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2023-2024学年第二学期甘肃省武威市凉州区清水镇九年制学校
九年级数学人教版第二十八章《锐角三角函数》单元测试卷
一、选择题(共30分)
1．（3分）如图，AB是圆锥的母线，BC为底面直径，已知BC=6cm，圆锥的侧面积为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）如图，已知CD为⊙O的直径，CD⊥AB于点F，AE⊥BC于点E．若AE过圆心O，OA＝1．则四边形BEOF的面积为（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，：：，且，则的长度是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）一个公园的示意图如题7图所示，在大门北偏东的景点是（　　）
A．海洋世界 B．猴山 C．虎豹园 D．大象馆
5．（3分） 如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，则cosA的值是(　　)
A． B． C． D．
6．（3分） 在中，为锐角，满足，则等于（　　）
A． B． C． D．
7．（3分） 在中，，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
8．（3分） 2022年2月4日在北京举办了第24届冬季奥运会，很多学校都开展冰雪项目学习．如图，某滑雪斜坡的坡角为，一位同学乘滑雪板沿斜坡下滑了100米，则该同学在竖直方向上下降的高度为（　　）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，则下列选项正确的是（　　）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，tan∠AOC＝，反比例函数y＝的图象经过点C，与AB交于点D，若△COD的面积为30，则k的值等于（　　）
A．﹣48 B．48 C．﹣36 D．﹣18
二、填空题(共24分)
11．（3分） 已知为锐角，且，则　 　°．
12．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则sinA=　 　
13．（3分） 在△ABC中，若|2sin A-|与(-2cos B)2互为相反数，则∠C=　 　.
14．（3分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，其半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为 　 　．
15．（3分）如图，将一把矩形直尺和一块含角的三角板摆放在平面直角坐标系中，在轴上，点与点重合，点在上，三角板的直角边交于点，反比例函数的图象恰好经过点，若直尺的宽，三角板的斜边，则　 　 ．
16．（3分）如图，在中，，点是线段上一动点，将绕点按顺时针方向旋转，得到，点是线段的中点，则长度的最小值为　 　．
17．（3分） 如图所示，测量船以20 n mile/h的速度沿正东方向航行并对某海岛进行测量，测量船在A处测得海岛上观测点D位于北偏东15°方向上，观测点C位于北偏东45°方向上，航行半个小时到达B点，这时测得海岛上观测点C位于北偏西45°方向上，若CD与AB平行，则CD=　 　 n mile(计算结果不取近似值).
18．（3分）在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB=4，BD=10，sin∠BDC= ，则 ABCD的面积是　 　．
三、计算题(共8分)
19．（1）（4分）
（2）（4分）
四、解答题(共58分)
20．（6分）先化简，再求代数式的值，其中．
21．（6分）如图，点在轴的正半轴上，抛物线与直线在第一象限内的交点为，试求的值．
22．（6分） 如图所示，AB是☉O的直径，点E是劣弧BD上一点，∠PAD=∠AED，且DE=，AE平分∠BAD，AE与BD交于点F.
（1）（3分）求证：PA是☉O的切线；
（2）（3分）若tan∠DAE=，求EF的长.
23．（6分）如图，在中，，点O为边上一点，以为半径的与相切于点D，分别交边于点E，F。
（1）（3分）求证：平分；
（2）（3分）若，求的长。
24．（8分）如图， 在 Rt 中， 是 A C 边上一点， 连接 B D， E 是 外一点且满足 平分 ， 连接 D E 交 A B 于点 .
（1）（4分）求证：四边形ADBE是菱形；
（2）（4分）连接OC，若四边形ADBE的周长为20，，求 O C 的长
25．（8分）如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东60°方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达B处，测得小岛C位于它的北偏东37°方向，如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处，求还需航行的距离BD的长．参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75
26．（8分）楼房AB后有一假山，其坡度为i＝1： ，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC＝30米，与亭子距离CE＝18米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高.
27．（10分）如图，点P在圆O外，PA与圆O相切于A点，OP与圆周相交于C点，点B与点A关于直线PO对称，已知OA＝4，PA．求：
（1）（3分）∠POA的度数；
（2）（3分）弦AB的长；
（3）（4分）阴影部分的面积．
答案
1-10 BBCDD ABADC
11．60 12． 13．105° 14．3 15． 16． 17．(5-5)　 18．24
19．（1）解：原式
.
（2）解：原式
20．解：
，
∵，
∴原式
21．解：当时，，
解得，舍去，
∴点的坐标为，
．
22．（1）证明：∵AB是☉O的直径，
∴∠ADB=90°.
∴∠DAB+∠DBA=90°.
∵=，∴∠AED=∠ABD.
∵∠PAD=∠AED，∴∠PAD=∠ABD.
∴∠BAD+∠PAD=∠BAD+∠ABD=90°，
即∠PAB=90°.
∴PA是☉O的切线.
（2）解：如图所示，连接OE，EB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE.
∴BE=DE=.
∴OE⊥BD.
∵OA=OE，
∴∠OEA=∠OAE.
∴∠DAE=∠AEO.
∴AD∥OE.
∵AB是☉O的直径，
∴∠ADF=∠BEF=90°.
∵=，∴∠DAE=∠DBE.
∴tan∠EBF=tan∠DAE=.
∴=.
∴EF=EB=1.
23．（1）证明：如图，连接．
∵是的切线，是的半径，D是切点，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：如图，连接，
∵在中，，，
∴，
∴．
∵是直径，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，即，
∴．
24．（1）证明：，
四边形 A D B E 是平行四边形
∵AB平分
AE=BE
四边形ADBE是菱形.
（2）解：∵菱形ADBE的周长为20，
：.AD=BD=5，AE∥BD，
，
， 即
∴CD=3
在 Rt 中， ，
在 Rt 中， ，
，
25．解：在Rt△ADC中，∠CAD＝30°，AC＝80海里，
则CD＝AC＝×80＝40（海里），
在Rt△BDC中，∠BCD＝37°，
∵tan∠BCD＝，
∴BD＝CD tan∠BCD≈40×0.75＝30（海里），
答：还需航行的距离BD的长约为30海里．
26．解：过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，
在Rt△CEF中，
∵i＝ ＝ ＝tan∠ECF，∴∠ECF＝30°，
∴EF＝ CE＝9米，CF＝9 米，
∴BH＝EF＝9米，HE＝BF＝BC+CF＝（30+9 ）米，
在Rt△AHE中，∵∠HAE＝45°，
∴AH＝HE＝（30+9 ）米，
∴AB＝AH+HB＝（39+9 ）米.
答：楼房AB的高为（39+9 ）米.
27．（1）解：∵PA是圆O的切线，切点是A．
∴OA⊥PA．
在Rt△APO中，tan∠POA，
∴∠POA＝60°
（2）解：设AB与PO相交于点D，如图，
∵点B与点A关于直线PO对称，
∴AB⊥PO，且AB＝2AD，
在Rt△ADO中，AD＝OAsin60°＝2，
∴AB＝2AD＝4；
（3）解：设阴影部分面积为s，
则S＝S△OAP﹣S扇形AOC，
∵S△OAP＝8，S扇形AOC，
∴S＝8（）．

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