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2009年高考数学第三轮基础知识与基本题型复习
（三角函数）
一、基础知识与基本方法
1．弧长分式: , 扇形面积公式: S=. 其中l为弧长, r为圆的半径, α为圆心角的弧度数.
2．三角函数诱导公式的本质是: 奇变偶不变,符号看象限.
3．同角三角函数关系: sin2α+cos2α=1 =tanα； tanαcotα=1.
4．三角函数的性质、图象及其变换:
(1)y=sinx,y=cosx,y=tanx的定义域,值域,单调性,奇偶性,有界性和周期性.
注意: 绝对值对三角函数周期性有影响,一般说,某一周期函数解析式加绝对值或平方,其周期是: 弦减半,切不变.既是周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值,其周期性不变.其他不定,如y=sin2x,y=|sinx|的周期是π, y=|tanx|的周期不变.
(2)函数y=Asin(ωx+():
①图象是由五点法作出来的,这五个点是满足: ωx+(=0, , π, ,2π的五个x的值,对应y值分别是0,A,0,－A,0;
②这个函数的最小正周期是.
注意: 用"五点法"作正余弦函数的图象要注意必须先将解析式化为y= Asin(ωx+()或y= Acos(ωx+()的形式,要关注: ω>0的限制条件,当题目没有这个限制条件时要注意最小正周期是, 应特别注意其对单调性的影响.
5．三角恒等变换的主要公式:
cos（α±β）=cosαcosβ sinαsinβ. sin(α±β）=sinαcosβ cosαsinβ
sin2α=2sinαcosα cos2α=cos2α－sin2α=2cos2α－1=1－2sin2α.
注意: 如下公式的运用:
,
sin2α=，cos2α=
6．三角恒等变换方法:
(1)角的变换主要有: 如α=(α+β)－β=(α－β)+β, 2α=(α+β)+ (α－β), 2α=(β+α)－(β－α),
α+β=2· ,  = (α－)－(－β)等.
(2)三角式变换主要有: 三角函数名互化(切化弦)、三角函数次数的降升(降次、升次),运算结构的转化,解题时应本着"三看"的基本原则来进行, 即"看角、看函数、看特征", 基本技巧有: 巧变角,分式变形使用, 化切为弦,用倍角公式将高次降次.
注意: 三角恒等式的证明方法灵活多样,可总结如下:
①从一边开始直接推证,得到另一边,一般地,如果所证等式一边比较繁而另一边比较简时多采用此法,即由繁到简.
②左右归一法,即将所证恒等式左、右两边同时推导变形,直接推得左右两边都等于同一个式子.
③比较法, 即设法证明: "左边－右边=0" 或"  =1";
④分析法,从被证的等式出发,逐步探求使等式成立的充分条件,一直推到已知条件或显然成立的结论成立为止,则可以判断原等式成立.
7．内角和定理:
(1)三角形的三角之和为π, 任意两角和与第三个角总互补,任意两半角和与第三角的半角总互余.
(2)锐角三角形 ( 三内角都是锐角 ( 三内角的余弦值为正值 ( 任意两角和都是钝角 ( 任意两边的平方和大于第三边的平方.
8．正弦定理: =2R (R为三角形外接圆的半径).
注意: ①已知三角形两边一对角,求解三角形时,若运用正弦定理,则务必注意可能有两解.
②正弦定理之变式: a:b:c=sinA:sinB:sinC, a=2RsinA, b=2RsinB,c=2RsinC,
=
③ 三角形的内切圆半径:
9．余弦定理: a2=b2+c2－2bccosA, =
注意: 正弦定理、余弦定理并不是孤立的,解题时要根据具体题目合理选用,有时还要交替运用.
10．面积公式:
11．在△ABC中, tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,
二、基本题型
1、若，则；角的终边越“靠近”轴时，角的正弦、正切的绝对值就较大，角的终边“靠近”轴时，角的余弦、余切的绝对值就较大.
［例1］已知，若，则的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿.
分析：由且，即知其角的终边应“靠近”轴，所以.
［例2］方程的解的个数为＿＿＿＿个.
分析：在平面直角坐标系中作出函数与的图像，由函数都是奇函数，而当时恒成立.在时，，所以两函数图像只有一个交点（坐标原点），即方程只有一个解.
同样：当时，方程只有唯一解.
2、求某个角或比较两角的大小：通常是求该角的某个三角函数值（或比较两个角的三角函数值的大小），然后再定区间、求角（或根据三角函数的单调性比较出两个角的大小）.比如：由未必有；由同样未必有；两个角的三角函数值相等，这两个角未必相等，如；则；或；若，则；若，则.
［例1］已知都是第一象限的角，则“”是“”的――（　　）
A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；C、充要条件；D、既不充分又不必要条件.
分析：都是第一象限的角，不能说明此两角在同一单调区间内.如都是第一象限的角，但.选D.
［例2］已知，则“”是“”的―――（　　）
A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；C、充要条件；D、既不充分又不必要条件.
分析：注意到由，则可以看作是一三角形的两内角.选C.
3、已知一个角的某一三角函数值求其它三角函数值或角的大小，一定要根据角的范围来确定；能熟练掌握由的值求的值的操作程序；给（一个角的三角函数）值求（另一个三角函数）值的问题，一般要用“给值”的角表示“求值”的角，再用两角和（差）的三角公式求得.
［例1］已知是第二象限的角，且，利用表示＿＿＿＿＿；
分析：由是第二象限的角，知，.
［例2］已知，求的值.
分析：由得：，则或.又，所以.由万能公式得，.知.
4、欲求三角函数的周期、最值、单调区间等，应注意运用二倍角正（余）弦公式，半角公式降次即：；引入辅助角（特别注意，经常弄错）使用两角和、差的正弦、余弦公式（合二为一），将所给的三角函数式化为的形式.函数的周期是函数周期的一半.
［例］函数的最小正周期为＿＿＿＿＿；最大值为＿＿；单调递增区间为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；在区间上，方程的解集为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
分析：由.所以函数的最小正周期为；最大值为2；单调递增区间满足，，即；由，则，或得或，又由得解集为.
注意：辅助角的应用：.其中，且角所在的象限与点所在象限一致.
5、当自变量的取值受限制时，求函数的值域，应先确定的取值范围，再利用三角函数的图像或单调性来确定的取值范围，并注意A的正负；千万不能把取值范围的两端点代入表达式求得.
［例］已知函数，求的最大值与最小值.
分析：函数.由，则，，所以函数的最大 、最小值分别为与.
6、三角形中边角运算时通常利用正弦定理、余弦定理转化为角（或边）处理.有关的齐次式（等式或不等式），可以直接用正弦定理转化为三角式；当知道△ABC三边平方的和差关系，常联想到余弦定理解题；正弦定理应记为（其中R是△ABC外接圆半径.
［例］在△ABC中，分别是对边的长.已知成等比数列，且，求的大小及的值.
分析：由成等比数列得，则化成，由余弦定理得，.由得，所以=.
7、在△ABC中：；，
，，等常用的结论须记住.三角形三内角A、B、C成等差数列，当且仅当.
［例1］（1）已知△ABC三边成等差数列，求B的范围；（2）已知△ABC三边成等比数列，求角B的取值范围.
分析：（1）由△ABC的三边成等差数列，则，，消去化得.所以.
（2）同样可以求得.
［例2］在△ABC中，若，则△ABC的形状一定是――――（　　）
A、等腰直角三角形；　　B、直角三角形；　　C、等腰三角形；　　D、等边三角形.
分析：在三角形ABC中：，则.所以△ABC是等腰三角形.
［例3］△ABC中，内角A、B、C的对边分别为，已知成等比数列，且.
（1）求的值；（2）设，求的值.
分析：（1）先切化弦：.由成等比，，所以.由得，则.
（2）注意到，所以，则.又由余弦定理得：，得，，所以.
8、这三者之间的关系虽然没有列入同角三角比的基本关系式，但是它们在求值过程中经常会用到，要能熟练地掌握它们之间的关系式：.求值时能根据角的范围进行正确的取舍.
［例1］已知关于的方程有实数根，求实数的取值范围.
分析：由，令，则，其中.则关于的方程在上有解.注意到方程两根之积为1，若有实根必有一根在内，只要△即可，得或.
［例2］已知且，则＿＿＿＿＿.
分析：此类问题经常出现在各类考试中，而且错误率都比较高.原因是不能根据角所在的象限，对函数值进行正确的取舍.由平方得，又由知.则有.，得.有，所以.
9、正（余）弦函数图像的对称轴是平行于轴且过函数图像的最高点或最低点，两相邻对称轴之间的距离是半个周期；正（余）弦函数图像的对称中心是图像与“平衡轴”的交点，两相邻对称中心之间的距离也是半个周期.
函数的图像没有对称轴，它们的对称中心为.两相邻对称轴之间的距离也是半个周期.
［例1］已知函数，且是偶函数，则满足条件的最小正数＿＿；
分析：是偶函数，则是它图像的一条对称轴.时，函数取最大（小）值.，.所以满足条件的最小正数.
［例2］若函数的图像关于点成中心对称，则＿＿＿.
分析：由的图像关于点成中心对称知，.

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