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高考必备——高中数学常用公式及常用结论
一、集合与简易逻辑
1．德摩根公式
?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)；?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)．
2．包含关系
A∩B＝A?A∪B＝B?A?B??UB??UA?A∩?UB＝???UA∪B＝R.
3.集合{a1，a2，…，an}的子集个数共有2n个；真子集有2n－1个；非空子集有2n－1个；非空真子集有2n－2个．
4．真值表
p
q
非p
p或q
p且q
真
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
真
真
真
假
假
假
真
假
假
5.充要条件
(1)充分条件：若p?q，则p是q充分条件．
(2)必要条件：若q?p，则p是q必要条件．
(3)充要条件：若p?q，且q?p，则p是q充要条件．
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然．
二、函数
1．二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(2)顶点式f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；
(3)零点式f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
2．函数的单调性
(1)设x1，x2∈[a，b]，x1≠x2，那么
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0?＞0?f(x)在[a，b]上是增函数；
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0?＜0?f(x)在[a，b]上是减函数．
(2)设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)＞0，则f(x)为增函数；如果f′(x)＜0，则f(x)为减函数．
3．函数的奇偶性
(1)若函数y＝f(x)是偶函数，则f(x＋a)＝f(－x－a)；
(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则f(x＋a)＝f(－x＋a)．
4．函数的对称性
(1)函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称 ?f(a＋x)＝f(a－x)?f(2a－x)＝f(x)；
(2)对于函数y＝f(x)(x∈R)，f(x＋a)＝f(b－x)恒成立，则函数f(x)的对称轴是函数x＝；
(3)两个函数y＝f(x＋a)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称；
(4)若f(x)＝－f(－x＋a) ，则函数y＝f(x)的图象关于点对称．
5．函数的周期性(约定a>0)
(1)f(x)＝f(x＋a)，则f(x)的周期T＝a；
(2)f(x)＝－f(x＋a)，或f(x＋a)＝(f(x)≠0)，
或f(x＋a)＝－(f(x)≠0) ，
或＋＝f(x＋a)，(f(x)∈[0,1])，则f(x)的周期T＝2a.
6．图象平移
若将函数y＝f(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数y＝f(x－a)＋b的图象；若将曲线f(x，y)＝0的图象右移 a、上移b个单位，得到曲线f(x－a，y－b)＝0的图象．
7．分数指数幂
(1)a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．
(2)a－＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．
8．根式的性质
(1)()n＝a；
(2)当n为奇数时，＝a；
当n为偶数时，＝|a|＝
9．有理指数幂的运算性质
(1)ar·as＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)．
(2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)．
(3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．
10．指数式与对数式的互化式
logaN＝b?ab＝N(a＞0，a≠1，N＞0)
11．对数的换底公式
logaN＝(a＞0，且a≠1，m＞0，且m≠1，N＞0)．
推论logambn＝logab(a＞0，且a＞1，m，n＞0，且m≠1，n≠1，N＞0)．
12．对数的四则运算法则
若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(2)loga＝logaM－logaN；
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
三、导数
1．函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x0处的导数是曲线y＝f(x)在P(x0，f(x0))处的切线的斜率f′(x0)，相应的切线方程是y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
2．几种常见函数的导数
(1)C′＝0(C为常数)．
(2)(xn)′＝nxn－1(n∈Q)．
(3)(sin x)′＝cos x.
(4)(cos x)′＝－sin x.
(5)(ln x)′＝；(logax)′＝.
(6)(ex)′＝ex；(ax)′＝axln a.
3．导数的运算法则
(1)(u±v)′＝u′±v′.
(2)(uv)′＝u′v＋uv′.
(3)′＝(v≠0)．
(文)4.判别f(x0)是极大(小)值的方法
当函数f(x)在点x0处连续时，
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则f(x0)是极大值；
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则f(x0)是极小值．
四、三角函数、解三角形
1．同角三角函数的基本关系式
sin2θ＋cos2θ＝1；tan θ＝.
2．正弦、余弦的诱导公式
sin＝
cos＝
3．和角与差角公式
Tα±β：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；
Cα±β：cos(α±β)＝cos αcos β?sinαsinβ；
Tα±β：tan(α±β)＝.
4．辅助角公式
asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)
.
5．二倍角公式
S2α：sin 2α＝2sin αcos α；
C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
T2α：tan 2α＝.
6．三角函数的周期公式
(1)函数y＝sin(ωx＋φ)，x∈R及函数y＝cos(ωx＋φ)，x∈R(A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T＝；
(2)函数y＝tan(ωx＋φ)，x≠kπ＋，k∈Z(A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T＝.
7．正弦定理
＝＝＝2R.
8．余弦定理
(1)a2＝b2＋c2－2bccos A；b2＝c2＋a2－2cacos B；c2＝a2＋b2－2abcos C.
(2)求角：cos A＝；cos B＝；cos C＝.
9．三角形面积定理
(1) S＝aha＝bhb＝chc(ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高)．
(2)S＝absin C＝bcsin A＝casin B.
10．三角形内角和定理
在△ABC中，有A＋B＋C＝π?C＝π－(A＋B)
?＝－?2C＝2π－2(A＋B)．
五、向量
1．实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μa)＝(λμ)a；
(2)第一分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa；
(3)第二分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb.
2．向量的数量积的运算律
(1) a·b＝ b·a (交换律)；
(2)( λa)·b＝ λ(a·b)＝λa·b＝ a·(λb)；
(3)(a＋b)·c＝ a ·c ＋b·c.
3．向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且b≠0，则a∥b(b≠0) ?x1y2－x2y1＝0.
4．a与b的数量积(或内积)
a·b＝|a||b|cos θ.
5．平面向量的坐标运算
(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)．
(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝(x1－x2，y1－y2)．
(3)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(4)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝－＝(x2－x1，y2－y1)．
(5)设a＝(x，y) ，则 |a|＝.
6．两向量的夹角公式
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且b≠0，则
cos θ＝＝.
7.向量的平行与垂直
a∥b?b＝λa?x1y2－x2y1＝0.
a⊥b(a≠0)?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
8．两向量的夹角公式
cos θ＝(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．
9．三角形四“心”向量形式的充要条件
设O为△ABC所在平面上一点，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，则
(1)O为△ABC的外心?2＝2＝2.
(2)O为△ABC的重心?＋＋＝0.
(3)O为△ABC的垂心?·＝·＝·.
(4)O为△ABC的内心?a＋b＋c＝0.
六、数列
1．数列的通项公式与前n项的和的关系
an＝ (数列{an}的前n项的和为Sn＝a1＋a2＋…＋an)．
2．等差数列的通项公式
an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)；
其前n项和公式为Sn＝＝na1＋d
＝n2＋n.
3．等比数列的通项公式
an＝a1qn－1＝·qn(n∈N*)；
其前n项的和公式为Sn＝或Sn＝
七、不等式
1．常用不等式
(1)a，b∈R?a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”号)．
(2)a，b∈R＋?≥(当且仅当a＝b时取“＝”号)．
2．最值定理
已知xy都是正数，则有
(1)若积xy是定值p，则当x＝y时和x＋y有最小值2；
(2)若和x＋y是定值s，则当x＝y时积xy有最大值s2.
八、立体几何
1．柱体、锥体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式
圆柱侧面积＝2πrl ，表面积＝ 2πrl＋2πr2，
圆锥侧面积＝πrl，表面积＝πrl＋πr2，
V柱体＝Sh　(S是柱体的底面积，h是柱体的高)．
V锥体＝Sh　(S是锥体的底面积，h是锥体的高)．
球的半径是R，则其体积V＝πR3，其表面积S＝4πR2.
2．证明直线与直线平行的方法
(1)三角形中位线；(2)平行四边形(一组对边平行且相等)．
3．证明直线与平面平行的方法
(1)直线与平面平行的判定定理(证平面外一条直线与平面内的一条直线平行)；
(2)先证面面平行．
4．证明平面与平面平行的方法
平面与平面平行的判定定理(一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行)．
5．证明直线与直线垂直的方法
转化为证明直线与平面垂直．
6．证明直线与平面垂直的方法
(1)直线与平面垂直的判定定理(直线与平面内两条相交直线垂直)．
(2)平面与平面垂直的性质定理(两个平面垂直，一个平面内垂直交线的直线垂直另一个平面)．
7．证明平面与平面垂直的方法
平面与平面垂直的判定定理(一个平面内有一条直线与另一个平面垂直)．
九、解析几何
1．斜率公式
k＝(P1(x1，y1)、P2(x2，y2)且x1≠x2)．
2．直线的五种方程
(1)点斜式y－y1＝k(x－x1)(直线l过点P1(x1，y1)，且斜率为k)．
(2)斜截式y＝kx＋b (b为直线l在y轴上的截距)．
(3)两点式＝ (P1(x1，y)、P2(x2，y2)且x1≠x2，y1≠y2)．
(4)截距式＋＝1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、b≠0)．
(5)一般式Ax＋By＋C＝0 (其中A、B不同时为0)．
3．两条直线的平行和垂直
(1)若l1∶y＝k1x＋b1，l2∶y＝k2x＋b2
①l1∥l2?k1＝k2，b1≠b2；②l1⊥l2?k1k2＝－1；
(2)若l1∶A1x＋B1y＋C1＝0，l2∶A2x＋B2y＋C2＝0，且A1、A2、B1、B2都不为零，
①l1∥l2?＝≠；②l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.
4．点到直线的距离
d＝ (点P(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0 )．
5. 圆的方程
(1)圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(圆心坐标为(a，b)，半径为r)．
(2)圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)．
(3)圆的直径式方程(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0 (圆的直径的端点是A(x1，y1)、B(x2，y2)．
6.点与圆的位置关系
点P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系有三种：
d＞r?点P在圆外； d＝r?点P在圆上；d＜r?点P在圆内，其中d＝.
7．直线与圆的位置关系
直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系有三种：
d＞r?相离?Δ＜0；
d＝r?相切?Δ＝0；
d＜r?相交?Δ＞0.
其中d＝.
8．两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，|O1O2|＝d，
d＞r1＋r2?外离?4条公切线；
d＝r1＋r2?外切?3条公切线；
|r1－r2|＜d＜r1＋r2?相交?2条公切线；
d＝|r1－r2|?内切?1条公切线；
0＜d＜|r1－r2|?内含?无公切线．
9．圆的切线方程
(1)已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
①若已知切点(x0，y0)在圆上，则切线只有一条，其方程是
x0x＋y0y＝＋＋F＝0.
当(x0，y0)在圆外时，x0x＋y0y＋＋＋F＝0表示过两个切点的切点弦方程．
②过圆外一点的切线方程可设为y－y0＝k(x－x0)，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．
③斜率为k的切线方程可设为y＝kx＋b，再利用相切条件求b，必有两条切线．
(2)已知圆x2＋y2＝r2.
①过圆上的P0(x0，y0)点的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2；
②斜率为k的圆的切线方程为y＝kx±r.
10．点与椭圆的位置关系
(1)点P(x0，y0)在椭圆＋＝1(a＞b＞0)的内部?＋＜1.
(2)点P(x0，y0)在椭圆＋＝1(a＞b＞0)的外部?＋＞1.
11．直线与圆锥曲线相交的弦长公式
|AB|＝或|AB|＝＝|x1－x2|＝|y1－y2|· (弦端点A(x1，y1)，B(x2，y2)由方程消去y得到ax2＋bx＋c＝0，Δ＞0，α为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率).
12．椭圆的切线方程
(1)椭圆＋＝1(a＞b＞0)上一点P(x0，y0)处的切线方程是＋＝1.
(2)过椭圆＋＝1(a＞b＞0)外一点P(x0，y0)所引两条切线的切点弦方程是＋＝1.
(3)椭圆＋＝1(a＞b＞0)与直线Ax＋By＋C＝0相切的条件是A2a2＋B2b2＝c2.
13．点与双曲线的位置关系
(1)点P(x0，y0)在双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的内部?－＞1.
(2)点P(x0，y0)在双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的外部?－＜1.
14．双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1)若双曲线方程为－＝1?渐近线方程：－＝0?y＝±x.
(2)若双曲线与－＝1有公共渐近线，可设为－＝λ(λ＞0，焦点在x轴上，λ＜0焦点在y轴上)．
15．双曲线的切线方程
(1)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上一点P(x0，y0)处的切线方程是－＝1.
(2)过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)外一点P(x0，y0)所引两条切线的切点弦方程是－＝1.
(3)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)与直线Ax＋By＋C＝0相切的条件是A2a2－B2b2＝c2.
16．抛物线y2＝2px的焦半径公式
抛物线y2＝2px(p＞0)焦半径|CF|＝x0＋.
过焦点弦长|CD|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p.
17.点与抛物线的位置关系
(1)点P(x0，y0)在抛物线y2＝2px(p＞0)的内部?y＜2px0(p＞0)．
点P(x0，y0)在抛物线y2＝2px(p＞0)的外部?y＞2px0(p＞0)．
(2)点P(x0，y0)在抛物线y2＝－2px(p＞0)的内部?y＜－2px0(p＞0)．
点P(x0，y0)在抛物线y2＝－2px(p＞0)的外部?y＞－2px0(p＞0)．
(3)点P(x0，y0)在抛物线x2＝2py(p＞0)的内部?x＜2py0(p＞0)．
点P(x0，y0)在抛物线x2＝2py(p＞0)的外部?x＞2py0(p＞0)．
(4)点P(x0，y0)在抛物线x2＝2py(p＞0)的内部?x＜2py0(p＞0)．
点P(x0，y0)在抛物线x2＝－2py(p＞0)的外部?x＞－2py0(p＞0)．
18. 抛物线的切线方程
(1)抛物线y2＝2px上一点P(x0，y0)处的切线方程是y0y＝p(x＋x0)．
(2)过抛物线y2＝2px外一点P(x0，y0)所引两条切线的切点弦方程是y0y＝p(x＋x0)．
(3)抛物线y2＝2px(p＞0)与直线Ax＋By＋C＝0相切的条件是pB2＝2AC.
(文)十、概率与统计
1．平均数、方差、标准差的计算
平均数：＝，
方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，
标准差：s＝.
2．回归直线方程
y＝a＋bx，其中
b＝＝.
3．独立性检验
K2＝.
4．古典概型的计算
必须要用列举法、列表法、树状图的方法把所有基本事件表示出来，不重复、不遗漏，其中
P(A)＝＝.
5. 几何概型的概率计算公式
P(A)＝
.
6．互斥事件A，B至少有一个发生的概率
P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．
(文)十一、复数
1．复数的相等
a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．
2．复数z＝a＋bi的模(或绝对值)
|z|＝|a＋bi|＝.
3．复数的四则运算法则
(1)(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
(3)(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i；
(4)(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(c＋di≠0)．

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