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认识《九章算术》
认识《九章算术》
数学文化——
01 《九章算术》介绍
02 《九章算术》——算术部分
03 《九章算术》——代数部分
04 《九章算术》——几何部分
目录
目录
第一部分
《九章算术》介绍
《九章算术》是中国古典数学最重要的著作.这部著作的成书年代，根据现在的考证，至迟在公元前1世纪，但其中的数学内容，有些也可以追溯到周代《周礼》记载西周贵族子弟必学的六门课程(“六艺”)中有一门是“九数”，刘徽《九章算术注》“序”中就称《九章算术》是由“九数”发展而来，并经过西汉张苍(？一公元前152)、耿寿昌等人删补.近年发现的湖北张家山汉初古墓竹简《算数书》(1984年出土)，有些内容与《九章算术》类似.因此可以认为，《九章算术》是从先秦至西汉中叶的长时期里经众多学者编纂、修改而成的一部数学著作。
《九章算术》
《九章算术》
《九章算术》
《九章算术》
《九章算术》中收集了二百四六个应用问题和各个问题的解法，分成九章，依次为：方田，粟米，衰分，少广，商功，均输，盈不足，方程，勾股。其中所包含的数学成就是丰富和多方面的。
十六世纪以前的中国数学书大多都是应用问题解法的集成，原则上遵守《九章算术》的体例。后世的数学家们结合当时社会的实际需要，引入新的数学概念和数学方法，超出了《九章算术》的范围，但也是在《九章算术》数学知识的基础上，通过“再实践，再认识”的过程发展的。
刘徽创作的《九章算术注》，使以《九章算术》为代表的中国传统数学发生了更本性的变化，并上升到了一个新的阶段。
《九章算术》
《九章算术》
《九章算术》中各章里的内容比较杂乱，有不符合该章主题的情况，例如方田章里有分数运算问题，衰分章有一般比例问题，均输章里只有4个均输问题，却有很多分数应用问题与衰分问题。因此，在这里我们就分三部分算术、代数、几何来介绍《九章算术》中的主要问题。
第二部分
《九章算术》——算术部分
1.分数四则运算法则
《九章算术》“方田”章给出了完整的分数加、减、乘、除以及约分和通分运算法则。
分数加法——叫作“合分”
分数减法——叫作“减分”
分数相乘——叫作“乘分”——用相乘的分母作为分母，分子相乘为分子
分数相除——叫作“经分”
“经分”后刘辉补充可以将除数的分子、分母颠倒而与被除数相乘
方田章用相加数或相减数的分母的乘积作为共同分数
中国古代筹算除法：以除数除被除数，除不尽时有余数。以余数作为分子，除数作为分母，就产生了一个分子在上，分母在下的分数筹算形式，连除得的整数部分在内，它是一个带分数。
131÷7=18??5
?
1317=1857
?
百
十
个
131÷7
?
《九章算术》“约分术”说：副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。
例如分数 4991
?
分子—分母
91— 49 =42
49— 42 =7
42— 7 =35
35— 7 =28
28— 7 =21
21— 7 =14
14— 7 = 7
屡次减7
这个7就是“等数”
就是所求的最大公约数
以7约分子、分母，即得4991的即约分数713
?
这个“更相减损求等”法和欧几里得《几何原本》第七卷中求最大公约数法是一致的。
相等
2.比例算法
设比例关系a：b=c：x中求x，《九章算术》称a为“所有率”，b为“所求率”，c为“所有数”，x为“所求数”。
今有术：以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一。
相当于x=bca.
?
《九章算术》“粟米”、“衰分”、“均输”诸章集中讨论比例问题，并提出“今有术”作为解决各类比例问题的基本算法。
2.比例算法
《九章算术》“粟米”、“衰分”、“均输”诸章集中讨论比例问题，并提出“今有术”作为解决各类比例问题的基本算法。
希腊人的比例论是几何线段的比例论，数字比例算法在欧洲出现颇晚，被称为“三率法”，有时也叫“黄金法则”。
以“今有术”为基础就是按一定级差分配。“均输”章则运用比例分配解决粮食运输负担的平均分配。
3.盈不足术
“今有共买物，人出八盈三；人出七不足四。问人数、物价几何？”
这个问题相信同学们可以独自解决，可用一元一次方程也可以用一元二次方程，现在我们来看看《九章算术》是如何解决这个问题的，你也可以看看它的答案和你是否一样。
3.盈不足术
“今有共买物，人出八盈三；人出七不足四。问人数、物价几何？”
一般地，假设人数为x，物价为y，每人出钱????1盈????1，出钱????2不足????2.《九章算术》“盈不足术”相当于给出解法（将筹算转化为公式）：
?
????=????1+????2????1?????2
?
????=????1????2+????2????1????1?????2
?
????????=????1????2+????2????1????1+????2
?
同学们，你们计算一下，和你们用解方程的方法计算出来的结果一样吗？
第三部分
《九章算术》——代数部分
1.方程术
《九章算术》在代数方面的成就是具有世界意义的。
“方程”章第一题：今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十九斗。问上、中、下禾实一秉各为几何？
黍米
捆
打下来的粮食
设上、中、下各一秉打出来的粮食分别为x，y，z（斗），则问题就相当于解一个三元一次方程组：
3????+2????+????=392????+3????+????=34????+2????+3????=26
?
《九章算术》没有表示未知数的符号，而是用算筹将x，y，z的系数和常数项排列成一个（长）方阵（如图，其中已经将算筹换成数字）
3????+2????+????=392????+3????+????=34????+2????+3????=26
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}1
2
3
2
3
2
3
1
1
26
34
39
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}0
0
3
4
5
2
8
1
1
39
24
39
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}0
0
3
0
5
2
4
1
1
11
24
39
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}0
0
4
0
4
0
4
0
0
11
17
37
上禾（x）=914
中禾（y）=414
下禾（z）=234
?
同学们对比观察很容易发现《九章算术》方程术的解法，实质上就是我们今天所使用的消元法解方程，西方文献中称之为“高斯消去法”。《九章算术》方程术，是世界数学史上的一个明珠.
2.正负术
“方程”的每一行是由多项未知量和一个已知量所组成的等式，其中可能有相反意义的量，由此产生正数与负数的对立概念。
中国数学家在方程章里提出了正负数的不同表示法和正负数的加减法则。这在数学史上是一个无比的伟大成就。
方程章第3题刘徽注说，用红色的算筹表示正数，用黑色的算筹表示负数。否则就在布置算筹时用正列的筹表示正数，斜列的筹表示负数。
2.正负术
同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之.其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之.
同号
异号
大意：二数同号则绝对值的差是余数的绝对值。二数异号则绝对值的和是余数的绝对值。减去的数如其是正数而大于被减数时，余数得负号；如其是负数而小于被减数时，余数得正好。
对负数的认识是人类数系扩充的重大步骤.7世纪时的印度数学家也开始使用负数，对负数的认识在欧洲却进展缓慢，甚至到16世纪韦达的著作还在回避使用负数。
3.开方术
《九章算术》“少广”章有“开方术”和“开立方数”，给出了开平方和开立方的算法。《九章算术》开方术本质上是一种减根变换法，开创了后来更高次方和求高次方程数值解之先河。
用现代记号表述，《九章算术》开放术相当于解方程
????2=????
?
3.开方术
《九章算术》开方术中特别令人惊异之处，是指出了存在有开不尽的情形：“若开之不尽者，为不可开”，并给这种不尽根数起了一个专门的名字——“面”.
《九章算术》时代的中国数学家，如同他们对待负数的发现一样，对在开方过程中接触到的无理量也这样泰然处之。这或许是因为引导他们发现不尽根数的算法本身，使他们能够有效地计算这种不尽根数地近似值。
第四部分
《九章算术》——几何部分
《九章算术》“方田”、“商功”和“勾股”三章处理几何问题。其中“方田”章讨论面积计算，“商功”章讨论体积计算，“勾股”章则是关于勾股定理的应用。
《九章算术》中几何问题具有很明显的实际背景，如面积问题多与农田测量有关，体积问题则主要涉及工程土方计算。各种几何图形的名称就反应着它们的现实来源。
如平面图形有：“方田”（长方形）、“圭田”（三角形）、“箕田”（梯形）、“圆田”（圆）、“孤田”（弓形）、“环田”（圆环）等，这些图形都是我们现在熟悉的几何图形，只不过在名称上和以前不同。
如立体图形有：“仓”（长方体）、“方锥”（正方椎体）、“方亭”（平截头方锥）、“圆锥”（正圆椎体）、“圆亭”（平截头圆锥）；
“鳖臑”（底面为直角三角形而有一棱与底面垂直的椎体）
“阳马”（底面为长方形而有一棱与底面垂直的椎体）
阳马
堑堵
鳖臑
“堑堵”（底面为直角三角形的正柱体）
“羡除”（三个侧面均为梯形的锲形体）
“刍童”（上、下底面都是长方形的棱台）
羡除
刍童
《九章算术》中给出的所有直线形的面、体积公式都是准确的。
《九章算术》对于它所给出的几何问题的算法，一律没有推导证明，可以说《九章算术》中的几何部分主要是实用几何。
花样数学
本节课到这里就结束了，本节课只是简单的介绍了《九章算术》中的相关内容，感兴趣的同学还可以下来查阅相关的资料，你会发现《九章算术》的内容绝不止今天介绍的那么多。

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