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长安区一民初级中学2023-2024学年度第二学期第一次学业质量评价
八年级数学试题
试卷类型A 满分120分
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1.下列各式：①；②；③；④；⑤.其中是不等式的有（ ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2.在中，，求证：.若用反证法来证明这个结论，可以假设（ ）
A. B. C. D.
3.在中，，添加下列一个条件后，仍不能判定为等边三角形的是（ ）
A. B. C. D.
4.下列说法不正确的是（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
5.如图，在中，、的垂直平分线分别交于点、，若，，则的周长为（ ）
A.4 B.5 C.9 D.13
6.满足不等式的所有正整数解有几个（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
7.在救援时，某镇部分村庄需8组战士步行运送物资，要求每组分配的人数相同.若按每组人数比预定人数多分配1人，则总数会超过100人；若按每组人数比预定人数少分配1人，则总数不足90人，设预定每组分配的人数是，则应满足的不等式组是（ ）
A. B.
C. D.
8.如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于的不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
9.如图，点是三个角角平分线的交点，也是三边中垂线的交点，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
10.如图，是等边三角形，以为边向外作等边三角形，点，分别在，上，且，连接，，两直线相交于点，连接，下列结论：
①，②，③，④，⑤.其中正确的结论有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11.已知是关于的一元一次不等式，则______.
12.如图，在中，，，，则等于______.
13.不等式的解集是，则的取值范围为______.
14.某种商品的进价为400元，出售时标价为500元，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于，则至多可以打______折.
15.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则顶角是______.
16.如图，边长为2的等边中，是上中线且，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是______.
三、解答题（共8小题，计72分，解答应写出过程）
17.（10分）解下列不等式并把解集表示在数轴上.
（1）； （2）.
18.（10分）解不等式组
（1） （2）
19.（6分）如图，在中，请用直尺和圆规在边上求作一点，使得.（不写作法，保留作图痕迹）
20.（8分）如图，在和中，，，与交于点，过点作于点.
（1）求证：；
（2）求证：垂直平分.
21.（6分）若关于，的二元一次方程组的解，满足，求的取值范围.
22.（10分）某学校计划购进一批电脑和电子白板，若购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元.
（1）求每台电脑、每台电子白板各是多少万元.
（2）学校需要购进电脑和白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，请你通过计算求出有几种购买方案，哪种方案费用最低？
23.（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与，轴交于，两点，正比例函数的图象与交于点.
（1）填空：______，______，不等式的解集是______；
（2）若点是直线上的一个动点，连接，当的面积是面积的2倍时，求出符合条件的点的坐标；
24.（12分）
（1）方法原型：如图①点、、在同一条直线上，，且，，则.请写出证明过程。
（2）问题解决：（1）中的、、之间的数量关系为______.
（3）拓展延伸：如图②，中，，，点为射线上一点，以为直角边在的右侧作等腰，使.
i.如图②，连结，当时，的面积为______.
ii.如图③，当时，求点到边的距离.
图① 图② 图③

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