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第3章 投影的基本知识
3.1 投影的概念和分类
3.2 三面投影图
3.3 点的投影
3.4 直线的投影
3.5 平面的投影
3.1 投影的概念和分类
3.1.1 投影的概念
假设形体上方有一个光源，在其下方有个平面，在光线的照射下，将形体上的棱线清楚地投到平面上，组成一个能反映形体形状的图形，该图形称为投影，上述光源称为投影中心，上述光线称为投影线，上述平面称为投影面，如图3-1b所示。
（a） （b）
图3-1 投影的形成
要产生投影必须具备三个条件：形体（即只考虑形状和大小的物体）、投影线和投影面，这三者缺一不可。这种研究空间形体与其投影之间关系的方法称为投影法。工程上常用各种投影法来绘制图样，该图样称为投影图。
3.1.2 投影的分类
根据投影线、形体和投影面之间的关系不同，投影法可分为中心投影法和平行投影法两种。
1．中心投影法
假设投影中心处在有限的距离内，由一点发射投影线所产生的投影，称为中心投影法，如图3-1b所示。中心投影法作出的投影图的大小与原形体不相等，但具有较强的立体感，但作图复杂，度量性差，常用于作透视投影图。
2．平行投影法
假设将投影中心移至无限远处时，所有的投影线都互相平行，这种投影法称为平行投影法。
斜投影
正投影
当投影线采用平行光线，且投影方向倾斜于投影面时，所做的空间形体的平面投影，称为斜投影，如图所示。用斜投影法作出的投影图不能反映形体的真实形状和大小，常用于轴测投影图。
当投影线采用平行光线，且投影线垂直于投影面时，所作的空间形体的平面投影，称为正投影，如图所示。
正投影有如下特征：
图3-3 正投影的特征
真实性。当直线或平面图形平行于投影面时，则其在该投影面上的投影反映实长或者实形，如图3-3a、d所示。
积聚性。当直线或平面图形垂直于投影面时，则其在该投影面上的投影积聚为一点或一条直线，如图3-3b、e所示。
类似性。当直线与投影面倾斜时，直线的投影仍为直线，但比本身短；当平面与投影面倾斜时，平面的投影仍为平面，但形状和大小都发生变化，如图3-3c、f所示。
3.2 三面投影图
在投影面、投影中心和投影方向确定之后，形体上每一点必有其唯一的一个投影，也就是点与投影之间建立起一一对应的关系。
但是两个完全不同形状的形体，在同一投影面上的投影有可能相同，如图3-4所示。这说明仅仅根据一个投影是不能完整地表达形体的形状和大小的。要确切反映形体的完整形状和大小，必须增加不同的投射方向、不同的投影面，得到多个投影，互相补充，才能准确将形体表达清楚。
图3-4 不同形状形体的投影相同
3.2.1 三面投影体系
如图3-5所示，用三个相互垂直的投影面构成一空间体系称为三面投影体系。
图3-5 三面投影体系
在三面投影体系中，把处于水平位置的投影面称为水平投影面，简称水平面或H面；把处于正立位置的投影面称为正立投影面，简称正立面或V面；把处于侧立位置的投影面称为侧立投影面，简称侧立面或W面。三个投影面两两相交且各交线交于点O，交线OX、OY、OZ称为投影轴。
3.2.2 三面投影图的形成
把形体放在三面投影体系中，分别作出三个投影面上的投影，如图3-6所示。
图3-6 三面投影图的形成
正面投影是将形体由前向后投射在正立投影面上，得到形体的投影图，该投影图称为正面投影图；水平投影是将形体由上向下投射在水平投影面上，得到形体的投影图，该投影图称为水平投影图；侧面投影将形体由左向右投射在侧立投影面上，得到形体的投影图，该投影图称为侧面投影图。
3.2.3 三面投影图的展开
（a） （b）
图3-7 三面投影的展开
正投影面V保持不动，将水平投影面H绕OX轴向下旋转90°，将侧面投影面W绕OZ轴向右旋转90°，将三投影面展开在一个平面上。这是OY轴分为两条，一条OYH轴，一条为OYW轴，如图3-7a所示。
展开到一个平面之后，水平投影图必定在正面投影图的下方，侧面投影图必定在正面投影图的右边，如图3-7b所示。
3.2.4 三面投影图的规律
由图3-7b可知，三面投影图具有以下的投影规律：
1）正面投影图能反映形体正立面的形状，形体的高度和长度，上下、左右的位置关系；水平投影图能反映形体水平面的形状，形体的长度和宽度，前后、左右的关系；侧面投影图能反映形体侧立面的形状，形体的宽度和高度，前后、上下的位置关系。
2）正面投影图与水平投影图长对齐，正面投影图与侧面投影图高平齐，水平投影图与侧面投影图宽相等。这种“长对正、高平齐、宽相等”的投影对应关系是三面投影之间的重要特性，也是建筑识图时必须遵守的投影规律。
3.2.5 三面投影图的画法
绘制三面投影图时，一般先绘制正面投影图或水平投影图，然后再绘制侧面投影图。熟练地掌握形体的三面投影图的画法是绘制和识读工程图的重要基础。下面是绘制某两坡屋面房屋三面投影图的具体方法和步骤：
在图纸上先画出水平和垂直的十字相交线，作为投影轴，如图3-8a所示。
根据形体在三面投影体系中的放置位置，画出能够反映形体特征的正面投影图或水平投影图，如图3-8b所示。
根据投影关系，由“长对正”的投影规律，画出正面投影图或水平投影图；由“高平齐”的投影规律，把正面投影图中各相应部位向侧面投影图作“等高的投影连线”；由“宽相等”的投影规律，用过原点O向右下方作45°斜线或以原点O为圆心做圆弧的方法，将水平投影图的宽度过渡到侧面投影图上，求出与“等高投影连线”的交点，连接各交点从而得到侧面投影图，如图3-8c、d所示。
图3-8 三面投影图的画法
3.3 点的投影
3.3.1 点的三面投影
画投影图时，通常规定空间点用大写字母A、B、C…表示；对应该点的水平投影用相应的小写字母a、b、c…表示；对应该点的正面投影用小写字母加上上标“′”表示，如a′、b′、c′…；对应该点的侧面投影用小写字母加上上标“″”表示，如a″、b″、c″…。
如图3-9a所示，过空间点A分别作三个投影面的投影线，则其对应的垂足a、a′、a″即为点A的三面投影。点A在水平投影面上的投影a，称为点A的水平投影；点A在正面投影面上的投影a′，称为点A的正面投影；点A在侧面投影面上的投影a″，称为点A的侧面投影。aX、aY（aH、aW）、aZ分别为点A的三面投影与投影轴OX、OY、OZ的交点。
将投影面按图3-9b中箭头所示方向展开，得到了点A的三面投影图，如图3-9c所示。
（a） （b） （c）
图3-9 点的三面投影
3.3.2 点的投影规律
由图3-9c可知，点的三面投影有如下的关系：
1）点A的水平投影a和正面投影a′的连线垂直于OX轴，即aa′⊥OX；
2）点A的水平投影a′和侧面投影a″的连线垂直于OZ轴，即a′a″⊥OZ；
3）点A的水平投影a到OX轴的距离aaX等于侧面投影a″到OZ轴的距离a″aZ，即aaX＝a″aZ。
通过上述可知，点的两面投影即可确定点的空间位置，只要给出点的两面投影，就可以求出其第三面投影。
例3-1 已知点A的正面投影a′和侧面投影a″，如图a所示，求其水平投影a。
过a′作a′aX⊥OX；
过a″作a″aW⊥OYW；
以O为圆心，OaW为半径作圆弧，交OYH于aH；
过aH作平行OX轴的直线，与a′aX的延长线相交，交点即为所求的水平投影a。
3.3.3 点的坐标
如图3-11所示，如果将三投影面体系看作是空间直角坐标系，即把三个投影面看作三个坐标面，三个投影轴看做坐标轴，投影原点O相当于坐标面的原点O。
图3-11 点的坐标和点到投影面的距离
空间一点到三投影面的距离，就是该点的三个坐标（用小写字母x、y、z表示），即：
空间点到W面的距离为x坐标，即Aa″＝a′aZ＝aaH＝x；
空间点到V面的距离为y坐标，即Aa′＝aaX＝a″aZ＝y；
空间点到H面的距离为z坐标，即Aa＝a′aX＝a″aW＝z。
在三面投影面体系中，空间任意点及其投影位置可用坐标方法表示。如点A的空间位置是A（x，y，z），则点A的H面投影a（x，y，0）；点A的V面投影a′（x，0，z）；点A的W面投影a″（0，y，z）。应用坐标更容易地作出点的三面投影和确定点的空间位置。
例3-2 已知点A（20，15，10），求作点A的三面投影图。作图步骤如图3-12所示。
图3-12 已知点的坐标作点的三面投影图
3.3.4 两点的相对位置
由点的三面投影图判别两点在空间的相对位置是识图的基本技能。我们知道空间每个点都有前、后、上、下、左、右六个方位，如图3-13a所示。
空间两点的相对位置是指两点间前后、左右、上下的位置关系，可由两点的三面投影图反映出来。H面投影反映两点的左右、前后位置关系；V面投影反映两点的上下、左右位置关系；W面投影反映两点的上下、前后位置关系，如图3-13b所示。
图3-13 投影图上的方向
空间两点的相对位置也可根据坐标值的大小来判定，具体表现为：
按x坐标判别两点的左右关系，x坐标大者在左边，x坐标小者在右边；
按y坐标判别两点的前后关系，y坐标大者在前边，y坐标小者在后边；
按z坐标判别两点的上下关系，z坐标大者在上边，z坐标小者在下边。
例3-3 如图3-14a所示，点A（23，9，17）和点B（11，13，7）的三面投影图。从两点的正面投影和侧面投影来看，点A在点B的上方；从两点的正面投影和水平投影来看，点A在点B的左方；从两点的水平投影和侧面投影来看，点A在点B的后方。点A、B的位置关系立体图如图3-14b所示。
（a） （b）
图3-14 求两点的相对位置
根据两点坐标值的大小，也可判别相对位置：
xA＝23， xB＝11，xA＞xB，点A在点B的左方；
yA＝9， yB＝13，yA＜yB，点A在点B的后方；
zA＝17， zB＝7，zA＞zB，点A在点B的上方。
3.3.5 两点的重影点
当空间两点位于某投影面的同一投射线上时，这两点在该投影面上的投影重合，称为对该投影面的重影点。这里离投影面较远的那个点是可见的，而另一个点则不可见。当点为不可见时，应在该点的投影上加括号表示。
例3-4 试判断图3-15所示四点A、B、C、D在三面投影中的可见性。
图3-15 判断点的可见性
由图3-15可知，点A、B对H面来说是重影点，所以点A、点B的H面投影重合，点A在上，点B在下，故点A可见而点B不可见，它们在H面投影用a（b）表示；同理点A、点C对V面来说是重影点，点A可见而点C不可见，它们在V面的投影为a′（c′）；点B、点D对W面来说是重影点，点B可见而点D不可见，它们在W面的投影为b″（d″）。
3.4 直线的投影
3.4.1 各种位置直线的投影及其投影特征
1．一般位置直线
一般位置直线是倾斜于三个投影面的直线，对三个投影面都有倾斜角，我们分别以α（与水平投影面倾角）、β（与正立投影面倾角）、γ（与侧立投影面倾角）表示。一般位置直线的投影如图3-16所示。
（a）立体图 （b）投影图
图3-16 一般位置直线的投影
一般位置直线的投影特性为：
1）三面投影均短于实长；
2）三面投影均倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角不等于直线对投影面的倾角。
2．投影面平行线
投影面平行线是指平行于某一投影面，同时倾斜于其余两个投影面的直线。投影面平行线又可分为：水平线（平行于水平投影面，同时倾斜于其余两个投影面）、正平线（平行于正投影面，同时倾斜于其余两个投影面）和侧平线（平行于侧投影面，同时倾斜于其余两个投影面）。
投影面平行线的投影特性如表3-1所示。
3．投影面垂直线
投影面垂直线是垂直于某一投影面，同时平行于其他投影面的直线。投影面垂直线可分为：铅垂线（垂直于水平投影面，同时平行于其他投影面）、正垂线（垂直于正投影面，同时平行于其他投影面）、侧垂线（垂直于侧投影面，同时平行于其他投影面）。
投影面垂直线的投影特性如表3-2所示。
例3-5 试判断图3-17中直线SB、SC、AC的空间位置。
图3-17 判断直线的空间位置
SB的投影s″b″倾斜于投影轴，sb、s′b′分别平行于OYH轴和OZ轴，故SB为侧平线。
SC的投影sc、s′c′、s″c″均倾斜于投影轴，故SC为一般位置直线。
AC的投影a″（c″）积聚为一点，故AC为侧垂线。
3.4.2 直线上的点
1．点与直线的从属性
点在直线上，则点的各个投影必落在该直线的同面投影上。反之，点的各个投影在直线的同面投影上，则该点一定在直线上。如果点有一个投影不在该直线的同面投影上，则该点一定不在该直线上，由此可以判断一个点是否在直线上。从图3-18可以看出，E点在直线AB上，F点不在直线AB上。
图3-18 直线上的点的投影
2．定比性
若直线上的点分线段成比例，则此点的各投影相应地分该线段的同面投影成相同的比例，称为定比性。从图3-18可以看出，点E分直线AB为AE和EB两段，则有
AE︰EB＝ae︰eb＝a′e′︰e′b′
一般情况下，当直线为一般位置直线或投影面的垂直线时，判断点是否在直线上，通过两面投影即可；当直线为投影面平行线时，应根据投影情况通过两面或三面投影或定比性才能判断。
例3-6 已知直线AB的投影ab和a′b′，如图a所示，点M在AB上，且AM︰MB＝2﹕3，求点M的投影。
作图步骤如图b、c所示。
3.4.3 两直线的相对位置
1．两直线平行
若空间两直线相互平行，则它们的同面投影必平行。反之，若两直线的同面投影都互相平行，则两直线在空间也必然是平行的，如图3-20所示。
图3-20 两直线平行
2．两直线相交
若空间两直线相交，则它们的同面投影仍然相交，且各同面投影的交点应符合空间的投影规律。反之，若两直线的同面投影都相交，而交点符合空间点的投影规律，则这两条线在空间也必定是相交的。
如图3-21所示，AB、CD为空间两相交直线，其交点E为两直线的共有点，两直线的水平投影ab、cd的交点e是E点的水平投影；两直线的正面投影a′b′、c′d′的交点e′是E点的正面投影。因为e、e′是同一点E的两面投影，故e与e′的连线必与其投影轴垂直。
图3-21 两直线相交
3．两直线交叉
当空间两直线既不平行也不相交时，称为交叉直线。两直线在空间如果不平行，也不相交，那么它们的位置关系一定是交叉。
交叉两直线的同面投影可能有时为相互平行，但其在三个投影面上的同面投影不会全部相互平行；交叉两直线的同面投影也可以有时相交的，如图3-22所示。
图3-22 两直线交叉
3.5 平面的投影
3.5.1 各种位置平面的投影及其投影特性
1．一般位置平面
一般位置平面是倾斜于三个投影面的平面。一般位置平面的投影如图3-23所示。一般位置平面的投影均保持原几何形状不变，但面积均比原平面图形本身的面积小。
图3-23 一般位置平面的投影
2．投影面平行面
投影面平行面是平行于某一投影面而与其他投影面垂直的平面。投影面平行面可分为水平面（平行于水平投影面而与其他投影面垂直）、正平面（平行于正立投影面而与其他投影面垂直）、侧平面（平行于侧立投影面而与其他投影面垂直）。
投影面平行面的投影特性如表3-3所示。
3．投影面垂直面
投影面垂直面是垂直于某一投影面而倾斜于其他投影面的平面。投影面垂直面可分为铅垂面（垂直于水平投影面而倾斜于其他投影面）、正垂面（垂直于正立投影面而倾斜于其他投影面）、侧垂面（垂直于侧立投影面而倾斜于其他投影面）。
投影面垂直面的投影特性如表3-4所示。
3.5.2 平面上的直线和点
1．平面上的直线
如果一直线通过平面上的两个点，或通过平面上的一个点又与该平面上的另一条直线平行，则此直线必定在该平面上。
图3-24 平面上的直线
如图3-24a所示，相交直线AB与BC构成一平面，在AB、BC上各取一点M和N，则过M、N两点的直线一定在该平面内。如图3-24b所示，相交直线AB和BC构成一平面，点L在直线AB上，过点L作直线LK∥BC，则直线LK一定在该平面内。
2．平面上的点
如果一个点在平面内的某一条直线上，则此点必定在该平面上。
图3-25 点在平面上的条件
从图3-25a中可看出，点M在直线AB上，直线AB又在平面ABC上，所以点M在平面ABC上。同理，从图3-25b中可以看出点D不在平面ABC上。
例3-7 已知△ABC及其一点M的投影m，如图a所示，求作点M的另一投影m′。
作图步骤如图b、c、d所示。
例3-8 已知△ABC的两投影，如图a所示，过A点在△ABC平面作一水平线AD。
作图步骤如图如图b、c所示。

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