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6.2.1~6.2.2排列与排列数
1.通过实例理解排列的概念，并能用排列知识解决简单的实际问题；
2.能利用排列数公式解决方程及不等式问题；
3.掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题
一、排列
①排列的定义：一般地，从n个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
②排列数、排列数公式：从n个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示，其中，，且.
二、排列问题
问题 方法
“在”与“不在”的有限制条件的排列问题 既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先.
相邻问题 “捆绑法”：把相邻元素看作一个整体和其他元素一起排列，同时要注意捆绑元素的内部排列
不相邻问题 “插空法”：先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空挡中
定序问题 先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
正面考虑比较复杂的问题 “间接法”，反面入手
考点01排列数的化简及证明
1．计算的结果是（ ）
A．10 B．16 C．28 D．56
【答案】D
【分析】利用排列数公式，可直接求出结果.
【详解】.
故选:
2．下列各式中与排列数相等的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据排列数公式计算可得.
【详解】因为，故A，B错误；
而，则，故D正确；
又，故C错误；
故选：D．
3．设，且，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
先确定最大数，再确定因式的个数，即可得答案
【详解】
先确定最大数，即，
再确定因式的个数，即，
所以.
故选：A
4．已知，那么（ ）
A．5 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【分析】利用排列数公式计算可得答案.
【详解】因为，
所以，
则.
故选：C.
5．（多选）下列等式中成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】利用排列数公式，逐项计算判断作答.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，，当时，，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，，D正确.
故选：ACD
6．计算下列各式的值：
(1)；
(2)(，且)．
【答案】(1)3
(2)1
【分析】
（1）（2）根据排列数公式计算可得.
【详解】（1）；
（2）
．
考点02排列数方程及不等式
7．不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据排列数的性质和计算公式化简求其解即可.
【详解】因为，
所以，
所以，
所以，又，，
所以，
所以不等式的解集为，
故选：D.
8．不等式，其中的解集为 ；
【答案】
【分析】
根据排列数公式化简，即可求解.
【详解】由题知，，且，
又，
即，
解得，故或，
所以，原不等式的解集为.
故答案为：
9．解关于正整数n的方程：．
【答案】
【分析】
根据排列数的计算公式即可求解.
【详解】由排列数的定义，有由此解得．
此外，原方程可化为，
再化简，可得，
即，即．舍去非整数的根，
故．
10．已知，求x的值．
【答案】.
【分析】根据给定条件，利用排列数公式直接计算作答.
【详解】，化为：，
即，解得，
所以x的值为.
11．解下列方程或不等式．
(1)=2；
(2).
【答案】(1)n=5
(2)x=8
【分析】（1）根据条件，利用排列数公式即可求出结果；
（2）先利用排列数公式得到 ，从而得到，对根据排列数公式要求，求出的范围，进而求出结果.
【详解】（1）因为=2，
由，解得，
由原式可得，解得或或．
又因为，所以．
（2）因为<6，
由，解得且，
由原不等式可得，
化简可得，解得，
又且，所以．
12．（1）解方程：；
（2）解不等式：.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据排列数的定义化简可求解；
（2）根据排列数的定义化简可求解.
【详解】（1）原方程可化为，
化简得，
解得，或，或，或.
由，得，且.
所以原方程的解为.
（2）原不等式可化为，其中，，整理得，即，
所以或.
因为，，所以，.
所以原不等式的解集为.
考点03排列的辨析
13．（多选）下列问题是排列问题的为（　　）
A．高二（1）班选名班干部去学校礼堂听团课
B．某班名同学在假期互发微信
C．从1，2，3，4，5中任取两个数字相除
D．10个车站，站与站间的车票
【答案】BCD
【分析】
根据排列的定义判断即可.
【详解】
对于A：不存在顺序问题，不是排列问题；
对于B：存在顺序问题，是排列问题；
对于C：两个数相除与这两个数的顺序有关，是排列问题；
对于D：车票使用时有起点和终点之分，故车票的使用是有顺序的，是排列问题．
故选：BCD
14．判断正误，正确的写“正确”，错误的写“错误”．
（1）123与321是相同的排列．( )
（2）同一个排列中，同一个元素不能重复出现．( )
（3）在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化．( )
（4）从4个不同元素中任取3个元素，只要元素相同得到的就是相同的排列．( )
【答案】 错误 正确 错误 错误
【分析】根据排列的定义逐一判断即可.
【详解】（1）根据排列的定义可得123与321是不相同的排列，故错误；
（2）根据排列的定义可知，同一个排列中，同一个元素不能重复出现，故正确；
（3）根据排列的定义知，在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列发生变化，故错误；
（4）从4个不同元素中任取3个元素，还要按一定的顺序排成一列才是排列，故错误.
故答案为：错误；正确；错误；错误.
15．从集合中任取两个不同元素分别作为直线方程中的系数，，则所得直线有 条．
【答案】30
【分析】根据题意利用排列原理求解即可.
【详解】从集合中任取2个数作为，两数顺序不同，表示的直线也不同，
所以所得直线有条.
故答案为：30.
16．下列问题是不是排列问题：
(1)选2个小组去种菜；
(2)选2个小组分别去植树和种菜；
(3)高二（1）班有4个空位，安排从外校转来的3个学生坐到这4个空位中的3个上；
(4)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员．
【答案】(1)不是排列问题
(2)排列问题
(3)排列问题
(4)排列问题
【分析】
（1）（2）（3）（4）根据排列的定义，对4个问题中是否存在排序问题进行逐一分析即可得出结论.
【详解】（1）
不存在顺序问题，不是排列问题．
（2）植树和种菜是不同的，存在顺序问题，是排列问题．
（3）从4个空位中选出3个座位，分别安排给3个学生，存在顺序问题，是排列问题．
（4）
每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，是排列问题．
17．下列问题是排列问题吗
(1)从个人中选取两个人去完成某项工作.
(2)从个人中选取两个人担任正、副组长.
【答案】(1)不是
(2)是
【分析】
（1）根据是否与顺序有关判断即可;
（2）根据是否与顺序有关判断即可.
【详解】（1）因为甲和乙去和乙和甲去完成这项工作是同一种选法,与顺序无关,所以不是排列问题;
（2）因为甲担任组长乙担任副组长,与甲担任副组长乙担任组长是不同选法,与顺序有关,所以是排列问题.
18．从1、2、3、4、5这5个数字中，任取2个不同的数字作为一个点的坐标，一共可以组成多少个不同的点？
【答案】
【分析】根据坐标由横坐标和纵坐标组成，直接利用排列数即可求解.
【详解】因为坐标由横坐标和纵坐标组成，且有一定的顺序，
所以由排列数的定义可得满足条件的坐标有：个，
故一共可以组成个不同的点.
考点04有限制的排列问题
19．甲、乙、丙等6人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法有（ ）
A．128种 B．96种 C．72种 D．48种
【答案】B
【分析】
分类讨论：乙丙及中间人占据首四位、乙丙及中间人占据中间四位、乙丙及中间人占据尾四位，然后根据分类加法计数原理求得结果.
【详解】因为乙和丙之间恰有2人，所以乙丙及中间人占据首四位或中间四位或尾四位，
当乙丙及中间人占据首四位，此时还剩最后2位，甲不在两端，
第一步先排末位有种，第二步将甲和中间人排入有种，第三步排乙丙有种，
由分步乘法计数原理可得有种；
当乙丙及中间人占据中间四位，此时两端还剩2位，甲不在两端，
第一步先排两端有种，第二步将甲和中间人排入有种，第三步排乙丙有种，
由分步乘法计数原理可得有种；
乙丙及中间人占据尾四位，此时还剩前2位，甲不在两端，
第一步先排首位有种，第二步将甲和中间人排入有种，第三步排乙丙有种，
由分步乘法计数原理可得有种；
由分类加法计数原理可知，一共有种排法.
故选：B.
20．某单位春节共有四天假期，但每天都需要留一名员工值班，现从甲、乙、丙、丁、戊、己六人中选出四人值班，每名员工最多值班一天.已知甲在第一天不值班，乙在第四天不值班，则值班安排共有（ ）
A．184种 B．196种 C．252种 D．268种
【答案】C
【分析】
采用间接法可直接得到答案.
【详解】从甲、乙、丙、丁、戊、己六人中选出四人安排到假期的四天值班，一共有种方法；
甲在第一天值班有种方法；乙在第四天值班有种方法；
甲在第一天值班且乙在第四天值班有种方法；
因此从甲、乙、丙、丁、戊、己六人中选出四人值班，甲在第一天不值班，乙在第四天不值班共有种方法，
故选：C.
21．四名护士和一名医生站成一排照相，则医生站在正中间的不同站法有（ ）
A．64种 B．12种 C．120种 D．24种
【答案】D
【分析】
根据排列数结合分步乘法计数原理运算求解.
【详解】根据题意，分2步进行分析：
①、将四名护士全排列，有种排法；
②、医生站在正中间，有1种情况.
则5人不同的站法有种.
故选：D.
22．北京时间2023年10月26日19时34分，神舟十六号航天员乘组（景海鹏，杜海潮，朱杨柱3人）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十七号航天员乘组（汤洪波，唐胜杰，江新林3人）人驻“天宫”．随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安．若这6名航天员站成一排合影留念，景海鹏不站最左边，汤洪波不站最右边，则不同的排法有（ ）
A．504种 B．432种 C．384种 D．240种
【答案】A
【分析】分景海鹏站最右边与景海鹏不站最左边与最右边两种情况讨论
【详解】由题意分为两种情况：第一种情况：景海鹏站最右边，共有种排法；
第二种情况：景海鹏不站最左边与最右边，则共有种排法，
故总共有种排法.
故选：A.
23．（多选）由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字组成无重复数字的五位数，且1不能在个位，则关于这样的五位数的个数，下列表示正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】
根据排除法和分类法，以及排列数公式的化简，即可判断选项.
【详解】
0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字组成无重复数字的五位数，且1不能在个位，
排除法：从十个数字中任选五个进行排列，有个，1在个位和0在第一位的有个五位数，0在第一位且1在个位的有个五位数，
则符合题意的五位数共有（个），故C正确；
讨论法：若有1，
若1在第一位，共有个五位数．
若1在第二，第三，第四位，共有个五位数，
若没有1，第一位有种选法，剩下的四位有种选法，共有个五位数，
故有符合题意的个五位数，故D正确；
又，故B正确．
故选：BCD
24．如图是一个正方体纸盒的展开图，若把1，2，3，4，5，6分别填入小正方形后，按虚线折成正方体，若所得到的正方体相对面上的两个数的和都相等，则不同的填法有 种．
【答案】48
【分析】
6个数分三组，放入三个对面，对面上两个数字有2种安排方法，由乘法计数原理得解.
【详解】将6个数分三组，每组中的两个数填入一对面中，共有不同填法种．
故答案为：
考点05捆绑法及插空法
25．春节档电影《热辣滚烫》通过讲述主人公的成长与蜕变，展示了热情与坚韧如何成为人生道路上最强大的动力.它鼓励观众保持对生活的热爱和坚持，相信只要不放弃，就能够找到属于自己的光芒，实现梦想.甲、乙、丙等七人相约到电影院看电影《热辣滚烫》，恰好买到了七张连号的电影票.若甲、乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法的种数为（ ）
A．192 B．240 C．96 D．48
【答案】A
【分析】
丙坐在七人的正中间，则需列举出甲、乙两人相邻的情况，安排甲乙的顺序，再用排列法计算其他人即可.
【详解】
解：丙在正中间（4号位），甲、乙两人只能坐12，23或56，67号位，有4种情况，
考虑到甲、乙的顺序有种情况，
剩下的4个位置其余4人坐，有种情况，
故不同的坐法的种数为.
故选：A.
26．2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（决赛）于2023年11月26日至12月3日在湖北省武汉市武钢三中举行，赛后来自某所学校的3名同学和2名老师站成一排合影，若两名老师之间至少有一名同学，则不同的站法有（ ）种.
A．48 B．64 C．72 D．120
【答案】C
【分析】
利用插空法和分步乘法计数原理即可求解.
【详解】根据题意，分两步进行：
第一步：安排3名同学站成一排合影，不同的站法共种；
第二步：安排2名老师，采用插空法，不同的站法共种；
由分步乘法计数原理可得：不同的站法共种.
故选：C
27．某班级举办元旦晚会，一共有个节目，其中有个小品节目．为了节目效果，班级规定中间的个节目不能安排小品，且个小品不能相邻演出，则不同排法的种数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先确定个小品的安排方式，再安排其余个节目，根据分步乘法计数原理可求得结果.
【详解】用表示不安排中间且不相邻的位置，则有，，，，，，，，，，，共种情况，
个小品有种安排方式；再安排其余个节目，共有种安排方式；
不同排法的种数有种.
故选：C.
28．某学校高二（1）班上午安排语文、数学、英语、体育、物理门课，要求第一节不安排体育，语文和数学必须相邻，则不同的排课方法共有 种．
【答案】
【分析】先考虑第一节安排体育课，语文和数学必须相邻的排法种数，接下来考虑语文和数学必须相邻的情形，求出两种情况下不同的排课方法种数，结合间接法可得结果.
【详解】先考虑第一节安排体育课，语文和数学必须相邻，则将数学与语文捆绑，形成一个大元素，共有种排法；
接下来只考虑语文和数学必须相邻的情形，只需将数学与语文捆绑，形成一个大元素，共有种排法.
由间接法可知，不同的排法种数为种.
故答案为：.
29．阳春三月，草长莺飞；丝绦拂堤，尽飘香玉.三个家庭的3位妈妈带着3名女宝和2名男宝共8人踏春.在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾孩子；3名女宝相邻且不排最前面也不排最后面；为了防止2名男宝打闹，2人不相邻，且不排最前面也不排最后面.则不同的排法种数共有 种（用数字作答）.
【答案】288
【分析】
根据给定条件，利用分步乘法计数原理，结合相邻与不相邻问题，列式计算即得.
【详解】第一步：先将3名母亲作全排列，共有种排法；
第二步：将3名女宝“捆绑”在一起，共有种排法；
第三步：将“捆绑”在一起的3名女宝作为一个元素，在第一步形成的2个空中选择1个插入，有种排法；
第四步：首先将2名男宝之中的一人，插入第三步后相邻的两个妈妈中间，
然后将另一个男宝插入由女宝与妈妈形成的2个空中的其中1个，共有种排法.
所以不同的排法种数有：（种）.
故答案为：288
30．3名男生4名女生排成一行，在下列要求下分别求不同排列方法的数目
(1)甲不在最左边乙不在最右边
(2)男生必须排在一起
【答案】(1)3720
(2)720
【分析】
（1）利用位置分析法，结合排列的知识即可得解；
（2）利用捆绑法即可得解.
【详解】（1）
依题意，先排最左边，除去甲外，有种，
余下的6个位置全排有种
但应剔除其中乙在最右边的排法数共种
则符合条件的排法共有种
（2）
将男生看成一个整体，进行全排列，有种排法
再与其他元素进行全排列，有种排法
故共有种
考点06倍缩法
31．甲、乙、丙等六人相约到电影院观看电影《封神榜》，恰好买到了六张连号的电影票．若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为（ ）
A．360 B．480 C．600 D．720
【答案】B
【分析】先求得六人的全排列数，结合题意，利用定序排列的方法，即可求解.
【详解】由题意，甲、乙、丙等六人的全排列，共有种不同的排法，
其中甲、乙、丙三人的全排列有种不同的排法，
其中甲、乙在丙的同侧有：甲乙丙、乙甲丙、丙甲乙，丙乙甲，共4种排法，
所以甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为种.
故选：B.
32．某学习小组、、、、、、七名同学站成一排照相，要求与相邻，并且在的左边，在的右边，则不同的站队方法种数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将与捆绑，然后要求在的左边，在的右边，结合倍缩法可得结果.
【详解】由题意可知，与相邻，则将与捆绑，
然后要求在的左边，在的右边，
由捆绑法和倍缩法可知，不同的排法种数为种.
故选：C.
33．2名女生和4名男生排成一列，男生甲和乙的顺序一定，则有 种不同的排法．
【答案】360
【分析】根据定序问题即可得出答案.
【详解】2名女生和4名男生排成一列，男生甲和乙的顺序一定，
∴共有种不同排法，
故答案为：360.
34．甲、乙、丙、丁、戊5名同学从周一至周五轮流安排写作练习，甲、乙均不安排在周一和周二，且甲在乙之前，则不同的排列方式共有 种.
【答案】18
【分析】先从除甲、乙外的3名学生中选出2名，安排在周一和周二，再将剩余3名学生安排在周三至周五，且甲在乙之前，再根据分步计数乘法原理可得答案.
【详解】先从除甲、乙外的3名学生中选出2名，安排在周一和周二，共有种排列方式；
再将剩余3名学生安排在周三至周五，共有种排列方式.
又甲在乙之前，则不同的排列方式共有种.
故答案为：18.
35．A、B、C、D、E五人站成一排，如果B必须站在A的右边（A、B可以不相邻），那么有多少种不同的排法？
【答案】
【分析】先求得五人全排列的排法，结合站在的右边，利用定序排列的方法，即可求解.
【详解】由题意得， 五人站成一排，共有种不同的排法，
其中与的站法中，有种，
所以站在的右边，共有种不同的排法.
考点07间接法
36．某学校高二（1）班上午安排语文、数学、英语、体育、物理门课，要求第一节不安排体育，语文和数学必须相邻，则不同的排课方法共有（　　）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】B
【分析】先考虑第一节安排体育课，语文和数学必须相邻的排法种数，接下来考虑语文和数学必须相邻的情形，求出两种情况下不同的排课方法种数，结合间接法可得结果.
【详解】先考虑第一节安排体育课，语文和数学必须相邻，则将数学与语文捆绑，形成一个大元素，
将这个大元素与英语、物理课进行排序，共有种排法；
接下来只考虑语文和数学必须相邻的情形，只需将数学与语文捆绑，形成一个大元素，
将这个大元素与其余门课进行排序，共有种排法.
由间接法可知，不同的排法种数为种.
故选：B.
37．3名男生，4名女生，全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端的站法有 种.
【答案】3720
【分析】
解法一，对特殊元素进行分类，结合排列数公式，即可求解；解法二，采用间接法，和排列数公式，即可求解；解法三，特殊位置优先法，列式求解.
【详解】
解法一(特殊元素优先法)：按甲是否在最右端分两类：
第一类：甲在最右端时有 (种)
第二类：甲不在最右端时，甲有个位置可选，而乙也有个位置，而其余全排
有 (种)
故 (种)．
解法二(间接法)：
无限制条件的排列数共有，
而甲在左端或乙在右端的排法都有，且甲在左端且乙在右端的排法有
故 (种)．
解法三(特殊位置优先法)：按最左端优先安排分步．
对于左端除甲外有种排法，余下六个位置全排有，但减去乙在最右端的排法种，
故(种)．
38．甲、乙等7名同学随机站成一排，则甲、乙相邻且甲不站两端的不同排列方式有 种．
【答案】1200
【分析】根据给定条件，利用相邻问题并结合排除法列式计算即可.
【详解】把甲乙捆绑在一起视为一个对象，与其他5名同学作全排列，并考虑甲乙间的排列，有种，
其中甲站两端之一的有种，
所以甲、乙相邻且甲不站两端的不同排列方式有（种）.
故答案为：1200
39．第三届“一带一路”国际高峰论坛于年月在北京召开，某记者与参会的名代表一起合影留念（人站成一排）.若记者不站两端，且代表甲与代表乙相邻的不同排法方式有 种.
【答案】
【分析】
先考虑代表甲与代表乙相邻，利用捆绑法求出排法种数；然后考虑记者站两端中的某个位置，且代表甲与代表乙相邻，求出此时的排法种数.再利用间接法可求得结果.
【详解】只考虑代表甲与代表乙相邻，只需将这两人捆绑，与剩余人进行排序，
共有种不同的排法，
若记者站两端中的某个位置，且代表甲与代表乙相邻，则记者有种站法，
然后将代表甲与代表乙捆绑，与剩余人进行排序，此时不同的站法种数为种，
因此，若记者不站两端，且代表甲与代表乙相邻的不同排法方式有种.
故答案为：.
40．国际冬奥会和残奥会两个奥运会将于年在北京召开，这是我国在年成功举办夏季奥运会之后的又一奥运盛事.某电视台计划在奥运会期间某段时间连续播放个广告，其中个不同的商业广告和个不同的奥运宣传广告，要求第一个和最后一个播放的必须是奥运宣传广告，且个奥运宣传广告不能两两相邻播放，则不同的播放方式有 种.
【答案】
【分析】考虑第一个和最后一个播放的必须是奥运宣传广告的排法，以及第一个和最后一个播放的必须是奥运宣传广告，且个奥运宣传广告两两相邻播放的排法种数，作差可得结果.
【详解】先考虑第一个和最后一个播放的必须是奥运宣传广告的排法，共种，
然后考虑第一个和最后一个播放的必须是奥运宣传广告，且个奥运宣传广告两两相邻播放，
此时，不同的排法种数为种，
因此，满足条件的不同的播放方式为种.
故答案为：.
基础过关练
1．A，B，C，D，E五人站成一排，如果A，B必须相邻，那么排法种数为（　　）
A．24 B．120 C．48 D．60
【答案】C
【分析】将捆绑在一起，计算得到答案.
【详解】将捆绑在一起，共有种排法.
故选：C.
2．已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由排列数公式判断.
【详解】因从到是个数，且，
故选：C．
3．用1、2、3、4这四个数字，组成没有重复数字的四位数，其中偶数共有（ ）个
A．48 B．24 C．12 D．6
【答案】C
【分析】第一步，先从2、4选一个排在个位， 第二步，再把剩余三个数排在其他三个位置，然后由分步乘法原理可求得结果.
【详解】第一步，先从2、4选一个排在个位，有2种方法；
第二步，再把剩余三个数排在其他三个位置，有种方法，
所以，由分步乘法原理可得，用1、2、3、4这四个数字，组成没有重复数字的四位数，其中偶数共有个，
故选：C.
4．已知，则x等于（ ）
A．6 B．13 C．6或13 D．12
【答案】A
【分析】根据排列数公式，化简计算，结合x的范围，即可得答案.
【详解】由题意得，
化简可得，解得或6，
因为，所以且，故.
故选：A.
5．（多选）若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如231、354等都是“凸数”，用1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的三位数，则（ ）
A．组成的三位数的个数为60 B．在组成的三位数中，奇数的个数为30
C．在组成的三位数中，偶数的个数为30 D．在组成的三位数中，“凸数”的个数为20
【答案】AD
【分析】将个数字选个排列即可判断A，确定个位，即可计算出奇数，从而判断B、D，计算“凸数”时对十位分三种情况讨论，即可判断D.
【详解】依题意，组成的三位数的个数为，故A正确；
个位为，或时，三位数是奇数，则奇数的个数为，故B错误；
则偶数有（个），故C错误；
将这些“凸数”分为三类：
①十位为，则有（种），
②十位为，则有（种），
③十位为，则有（种），
所以在组成的三位数中，“凸数”的个数为，故D正确．
故选：AD．
6．（多选）下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】
根据排列数的计算公式即可结合选项逐一求解.
【详解】，故A正确；
由上述可知，因此，故B错误；
，故C正确；
由上述可知，故D错误.
故选:AC.
7．宁德北路戏是珍贵的国家非物质文化邀产．在某次文化表演中，主办方安排了《济公传》、《反五关》、《龙虎斗》、《宏珵缘》、《旗王哭将》五个北路戏传统剧目，其中要求《宏碧缘》与《旗王哭将》不相邻，则不同的节目安排种数为 （用数字作答）．
【答案】
【分析】先将《济公传》、《反五关》、《龙虎斗》三个节目进行排序，然后将《宏碧缘》与《旗王哭将》两个节目插入《济公传》、《反五关》、《龙虎斗》这三个节目中形成的四个空位中的两个空位，利用插空法可得结果.
【详解】先将《济公传》、《反五关》、《龙虎斗》三个节目进行排序，
然后将《宏碧缘》与《旗王哭将》两个节目插入《济公传》、《反五关》、《龙虎斗》这三个
节目中形成的四个空位中的两个空位，
由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为种.
故答案为：.
8．五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，若把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、角、羽三音阶不全相邻，则可排成不同的音序种数是 ．
【答案】84
【分析】先考虑所有情况，再减去不满足的情况即可.
【详解】先考虑五个音阶任意排列，有种情况，
再减去宫、角、羽三音阶都相邻的情况，
把宫、角、羽三音阶看做一个一个整体，则一共变成3个元素，有种情况，
而宫、角、羽三音阶又可以任意排列，有种情况，
所以一共的音序有种，
故答案为：84
9．从集合中任取个元素分别作为直线方程中的、、，所得的经过坐标原点的直线有 条用数值表示
【答案】
【分析】先根据条件知道，再根据计算原理计算即可．
【详解】解：若直线方程经过坐标原点，则，
那么，任意取两个即可，有.
故答案为：．
10．用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字：
(1)六位奇数；
(2)个位数字不是5的六位数；
(3)比400000大的正整数.
【答案】(1)288
(2)504
(3)240
【分析】（1）先在个位排1个奇数，然后在首位排除0之外的数字，再利用分步乘法计数原理可求得结果；
（2）分两类，个位数字是0，和不是0，利用两个计数原理进行求解即可；
（3）要比400000大，首位必须是4或5，其余位数全排列，从而利用分步计数原理即可得解．
【详解】（1）先排个位数，有种，
因为0不能在首位，再排首位有种，最后排其它有，
根据分步计数原理得，六位奇数有；
（2）因为0是特殊元素，分两类，个位数字是0，和不是0，
当个位数是0，有，
当个位不数是0，有，
根据分类计数原理得，个位数字不是5的六位数有；
（3）要比400000大，首位必须是4或5，其余位数全排列即可，
所以有（个）.
11．（1）解不等式：；
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用排列数公式后解不等式，求出的范围，再由可求出的值，
（2）利用排列数公式化简计算即可
【详解】（1）由题意得，化简得，
即，所以．
因为，且，所以不等式的解集为．
（2）易知所以，，
由，得，
化简得，
解得，（舍去），（舍去）．
所以原方程的解为．
12．某班级周六的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语共6节课．
(1)如果数学和语文必须排在一起，则有多少种不同的排法？
(2)语文必须排第一课，物理和数学不能排一起，则不同的排法有多少种？
(3)如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排法？
(4)如果数学必须比语文先上，语文比英语先上（三课不一定连续上），则共有多少种不同的排法？
(5)原定的6节课已经排好，学校临时通知要增加生物、化学、地理3节课，若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，那么共有多少种不同的排法？
（答题要求：写上必要的文字说明，先列式，后计算）
【答案】(1)240；
(2)72；
(3)484；
(4)120；
(5)504.
【分析】
（1）利用捆绑法可解；
（2）利用插空法可解；
（3）对数学是否排在第一节分类讨论即可；
（4）定序问题利用除法可得；
（5）分步将3科插入空位可解.
【详解】（1）第一步，先将数学和语文排在一起，有种排法；
第二步，将数学和语文看成一个整体，与历史、物理、体育、英语一起全排，有种排法，
所以，数学和语文必须排在一起共有种排法.
（2）第一步，先排语文，有1种排法；
第二步，将历史、体育、英语排成一排，有种排法；
第三步，在第二步产生的4个空位中插入物理和数学，有种排法.
所以，总的排法有种排法.
（3）第一类，第一节排数学，其余五节任意排，有种排法；
第二类，第1步，从历史、语文、物理、英语中选一科排在第一节，有4种排法，
第2步，再从剩下的4个学科（不包括数学）中选一科排在最后一节，有4种排法，
第3步，中间4节任意排，有种排法，
所以，总的排法有.
综上，满足条件的排法有种.
（4）数学、语文、英语的上课顺序共有种，满足条件的顺序只有1种，
故满足条件的排法有种.
（5）第一步，先在7个空位中选择一个空位排生物，有7种；
第二步，在排入生物之后产生的8个空位选择一个空位排化学，有8种；
第三步，在排入化学之后产生的9个空位选择一个空位排地理，有9种.
所以，总的排法有种.
能力提升练
1．甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（ ）
A．20种 B．16种 C．12种 D．8种
【答案】B
【分析】
分类讨论：乙丙及中间人占据首四位、乙丙及中间人占据尾四位，然后根据分类加法计数原理求得结果.
【详解】因为乙和丙之间恰有人，所以乙丙及中间人占据首四位或尾四位，
①当乙丙及中间人占据首四位，此时还剩末位，故甲在乙丙中间，
排乙丙有种方法，排甲有种方法，剩余两个位置两人全排列有种排法，
所以有种方法；
②当乙丙及中间人占据尾四位，此时还剩首位，故甲在乙丙中间，
排乙丙有种方法，排甲有种方法，剩余两个位置两人全排列有种排法，
所以有种方法；
由分类加法计数原理可知，一共有种排法，
故选：B.
2．将5个1，5个2，5个3，5个4，5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入1个数），使得同一行中任何两数之差的绝对值不超过2，设第行的所有数的和为（，2，3，4，5），为，，，，中的最小值，则m的最大值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【分析】根据题意，由5个1分布的列数不同情形进行讨论，即可确定的最大值.
【详解】解：依据5个1分布的列数的不同情形进行讨论,确定的最大值.
(1)若5个1分布在同一列，则；
(2)若5个1分布在两列中，则由题意知这两列中出现的最大数至多为3，
故,故；
(3)若5个1分布在三列中，则由题意知这三列中出现的最大数至多为3，
故，故；
(4)若5个1分布在至少四列中，则其中某一列至少有一个数大于3，这与已知矛盾.
综上所述，；
另一方面，如下表的例子说明可以取到10.
1 1 1 4 5
1 1 2 4 5
2 2 2 4 5
3 3 2 4 5
3 3 3 4 5
故选：C.
3．不等式的解集为（ ）
A．{2，8} B．{2，6}
C．{7，12} D．{8}
【答案】D
【解析】直接根据排列数公式展开，再解不等式，即可得答案.
【详解】
，解得：.
又，
，即.
故选：D
【点睛】本题考查排列数公式的计算、不等式求解，考查基本运算求解能力.
4．(多选)7名学生，站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端，不同排法的种数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】分别应用特殊元素优先法，间接法，特殊元素优先法判断各个选项即可.
【详解】特殊元素优先法:按甲是否在最右端分两类：
第一类，甲在最右端，有种方法；
第二类，甲不在最右端，甲有个位置可选，乙也有个位置可选，其余5人有种排法，即种方法．故有种方法,A选项正确．
间接法：无限制条件的排列方法共有种，
而甲在最左端的排法分别有种，乙在最右端的排法分别有种，
甲在最左端且乙在最右端的排法有种．
故有种方法,B选项正确,D选项错误．
特殊元素优先法：按最左端先安排分步．
对于最左端除甲外有种排法，余下六个位置全排列有种排法，其中甲不在最左端，乙在最右端的排法有种．
故有种方法，D选项正确.
故选:ABC
5．某数学兴趣小组用纸板制作正方体教具，现给图中的正方体展开图的六个区域涂色，有红、橙、黄、绿四种颜色可选，要求制作出的正方体相邻面所涂颜色均不同，共有 种不同的涂色方法.
【答案】
【分析】先涂，再分与同色、与不同色两种情况讨论，利用分步、分类计数原理计算可得.
【详解】如图，还原回正方体后，、为正方体前后两个对面，、为左右两个对面，、为上下两个对面，

先涂有种涂法，
当与同色，再涂有种涂法，
若与同色，则有种涂法，最后涂有种涂法，
若与不同色，则有种涂法，最后涂有种涂法，
则有种涂法；
当与不同色，则涂有种涂法，涂有种涂法，此时与必同色且只有一种涂法，也只有种涂法，
则有，
综上可得一共有种涂法.
故答案为：
6．设为，，，，，的一个排列，则满足的不同排列的个数为 .
【答案】
【分析】根据题意，分析可得需要将，，，，，分成组，其中和，和，和必须在一组，进而分步进行分析：首先分析每种个数之间的顺序，再将分好的三组对应三个绝对值，最后由分步计数原理计算可得答案．
【详解】根据题意，若，则，
需要将，，，，，分成组，其中和，和，和必须在一组，
每组个数，考虑其顺序，有种情况，三组共有种顺序，
将三组全排列，对应三个绝对值，有种情况，
则不同排列的个数为；
故答案为：．
7．求证：（，，且）．
【答案】证明见解析
【分析】利用排列数计算公式化简计算等式左边即可得证.
【详解】依题意，左边
右边，
所以原等式成立．
8．名男生和名女生（包含甲、乙）站成一排表演节目．
(1)若这名女生不能相邻，有多少种不同的排法？
(2)甲乙必须相邻，有多少种不同的排法？
(3)若甲不能站在左端，乙不能站在右端，有多少种不同的排法？
【答案】(1)2880
(2)10080
(3)30960
【分析】（1）先排名男生，再将名女生插入名男生产生的个空中，利用插空法求解即可；（2）利用捆绑法求解即可；（3）分甲站在右端和甲不站在右端两种情况，求解即可．
【详解】（1）要使这名女生不相邻，可以先排名男生，
再将名女生插入名男生产生的个空中，
所以这名女生不相邻的排法有种．
（2）利用捆绑法，把甲和乙捆在一起，看作一个人，
则不同的排法有种；
（3）甲站在右端，其余人全排列，有种排法．
甲不站在右端有种排法，乙有种排法，其余人全排，有种排法．
故一共有种排法．6.2.1~6.2.2排列与排列数
1.通过实例理解排列的概念，并能用排列知识解决简单的实际问题；
2.能利用排列数公式解决方程及不等式问题；
3.掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题
一、排列
①排列的定义：一般地，从n个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
②排列数、排列数公式：从n个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示，其中，，且.
二、排列问题
问题 方法
“在”与“不在”的有限制条件的排列问题 既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先.
相邻问题 “捆绑法”：把相邻元素看作一个整体和其他元素一起排列，同时要注意捆绑元素的内部排列
不相邻问题 “插空法”：先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空挡中
定序问题 先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
正面考虑比较复杂的问题 “间接法”，反面入手
考点01排列数的化简及证明
1．计算的结果是（ ）
A．10 B．16 C．28 D．56
2．下列各式中与排列数相等的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．设，且，则（　　）
A． B．
C． D．
4．已知，那么（ ）
A．5 B．9 C．10 D．11
5．（多选）下列等式中成立的是（　　）
A． B．
C． D．
6．计算下列各式的值：
(1)；
(2)(，且)．
考点02排列数方程及不等式
7．不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．不等式，其中的解集为 ；
9．解关于正整数n的方程：．
10．已知，求x的值．
11．解下列方程或不等式．
(1)=2；
(2).
12．（1）解方程：；
（2）解不等式：.
考点03排列的辨析
13．（多选）下列问题是排列问题的为（　　）
A．高二（1）班选名班干部去学校礼堂听团课
B．某班名同学在假期互发微信
C．从1，2，3，4，5中任取两个数字相除
D．10个车站，站与站间的车票
14．判断正误，正确的写“正确”，错误的写“错误”．
（1）123与321是相同的排列．( )
（2）同一个排列中，同一个元素不能重复出现．( )
（3）在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化．( )
（4）从4个不同元素中任取3个元素，只要元素相同得到的就是相同的排列．( )
15．从集合中任取两个不同元素分别作为直线方程中的系数，，则所得直线有 条．
16．下列问题是不是排列问题：
(1)选2个小组去种菜；
(2)选2个小组分别去植树和种菜；
(3)高二（1）班有4个空位，安排从外校转来的3个学生坐到这4个空位中的3个上；
(4)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员．
17．下列问题是排列问题吗
(1)从个人中选取两个人去完成某项工作.
(2)从个人中选取两个人担任正、副组长.
18．从1、2、3、4、5这5个数字中，任取2个不同的数字作为一个点的坐标，一共可以组成多少个不同的点？
考点04有限制的排列问题
19．甲、乙、丙等6人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法有（ ）
A．128种 B．96种 C．72种 D．48种
20．某单位春节共有四天假期，但每天都需要留一名员工值班，现从甲、乙、丙、丁、戊、己六人中选出四人值班，每名员工最多值班一天.已知甲在第一天不值班，乙在第四天不值班，则值班安排共有（ ）
A．184种 B．196种 C．252种 D．268种
21．四名护士和一名医生站成一排照相，则医生站在正中间的不同站法有（ ）
A．64种 B．12种 C．120种 D．24种
22．北京时间2023年10月26日19时34分，神舟十六号航天员乘组（景海鹏，杜海潮，朱杨柱3人）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十七号航天员乘组（汤洪波，唐胜杰，江新林3人）人驻“天宫”．随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安．若这6名航天员站成一排合影留念，景海鹏不站最左边，汤洪波不站最右边，则不同的排法有（ ）
A．504种 B．432种 C．384种 D．240种
23．（多选）由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字组成无重复数字的五位数，且1不能在个位，则关于这样的五位数的个数，下列表示正确的有（ ）
A． B．
C． D．
24．如图是一个正方体纸盒的展开图，若把1，2，3，4，5，6分别填入小正方形后，按虚线折成正方体，若所得到的正方体相对面上的两个数的和都相等，则不同的填法有 种．
考点05捆绑法及插空法
25．春节档电影《热辣滚烫》通过讲述主人公的成长与蜕变，展示了热情与坚韧如何成为人生道路上最强大的动力.它鼓励观众保持对生活的热爱和坚持，相信只要不放弃，就能够找到属于自己的光芒，实现梦想.甲、乙、丙等七人相约到电影院看电影《热辣滚烫》，恰好买到了七张连号的电影票.若甲、乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法的种数为（ ）
A．192 B．240 C．96 D．48
26．2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（决赛）于2023年11月26日至12月3日在湖北省武汉市武钢三中举行，赛后来自某所学校的3名同学和2名老师站成一排合影，若两名老师之间至少有一名同学，则不同的站法有（ ）种.
A．48 B．64 C．72 D．120
27．某班级举办元旦晚会，一共有个节目，其中有个小品节目．为了节目效果，班级规定中间的个节目不能安排小品，且个小品不能相邻演出，则不同排法的种数是（ ）
A． B． C． D．
28．某学校高二（1）班上午安排语文、数学、英语、体育、物理门课，要求第一节不安排体育，语文和数学必须相邻，则不同的排课方法共有 种．
29．阳春三月，草长莺飞；丝绦拂堤，尽飘香玉.三个家庭的3位妈妈带着3名女宝和2名男宝共8人踏春.在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾孩子；3名女宝相邻且不排最前面也不排最后面；为了防止2名男宝打闹，2人不相邻，且不排最前面也不排最后面.则不同的排法种数共有 种（用数字作答）.
30．3名男生4名女生排成一行，在下列要求下分别求不同排列方法的数目
(1)甲不在最左边乙不在最右边
(2)男生必须排在一起
考点06倍缩法
31．甲、乙、丙等六人相约到电影院观看电影《封神榜》，恰好买到了六张连号的电影票．若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为（ ）
A．360 B．480 C．600 D．720
32．某学习小组、、、、、、七名同学站成一排照相，要求与相邻，并且在的左边，在的右边，则不同的站队方法种数为（ ）
A． B． C． D．
33．2名女生和4名男生排成一列，男生甲和乙的顺序一定，则有 种不同的排法．
34．甲、乙、丙、丁、戊5名同学从周一至周五轮流安排写作练习，甲、乙均不安排在周一和周二，且甲在乙之前，则不同的排列方式共有 种.
35．A、B、C、D、E五人站成一排，如果B必须站在A的右边（A、B可以不相邻），那么有多少种不同的排法？
考点07间接法
36．某学校高二（1）班上午安排语文、数学、英语、体育、物理门课，要求第一节不安排体育，语文和数学必须相邻，则不同的排课方法共有（　　）
A．种 B．种 C．种 D．种
37．3名男生，4名女生，全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端的站法有 种.
38．甲、乙等7名同学随机站成一排，则甲、乙相邻且甲不站两端的不同排列方式有 种．
39．第三届“一带一路”国际高峰论坛于年月在北京召开，某记者与参会的名代表一起合影留念（人站成一排）.若记者不站两端，且代表甲与代表乙相邻的不同排法方式有 种.
40．国际冬奥会和残奥会两个奥运会将于年在北京召开，这是我国在年成功举办夏季奥运会之后的又一奥运盛事.某电视台计划在奥运会期间某段时间连续播放个广告，其中个不同的商业广告和个不同的奥运宣传广告，要求第一个和最后一个播放的必须是奥运宣传广告，且个奥运宣传广告不能两两相邻播放，则不同的播放方式有 种.
基础过关练
1．A，B，C，D，E五人站成一排，如果A，B必须相邻，那么排法种数为（　　）
A．24 B．120 C．48 D．60
2．已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．用1、2、3、4这四个数字，组成没有重复数字的四位数，其中偶数共有（ ）个
A．48 B．24 C．12 D．6
4．已知，则x等于（ ）
A．6 B．13 C．6或13 D．12
5．（多选）若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如231、354等都是“凸数”，用1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的三位数，则（ ）
A．组成的三位数的个数为60 B．在组成的三位数中，奇数的个数为30
C．在组成的三位数中，偶数的个数为30 D．在组成的三位数中，“凸数”的个数为20
6．（多选）下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．宁德北路戏是珍贵的国家非物质文化邀产．在某次文化表演中，主办方安排了《济公传》、《反五关》、《龙虎斗》、《宏珵缘》、《旗王哭将》五个北路戏传统剧目，其中要求《宏碧缘》与《旗王哭将》不相邻，则不同的节目安排种数为 （用数字作答）．
8．五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，若把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、角、羽三音阶不全相邻，则可排成不同的音序种数是 ．
9．从集合中任取个元素分别作为直线方程中的、、，所得的经过坐标原点的直线有 条用数值表示
10．用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字：
(1)六位奇数；
(2)个位数字不是5的六位数；
(3)比400000大的正整数.
11．（1）解不等式：；
（2）解方程：．
12．某班级周六的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语共6节课．
(1)如果数学和语文必须排在一起，则有多少种不同的排法？
(2)语文必须排第一课，物理和数学不能排一起，则不同的排法有多少种？
(3)如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排法？
(4)如果数学必须比语文先上，语文比英语先上（三课不一定连续上），则共有多少种不同的排法？
(5)原定的6节课已经排好，学校临时通知要增加生物、化学、地理3节课，若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，那么共有多少种不同的排法？
（答题要求：写上必要的文字说明，先列式，后计算）
能力提升练
1．甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（ ）
A．20种 B．16种 C．12种 D．8种
2．将5个1，5个2，5个3，5个4，5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入1个数），使得同一行中任何两数之差的绝对值不超过2，设第行的所有数的和为（，2，3，4，5），为，，，，中的最小值，则m的最大值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
3．不等式的解集为（ ）
A．{2，8} B．{2，6}
C．{7，12} D．{8}
4．(多选)7名学生，站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端，不同排法的种数为（ ）
A． B．
C． D．
5．某数学兴趣小组用纸板制作正方体教具，现给图中的正方体展开图的六个区域涂色，有红、橙、黄、绿四种颜色可选，要求制作出的正方体相邻面所涂颜色均不同，共有 种不同的涂色方法.
6．设为，，，，，的一个排列，则满足的不同排列的个数为 .
7．求证：（，，且）．
8．名男生和名女生（包含甲、乙）站成一排表演节目．
(1)若这名女生不能相邻，有多少种不同的排法？
(2)甲乙必须相邻，有多少种不同的排法？
(3)若甲不能站在左端，乙不能站在右端，有多少种不同的排法？

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