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6.3二项式定理
1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理；
2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式；
3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题，理解二项式系数的性质并灵活运用.
一、二项式定理
该公式叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，共有项，
其中各项的系数叫做二项式系数，
展开式的第项为
注意：①是第项，而不是第k项；
②通项公式中a，b的位置不能颠倒．
二、二项式系数的性质
对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，由公式得到
增减性与最大值 当时，二项式系数是逐渐增大的；当时，二项式系数是逐渐减小的，因此二项式系数在中间取得最大值 ①当n是偶数时，中间的一项的二项式系数最大； ②当n是奇数时，中间的一项的二项式系数最大；
二项式系数的和 二项式系数的和为 奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即
三、系数之和（赋值法）
①求各项系数之和，令即可
②若，则f(x)展开式中各项系数之和为，
奇数项系数之和为，
偶数项系数之和为.
四、系数的最大值
求展开式中系数最大的项
情况 方法
可转化成求二项式系数最大的项
待定系数法：设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来
考点01二项式定理的展开和还原
1．求值： ．
【答案】1
【详解】分析：观察通项展开式中的中的次数与中的一致．
详解：通项展开式中的，故
=
点睛：合并二项式的展开式，不要纠结整体的性质，抓住具体的某一项中的中的次数与中的一致，有负号时注意在上还是在上．
2．求值：
【答案】
【分析】根据二项式定理展开式配凑，即可求出．
【详解】
．
故答案为．
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,考查学生对二项展开式的理解．
3．化简： ．
【答案】
【分析】
逆用二项式定理结合已知条件求解
【详解】
，
故答案为：
4．设，化简 .
【答案】
【分析】逆用二项式定理，即可容易求得结果.
【详解】容易知.
故答案为：.
【点睛】本题考查二项式定理的逆用，属基础题.
5．设的小数部分为，则 .
【答案】7
【分析】先得到的整数部分为3，得到，利用二项式定理将其展开，求出答案.
【详解】因为，所以的整数部分为3，
则，即，
所以
，
故.
故答案为：7
6．用二项式定理展开下列各式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）直接利用二项式定理求解；
（2）先化简原式为，再利用二项式定理求解.
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
考点02二项展开式求指定项
7． 展开式中的第四项为（ ）
A． B． C．240 D．
【答案】B
【分析】根据二项展开式的通项公式求解.
【详解】展开式的通项公式为，
所以,
故选：B
8．在的展开式中，常数项为 ．（用数字作答）
【答案】448
【分析】由题可得展开式通项，令的指数为0，可得常数项为第几项，即可得答案.
【详解】展开式的通项为，
令，解得，故常数项为．
故答案为：448.
9．展开式中的系数为 .
【答案】15
【分析】
写出展开式的通项，即可得解.
【详解】
二项式展开式的通项为（且），
所以展开式中的系数为．
故答案为：．
10．已知，则 .
【答案】3
【分析】根据二项式的通项求项的系数即可.
【详解】的通项为，所以展开式中的系数为，
的通项为，所以展开式中的系数为，
所以.
故答案为：3.
11．若，则（ ）
A．100 B．110 C．120 D．130
【答案】C
【分析】
利用二项式定理分别求出即可计算得解.
【详解】在中，，，
所以.
故选：C
12．若，则（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】D
【分析】令可求出，再将原式变形为，结合二项式定理展开式求出，进而得解.
【详解】令得，又因，故第三项为：，
故，∴．
故选：D．
考点03二项式系数及系数之和
13． 展开式的二项式系数之和是256，则 .
【答案】8
【分析】
根据二项式展开式的二项式系数之和等于列方程求解即得.
【详解】因展开式的二项式系数之和为，解得：.
故答案为：8.
14．若的展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数为（ ）
A． B．945 C．2835 D．
【答案】D
【分析】根据赋值法求系数和得，即可根据展开式的通项公式求解.
【详解】令，得，得，
则的展开式的通项，
令，得，则，故展开式中的系数为，
故选：D．
15．已知的展开式中所有项的系数之和为64，则展开式中的系数为（ ）
A． B．1215 C．135 D．
【答案】B
【分析】先利用赋值法求出，再利用二项式定理的通项公式求解答案．
【详解】令，得，（注意所有项的系数之和与所有项的二项式系数之和的区别）
解得（舍去）或，
则的展开式的通项，
令，解得，则展开式中的系数为，
故选：B．
16．在的二项展开式中，各二项式系数之和为，各项系数之和为，若，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根据二项式系数和以及各项系数和的表达式，结合题意，解方程，即可求得答案.
【详解】由，令可得各项系数之和为，
又各二项式系数之和为，因为，则，
解得或（舍去），所以，
故选：B
17．若的展开式的各项系数和为1，二项式系数和为128，则展开式中x2的系数为 .
【答案】－448
【分析】
令，和联立求解可得和的值，化简通项，由的指数等于2可解.
【详解】
由题意得，所以，
所以的展开式的通项为，
令，解得.
所以的系数为.
故答案为：－448
考点04奇（偶）系数项系数之和（含绝对值）
18．已知，记，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，所以由题意可知，从而即可求解.
【详解】不妨设，
一方面注意到，
另一方面注意到，
所以.
故选：C.
19．已知，则的值是（ ）
A．680 B． C．1360 D．
【答案】B
【分析】利用赋值法，分别令和，将得到的两式相加，结合等比数列的求和，即可求得答案.
【详解】令，则，即
令，则，
即，
两式相加可得，
故选：B
20．（多选）已知，则下列选项正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】利用换元法将题设条件转化为，再利用赋值法判断ACD，利用二项展开通项公式判断B，从而得解.
【详解】因为，
令，则，所以，
对于A，令，得，故A错误；
对于B，因为的展开通项公式为，
令，则，故B正确；
对于C，令，得，故C正确；
对于D，令，得，
两式相减，得，故D错误.
故选：BC.
21．已知二项式，且满足.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)；
(2)6560.
【分析】（1）应用排列数、组合数公式列方程求即可；
（2）根据（1）有，应用赋值法求结果即可.
【详解】（1）由得：，解得.
（2）由（1）知，根据二项式展开式通项，
易知，，，为负值，其它系数为正值，
所以，，
于是，令则；令则；
所以.
22．从①第4项的系数与第2项的系数之比是；②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36；这两个条件中任选一个，再解决补充完整的题目．
已知（），且的二项展开式中，____．
(1)求的值；
(2)①求二项展开式的中间项；
②求的值．
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)①；②．
【分析】（1）由题意，根据系数、二项式系数等知识，列出等式，解出的值．
（2）由题意，利用通项公式求出二项展开式的中间项，再判断、、、、为正数，、、、为负数，再给赋值，从而求出的值．
【详解】（1）若选择①第4项的系数与第2项的系数之比是，
则有，
化简可得，求得或（舍去）．
若选择②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36，
则有，
化简可得，求得或（舍去）．
（2）由（1）可得，
①的二项展开式的中间项为．
②二项式展开式的通项公式为，
所以、、、、为正数，、、、为负数．
在中，令．
再令，可得，
∴．
考点05两个多项式乘积的指定项
23． 展开式中的常数项为（ ）
A．60 B．4 C． D．
【答案】C
【分析】
根据分配律，结合二项式展开式的通项特征即可求解.
【详解】
二项式的展开式的通项公式为，
令，求得，令，求得，
由于，
故其展开式中的常数项为
故选：C
24．若的展开式中的系数为，则a的值为（　　）
A．2 B．3 C．1 D．4
【答案】A
【分析】由题得，再借助二项式展开式的通项分两种情况讨论得解.
【详解】依题意，，
展开式的通项为，
当时，，此时展开式的的系数为，
当时，，此时展开式的的系数为，
所以展开式中的系数为，所以.
故选：A
25．已知多项式，则 .
【答案】8
【分析】
利用二项式定理直接求解.
【详解】
多项式的展开式中，
含的项为：
所以.
故答案为：8.
26．已知（为常数）的展开式中所有项的系数和为32，则展开式中的系数为 ．（用数字作答）．
【答案】15
【分析】
代入，解出，再利用二项展开式的通项公式进行合理赋值即可.
【详解】令，则，即，
则对，有，
令，即，有，即有，
令，即，有，即有，
故展开式中的系数为15.
故答案为：15.
27．在的展开式中，的系数为，则该二项展开式中的常数项为 ．
【答案】
【分析】
利用二项式定理计算即可.
【详解】由二项式定理知：的展开式中含的项为，
其展开式中没有含的项，也没有含的项，常数项为，
所以的展开式中，
含的项为，
此时展开式中的常数项为.
故答案为：
28．的展开式中的系数为 ．
【答案】
【分析】利用二项式定理展开式的通项公式可求答案.
【详解】二项式的展开式通项公式为，
当时，，当时，，
因此展开式中含的项为，故所求系数为.
故答案为：24.
考点06三项展开式的指定项
29．若，其中，且，则的展开式中所有项的系数和为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】借助三项式的计算可得，又，故可得的值，令可得展开式中所有项的系数和.
【详解】由得，
所以有，
即或，由，∴，
∴，
令，则有，
即展开式中所有项的系数和为.
故选：B.
30．的展开式的各项系数之和为1，则该展开式中含项的系数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用赋值法令由各项系数之和为1可求得，由通项可得展开式中含项的系数是.
【详解】
因为的展开式的各项系数之和为1，
令，得，解得，
所以的展开式中含项为，
所以该展开式中含项的系数是.
故选：D.
31．求的常数项为____.
【答案】141
【分析】
以为整体求出展开式的通项，再利用二项式定理求出常数项.
【详解】依题意，的展开式的通项为，
当时，，
当时，展开式的通项，
于是，由，得，则，
此时常数项为，
所以的常数项是.
故答案为：141
32．在的展开式中，项的系数为 .（结果用数值表示）
【答案】45
【分析】由二项式展开得项只能在展开式中，进一步结合二项式系数即可求解.
【详解】，
项只能在展开式中，即为，系数为.
故选：45.
33．的展开式中，项系数为 ．
【答案】
【分析】求出二项式展开式的通项，令的指数为3，即可求出项系数．
【详解】由，
由展开式通项为，
令，解得，
则项为，则项系数为．
故答案为：.
34．若，且，则的值为 .
【答案】
【分析】
根据展开式中常数项和一次项系数相等得到方程，求出答案.
【详解】
由题意得的展开式中的常数项与一次项系数相等，
则，解得或0（舍去）.
故答案为：
考点07二项式系数及系数的最值
35．若展开式中只有第6项的二项式系数最大，则（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【分析】利用二项式系数的性质直接求解即可.
【详解】因为的展开式中只有第6项的二项式系数最大，所以展开式一共有项，即.
故选：B
36．（多选）在二项式展开式中，所有项的系数和为，所有奇数项的二项式系数和为，且满足时，下列说法正确的有（ ）
A． B．
C．展开式中二项式系数最大的项为第三项和第四项 D．展开式中各项的系数最大的为第三项
【答案】BC
【分析】
令，可得，再由二项式系数的特征得到，即可求出，判断A、B，根据二项式系数的增减性判断C，写出展开式的通项，第项的系数最大，即可得到不等式组，解得，即可判断D.
【详解】对于，令，可得所有项的系数和为，
又所有奇数项的二项式系数和为，
因为，即，
所以，所以，故A错误，B正确；
所以二项式展开式一共有项，
则其展开式中二项式系数最大的项为第三项和第四项，故C正确；
又二项式展开式的通项为（其中且），
令第项的系数最大，则，即，解得，
又，所以，
即展开式中系数最大的为第五项，故D错误.
故选：BC
37．（多选）关于的展开式，下列说法中正确的是（ ）
A．展开式中二项式系数之和为32 B．展开式中各项系数之和为1
C．展开式中二项式系数最大的项为第4项 D．展开式中系数最大的项为第4项
【答案】BC
【分析】由题设二项式，写出其通项，根据二项式的性质，易得二项式系数之和与各项系数之和，根据组合数的性质可得二项式系数最大的项，对于系数最大的项可以利用其通项依次列举，比较即得.
【详解】关于的展开式，其通项为：，.
对于选项A：展开式中二项式系数之和，故A错误；
对于选项B：利用赋值法的应用，当时，各项的系数的和为，故B正确；
对于选项C：展开式共有7项，其中二项式系数最大的项为第4项，其二项式系数为，故C正确；
对于选项D：展开式中各项系数依次为,可见系数最大的项是第3项，系数为，故D错误．
故选：BC.
38．在的展开式中，
(1)求二项式系数最大的项；
(2)若第项是有理项，求的取值集合.
(3)系数的绝对值最大的项是第几项；
【答案】(1)
(2)
(3)第项和第项
【分析】
（1）利用二项式定理求出通项，二项式系数最大的项为中间项，求解即可；
（2）当为整数时为有理项，即可求解；
（3）设第项的系数的绝对值最大，列方程组即可求解.
【详解】（1），，
二项式系数最大的项为中间项，即第项，
所以；
（2），，
当为整数时为有理项，即，
则的取值集合为；
（3）设第项的系数的绝对值最大，
则，所以，解得，
故系数的绝对值最大的项为第项和第项.
39．已知在的展开式中，第4项与第6项的二项式系数相等.
(1)求的值；
(2)若其展开式中项的系数为，求其展开式中系数的绝对值最大的项.
【答案】(1)8
(2)和
【分析】根据二项式定理通项公式及组合数公式可得结果.
【详解】（1），；
（2）二项式的展开式的通项公式为
令得，，
展开式中项的系数为，得，
又，，
二项式的展开式的通项公式为，
设第项为系数绝对值最大的项，则，
解得，又且，或，
展开式中系数的绝对值最大的项为
和.
40．已知，是正整数，的展开式中的系数为15.
(1)求展开式中的系数的最小值；
(2)已知展开式中的二项式系数的最大值为，项的系数的最大值为，求.
【答案】(1)49
(2)
【分析】（1）根据题意得，从而可得，结合二次函数的性质即可求解；
（2）由（1）可得，从而可得，令，求得，从而问题可解.
【详解】（1）根据题意得，即，所以，
所以展开式中的的系数为，
故当或时，的系数的最小值为49.
（2）由（1）知，则，，
因为的展开式的通项为，
令（*）即，因为，所以.
因为成立，所以，
所以.
考点08整除和余数问题
41．若能被整除，则正整数的最小值为（ ）
A．53 B．54 C．55 D．56
【答案】C
【分析】根据二项式定理可得，依题意只需能被整除，即可求出的最小值.
【详解】因为，
其中，
所以，
因为能被整除，
则只需能被整除，所以的最小值为.
故选：C
42．在①各项系数之和为；②常数项为；③各项系数的绝对值之和为1536这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题.
在的展开式中， .
(1)求n；
(2)证明：能被6整除.
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由所选条件，利用展开式系数与系数和的性质，列方程求n；
（2），利用二项式定理，证明数据是6的倍数.
【详解】（1）选条件①各项系数之和为，取，则，解得；
选条件②常数项为，由，则常数项为，解得；
选条件③各项系数的绝对值之和为1536，即的各项系数之和为1536，取，则，解得.
（2）
，
所以能被6整除.
43．已知，且能被17整除，则的取值可以是 .（写出一个满足题意的即可）
【答案】1（答案不唯一）
【分析】
根据二项式定理展开式的特征即可求解.
【详解】，
要使能被17整除，则能被17整除即可，
则，故可取，
故答案为：
44．利用二项式定理，求被8除所得的余数为 .
【答案】7
【分析】，，利用二项式定理展开即可求得余数.
【详解】
，
所以被8除所得的余数是7.
故答案为：7
45．被9除的余数为 .
【答案】4
【分析】整理变形得，再根据的展开式通项即可得到答案.
【详解】，
，
故被9除的余数为4.
故答案为：4.
46．用二项式定理证明能被8整除．
【答案】见解析
【分析】根据，按照二项式定理展开，化简后，根据展开式的各式都含有因数8可得它能被8整除.
【详解】证明：
能被8整除.
所以能被8整除.
基础过关练
1．二项式的展开式中的第3项为（ ）
A．160 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二项式展开式公式即可求解.
【详解】
因为，所以，故C项正确.
故选：C．
2．已知的展开式的各项系数和为4096，则展开式中的系数为（ ）
A．15 B．1215 C．2430 D．81
【答案】B
【分析】根据题意，令，求得，化简得到展开式的通项，进而得到答案.
【详解】因为的展开式的各项系数和为，
令，可得，解得，即二项式为，
可得其通项为，
令，可得，所以展开式中的系数为.
故选：B.
3．设的展开式的各项系数和为M，二项式系数和为N，若，则展开式中有理项共有（ ）
A．1项 B．2项 C．3项 D．4项
【答案】C
【分析】
根据二项式系数和公式，结合赋值法、二项式的通项公式进行求解即可.
【详解】二项式系数和为，
在中，令，得，
由，
二项式的通项公式为，
令，则，所以展开式中有理项共有3项，
故选：C
4．的展开式中的系数为（ ）
A．10 B． C．20 D．
【答案】A
【分析】
将原式化为的形式，再利用二项展开式的通项公式求解可得答案.
【详解】，
展开式的通项公式为，
时，，所以的系数为．
故选：A.
5．（多选）的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．展开式共7项 B．项系数为280
C．所有项的系数之和为2187 D．所有项的二项式系数之和为128
【答案】BCD
【分析】
选项A：根据二项式定理的性质即可判断，选项B：根据二项式展开式的通项特征即可判断，选项C：令即可判断，选项D：根据二项式系数和公式即可判断．
【详解】
选项A：因为，所以展开式共有8项，故A错误，
选项B：展开式的常数项为，故B正确，
选项C：令，则所有项的系数和为，故C正确，
选项D：所有项的二项式系数和为，故D正确，
故选：BCD．
6．（多选）已知，则（ ）
A． B．
C． D．展开式中二项式系数最大的项为第项
【答案】AB
【分析】
设，利用赋值法可判断ABC选项，利用二项式系数的单调性可判断D选项.
【详解】设.
对于A选项，，A对；
对于B选项，，B对；
对于C选项，，
所以，，C错；
对于D选项，展开式共项，展开式中二项式系数最大的项为第项，D错.
故选：AB.
7．的常数项为第3项，求
【答案】
【分析】展开式的第项是常数项，即得指数为，求出的值即可．
【详解】因为的常数项为第3项，
所以，，
所以，即.
故答案为：.
8．求的展开式中含的项．
【答案】
【分析】根据二项展开式的形式，以及组合数的性质，即可求解.
【详解】由，
可得展开式中含的项为：
.
9．展开式中，项的系数为 .
【答案】
【分析】
由二项式定理求解．
【详解】，∵的指数是3，∴得到，
∵的指数是2，得到，∴项的系数为.
故答案为：
10．在的二项展开式中，系数最大的项为和，则展开式中含项的系数为 ．
【答案】7
【分析】
首先由系数最大的项为和，得，再结合二项展开式的通项公式求含x项的系数即可.
【详解】，因为系数最大的项为和，所以为奇数，
，且，解得．
所以含项的系数为．
故答案为：7
11．判断是否能被8整除？并推理证明．
【答案】能被8整除，证明见解析
【分析】根据题意结合二项展开式分析证明.
【详解】能被8整除，证明如下：
因为
，
注意到最终所得的式子中每一项都能被8整除，
所以能被8整除．
12．已知，展开式中二项式系数的最大值为.
(1)求的值；
(2)求的值（结果可以保留指数形式）.
【答案】(1)；
(2)或148160.
【分析】
（1）根据二项展开式的项数确定展开式中二项式系数最大值为和，列出方程求解即得；
（2）将代入二项式，分别对赋值和，再将两式左右分别相减化简即得.
【详解】（1）因展开式中共有8项，最中间两项的二项式系数最大，即和，
依题知，解得；
（2）由（1）可得，
当时，①，
当时，②，
由①-②：，
即得：.
能力提升练
1．已知，则（ ）
A．
B．
C．
D．展开式中二项式系数最大的项为第5项
【答案】C
【分析】
利用赋值法判断A、B、C，根据二项式系数的性质判断D.
【详解】
因为，
令，可得，故A错误；
令，可得①，故B错误；
令，可得②，
联立①②可得，故C正确；
由题意可知展开式有项，则第项的二项式系数最大，故D错误．
故选：C．
2．在的展开式中，所有有理项的系数之和为（ ）
A．84 B．85 C．127 D．128
【答案】D
【分析】由题意得，结合展开式的通项公式即可求解.
【详解】由题意知，
展开式的通项公式为，
当时，为有理项，
所以所有有理项的系数之和为.
故选：D.
3．已知的展开式中唯有第5项的系数最大，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用二项式定理展开公式，结合系数最大列出不等式即可求解.
【详解】
的展开式的通项为，
由题可知，解得．
故选：A
4．（多选）已知，则下列描述不正确的是（ ）
A． B．除以5所得的余数是1
C． D．
【答案】ACD
【分析】
利用赋值法即可判断AC、求导数后结合赋值法可判断D，根据二项式展开式的通项即可求解B.
【详解】
，
令，可得，再令，可得，
,故A错误．
由于，即展开式各项系数和系数和，
故，，故C错误．
由题意，，
显然，除了最后一项外，其余各项均能被5整除，除以5所得的余数是1，故B正确．
把函数两边同时对求导数，可得，
再令，可得，，可得，
故,故D错误．
故选：ACD．
5．在的展开式中，含的项的系数是 用数字作答
【答案】
【分析】
首先得出展开式的通项为，然后分别令和得出其展开式的常数项和含的项，分两类情形即可得出所求的答案．
【详解】
解：因为，
又因为展开式的通项为，
所以令，则其常数项为；
令，则其含的项为，
所以原展开式中含的项的系数为：．
故答案为：．
【点睛】
本题考查二项式定理的应用，考查学生的逻辑思维能力，属中档题．
6．用1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中满足的五位数有个，则在的展开式中，的系数是 .
【答案】
【分析】
依题意可得，则剩下个数有种排法，从而求出，再根据组合数公式及性质计算可得.
【详解】因为，所以，剩下个数有种排法，
所以满足的五位数有个，即，
所以，
其中展开式中含项的系数为，
所以其展开式中含项的系数为
.
故答案为：
7．已知在的展开式中满足，且常数项为，求：
(1)的值；
(2)从展开式中的所有项中任取三项，取出的三项中既有有理项也有无理项，求共有多少种不同的取法．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）写出二项展开式的通项并令的指数为0，利用常数项为即可求得;
（2）由通项可知展开式中有理项共有6项，无理项有5项，再利用分类分步计数原理即可求得结果.
【详解】（1）根据展开式的通项可得
令，解得
即时，常数项，
解得
（2）令，，解得，
即展开式中的有理项共有6项，无理项有5项；
所以从展开式中的所有项中任取三项，取出的三项中既有有理项也有无理项的取法共有种；
8．已知m，n是正整数，的展开式中x的系数为7．
(1)求m，n为何值时，的展开式中的系数最小，并求出此时的系数；
(2)利用（1）中结果，求的近似值．（精确到0.01）
【答案】(1)，或，，的系数为5
(2)
【分析】（1）由x的系数为7得，的系数为，消元讨论最小值即可求；
（2），考虑到精度，故各取多项式展开式的前两项即可
【详解】（1）根据题意得，即．①
的展开式中的系数为．
将①变形为代入上式，得的系数为，
故当，或，时，的系数取得最小值且为9；
此时的系数均为；
（2）当，或，时，6.3二项式定理
1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理；
2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式；
3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题，理解二项式系数的性质并灵活运用.
一、二项式定理
该公式叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，共有项，
其中各项的系数叫做二项式系数，
展开式的第项为
注意：①是第项，而不是第k项；
②通项公式中a，b的位置不能颠倒．
二、二项式系数的性质
对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，由公式得到
增减性与最大值 当时，二项式系数是逐渐增大的；当时，二项式系数是逐渐减小的，因此二项式系数在中间取得最大值 ①当n是偶数时，中间的一项的二项式系数最大； ②当n是奇数时，中间的一项的二项式系数最大；
二项式系数的和 二项式系数的和为 奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即
三、系数之和（赋值法）
①求各项系数之和，令即可
②若，则f(x)展开式中各项系数之和为，
奇数项系数之和为，
偶数项系数之和为.
四、系数的最大值
求展开式中系数最大的项
情况 方法
可转化成求二项式系数最大的项
待定系数法：设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来
考点01二项式定理的展开和还原
1．求值： ．
2．求值：
3．化简： ．
4．设，化简 .
5．设的小数部分为，则 .
6．用二项式定理展开下列各式：
(1)；
(2)．
考点02二项展开式求指定项
7． 展开式中的第四项为（ ）
A． B． C．240 D．
8．在的展开式中，常数项为 ．（用数字作答）
9．展开式中的系数为 .
10．已知，则 .
11．若，则（ ）
A．100 B．110 C．120 D．130
12．若，则（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
考点03二项式系数及系数之和
13． 展开式的二项式系数之和是256，则 .
14．若的展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数为（ ）
A． B．945 C．2835 D．
15．已知的展开式中所有项的系数之和为64，则展开式中的系数为（ ）
A． B．1215 C．135 D．
16．在的二项展开式中，各二项式系数之和为，各项系数之和为，若，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
17．若的展开式的各项系数和为1，二项式系数和为128，则展开式中x2的系数为 .
考点04奇（偶）系数项系数之和（含绝对值）
18．已知，记，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
19．已知，则的值是（ ）
A．680 B． C．1360 D．
20．（多选）已知，则下列选项正确的有（ ）
A． B．
C． D．
21．已知二项式，且满足.
(1)求的值；
(2)求的值.
22．从①第4项的系数与第2项的系数之比是；②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36；这两个条件中任选一个，再解决补充完整的题目．
已知（），且的二项展开式中，____．
(1)求的值；
(2)①求二项展开式的中间项；
②求的值．
考点05两个多项式乘积的指定项
23． 展开式中的常数项为（ ）
A．60 B．4 C． D．
24．若的展开式中的系数为，则a的值为（　　）
A．2 B．3 C．1 D．4
25．已知多项式，则 .
26．已知（为常数）的展开式中所有项的系数和为32，则展开式中的系数为 ．（用数字作答）．
27．在的展开式中，的系数为，则该二项展开式中的常数项为 ．
28．的展开式中的系数为 ．
考点06三项展开式的指定项
29．若，其中，且，则的展开式中所有项的系数和为（ ）
A．0 B． C． D．
30．的展开式的各项系数之和为1，则该展开式中含项的系数是（ ）
A． B． C． D．
31．求的常数项为____.
32．在的展开式中，项的系数为 .（结果用数值表示）
33．的展开式中，项系数为 ．
34．若，且，则的值为 .
考点07二项式系数及系数的最值
35．若展开式中只有第6项的二项式系数最大，则（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
36．（多选）在二项式展开式中，所有项的系数和为，所有奇数项的二项式系数和为，且满足时，下列说法正确的有（ ）
A． B．
C．展开式中二项式系数最大的项为第三项和第四项 D．展开式中各项的系数最大的为第三项
37．（多选）关于的展开式，下列说法中正确的是（ ）
A．展开式中二项式系数之和为32 B．展开式中各项系数之和为1
C．展开式中二项式系数最大的项为第4项 D．展开式中系数最大的项为第4项
38．在的展开式中，
(1)求二项式系数最大的项；
(2)若第项是有理项，求的取值集合.
(3)系数的绝对值最大的项是第几项；
39．已知在的展开式中，第4项与第6项的二项式系数相等.
(1)求的值；
(2)若其展开式中项的系数为，求其展开式中系数的绝对值最大的项.
40．已知，是正整数，的展开式中的系数为15.
(1)求展开式中的系数的最小值；
(2)已知展开式中的二项式系数的最大值为，项的系数的最大值为，求.
考点08整除和余数问题
41．若能被整除，则正整数的最小值为（ ）
A．53 B．54 C．55 D．56
42．在①各项系数之和为；②常数项为；③各项系数的绝对值之和为1536这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题.
在的展开式中， .
(1)求n；
(2)证明：能被6整除.
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
43．已知，且能被17整除，则的取值可以是 .（写出一个满足题意的即可）
44．利用二项式定理，求被8除所得的余数为 .
45．被9除的余数为 .
46．用二项式定理证明能被8整除．
基础过关练
1．二项式的展开式中的第3项为（ ）
A．160 B． C． D．
2．已知的展开式的各项系数和为4096，则展开式中的系数为（ ）
A．15 B．1215 C．2430 D．81
3．设的展开式的各项系数和为M，二项式系数和为N，若，则展开式中有理项共有（ ）
A．1项 B．2项 C．3项 D．4项
4．的展开式中的系数为（ ）
A．10 B． C．20 D．
5．（多选）的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．展开式共7项 B．项系数为280
C．所有项的系数之和为2187 D．所有项的二项式系数之和为128
6．（多选）已知，则（ ）
A． B．
C． D．展开式中二项式系数最大的项为第项
7．的常数项为第3项，求
8．求的展开式中含的项．
9．展开式中，项的系数为 .
10．在的二项展开式中，系数最大的项为和，则展开式中含项的系数为 ．
11．判断是否能被8整除？并推理证明．
12．已知，展开式中二项式系数的最大值为.
(1)求的值；
(2)求的值（结果可以保留指数形式）.
能力提升练
1．已知，则（ ）
A．
B．
C．
D．展开式中二项式系数最大的项为第5项
2．在的展开式中，所有有理项的系数之和为（ ）
A．84 B．85 C．127 D．128
3．已知的展开式中唯有第5项的系数最大，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（多选）已知，则下列描述不正确的是（ ）
A． B．除以5所得的余数是1
C． D．
5．在的展开式中，含的项的系数是 用数字作答
6．用1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中满足的五位数有个，则在的展开式中，的系数是 .
7．已知在的展开式中满足，且常数项为，求：
(1)的值；
(2)从展开式中的所有项中任取三项，取出的三项中既有有理项也有无理项，求共有多少种不同的取法．
8．已知m，n是正整数，的展开式中x的系数为7．
(1)求m，n为何值时，的展开式中的系数最小，并求出此时的系数；
(2)利用（1）中结果，求的近似值．（精确到0.01）

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