七：基本不等式的恒成立求参数问题
19．（2023上·安徽六安·高一校考期中）对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由，可算出，再将最小值代入，即可求解
【详解】不等式恒成立
，，且
当且仅当，即时取等号
，即
解得
故实数的取值范围是
故选：C
20．（2023上·四川内江·高一威远中学校校考期中）若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】A
【分析】不等式恒成立，只要即可，根据基本不等式中“1”的整体代换求出的最小值，再结合一元二次不等式的解法即可得解.
【详解】由题意知，
，
当且仅当，即时取等，
又不等式恒成立，
则不等式，解得，
所以实数m的取值范围为.
故选：A.
21．（2023上·河南信阳·高一信阳高中校考期末）若关于x的不等式对于一切实数x都成立，则实数a的范围是（ ）
A．； B．； C．； D．．
【答案】C
【分析】，其中，据此可得答案.
【详解】关于x的不等式对于一切实数x都成立，
则，其中.
又，则由基本不等式有：
，当且仅当，即时取等号.
则.
故选：C
题型八：含参数的一元二次不等式的解法
22．（2023上·河南南阳·高一社旗县第一高级中学校联考期中）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知可得且，将化为求解即可.
【详解】由于关于的不等式的解集是，
所以则有且，
所以等价于，
解得，即不等式的解集为．
故选：D.
23．（2023上·安徽阜阳·高一安徽省临泉第一中学校联考期中）已知不等式的解集为且，则不等式的解集为（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】C
【分析】根据不等式解集的端点与对应方程的根的关系求出之间的关系，进而化简不等式，从而求出它的解集．
【详解】根据题意:，方程的两个根分别为，且，
则，，
，可得:.
即不等式的解集为.
故选：C.
24．（2024上·黑龙江哈尔滨·高一统考期末）已知函数.
(1)若关于的不等式解集为，求实数的取值范围；
(2)解关于的不等式.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）转化为一元二次不等式恒成立问题，令解出即可；
（2）由判别式确定a的范围，分类再解不等式即可.
【详解】（1）由题意，可得，
；
（2）①当时，即时，
原不等式的解集为；
②当时，即或时，
当时，，
原不等式的解集为，
当时，，
原不等式的解集为；
③时，即或时，，
解得或，
原不等式的解集为.
题型九：由一元二次不等式来确定参数的范围
25．（2024上·云南大理·高一统考期末）不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】判别式小于等于零解出a的范围即可.
【详解】因为不等式的解集为，
所以判别式，解得，
故选：A.
26．（2023上·云南曲靖·高一校考期中）已知一元二次不等式的解集为，则的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】根据一元二次不等式的解集求得的关系式，根据基本不等式求得正确答案.
【详解】由于一元二次不等式的解集为，
所以，所以，
所以
，
当且仅当时等号成立.
所以的最大值为.
故选：B
27．（2023上·山东临沂·高一统考期中）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】含参解一元二次不等式，分类讨论的范围确定整数解即可.
【详解】由，得，
当时，不等式的解集为，不符合题意舍去；
当时，不等式的解集为，此时若有3个整数解，则需；
当时，不等式的解集为，此时若有3个整数解，则需
综上：所以或，
故选：A．
题型十：一元二次不等式在实数上恒成立问题
28．（2023上·辽宁葫芦岛·高一校联考期中）若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】对分类讨论,利用一元二次不等式的解集与判别式的关系即可得出.
【详解】当时，恒成立，则符合题意；
当时，由题意可得，解得
综上，的取值范围是.
故选：B
29．（2023上·辽宁鞍山·高一期中）已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分、、三种情况，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】当时，，则，得，即定义域为，不符合题意；
当时，，定义域为R，符合题意；
当时，由题意得关于x的不等式恒成立，
故，解得或.
综上，实数a的取值范围是.
故选：D
30．（2023上·吉林长春·高一长春外国语学校校考期中）已知不等式的解集为，且不等式对于任意的恒成立，则实数m的取值范围为 （ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
【分析】由一元二次不等式的解集求出，利用不等式恒成立得出关于的不等式，求出的范围．
【详解】由题意得：一元二次方程的两根分别为1，2，
由根与系数的关系，可得，，
则不等式，
即对于任意的恒成立，
等价于，或，
解得：或．
则实数的取值范围为或．
故选：A
题型十一：一元二次不等式在某区间恒成立问题
31．（2023上·全国·高一期末）已知，，，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先将不等式转化为关于的不等式，再根据参变分离，转化为求函数的最值.
【详解】因为，，则，所以，
又，可得，令，
则原题意等价于，，即，
，当时，取到最大值，
所以实数m的取值范围是．
故选：C
32．（2023上·四川凉山·高一校联考期中）若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对不等式变形转化为对任意的恒成立，再利用对勾函数的性质求出右边的最大值即可得到答案.
【详解】由已知转化得不等式对任意的恒成立，
则根据指数函数单调性得对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
设，根据对勾函数单调性知在上单调递增，
则，则，解得，
则实数的取值范围为.
故选：D.
33．（2024上·上海·高一上海市向明中学校考期末）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意分析可得原题意等价于对任意的，不等式恒成立，结合基本不等式运算求解.
【详解】因为，且，整理得，
所以原题意等价于对任意的，不等式恒成立，
又因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以.
故选：A.
题型十二：一元二次不等式在某区间有解立问题
34．（2023上·福建·高一福建省罗源第一中学校联考期中）若至少存在一个，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化简不等式，根据二次函数的图象、含有绝对值函数的图象进行分析，从而求得的取值范围.
【详解】依题意，至少存在一个，使得关于的不等式成立，
即至少存在一个，使得关于的不等式成立，
画出以及的图象如下图所示，其中.
当与相切时，
由消去并化简得，
.
当与相切时，
由消去并化简得①，
由解得，代入①得，
解得，不符合题意.
当过时，.
结合图象可知的取值范围是.
故选：A
【点睛】对于含有参数的不等式问题的求解，可考虑直接研究法，也可以考虑分离参数，也可以合理转化法.如本题中的不等式，可以将其转化为一边是含有绝对值的式子，另一边是二次函数，再根据二次函数以及含有绝对值的函数的图象来对问题进行分析和求解.
35．（2023上·浙江·高一校联考期中）若关于的不等式在区间内有解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】不等式在区间内有解，转化为，求出的最大值可得答案.
【详解】因为，所以由不等式得，
不等式在区间内有解，
只需，
因为在上单调递增，
所以的最大值为，可得，
解得.
故选：D.
36．（2023上·福建·高一校联考期中）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用均值不等式求出最小值，根据题意列不等式求解即可.
【详解】
，要使得不等式有解，只需有解即可，
解得或者，
故选：D
题型十三：一元二次不等式恒成立和分类讨论综合问题
37．（2024上·河北张家口·高一统考期末）已知函数.
(1)，，求a的取值范围；
(2)若，，，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分和进行讨论，然后列出满足条件的不等式求解即得；
（2）由，，，得，分和进行讨论，然后设，，分别求出和的最值，结合恒成立条件即得.
【详解】（1）（1）由，即，
当时，得，不满足条件.
当时，需满足，
解得 .
（2）（2）由，即.
因为，所以
即
当时，，显然成立.
当时，设，
的对称轴为，故，
又在上单调递减，在上单调递增.
所以.
要使，成立，则需满足
即，解得
综上：满足条件的a的取值范围为
38．（2024上·云南昆明·高一统考期末）已知函数.
(1)若对一切实数都成立，求实数的取值范围；
(2)当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意对一切实数都成立，分、两种情况讨论，当时则，即可求出参数的取值范围；
（2）首先求出在上的值域，令，，依题意可得在上的值域为在上的值域的子集，再分、、三种情况讨论，分别求出参数的取值范围.
【详解】（1）因为对一切实数都成立，即对一切实数都成立，
当时显然恒成立，
当时，则，解得，
综上可得，实数的取值范围.
（2）当时，
则在上单调递减，在上单调递增，
又，，，所以在上的值域为，
令，，
因为对任意的，总存在，使成立，
所以在上的值域为在上的值域的子集，
当时为常数函数，显然不符合题意；
当时在上单调递增，
所以在上的值域为，所以，解得；
当时在上单调递减，
所以在上的值域为，所以，解得；
综上可得.
39．（2023上·河北石家庄·高一校考期中）设．
(1)若不等式对于任意恒成立，求实数a的取值范围；
(2)解关于x的不等式．
【答案】(1)
(2)答案见详解
【分析】（1）讨论的范围，当时，列出条件，解出即可；
（2）化简不等式，根据根的大小进行分类讨论，即可解出.
【详解】（1）因为，
所以不等式可化为，
若对于任意，不等式恒成立，
当时，不等式化为，不满足题意，
当时，则必有且,
解得，
所以实数a的取值范围为.
（2）不等式化为，
即，，
因为，
所以当，即时，解得或，
不等式的解集为或;
当，即时，不等式恒成立，解集为；
当，即时，解得或，
不等式的解集为或.
【强化精练】
一、单选题
40．（2024上·黑龙江·高一校联考期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】作差后，即可判断不等式，再根据充分，必要条件的定义，即可判断选项.
【详解】
，
所以“”是“”的充要条件.
故选：C
41．（2023上·四川成都·高一石室中学校考期中）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】D
【分析】举反例可判断选项A、B、C，由不等式的性质可判断选项D.
【详解】对于选项A，当时，若，则，与矛盾，故选项A错误；
对于选项B，当时，若，则，与矛盾，故选项B错误；
对于选项C，当，，满足，，
但，这与矛盾，故选项C错误；
对于选项D，因为，，
所以由不等式性质可得：，即.
因为，，由不等式性质可得：，故选项D正确.
故选：D.
42．（2024上·河南·高一南阳中学校联考期末）“”是“不等式对任意的恒成立”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】先根据不等式恒成立得出.比较，即可得出答案.
【详解】当时，对任意的恒成立；
当时，要使不等式对任意的恒成立，
则应有，解得.
综上所述，的取值范围为.
显然“”包含的范围包含于“”包含的范围，
所以，“”是“不等式对任意的恒成立”的充分不必要条件.
故选：A.
43．（2023上·江西新余·高一校考期中）不等式的解集是，则的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由一元二次不等式解集求参数，代入目标不等式，应用一元二次不等式的解法求解集.
【详解】由题设是的两个根，则，
所以，即，
故不等式解集为.
故选：B
44．（2024上·黑龙江哈尔滨·高一统考期末）已知实数，则的（ ）
A．最小值为1 B．最大值为1 C．最小值为 D．最大值为
【答案】D
【分析】由基本不等式得出结果.
【详解】因为，
当且仅当即时取等号；
故最大值为，
故选：D.
45．（2023上·浙江·高一台州市黄岩中学校联考期中）已知，且，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．9 D．
【答案】C
【分析】根据已知等式，结合基本不等式进行求解即可．
【详解】因为，所以，
则
当且仅当，即时，等号成立．
故选：C．
46．（2024上·上海青浦·高一统考期末）已知.且，则下列结论正确的是（ ）
①；
②的最小值为；
③的最小值为；
④的最小值为.
A．①②④ B．①②③ C．①② D．②③④
【答案】A
【分析】由可得，判断①，利用基本不等式中消元、配凑、“”的代换的方法即可判断②③④.
【详解】由可得，
所以，①正确；
，
当且仅当即时，等号成立，②正确；
，
当且仅当即时，等号成立，③错误；
由可得，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，④正确.
故选：A
二、多选题
47．（2024上·云南昆明·高一云南师大附中校考期末）对于实数，，，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，
【答案】ABC
【分析】AB选项，可利用不等式性质进行判断；CD选项，利用作差法比较出大小.
【详解】A选项，若，则，不等式两边同除以得，A正确；
B选项，若，则，故，不等式两边同除以得，B正确；
C选项，，
因为，，所以，故，
所以，C正确；
D选项，，
因为，所以，，，
但的正负不确定，故无法判断的正负，
从而无法判断与的大小关系，D错误.
故选：ABC.
48．（2023上·广东深圳·高一校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．命题“，都有”的否定是“，使得”
B．当时，的最小值为
C．若不等式的解集为，则
D．“”是“”的充分不必要条件
【答案】BCD
【分析】A选项，全称量词命题的否定是特称量词命题，把任意改为存在，把结论否定；B选项，变形后利用基本不等式求出最小值；C选项，根据不等式的解集得到，求出，得到答案；D选项，由，但得到答案.
【详解】A选项，“，都有”的否定是“，使得”，A错误；
B选项，当时，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故当时，的最小值为，B正确；
C选项，由题意得为的两个根，
，解得，则，C正确；
D选项，，但，比如满足，但不满足，
故“”是“”的充分不必要条件，D正确.
故选：BCD
49．（2023上·陕西咸阳·高一统考期中）下列结论正确的是（ ）
A．若方程没有根，则不等式的解集为
B．若不等式的解集是，则
C．若关于的不等式的解集为，则
D．不等式的解集为
【答案】BCD
【分析】由方程和不等式之间的关系能判断A、B、C，由分式不等式能确定选项D.
【详解】选项A：若方程没有根，则，
故当时，不等式的解集为，故不符合题意；A错误.
选项B：不等式的解集是，则、为方程的根，
则代入得；故B正确；
选项C：当时，不等式变为，则解集不是R，不符合题意；
当时，不等式得解集为R，则，即；
综上，，故C正确；
选项D：不等式，即，解得，故D正确.
故选：BCD
50．（2023上·安徽安庆·高一安庆市第二中学校考阶段练习）已知，则下列正确的是（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．最大值为8 D．的最大值为6
【答案】BC
【分析】根据基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】依题意，，
A选项，，
，解得，
当且仅当，即时等号成立，
所以，所以A选项错误.
B选项，，，
，
当且仅当时等号成立，所以B选项正确.
D选项，，
整理得，，
当且仅当时等号成立，所以D选项错误.
C选项，，
由D选项的分析可知：，所以C选项正确.
故选：BC
【点睛】方法点睛：用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： “一正，二定，三相等” .（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.
三、填空题
51．（2023上·全国·高一期末）已知，，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意，设，由相等关系列方程组求出，再利用不等式的性质求解即可.
【详解】设，
则，
所以，解得，
于是.
又，，
所以，即.
故答案为：.
52．（2024上·上海·高一上海市向明中学校考期末）若关于的不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是
【答案】
【分析】分和两种情况，结合二次不等式的恒成立问题分析求解.
【详解】因为关于的不等式对一切实数都成立，
若，则，符合题意；
若，则，解得；
综上所述：实数的取值范围是.
故答案为：.
53．（2023上·上海奉贤·高一统考期末）已知，.方程的解集为，其中，则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】根据根与系数关系求得关于的表达式，进而求得不等式的解集.
【详解】方程的解集为，其中，
所以，
则不等式可化为：，
即，由于，所以，
所以不等式的解集为.
故答案为：
54．（2024上·重庆北碚·高一统考期末）已知正实数满足，则的最小值是 .
【答案】/
【分析】利用基本不等式即可得解.
【详解】因为，，
所以，
，即，
当且仅当时，等号成立，
所以.
故答案为：.
55．（2023上·重庆永川·高一重庆市永川中学校校考期末）已知，且，则的最小值是 .
【答案】2
【分析】将条件等式因式分解可得，然后将待求式子通分并结合基本不等式可求解出最小值.
【详解】因为，所以，
因为，所以，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以最小值为，
故答案为：.
四、解答题
56．（2023上·全国·高一期末）（1）已知，求的最小值；
（2）若均为正实数，且满足，求的最小值.
【答案】（1）8；（2）
【分析】（1）先将函数解析式变形，再利用基本不等式求出最值；
（2）结合1的妙用，利用基本不等式求出最值.
【详解】（1） 因为，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为8.
（2） 因为均为正实数，，
所以，，，
则
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
57．（2023上·云南曲靖·高一宣威市第六中学校考阶段练习）已知不等式的解集为.
(1)求实数，的值；
(2)若，，且，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由解集可得一元二次方程的两个实根，由韦达定理可求得实数的值；
（2）根据均值不等式进行求解即可.
【详解】（1）因为的解集为，
所以和为方程的两个实根，二次项系数a不为0，
根据韦达定理，则有，解得.
当时，的解集为，符合题意.
综上，.
（2）由（1）可知，，
因为，，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
58．（2023上·山东临沂·高一校考期末）已知关于x的不等式的解集为M.
(1)若，求k的取值范围；
(2)若存在两个不相等负实数a，b，使得或，求实数k的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）分类讨论，结合二次函数性质可得；
（2）由一元二次不等式的解集结合一元二次方程根的分布可得.
【详解】（1）当时，或.
当时，恒成立；
当时，，解得，不恒成立，舍去.
当时，
解得或.
综上可知，k的取值范围为或.
（2）由可得或.
因为不等式解集的两个端点就是对应方程的实数根，
所以关于x的方程有两个不相等的负根，
设为，，则，
解得，
综上可知，k的取值范围为.
59．（2023下·河北石家庄·高一石家庄二十三中校考开学考试）已知函数（a，b，）有最小值，且的解集为．
(1)求函数的解析式；
(2)若对于任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据韦达定理列出方程组解出即可；
（2）分离参数得，，利用基本不等式求出右边最值即可.
【详解】（1）令，则为方程的两根，则，
则由题有，解得，
.
（2）由（1）得对，，
即，，，
，
令，，则，
当且仅当，即时等号成立，
故，则.第02讲：一元二次函数 、方程和不等式
【考点梳理】
考点一：不等式的性质应用 考点二：基本不等式求积的最大值
考点三：基本不等式求和的最小值 考点四：二次或者二次商式的最值问题
考点五：基本不等式“1”的妙用 考点六：条件等式求最值
考点七：基本不等式的恒成立求参数问题 考点八：含参数的一元二次不等式的解法
考点九：由一元二次不等式来确定参数的范围 考点十：一元二次不等式在实数上恒成立问题
考点十一：一元二次不等式在某区间恒成立问题 考点十二：一元二次不等式在某区间有解立问题
考点十三：一元二次不等式恒成立和分类讨论综合问题
【知识梳理】
知识点一　等式的基本性质
(1)如果a＝b，那么b＝a. (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c.
(3)如果a＝b，那么a±c＝b±c. (4)如果a＝b，那么ac＝bc. (5)如果a＝b，c≠0，那么＝.
知识点二　不等式的性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>b b2 传递性 a>b，b>c a>c 不可逆
3 可加性 a>b a＋c>b＋c 可逆
4 可乘性 ac>bc c的符号
ac5 同向可加性 a＋c>b＋d 同向
6 同向同正可乘性 ac>bd 同向
7 可乘方性 a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2) 同正
知识点三．基本不等式≤
1.基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
知识点四：．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)＋≥2(a，b同号)． (3)ab≤2 (a，b∈R)． (4)≥2 (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
知识点五：．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大)
知识点六　一元二次不等式的概念
定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式
一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数
知识点七　二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1【题型归纳】
题型一：不等式的性质应用
1．（2024上·上海杨浦·高一校考期末）设，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·全国·高一期末）已知，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，则
3．（2023上·浙江杭州·高一校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
题型二：基本不等式求积的最大值
4．（2024上·云南昆明·高一昆明一中校考期末）已知，为正实数，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023上·西藏林芝·高一校考期中）下列命题中正确的是（ ）
A．若，且，则
B．若，则
C．若，则
D．对任意，均成立.
6．（2023上·湖北·高一洪湖市第一中学校联考期中）若，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型三：基本不等式求和的最小值
7．（2024上·云南昆明·高一统考期末）下列说法正确的是（ ）
A．若，则的最小值为2 B．若，则的最小值为2
C．若正实数满足，则的最小值为2 D．若，则的最小值为4
8．（2024上·湖北孝感·高一校考期末）下列结论正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，的最小值是2
C．当时，的最小值是5
D．设，，且，则的最小值是
9．（2023上·重庆·高一西南大学附中校考期中）已知，且，则的最小值是（ ）
A．2 B．4 C． D．
题型四：二次或者二次商式的最值问题
10．（2021下·江西吉安·高一永丰县永丰中学校考期末）函数（）的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2022上·辽宁大连·高一育明高中校考期末）“”是“关于的不等式（）有解”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
12．（2022上·江西南昌·高一统考期末）当时，函数的最小值为 ．
题型五：基本不等式“1”的妙用
13．（2023上·四川成都·高一校联考期末）已知，且，则的最小值为 .
14．（2023上·河北保定·高一保定一中校联考期中）已知，且，则的最小值是 .
15．（2023上·辽宁丹东·高一统考期中）已知正实数满足，则的最小值为 .
题型六：条件等式求最值
16．（2023上·江苏南京·高一期末）已知实数满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
17．（2023上·黑龙江·高一校联考期中）已知，，，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C． D．4
18．（2023上·辽宁·高一校联考期中）若，且满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型七：基本不等式的恒成立求参数问题
19．（2023上·安徽六安·高一校考期中）对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
20．（2023上·四川内江·高一威远中学校校考期中）若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．或
C． D．或
21．（2023上·河南信阳·高一信阳高中校考期末）若关于x的不等式对于一切实数x都成立，则实数a的范围是（ ）
A．； B．； C．； D．．
题型八：含参数的一元二次不等式的解法
22．（2023上·河南南阳·高一社旗县第一高级中学校联考期中）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
23．（2023上·安徽阜阳·高一安徽省临泉第一中学校联考期中）已知不等式的解集为且，则不等式的解集为（ ）
A． B．或
C． D．或
24．（2024上·黑龙江哈尔滨·高一统考期末）已知函数.
(1)若关于的不等式解集为，求实数的取值范围；
(2)解关于的不等式.
题型九：由一元二次不等式来确定参数的范围
25．（2024上·云南大理·高一统考期末）不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
26．（2023上·云南曲靖·高一校考期中）已知一元二次不等式的解集为，则的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．4
27．（2023上·山东临沂·高一统考期中）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
题型十：一元二次不等式在实数上恒成立问题
28．（2023上·辽宁葫芦岛·高一校联考期中）若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
29．（2023上·辽宁鞍山·高一期中）已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
30．（2023上·吉林长春·高一长春外国语学校校考期中）已知不等式的解集为，且不等式对于任意的恒成立，则实数m的取值范围为 （ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
题型十一：一元二次不等式在某区间恒成立问题
31．（2023上·全国·高一期末）已知，，，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
32．（2023上·四川凉山·高一校联考期中）若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
33．（2024上·上海·高一上海市向明中学校考期末）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型十二：一元二次不等式在某区间有解立问题
34．（2023上·福建·高一福建省罗源第一中学校联考期中）若至少存在一个，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
35．（2023上·浙江·高一校联考期中）若关于的不等式在区间内有解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
36．（2023上·福建·高一校联考期中）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
题型十三：一元二次不等式恒成立和分类讨论综合问题
37．（2024上·河北张家口·高一统考期末）已知函数.
(1)，，求a的取值范围；
(2)若，，，求a的取值范围.
38．（2024上·云南昆明·高一统考期末）已知函数.
(1)若对一切实数都成立，求实数的取值范围；
(2)当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围.
39．（2023上·河北石家庄·高一校考期中）设．
(1)若不等式对于任意恒成立，求实数a的取值范围；
(2)解关于x的不等式．
【强化精练】
一、单选题
40．（2024上·黑龙江·高一校联考期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
41．（2023上·四川成都·高一石室中学校考期中）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
42．（2024上·河南·高一南阳中学校联考期末）“”是“不等式对任意的恒成立”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
43．（2023上·江西新余·高一校考期中）不等式的解集是，则的解集是（ ）
A． B． C． D．
44．（2024上·黑龙江哈尔滨·高一统考期末）已知实数，则的（ ）
A．最小值为1 B．最大值为1 C．最小值为 D．最大值为
45．（2023上·浙江·高一台州市黄岩中学校联考期中）已知，且，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．9 D．
46．（2024上·上海青浦·高一统考期末）已知.且，则下列结论正确的是（ ）
①；
②的最小值为；
③的最小值为；
④的最小值为.
A．①②④ B．①②③ C．①② D．②③④
二、多选题
47．（2024上·云南昆明·高一云南师大附中校考期末）对于实数，，，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，
48．（2023上·广东深圳·高一校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．命题“，都有”的否定是“，使得”
B．当时，的最小值为
C．若不等式的解集为，则
D．“”是“”的充分不必要条件
49．（2023上·陕西咸阳·高一统考期中）下列结论正确的是（ ）
A．若方程没有根，则不等式的解集为
B．若不等式的解集是，则
C．若关于的不等式的解集为，则
D．不等式的解集为
50．（2023上·安徽安庆·高一安庆市第二中学校考阶段练习）已知，则下列正确的是（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．最大值为8 D．的最大值为6
三、填空题
51．（2023上·全国·高一期末）已知，，则的取值范围是 .
52．（2024上·上海·高一上海市向明中学校考期末）若关于的不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是
53．（2023上·上海奉贤·高一统考期末）已知，.方程的解集为，其中，则不等式的解集为 .
54．（2024上·重庆北碚·高一统考期末）已知正实数满足，则的最小值是 .
55．（2023上·重庆永川·高一重庆市永川中学校校考期末）已知，且，则的最小值是 .
四、解答题
56．（2023上·全国·高一期末）（1）已知，求的最小值；
（2）若均为正实数，且满足，求的最小值.
57．（2023上·云南曲靖·高一宣威市第六中学校考阶段练习）已知不等式的解集为.
(1)求实数，的值；
(2)若，，且，求的最小值.
58．（2023上·山东临沂·高一校考期末）已知关于x的不等式的解集为M.
(1)若，求k的取值范围；
(2)若存在两个不相等负实数a，b，使得或，求实数k的取值范围.
59．（2023下·河北石家庄·高一石家庄二十三中校考开学考试）已知函数（a，b，）有最小值，且的解集为．
(1)求函数的解析式；
(2)若对于任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围．

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