资源简介

特殊的平行四边形
知识结构
模块一 矩形
知识精讲
1. 定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形．
注意：矩形的定义既是矩形的基本性质，也是判定矩形的基本方法．
2. 性质：
矩形除具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质．
(1) 矩形的四个角都是直角；
(2) 矩形的两条对角线相等．
注意：①矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形．过对称中心的任意直线可将
矩形分成完全全等的两部分．
②矩形也是轴对称图形，有两条对称轴(分别是通过对边中点的直线)．
③对称轴的交点就是对角线的交点 (即对称中心)．
3. 判定：
矩形的判定定理 1：有三个内角是直角的四边形是矩形．
矩形的判定定理 2：对角线相等的平行四边形是矩形．
例题解析
- 1 -
【例 1】关于矩形的性质，以下说法不正确的是 ( )
A．四个角都是直角 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形
【例 2】在四边形 ABCD中， AD / /BC ， AB CD．下列说法能使四边形 ABCD为矩形的
是 ( )
A． AB / /CD B． AD BC C． A B D． A D
【例 3】下列条件不能判定一个四边形是矩形的是 ( )
A．四个内角都相等 B．四条边都相等
C．对角线相等且互相平分 D．对角线相等的平行四边形
【例 4】如图，在矩形 ABCD中，对角线 AC ， BD交于点O，若 AOB 60 ， AB 2，
则对角线 AC 的长是 ( )
A．4 B．3 C．2 D．1
【例 5】已知四边形 ABCD中， AD / /BC ， AC BD，下列说法不正确的是 ( )
A．如果 AD BC，那么四边形 ABCD是矩形
B．如果 AB DC，那么四边形 ABCD是矩形
C．如果 AB / /DC ，那么四边形 ABCD是矩形
D．如果 ABC 90 ，那么四边形 ABCD是矩形
- 2 -
【例 6】如图，在矩形 ABCD中，AB 2，对角线 AC与 BD相交于点O，AE垂直平分OB
于点 E，则 BC的长为 ( )
A． 2 5 B． 2 3 C．4 D．2
【例 7】矩形的两条对角线的夹角为 60 ，一条对角线与较短边的和为 6，则较长边
为 ．
【例 8】已知矩形 ABCD，对角线 AC 与 BD相交于点O，如果 AOB 60 ， AB 4，那
么 AD的长是 ．
【例 9】如图，在矩形 ABCD中，AB 2BC，在CD上取一点 E，使 AE AB，则 EBC的
度数为 ．
【例 10】如图，在矩形 ABCD中， AC 与 BD相交于点O，如果 AOD 120 ， AB 6，
那么 AC ．
【例 11】如图，矩形 ABCD中， AB 8， AD 10，E是CD上一点，把 ADE沿直线
AE翻折，D点恰好落在 BC边上的F 点处，则CE ．
- 3 -
【例 12】如图， ABC中， AB AC， AD平分 BAC交 BC于点D， AE平分 BAC的外
角，且 AEB 90 ．求证：四边形 ADBE是矩形．
模块二 菱形
知识精讲
1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
2. 性质：菱形除具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：
(1) 菱形的四条边都相等；
(2) 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
注意：①菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完
全全等的两部分；
②菱形也是轴对称图形，有两条对称轴(对角线所在的直线)，对称轴的交点就是对称中心；
③菱形的面积有两种计算方法：
一种是平行四边形的面积公式： S 底×高；
另一种是两条对角线乘积的一半(即四个小直角三角形面积之和)．
实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半．
3. 判定：
菱形的判定定理 1：四条边都相等的四边形是菱形．
菱形的判定定理 2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
例题解析
- 4 -
【例 13】已知四边形 ABCD是菱形，AC和 BD是菱形的对角线，那么下列说法一定正确的
是 ( )
A． AC BD B． AC BD C． AC AB D． BAC ABD
【例 14】已知平行四边形 ABCD的对角线 AC、BD相交于点O．下列补充条件中，能判定
这个平行四边形是菱形的是 ( )
A． ABD ACB B． AOB ADC C． ABD CBD D． ABD ACD
【例 15】已知四边形 ABCD中， AC BD，再补充一个条件使得四边形 ABCD为菱形，这
个条件可以是 ( )
A． AC BD B． AB BC
C． AC与 BD互相平分 D． ABC 90
【例 16】已知四边形 ABCD， AB BC CD， AC、BD是它的两条对角线．下列条件中，
不能判定四边形 ABCD是菱形的是 ( )
A． AC BD B． AD BC C． AB / /DC D． AC BD
【例 17】如图，在平面直角坐标系 xOy中，四边形 ABCD是菱形， ABC 120 ，点 B的
坐标为 (0, 3)，则点 A的坐标为 ( )
A． ( 3 3,0) B． (3 3， 0) C． ( 6,0) D． (6,0)
- 5 -
【例 18】如图，在菱形 ABCD中，对角线 AC、BD交于点O，若菱形 ABCD的面积是 12，
则 AOB的面积为 ( )
A．3 B．6 C．24 D．48
【例 19】已知菱形的周长为 40，一条对角线长为 12，则这个菱形的面积是 ．
【例 20】如果菱形的面积是 24，较短的对角线长为 6，那么这个菱形的边长是 ．
【例 21】如图，在菱形 ABCD中， AB 10， B 60 ，则 AC的长为 ．
【例 22】如图，在菱形 ABCD中，点 E是CD上一点，连接 AE交对角线 BD于点 F ，连接
CF ，若 AED 40 ，则 BCF ．
- 6 -
【例 23】如图， AE / /BF ， AC平分 BAD，且交 BF 于点C， BD平分 ABC，且交 AE
于点 D，连接CD．求证：四边形 ABCD是菱形．
【例 24】如图，已知在四边形 ABCD中， AD / /BC ，点 E为 BC中点， BD DC， EA平
分 DEB．
（1）求证： AE DC；
（2）求证：四边形 ABED是菱形．
模块三 正方形
知识精讲
1. 定义：有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形．
2. 正方形与矩形、菱形的关系：
矩形 邻边相等 正方形 菱形 一个角是直角 正方形
3. 性质定理：
正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质：
- 7 -
①边的性质：对边平行，四条边都相等．
②角的性质：四个角都是直角．
③对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角．
④对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形．
4. 判定定理：
判定定理 1：有一组邻边相等的矩形是正方形．
判定定理 2：有一个内角是直角的菱形是正方形．
例题解析
【例 25】在四边形 ABCD中， A B C 90 ．如果再添加一个条件可证明四边形是
正方形，那么这个条件可以是 ( )
A． AB BC B． AB CD C． AC BD D． D 90
【例 26】已知四边形 ABCD中， A 90 ， AB / /CD， B D，如果添加一个条件，即
可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是 ( )
A． D 90 B． AB CD C． BC CD D． AC BD
【例 27】如图，已知四边形 ABCD是平行四边形，那么添加下列条件能判定四边形 ABCD是
正方形的是 ( )
A． AB AD且 AC BD B． AC BD且 AC和 BD互相平分
C． BAD ABC且 AC BD D． AC BD且 AB AD
- 8 -
【例 28】若正方形的对角线是 6，则此正方形的面积是 ．
【例 29】如图，已知 P是正方形 ABCD对角线 BD上一点，且 BP BC，则 BCP ．
【例 30】如图，正方形 ABCD中，延长 BC 到 E ，使 CE CA， AE 交 CD于 F ，那么
AFD ．
【例 31】已知平行四边形 ABCD，对角线 AC、 BD相交于点O，且CA CB，延长 BC至
点 E，使CE BC ，联结DE．
（1）当 AC BD时，求证： BE 2CD；
（2）当 ACB 90 时，求证：四边形 ACED是正方形．
- 9 -
【例 32】如图，在正方形 ABCD的对角线 AC上取点 E，使CD CE，过点 E作 EF AC
交 AD于点 F ，求证： AE EF DF ．
【例 33】已知，如图，四边形 ABCD是菱形， B是锐角， AF BC 于点 F ，CH AD于
点H ，在 AB边上取点 E，使得 AE AH ，在CD边上取点G，使得CG CF．联结 EF 、
FG、CH 、HE．
（1）求证：四边形 EFGH是矩形．
（2）若 B 45度，求证：四边形 EFGH 是正方形．
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【习题 1】矩形具有而菱形不具有的性质是 ( )
A．两组对边分别平行 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．两组对角分别相等
- 10 -
【习题 2】下列说法正确的是 ( )
A．菱形的四个内角都是直角
B．矩形的对角线互相垂直
C．正方形的每一条对角线平分一组对角
D．平行四边形是轴对称图形
【习题 3】已知四边形 ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的 ( )
A．当 AB BC时，它是菱形 B．当 AD CD时，它是菱形
C．当 ABC 90 时，它是矩形 D．当 AC BD时，它是矩形
【习题 4】矩形各角的角平分线交成的四边形是 ( )
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【习题 5】如图，已知四边形 ABCD是平行四边形，下列结论正确的是 ( )
A．当 AB BC时，四边形 ABCD是矩形
B．当 AC BD时，四边形 ABCD是矩形
C．当 AC BD时，四边形 ABCD是菱形
D．当 ABC 90 时，四边形 ABCD是正方形
【习题 6】如图，在矩形 ABCD中，对角线 AC ，BD交于点O， AOB 60 ，BC 2 3 ，
则 AO的长是 ( )
A．4 B．2 C． 2 3 D． 3
- 11 -
【习题 7】如图，在矩形 ABCD中，对角线 AC、BD交于点O， AOD 120 ，矩形 ABCD
的面积是 9 3，那么这个矩形的周长是 ( )
A．3 3 3 B． 4 4 3 C． 6 6 3 D．8 8 3
【习题 8】如图，在菱形 ABCD中， BAD 80 ， AB的垂直平分线交对角线 AC于点 F ，
E为垂足，连接DF，求 CDF 的度数．
【习题 9】已知：如图， ABC中，M 是 BA延长线上一点，AD是 ABC的中线，E是 AC
的中点，过点 A作 AF / /BC，与DE的延长线相交于点 F ．
（1）求证：四边形 ABDF是平行四边形．
（2）如果 AF 平分 MAC，求证：四边形 ADCF是矩形．
- 12 -
【习题 10】已知：如图，在四边形 ABCD中， AB / /DC ，对角线 AC、 BD交于点O，过
点C作CE CD交 AB的延长线于点 E，联结OE，OC OE．
（1）求证：OE 1 AC；
2
（2）如果 DB平分 ADC，求证：四边形 ABCD是菱形．
【习题 11】已知：如图，四边形 ABCD是菱形，点 E，F 分别在边 BC，CD上，且 BE DF ，
过点 F 作 AE的平行线交对角线 AC的延长线于点G，连接 EG．
（1）求证：四边形 AEGF是菱形；
（2）如果 B BAE 30 ，求证：四边形 AEGF是正方形．
- 13 -
【习题 12】如图，矩形 ABCO中，点C在 x轴上，点 A在 y轴上，点 B的坐标是 ( 6,8)．矩
形 ABCO沿直线 BD折叠，使得点 A落在对角线OB上的点 E处，折痕与OA、 x轴分别交
于点 D、 F ．
（1）求点 D的坐标；
（2）若点 N是平面内任一点，在 x轴上是否存在点M ，使M 、 N、 E、O为顶点的四边
形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
课后作业
【作业 1】下面性质中菱形有而矩形没有的是 ( )
A．邻角互补 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线互相平分
【作业 2】如图，把长方形 ABCD沿 EF 对折后使两部分重合，若 1 60 ，则 AEF ( )
A．110 B．115 C．120 D．130
- 14 -
【作业 3】如果要证明平行四边形 ABCD为正方形，那么我们需要在四边形 ABCD是平行四
边形的基础上，进一步证明 ( )
A． AB AD且 AC BD B． AB AD且 AC BD
C． A B且 AC BD D． AC和 BD互相垂直平分
【作业 4】在下列图形中，①等边三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形．其中既是
轴对称图形又是中心对称的图形有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【作业 5】已知一个菱形的边长为 5，其中一条对角线长为 8，则这个菱形的面积为 ．
【作业 6】矩形的两条对角线的夹角为 60 ，一条对角线的长为 2，那么矩形的周长为 ．
【作业 7】如图，在矩形 ABCD中，AE平分 BAD， EAO 15 ，则 BOE的度数是 ．
【作业 8】已知：如图四边形 ABCD是菱形，E是对角线 BD上的一点，联结 AE、CE ．求
证： DAE DCE ．
- 15 -
【作业 9】如图，在正方形 ABCD中，M 为 AB的中点，MN MD，BN 平分 CBE并交MN
于 N．试说明：MD MN ．
【作业 10】已知：如图，四边形 ABCD的对角线 AC、 BD相交于点O， AO BO CO，
BAC ACD．
（1）求证：四边形 ABCD是矩形；
（2）如果点 E在边 AB上，DE平分 ADB， BD 2AB，求证： BD AD AE．
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参考答案
一．矩形（共 12 小题）
【例 1．关于矩形的性质，以下说法不正确的是 ( )
A．四个角都是直角 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形
解：矩形是轴对称图形，四个角都是直角，对角线相等，故 A， B，D都对，不符合题意，
而菱形是对角线互相垂直，矩形不具有，故C错误，符合题意，
故选：C．
【例 2．在四边形 ABCD中， AD / /BC ， AB CD．下列说法能使四边形 ABCD为矩形的
是 ( )
A． AB / /CD B． AD BC C． A B D． A D
解： A、 AB / /CD， AD / /BC ，
四边形 ABCD是平行四边形，
由 AB CD，不能判定四边形 ABCD为矩形，故选项 A不符合题意；
B、 AD BC， AD / /BC ，
四边形 ABCD是平行四边形，
由 AB CD，不能判定四边形 ABCD为矩形，故选项 B不符合题意；
C、 AD / /BC，
A B 180 ，
A B，
A B 90 ，
AB AD， AB BC，
AB的长为 AD与 BC间的距离，
AB CD，
CD AD，CD BC ，
C D 90 ，
四边形 ABCD是矩形，故选项C符合题意；
D、 AD / /BC，
A B 180 ， D C 180 ，
A D，
- 17 -
B C，
AB CD，
四边形 ABCD是等腰梯形，故选项 D不符合题意；
故选：C．
【例 3．下列条件不能判定一个四边形是矩形的是 ( )
A．四个内角都相等 B．四条边都相等
C．对角线相等且互相平分 D．对角线相等的平行四边形
解： A、四个内角都相等的四边形是矩形，故选项 A不符合题意；
B、四条边都相等的四边形是菱形，故选项 B符合题意；
C、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故选项C不符合题意；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项 D不符合题意；
故选： B．
【例 4．如图，在矩形 ABCD中，对角线 AC ， BD交于点O，若 AOB 60 ， AB 2，
则对角线 AC 的长是 ( )
A．4 B．3 C．2 D．1
解： 四边形 ABCD是矩形，
AC BD， AO CO， BO DO，
AO BO，
又 AOB 60 ，
AOB是等边三角形，
AB AO 2，
AC 2AO 4，
故选： A．
【例 5．已知四边形 ABCD中， AD / /BC ， AC BD，下列说法不正确的是 ( )
A．如果 AD BC，那么四边形 ABCD是矩形
B．如果 AB DC，那么四边形 ABCD是矩形
- 18 -
C．如果 AB / /DC ，那么四边形 ABCD是矩形
D．如果 ABC 90 ，那么四边形 ABCD是矩形
解： A、 AD / /BC， AD BC，
四边形 ABCD是平行四边形，
AC BD，
四边形 ABCD是矩形，故不符合题意；
B、当 AD / /BC ， AB DC， AC BD，不能判定四边形 ABCD是矩形，故符合题意；
C、 AD / /BC， AB / /DC ，
四边形 ABCD是平行四边形，
AC BD，
四边形 ABCD是矩形，故不符合题意；
D、如图，
AD / /BC， ABC 90 ，
BAD ABC 90 ，
AC BD，
Rt ABC Rt BAD(HL)，
AD BC，
AD / /BC，
四边形 ABCD是平行四边形，
ABC 90 ，
四边形 ABCD是矩形，故不符合题意，
故选： B．
【例 6．如图，在矩形 ABCD中，AB 2，对角线 AC与 BD相交于点O，AE垂直平分OB
于点 E，则 BC的长为 ( )
- 19 -
A． 2 5 B． 2 3 C．4 D．2
解： 四边形 ABCD是矩形，
AO BO CO DO，
AE垂直平分OB，
AB AO，
AB AO BO，
AOB是等边三角形，
BAC 60 ，
BC 3AB 2 3 ，
故选： B．
【例 7．矩形的两条对角线的夹角为 60 ，一条对角线与较短边的和为 6，则较长边为
2 3 ．
解： 四边形 ABCD是矩形，
OA OC，OB OD， AC BD，
OA OB，
AOB 60 ，
OAB是等边三角形，
1
AB OB OA 6 2，
3
AC BD 4．
BC 42 22 2 3，
矩形长边的长等于 2 3，
故答案为： 2 3．
- 20 -
【例 8．已知矩形 ABCD，对角线 AC 与 BD相交于点O，如果 AOB 60 ， AB 4，那
么 AD的长是 4 3 ．
解： 矩形 ABCD，
AO BO，
又 AOB 60 ，
AOB是等边三角形，
BO AB 4 DO，
即 BD 8，
又 BAD 90 ，
AD BD2 AB2 82 42 4 3，
故答案为： 4 3．
【例 9．如图，在矩形 ABCD中，AB 2BC，在CD上取一点 E，使 AE AB，则 EBC的
度数为 15 ．
解： 四边形 ABCD是矩形，
D ABC 90 ， AD BC，DC / /AB，
AB AE， AB 2CB，
AE 2AD，
DEA 30 ，
DC / /AB，
DEA EAB 30 ，
AE AB，
- 21 -
1
ABE AEB (180 EAB) 75 ，
2
ABC 90 ，
EBC 90 75 15 ，
故答案为：15 ．
【例 10．如图，在矩形 ABCD中， AC 与 BD相交于点O，如果 AOD 120 ， AB 6，
那么 AC 12 ．
解： AOD 120 ，
AOB 60 ，
四边形 ABCD为矩形，
AO OC OB，
AOB为等边三角形，
AO OB OC AB 6，
AC 12．
故答案为：12．
【例 11．如图， 矩形 ABCD中，AB 8， AD 10，E是CD上一点， 把 ADE沿直
线 AE翻折，D点恰好落在BC边上的 F 点处， 则CE 3 ．
解： 四边形 ABCD是矩形，
B C 90 ， AD BC 10，CD AB 8．
AEF 是 ADE翻折得到的，
AF AD 10， EF DE，
BF 6，
FC 4，
- 22 -
FC 2 CE 2 EF 2 ，
42 CE2 (8 CE)2 ，
解得CE 3．
故答案为 3 ．
【例 12．如图， ABC中， AB AC， AD平分 BAC交 BC于点D， AE平分 BAC的外
角，且 AEB 90 ．求证：四边形 ADBE是矩形．
【解答】证明：
AD是 BAC的平分线，
1 2，
AE是 BAF 的平分线，
3 4，
1 2 3 4 180 ，
2 3 90 ，
即 DAE 90 ，
AB AC ， 1 2，
AD BC，
即 ADB 90 ，
AEB 90 ，
四边形 ADBE是矩形．
二．菱形（共 12 小题）
【例 13．已知四边形 ABCD是菱形，AC和 BD是菱形的对角线，那么下列说法一定正确的
是 ( )
- 23 -
A． AC BD B． AC BD C． AC AB D． BAC ABD
解： 四边形 ABCD是菱形，
AC BC，
故选： B．
【例 14．已知平行四边形 ABCD的对角线 AC、BD相交于点O．下列补充条件中，能判定
这个平行四边形是菱形的是 ( )
A． ABD ACB B． AOB ADC C． ABD CBD D． ABD ACD
解：能判定这个平行四边形是菱形的是 ABD CBD，理由如下：
如图，
四边形 ABCD是平行四边形，
AD / /BC，
ADB CBD，
ABD CBD，
ADB ABD ，
AB AD，
平行四边形 ABCD是菱形，
故选：C．
【例 15．已知四边形 ABCD中， AC BD，再补充一个条件使得四边形 ABCD为菱形，这
个条件可以是 ( )
A． AC BD B． AB BC
C． AC与 BD互相平分 D． ABC 90
解： 在四边形 ABCD中，对角线 AC， BD互相平分，
四边形 ABCD是平行四边形，
AC BD，
四边形 ABCD是菱形．
故选：C．
【例 16．已知四边形 ABCD， AB BC CD， AC、BD是它的两条对角线．下列条件中，
- 24 -
不能判定四边形 ABCD是菱形的是 ( )
A． AC BD B． AD BC C． AB / /DC D． AC BD．
解： AB BC CD， AC、 BD是它的两条对角线，
添加 AD BC，
四边形 ABCD是菱形，故 B正确；
添加 AC BD，
不能得出四边形 ABCD是菱形，故 A错误；
添加 AB / /DC ，
四边形 ABCD是菱形，故C正确；
添加 AC BD，
四边形 ABCD是菱形，故 D正确；
故选： A．
【例 17．如图，在平面直角坐标系 xOy中，四边形 ABCD是菱形， ABC 120 ，点 B的
坐标为 (0, 3)，则点 A的坐标为 ( )
A． ( 3 3,0) B． (3 3， 0) C． ( 6,0) D． (6,0)
解： 点 B的坐标为 (0, 3)，
OB 3，
四边形 ABCD是菱形， ABC 120 ，
ABO 1 ABC 60 ，
2
AOB 90 ，
OA OB tan 60 3 3，
A( 3 3， 0)，
故选： A．
【例 18．如图，在菱形 ABCD中，对角线 AC、BD交于点O，若菱形 ABCD的面积是 12，
- 25 -
则 AOB的面积为 ( )
A．3 B．6 C．24 D．48
解： 四边形 ABCD是菱形，
1
S ABC S ACD S 6， AO CO，2 菱形
S 1 ABO S CBO S ABC 3，2
故选： A．
【例 19．已知菱形的周长为 40，一条对角线长为 12，则这个菱形的面积是 96 ．
解：因为周长是 40，所以边长是 10．
如图所示： AB 10， AC 12．
根据菱形的性质， AC BD， AO 6，
BO 8， BD 16．
1 1
面积 S AC BD 12 16 96．
2 2
故答案为 96．
【例 20．如果菱形的面积是 24，较短的对角线长为 6，那么这个菱形的边长是 5 ．
解：设菱形的另一对角线长为 x，
1
由题意： 6 x 24，
2
解得： x 8，
菱形的边长为： 32 42 5，
故答案为：5．
- 26 -
【例 21．如图，在菱形 ABCD中， AB 10， B 60 ，则 AC的长为 10 ．
解： 四边形 ABCD是菱形，
AB BC，
B 60 ，
ABC是等边三角形，
AC AB 10．
故答案为：10．
【例 22．如图，在菱形 ABCD中，点 E是CD上一点，连接 AE交对角线 BD于点 F ，连接
CF ，若 AED 40 ，则 BCF 40 ．
解： 四边形 ABCD是菱形，
AD CD， AD / /BC ， ADF BDC，
AD CD， ADF BDC，DF DF ，
ADF CDF (SAS )，
DAF DCF，
AED 40 ，
DAE ADE 140 ，
ADE DCF 140 ，
AD / /BC，
ADE BCD 180 ，
ADE BCF DCF 180 ，
BCF 40 ，
故答案为：40．
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【例 23．如图， AE / /BF ， AC平分 BAD，且交 BF 于点C， BD平分 ABC，且交 AE
于点 D，连接CD．求证：四边形 ABCD是菱形．
【解答】证明：
AE / /BF ，
ADB DBC， DAC BCA，
AC、 BD分别是 BAD、 ABC的平分线，
DAC BAC ， ABD DBC，
BAC ACB， ABD ADB，
AB BC， AB AD
AD BC，
AD / /BC，
四边形 ABCD是平行四边形，
AD AB，
四边形 ABCD是菱形．
【例 24．如图，已知在四边形 ABCD中， AD / /BC ，点 E为 BC中点， BD DC， EA平
分 DEB．
（1）求证： AE DC；
（2）求证：四边形 ABED是菱形．
【解答】证明：（1） E 为 BC中点， BD DC，
DE 1 BC BE CE，
2
EA平分 DEB，
AEB AED，
- 28 -
AD / /BC，
AD / /CE，
DAE AEB， AD / /CE，
DAE AED，
AD DE，
AD CE，
四边形 AECD平行四边形，
AE DC ；
（2）由（1）知，四边形 AECD平行四边形，
AD / /CE， AD CE，
AD / /BE，
由（1）知，DE BE CE，
AD BE DE ，
四边形 ABED是平行四边形，
四边形 ABED是菱形．
三．正方形（共 9 小题）
【例 25．在四边形 ABCD中， A B C 90 ．如果再添加一个条件可证明四边形是
正方形，那么这个条件可以是 ( )
A． AB BC B． AB CD C． AC BD D． D 90
解：在四边形 ABCD中，
A B C 90 ，
四边形 ABCD是矩形，
当 AB BC时，即一组邻边相等时，矩形 ABCD为正方形，
故 A符合题意，
故选： A．
【例 26．已知四边形 ABCD中， A 90 ， AB / /CD， B D，如果添加一个条件，即
可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是 ( )
A． D 90 B． AB CD C． BC CD D． AC BD
解： AB / /CD，
A D 180 ， B C 180 ，
- 29 -
B D，
A C ，
四边形 ABCD是平行四边形，
A 90 ，
四边形 ABCD是矩形，
添加 BC CD，
四边形 ABCD是正方形，
故选：C．
【例 27．如图，已知四边形 ABCD是平行四边形，那么添加下列条件能判定四边形 ABCD是
正方形的是 ( )
A． AB AD且 AC BD B． AC BD且 AC和 BD互相平分
C． BAD ABC且 AC BD D． AC BD且 AB AD
解： A、 AB AD且 AC BD，是菱形，不符合题意；
B、对角线互直垂直且互相平分，是菱形，不符合题意；
C、 BAD ABC且 AC BD不能判断四边形 ABCD是正方形，不符合题意；
D、 AC BD且 AB AD四边相等，是正方形，符合题意；
故选： D．
【例 28．若正方形的对角线是 6，则此正方形的面积是 18． ．
解： 四边形为正方形，
1
正方形的面积 6 6 18，
2
故答案为：18．
【例 29．如图，已知 P是正方形 ABCD对角线 BD上一点，且 BP BC，则 BCP度数是
67.5 ．
- 30 -
解： P是正方形 ABCD对角线 BD上一点，
CBD 45 ，
BP BC ，
BCP 1 (180 CBD) 1 (180 45 ) 67.5 ．
2 2
故答案为：67.5．
【例 30．如图，正方形 ABCD中，延长 BC到 E，使CE CA，AE交CD于 F ，那么 AFD
67.5 ．
解： 四边形 ABCD是正方形，
BCD 90 ， AC平分 BCD，
ACB 45 ，
CE CA，
E CAE，
E 22.5 ，
DCE 90 ，
CFE 67.5 ，
AFD CFE 67.5 ，
故答案为： 67.5 ．
【例 31．已知平行四边形 ABCD，对角线 AC、 BD相交于点O，且CA CB，延长 BC至
点 E，使CE BC ，联结DE．
（1）当 AC BD时，求证： BE 2CD；
（2）当 ACB 90 时，求证：四边形 ACED是正方形．
- 31 -
【解答】证明：（1） 四边形 ABCD是平行四边形，
BO DO，
AC BD，
BC CD，
BC CE，
BC CE CD，
即 BE 2CD；
（2）
ACB 90 ，
ACE 180 ACB 90 ，
四边形 ABCD是平行四边形，
AD / /BC， AD BC，
BC CE，
AD CE，
四边形 ACED是平行四边形，
AC CE ， ACE 90 ，
四边形 ACED是正方形．
【例 32．如图所示，在正方形 ABCD的对角线 AC上取点 E，使CD CE，过点 E作 EF AC
交 AD于点 F ，求证： AE EF DF ．
- 32 -
【解答】证明：如图，
连接CF ，
在Rt CEF和Rt CDF中，
CF CF

CD CE
Rt CEF Rt CDF，
EF DF；
四边形 ABCD为正方形，
CAD 45 ，
在Rt AEF中，
EAF 90 ，
AEF 45 ，
EAF AEF ，
AE EF ，
AE EF DF ．
【例 33．已知，如图，四边形 ABCD是菱形， B是锐角， AF BC 于点 F ，CH AD于
点H ，在 AB边上取点 E，使得 AE AH ，在CD边上取点G，使得CG CF．联结 EF 、
FG、CH 、HE．
（1）求证：四边形 EFGH是矩形．
（2）若 B 45度，求证：四边形 EFGH 是正方形．
- 33 -
【解答】证明：（1）如图 1，连结 BD，
四边形 ABCD是菱形，
AD / /BC， BAD BCD，
AF BC，CH AD，
AF CH ， AF / /CH ， AFC 90 ，
四边形 AFCH为矩形，
AH CF AE CG，
在 EAH 和 FCG中，
AE CF

EAH FCG，

AH CG
EAH FCG (SAS )，
EH FG，
AB BC CD AD，
BE BF DH DG，
同理得 BEF DHG(SAS )，
EF GH ，
四边形 EFG H是平行四边形，
AE AH ， AB AD，
AEH ABD AHE ADB ，
EH / /BD，
- 34 -
BE BF ， EBD FBD，
BD EF ，
EH EF ，
四边形 EFGH是矩形；
（2）如图 2，由（1）知：四边形 EFGH是矩形，
FGH 90 ，
过点G作MN AD于 N，交 BC的延长线于M ，则四边形 HCMN 是矩形，
NH CM ，
AB / /CD，
GCM B 45 ， FCG 135 ，
CGM 是等腰直角三角形，
GM CM NH ，
CF CG，
CFG 22.5 ， FGM 90 22.5 67.5 ，
NGH 90 67.5 22.5 CFG，
在 FMG和 GNH 中，
CFG NGH

M HNG 90 ，

GM HN
FMG GNH (AAS ) ，
FG GH ，
四边形 EFGH是正方形．
四．课堂（共 12 小题）
【习题 1】矩形具有而菱形不具有的性质是 ( )
A．两组对边分别平行 B．对角线互相垂直
- 35 -
C．对角线相等 D．两组对角分别相等
解：矩形的性质是：①矩形的四个角都是直角，②矩形的对边相等且互相平行，③矩形对角
线相等且互相平分；
菱形的性质是：①菱形的四条边都相等，菱形的对边互相平行；②菱形的对角相等，③菱形
的对角线互相平分且垂直，并且每条对角线平分一组对角，
所以矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等，
故选：C．
【习题 2】下列说法正确的是 ( )
A．菱形的四个内角都是直角
B．矩形的对角线互相垂直
C．正方形的每一条对角线平分一组对角
D．平行四边形是轴对称图形
解： A．菱形的四个内角不一定都是直角，故 A选项不符合题意；
B．矩形的对角线不一定互相垂直，故 B选项不符合题意；
C．正方形的每一条对角线平分一组对角，故C 选项符合题意；
D．平行四边形不一定是轴对称图形，故 D选项不符合题意；
故选：C．
【习题 3】已知四边形 ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的 ( )
A．当 AB BC时，它是菱形 B．当 AD CD时，它是菱形
C．当 ABC 90 时，它是矩形 D．当 AC BD时，它是矩形
解： A、 四边形 ABCD是平行四边形，
又 AB BC，
四边形 ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
B、 四边形 ABCD是平行四边形，
又 AC CD，
四边形 ABCD是矩形，故本选项符合题意；
C、 四边形 ABCD是平行四边形，
又 ABC 90 ，
四边形 ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
D、 四边形 ABCD是平行四边形，
- 36 -
又 AC BD，
四边形 ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
故选： B．
【习题 4】矩形各角的角平分线交成的四边形是 ( )
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
解：如图所示，
四边形 ABCD是矩形，
BAD ADC DCB ABC 90 ，
AM 、DM 、CP、 BP分别平分 BAD、 ADC、 DCB、 ABC，
BAM DAM ADM CDM DCP ABP 45 ，
AQB PQM 90 ， AMD 90 ， CND PNM 90 ，
四边形 PQMN 是矩形，
在 ABQ和 DCN 中，
BAQ CDN 45
AB DC ，

ABQ DCN 45
ABQ DCN (ASA)，
AQ DN ，
MAD MDA 45 ，
MA MD，
MQ MN ，
矩形 PQMN 是正方形，
故选： D．
【习题 5】如图，已知四边形 ABCD是平行四边形，下列结论正确的是 ( )
- 37 -
A．当 AB BC时，四边形 ABCD是矩形
B．当 AC BD时，四边形 ABCD是矩形
C．当 AC BD时，四边形 ABCD是菱形
D．当 ABC 90 时，四边形 ABCD是正方形
解： A、 四边形 ABCD是平行四边形，
又 AB BC，
四边形 ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
B、 四边形 ABCD是平行四边形，
又 AC BD，
四边形 ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
C、 四边形 ABCD是平行四边形，
又 AC BD，
四边形 ABCD是菱形，故本选项符合题意；
D、 四边形 ABCD是平行四边形，
又 ABC 90 ，
四边形 ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【习题 6】如图，在矩形 ABCD中，对角线 AC ，BD交于点O， AOB 60 ，BC 2 3 ，
则 AO的长是 ( )
A．4 B．2 C． 2 3 D． 3
解： 四边形 ABCD是矩形，对角线 AC， BD交于点O，
AO BO，
又 AOB 60 ，
- 38 -
ABO是等边三角形，
BAC 60 ，
tan BAC BC 3，
AB
AB BC 2 3 2，
3 3
AO AB 2，
故选： B．
【习题 7】如图，在矩形 ABCD中，对角线 AC、BD交于点O， AOD 120 ，矩形 ABCD
的面积是 9 3，那么这个矩形的周长是 ( )
A．3 3 3 B． 4 4 3 C． 6 6 3 D．8 8 3
解： 四边形 ABCD是矩形，
OA OB，
AOD 120 ，
AOB 60 ，
AOB是等边三角形，
1
AB OA OB AC，
2
BC 3AB，
矩形 ABCD的面积是 9 3，
AB BC AB 3AB 9 3，
AB 3， BC 3 3，
这个矩形的周长 6 6 3，
故选：C．
【习题 8】如图，在菱形 ABCD中， BAD 80 ， AB的垂直平分线交对角线 AC于点 F ，
E为垂足，连接DF，求 CDF 的度数．
- 39 -
解： 四边形 ABCD是菱形，
AB AD， AB / /CD，
ADC 180 BAD 180 80 100 ，
在菱形 ABCD 1中， BAF DAF BAD 1 80 40 ，
2 2
EF垂直平分 AB，
AF BF ，
BAF ABF 40 ，
AB AD
在 ABF和 ADF 中， BAF DAF，

AF AF
ABF ADF (SAS )，
ADF ABF 40 ，
CDF ADC ADF，
100 40 ，
60 ．
【习题 9】已知：如图， ABC中，M 是 BA延长线上一点，AD是 ABC的中线，E是 AC
的中点，过点 A作 AF / /BC，与DE的延长线相交于点 F ．
（1）求证：四边形 ABDF是平行四边形．
（2）如果 AF 平分 MAC，求证：四边形 ADCF是矩形．
- 40 -
【解答】证明：（1） AD是 ABC的中线， E是 AC的中点，
DE是 ABC的中位线，
DE / /AB，
AF / /BC ，
四边形 ABDF是平行四边形；
（2） 四边形 ABDF是平行四边形，
AF BD．
AD是 ABC的中线，
BD CD，
AF CD．
AF / /BC ，
四边形 ADCF是平行四边形．
AF 平分 MAC，
MAF CAF．
AF / /BC ，
MAF B， CAF ACB，
B ACB，
AB AC，
AD BC，
ADC 90 ，
平行四边形 ADCF是矩形．
【习题 10】已知：如图，在四边形 ABCD中， AB / /DC ，对角线 AC、 BD交于点O，过
点C作CE CD交 AB的延长线于点 E，联结OE，OC OE．
- 41 -
（1 1）求证：OE AC；
2
（2）如果 DB平分 ADC，求证：四边形 ABCD是菱形．
【解答】证明：（1） AB / /DC，CE CD，
CE AB，
AEC 90 ，
OCE OAE 90 ，
OC OE，
OCE OEC，
OEC OEA 90 ，
OAE OEA，
OA OE ，
OA OC OE，
1
OE AC；
2
（2） AB / /DC，
OAB OCD，
在 AOB和 COD中，
OAB OCD

OA OC ，

AOB COD
AOB COD(ASA)，
AB CD，
四边形 ABCD是平行四边形，
AD / /BC，
ADB CBD，
DB平分 ADC，
- 42 -
ADB CDB，
CBD CDB，
BC DC，
平行四边形 ABCD是菱形．
【习题 11】已知：如图，四边形 ABCD是菱形，点 E，F 分别在边 BC，CD上，且 BE DF ，
过点 F 作 AE的平行线交对角线 AC的延长线于点G，连接 EG．
（1）求证：四边形 AEGF是菱形；
（2）如果 B BAE 30 ，求证：四边形 AEGF是正方形．
【解答】（1）证明： 菱形 ABCD，
AB AD， B D， BAC DAC，
在 ABE和 ADF 中，
AB AD

B D，

BE DF
ABE ADF (SAS )，
AE AF ， BAE DAF ，
EAG FAG，
FG / /AE，
EAG FGA，
FAG FGA，
FG AF AE，
FG / /AE，
四边形 AEGF是平行四边形，
又 AF AE，
四边形 AEGF是菱形；
- 43 -
（2）证明： 四边形 ABCD是平行四边形，
BC / /AD，
B BAD 180 ，
B BAE 30 ，
ABE ADF ，
BAE DAF 30 ，
BAD 180 B 150 ，
EAF BAD BAE DAF 150 30 30 90 ，
四边形 AEGF是菱形，
四边形 AEGF是正方形．
【习题 12】如图，矩形 ABCO中，点C在 x轴上，点 A在 y轴上，点 B的坐标是 ( 6,8)．矩
形 ABCO沿直线 BD折叠，使得点 A落在对角线OB上的点 E处，折痕与OA、 x轴分别交
于点 D、 F ．
（1）求点 D的坐标；
（2）若点 N是平面内任一点，在 x轴上是否存在点M ，使M 、 N、 E、O为顶点的四边
形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1） 四边形 ABCO是矩形，点 B的坐标是 ( 6,8)．
BAD OCB 90 ， AB OC 6，OA BC 8，
BO OC2 BC2 10；
由折叠的性质得： BE AB 6， BED BAD 90 ，DE AD，
OE BO BE 10 6 4， OED 90 ，
设D(0,a)，则OD a， DE AD OA OD 8 a，
在Rt EOD中，由勾股定理得： DE 2 OE 2 OD2 ，
即 (8 a)2 42 a2，解得： a 5，
- 44 -
D(0,5)；
2 10 24（ ）存在，点M 的坐标为 (4,0)或 ( 4,0)或 ( ， 0)或 ( ， 0)；理由如下：
3 5
①当OM 、OE都为菱形的边时，OM OE 4，
M 的坐标为 (4,0)或 ( 4,0)；
②当OM 为菱形的边，OE为对角线时，MN 垂直平分OE，垂足为G，如图 1所示：
1
则OG OE 2，
2
OA 8，OD 5，
AD DE 3，
E 到 y DE OE 3 4 12轴的距离 ，
OD 5 5
OH 12 ，
5
EM 2 MH 2 42 12 ( )2，
5
12
OM 2 (OM )2 42 (12)2 ，
5 5
解得：OM 10 ，
3
M ( 10 ， 0)；
3
③当OM 为菱形的对角线，OE为边时，如图 2所示：
24
同②得：M ( ， 0)；
5
综上所述，在 x轴上存在点M ，使以M 、 N、 E、O为顶点的四边形是菱形，点M 的坐
10 24
标为 (4,0)或 ( 4,0)或 ( ， 0)或 ( ， 0)．
3 5
- 45 -
五．作业（共 10 小题）
【作业 1】下面性质中菱形有而矩形没有的是 ( )
A．邻角互补 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线互相平分
解： A、 平行四边形的邻角互补，
矩形的邻角互补．故矩形和菱形的邻角均互补，故不符合题意；
B、菱形对角线互相垂直，矩形的对角线不互相垂直，故符合题意．
C、矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直且平分，故不符合题意；
D、平行四边形的对角线互相平分，矩形对角线互相平分．故矩形和菱形的对角线互相平
分，故不符合题意；
故选： B．
【作业 2】如图，把长方形 ABCD沿 EF 对折后使两部分重合，若 1 60 ，则 AEF ( )
A．110 B．115 C．120 D．130
解： 把长方形 ABCD沿 EF对折后使两部分重合， 1 60 ，
BFE 180 1 60 ，
2
AD / /BC，
AEF BEF 180 ，
AEF 180 BFE 120 ，
故选：C．
【作业 3】如果要证明平行四边形 ABCD为正方形，那么我们需要在四边形 ABCD是平行四
- 46 -
边形的基础上，进一步证明 ( )
A． AB AD且 AC BD B． AB AD且 AC BD
C． A B且 AC BD D． AC和 BD互相垂直平分
解： A、根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，或者对角线互相垂直的平行四边形是
菱形，所以不能判断平行四边形 ABCD是正方形；
B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形为矩形，所以能
判断四边形 ABCD是正方形；
C 、一组邻角相等的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形也是矩形，即只能证明
四边形 ABCD是矩形，不能判断四边形 ABCD是正方形；
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以
不能判断四边形 ABCD是正方形．
故选： B．
【作业 4】在下列图形中，①等边三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形．其中既是
轴对称图形又是中心对称的图形有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：②、④两者都既是中心对称图形又是轴对称图形，①③只是轴对称图形．
故选： B．
【作业 5】已知一个菱形的边长为 5，其中一条对角线长为 8，则这个菱形的面积为 24 ．
解：如图， 菱形 ABCD中， BD 8， AB 5，
AC BD OB 1， BD 4，
2
OA AB2 OB2 3，
AC 2OA 6，
1 1
这个菱形的面积为： AC BD 6 8 24．
2 2
故答案为：24．
【作业 6】矩形的两条对角线的夹角为 60 ，一条对角线的长为 2，那么矩形的周长为
2 3 2 ．
- 47 -
解：矩形的两条对角线的夹角为 1 60 ，
且矩形对角线相等且互相平分，
AOB为等边三角形，
AB AO 1 AC 1，
2
在直角 ABC中， AC 2， AB 1，
BC AC2 AB2 3，
故矩形的周长为 2BC 2AB 2 3 2．
故答案为： 2 3 2．
【作业 7】如图，在矩形 ABCD中， AE 平分 BAD， EAO 15 ，则 BOE 的度数是
75 ．
解：在矩形 ABCD中， AE平分 BAD，
BAE EAD 45 ，
EAO 15 ，
OAB 60 ，
OA OB，
BOA为等边三角形，
BA BO，
BAE 45 ， ABC 90 ，
BAE为等腰直角三角形，
BA BE ．
BE BO， EBO 30 ，
BOE BEO 75 ．
- 48 -
故答案为： 75 ．
【作业 8】已知：如图四边形 ABCD是菱形，E是对角线 BD上的一点，联结 AE、CE ．求
证： DAE DCE ．
【解答】证明： 四边形 ABCD是菱形，
DA DC， ADE CDE ，
在 ADE和 CDE中，
DE DE

ADE CDE，

DA DC
ADE CDE (SAS )，
DAE DCE．
【作业 9】如图，在正方形 ABCD中，M 为 AB的中点，MN MD，BN 平分 CBE并交MN
于 N．
试说明：MD MN ．
解：取 AD的中点 P，连接 PM ，
M 为 AB的中点，且四边形 ABCD是正方形，
AB AD；
AM AP BM PD；
AMP APM 45 ；
DPM 135 ；
而 BN 平分 CBE，
- 49 -
NBE 45 ；
MBN 135 ；
MN MD，
ADM AMD NMB AMD 90 ，
ADM NMB，即 MDP NMB．
在 MPD与 NBM 中，
DPM MBN

PD BM

MDP NMB
MPD NBM (ASA)，
DM MN．
【作业 10】已知：如图，四边形 ABCD的对角线 AC、 BD相交于点O， AO BO CO，
BAC ACD．
（1）求证：四边形 ABCD是矩形；
（2）如果点 E在边 AB上，DE平分 ADB， BD 2AB，求证： BD AD AE．
【解答】证明：（1）在 AOB和 COD中，
BAO OCD

AO CO ，

AOB COD
AOB COD(ASA)，
- 50 -
BO DO，
AO CO，
四边形 ABCD是平行四边形，
AO BO CO， BO DO，
AO BO CO DO，
AC BD，
平行四边形 ABCD是矩形；
（2）过点 E作 EF BD于 F ，如图所示：
由（1）得：四边形 ABCD是矩形，
BAD 90 ，
BD 2AB，
ABD是等腰直角三角形，
ABD 45 ，
EF BD，
EFB EFD 90 ，
BEF 是等腰直角三角形，
FE FB，
DE平分 ADB，
ADE FDE ，
在 ADE和 FDE中，
EAD EFD 90

ADE FDE ，

DE DE
ADE FDE (AAS )，
AD FD， AE FE，
AE FB ，
BD FD FB，
BD AD AE ．
- 51 -
- 52 -1. 定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形．
注意：矩形的定义既是矩形的基本性质，也是判定矩形的基本方法．
2. 性质：
矩形除具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质．
(1) 矩形的四个角都是直角；
(2) 矩形的两条对角线相等．
注意：①矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形．过对称中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分．
②矩形也是轴对称图形，有两条对称轴(分别是通过对边中点的直线)．
③对称轴的交点就是对角线的交点 (即对称中心)．
3. 判定：
矩形的判定定理1：有三个内角是直角的四边形是矩形．
矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形．
【例1】关于矩形的性质，以下说法不正确的是　　
A．四个角都是直角 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形
【例2】在四边形中，，．下列说法能使四边形为矩形的是　　
A． B． C． D．
【例3】下列条件不能判定一个四边形是矩形的是　　
A．四个内角都相等 B．四条边都相等
C．对角线相等且互相平分 D．对角线相等的平行四边形
【例4】如图，在矩形中，对角线，交于点，若，，则对角线的长是　　
A．4 B．3 C．2 D．1
【例5】已知四边形中，，，下列说法不正确的是　　
A．如果，那么四边形是矩形
B．如果，那么四边形是矩形
C．如果，那么四边形是矩形
D．如果，那么四边形是矩形
【例6】如图，在矩形中，，对角线与相交于点，垂直平分于点，则的长为　　
A． B． C．4 D．2
【例7】矩形的两条对角线的夹角为，一条对角线与较短边的和为6，则较长边为　　 ．
【例8】已知矩形，对角线与相交于点，如果，，那么的长是　 　．
【例9】如图，在矩形中，，在上取一点，使，则的度数为　 　．
【例10】如图，在矩形中，与相交于点，如果，，那么　　 ．
【例11】如图，矩形中，，，是上一点，把沿直线翻折，点恰好落在边上的点处，则　 　．
【例12】如图，中，，平分交于点，平分的外角，且．求证：四边形是矩形．
1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
2. 性质：菱形除具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：
(1) 菱形的四条边都相等；
(2) 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
注意：①菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分；
②菱形也是轴对称图形，有两条对称轴(对角线所在的直线)，对称轴的交点就是对称中心；
③菱形的面积有两种计算方法：
一种是平行四边形的面积公式：底×高；
另一种是两条对角线乘积的一半(即四个小直角三角形面积之和)．
实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半．
3. 判定：
菱形的判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形．
菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
【例13】已知四边形是菱形，和是菱形的对角线，那么下列说法一定正确的是　　
A． B． C． D．
【例14】已知平行四边形的对角线、相交于点．下列补充条件中，能判定这个平行四边形是菱形的是　　
A． B． C． D．
【例15】已知四边形中，，再补充一个条件使得四边形为菱形，这个条件可以是　　
A． B．
C．与互相平分 D．
【例16】已知四边形，，、是它的两条对角线．下列条件中，不能判定四边形是菱形的是　　
A． B． C． D．
【例17】如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，点的坐标为，则点的坐标为　　
A． B．， C． D．
【例18】如图，在菱形中，对角线、交于点，若菱形的面积是12，则的面积为　　
A．3 B．6 C．24 D．48
【例19】已知菱形的周长为40，一条对角线长为12，则这个菱形的面积是　 　．
【例20】如果菱形的面积是24，较短的对角线长为6，那么这个菱形的边长是　 　．
【例21】如图，在菱形中，，，则的长为　 　．
【例22】如图，在菱形中，点是上一点，连接交对角线于点，连接，若，则　 　．
【例23】如图，，平分，且交于点，平分，且交于点，连接．求证：四边形是菱形．
【例24】如图，已知在四边形中，，点为中点，，平分．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是菱形．
1. 定义：有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形．
2. 正方形与矩形、菱形的关系：
矩形 邻边相等 正方形 菱形 一个角是直角 正方形
3. 性质定理：
正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质：
①边的性质：对边平行，四条边都相等．
②角的性质：四个角都是直角．
③对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角．
④对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形．
4. 判定定理：
判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形．
判定定理2：有一个内角是直角的菱形是正方形．
【例25】在四边形中，．如果再添加一个条件可证明四边形是正方形，那么这个条件可以是　　
A． B． C． D．
【例26】已知四边形中，，，，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是　　
A． B． C． D．
【例27】如图，已知四边形是平行四边形，那么添加下列条件能判定四边形是正方形的是　　
A．且 B．且和互相平分
C．且 D．且
【例28】若正方形的对角线是6，则此正方形的面积是　 　．
【例29】如图，已知是正方形对角线上一点，且，则　 　．
【例30】如图，正方形中，延长到，使，交于，那么　 　．
【例31】已知平行四边形，对角线、相交于点，且，延长至点，使，联结．
（1）当时，求证：；
（2）当时，求证：四边形是正方形．
【例32】如图，在正方形的对角线上取点，使，过点作交于点，求证：．
【例33】已知，如图，四边形是菱形，是锐角，于点，于点，在边上取点，使得，在边上取点，使得．联结、、、．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）若度，求证：四边形是正方形．
【习题1】矩形具有而菱形不具有的性质是　　
A．两组对边分别平行 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．两组对角分别相等
【习题2】下列说法正确的是　　
A．菱形的四个内角都是直角
B．矩形的对角线互相垂直
C．正方形的每一条对角线平分一组对角
D．平行四边形是轴对称图形
【习题3】已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的　　
A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形
C．当时，它是矩形 D．当时，它是矩形
【习题4】矩形各角的角平分线交成的四边形是　　
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【习题5】如图，已知四边形是平行四边形，下列结论正确的是　　
A．当时，四边形是矩形
B．当时，四边形是矩形
C．当时，四边形是菱形
D．当时，四边形是正方形
【习题6】如图，在矩形中，对角线，交于点，，，则的长是　　
A．4 B．2 C． D．
【习题7】如图，在矩形中，对角线、交于点，，矩形的面积是，那么这个矩形的周长是　　
A． B． C． D．
【习题8】如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，为垂足，连接，求的度数．
【习题9】已知：如图，中，是延长线上一点，是的中线，是的中点，过点作，与的延长线相交于点．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）如果平分，求证：四边形是矩形．
【习题10】已知：如图，在四边形中，，对角线、交于点，过点作交的延长线于点，联结，．
（1）求证：；
（2）如果平分，求证：四边形是菱形．
【习题11】已知：如图，四边形是菱形，点，分别在边，上，且，过点作的平行线交对角线的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）如果，求证：四边形是正方形．
【习题12】如图，矩形中，点在轴上，点在轴上，点的坐标是．矩形沿直线折叠，使得点落在对角线上的点处，折痕与、轴分别交于点、．
（1）求点的坐标；
（2）若点是平面内任一点，在轴上是否存在点，使、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【作业1】下面性质中菱形有而矩形没有的是　　
A．邻角互补 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线互相平分
【作业2】如图，把长方形沿对折后使两部分重合，若，则　　
A． B． C． D．
【作业3】如果要证明平行四边形为正方形，那么我们需要在四边形是平行四边形的基础上，进一步证明　　
A．且 B．且
C．且 D．和互相垂直平分
【作业4】在下列图形中，①等边三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形．其中既是轴对称图形又是中心对称的图形有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【作业5】已知一个菱形的边长为5，其中一条对角线长为8，则这个菱形的面积为　 　．
【作业6】矩形的两条对角线的夹角为，一条对角线的长为2，那么矩形的周长为　 　．
【作业7】如图，在矩形中，平分，，则的度数是　 　．
【作业8】已知：如图四边形是菱形，是对角线上的一点，联结、．求证：．
【作业9】如图，在正方形中，为的中点，，平分并交于．试说明：．
【作业10】已知：如图，四边形的对角线、相交于点，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）如果点在边上，平分，，求证：．
参考答案
一．矩形（共12小题）
【例1．关于矩形的性质，以下说法不正确的是　　
A．四个角都是直角 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形
解：矩形是轴对称图形，四个角都是直角，对角线相等，故，，都对，不符合题意，
而菱形是对角线互相垂直，矩形不具有，故错误，符合题意，
故选：．
【例2．在四边形中，，．下列说法能使四边形为矩形的是　　
A． B． C． D．
解：、，，
四边形是平行四边形，
由，不能判定四边形为矩形，故选项不符合题意；
、，，
四边形是平行四边形，
由，不能判定四边形为矩形，故选项不符合题意；
、，
，
，
，
，，
的长为与间的距离，
，
，，
，
四边形是矩形，故选项符合题意；
、，
，，
，
，
，
四边形是等腰梯形，故选项不符合题意；
故选：．
【例3．下列条件不能判定一个四边形是矩形的是　　
A．四个内角都相等 B．四条边都相等
C．对角线相等且互相平分 D．对角线相等的平行四边形
解：、四个内角都相等的四边形是矩形，故选项不符合题意；
、四条边都相等的四边形是菱形，故选项符合题意；
、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故选项不符合题意；
、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项不符合题意；
故选：．
【例4．如图，在矩形中，对角线，交于点，若，，则对角线的长是　　
A．4 B．3 C．2 D．1
解：四边形是矩形，
，，，
，
又，
是等边三角形，
，
，
故选：．
【例5．已知四边形中，，，下列说法不正确的是　　
A．如果，那么四边形是矩形
B．如果，那么四边形是矩形
C．如果，那么四边形是矩形
D．如果，那么四边形是矩形
解：、，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，故不符合题意；
、当，，，不能判定四边形是矩形，故符合题意；
、，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，故不符合题意；
、如图，
，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，故不符合题意，
故选：．
【例6．如图，在矩形中，，对角线与相交于点，垂直平分于点，则的长为　　
A． B． C．4 D．2
解：四边形是矩形，
，
垂直平分，
，
，
是等边三角形，
，
，
故选：．
【例7．矩形的两条对角线的夹角为，一条对角线与较短边的和为6，则较长边为 　　．
解：四边形是矩形，
，，，
，
，
是等边三角形，
，
．
，
矩形长边的长等于，
故答案为：．
【例8．已知矩形，对角线与相交于点，如果，，那么的长是 　　．
解：矩形，
，
又，
是等边三角形，
，
即，
又，
，
故答案为：．
【例9．如图，在矩形中，，在上取一点，使，则的度数为 　　．
解：四边形是矩形，
，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【例10．如图，在矩形中，与相交于点，如果，，那么　12　．
解：，
，
四边形为矩形，
，
为等边三角形，
，
．
故答案为：12．
【例11．如图， 矩形中，，，是上一点， 把沿直线翻折，点恰好落在边上的点处， 则　 3 　．
解：四边形是矩形，
，，．
是翻折得到的，
，，
，
，
，
，
解得．
故答案为 3 ．
【例12．如图，中，，平分交于点，平分的外角，且．求证：四边形是矩形．
【解答】证明：
是的平分线，
，
是的平分线，
，
，
，
即，
，，
，
即，
，
四边形是矩形．
二．菱形（共12小题）
【例13．已知四边形是菱形，和是菱形的对角线，那么下列说法一定正确的是　　
A． B． C． D．
解：四边形是菱形，
，
故选：．
【例14．已知平行四边形的对角线、相交于点．下列补充条件中，能判定这个平行四边形是菱形的是　　
A． B． C． D．
解：能判定这个平行四边形是菱形的是，理由如下：
如图，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
平行四边形是菱形，
故选：．
【例15．已知四边形中，，再补充一个条件使得四边形为菱形，这个条件可以是　　
A． B．
C．与互相平分 D．
解：在四边形中，对角线，互相平分，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
故选：．
【例16．已知四边形，，、是它的两条对角线．下列条件中，不能判定四边形是菱形的是　　
A． B． C． D．．
解：，、是它的两条对角线，
添加，
四边形是菱形，故正确；
添加，
不能得出四边形是菱形，故错误；
添加，
四边形是菱形，故正确；
添加，
四边形是菱形，故正确；
故选：．
【例17．如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，点的坐标为，则点的坐标为　　
A． B．， C． D．
解：点的坐标为，
，
四边形是菱形，，
，
，
，
，，
故选：．
【例18．如图，在菱形中，对角线、交于点，若菱形的面积是12，则的面积为　　
A．3 B．6 C．24 D．48
解：四边形是菱形，
，，
，
故选：．
【例19．已知菱形的周长为40，一条对角线长为12，则这个菱形的面积是 　96　．
解：因为周长是40，所以边长是10．
如图所示：，．
根据菱形的性质，，，
，．
面积．
故答案为96．
【例20．如果菱形的面积是24，较短的对角线长为6，那么这个菱形的边长是 　5　．
解：设菱形的另一对角线长为，
由题意：，
解得：，
菱形的边长为：，
故答案为：5．
【例21．如图，在菱形中，，，则的长为 　10　．
解：四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
．
故答案为：10．
【例22．如图，在菱形中，点是上一点，连接交对角线于点，连接，若，则　40　．
解：四边形是菱形，
，，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：40．
【例23．如图，，平分，且交于点，平分，且交于点，连接．求证：四边形是菱形．
【解答】证明：
，
，，
、分别是、的平分线，
，，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
【例24．如图，已知在四边形中，，点为中点，，平分．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是菱形．
【解答】证明：（1）为中点，，
，
平分，
，
，
，
，，
，
，
，
四边形平行四边形，
；
（2）由（1）知，四边形平行四边形，
，，
，
由（1）知，，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形．
三．正方形（共9小题）
【例25．在四边形中，．如果再添加一个条件可证明四边形是正方形，那么这个条件可以是　　
A． B． C． D．
解：在四边形中，
，
四边形是矩形，
当时，即一组邻边相等时，矩形为正方形，
故符合题意，
故选：．
【例26．已知四边形中，，，，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是　　
A． B． C． D．
解：，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
添加，
四边形是正方形，
故选：．
【例27．如图，已知四边形是平行四边形，那么添加下列条件能判定四边形是正方形的是　　
A．且 B．且和互相平分
C．且 D．且
解：、且，是菱形，不符合题意；
、对角线互直垂直且互相平分，是菱形，不符合题意；
、且不能判断四边形是正方形，不符合题意；
、且四边相等，是正方形，符合题意；
故选：．
【例28．若正方形的对角线是6，则此正方形的面积是 　18．　．
解：四边形为正方形，
正方形的面积，
故答案为：18．
【例29．如图，已知是正方形对角线上一点，且，则度数是　67.5　．
解：是正方形对角线上一点，
，
，
．
故答案为：67.5．
【例30．如图，正方形中，延长到，使，交于，那么　　．
解：四边形是正方形，
，平分，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【例31．已知平行四边形，对角线、相交于点，且，延长至点，使，联结．
（1）当时，求证：；
（2）当时，求证：四边形是正方形．
【解答】证明：（1）四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
即；
（2）
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是正方形．
【例32．如图所示，在正方形的对角线上取点，使，过点作交于点，求证：．
【解答】证明：如图，
连接，
在和中，
，
；
四边形为正方形，
，
在中，
，
，
，
，
．
【例33．已知，如图，四边形是菱形，是锐角，于点，于点，在边上取点，使得，在边上取点，使得．联结、、、．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）若度，求证：四边形是正方形．
【解答】证明：（1）如图1，连结，
四边形是菱形，
，，
，，
，，，
四边形为矩形，
，
在和中，
，
，
，
，
，
同理得，
，
四边形H是平行四边形，
，，
，
，
，，
，
，
四边形是矩形；
（2）如图2，由（1）知：四边形是矩形，
，
过点作于，交的延长线于，则四边形是矩形，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
四边形是正方形．
四．课堂（共12小题）
【习题1】矩形具有而菱形不具有的性质是　　
A．两组对边分别平行 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．两组对角分别相等
解：矩形的性质是：①矩形的四个角都是直角，②矩形的对边相等且互相平行，③矩形对角线相等且互相平分；
菱形的性质是：①菱形的四条边都相等，菱形的对边互相平行；②菱形的对角相等，③菱形的对角线互相平分且垂直，并且每条对角线平分一组对角，
所以矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等，
故选：．
【习题2】下列说法正确的是　　
A．菱形的四个内角都是直角
B．矩形的对角线互相垂直
C．正方形的每一条对角线平分一组对角
D．平行四边形是轴对称图形
解：．菱形的四个内角不一定都是直角，故选项不符合题意；
．矩形的对角线不一定互相垂直，故选项不符合题意；
．正方形的每一条对角线平分一组对角，故选项符合题意；
．平行四边形不一定是轴对称图形，故选项不符合题意；
故选：．
【习题3】已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的　　
A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形
C．当时，它是矩形 D．当时，它是矩形
解：、四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形，故本选项不符合题意；
、四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形，故本选项符合题意；
、四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形，故本选项不符合题意；
、四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形，故本选项不符合题意；
故选：．
【习题4】矩形各角的角平分线交成的四边形是　　
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
解：如图所示，
四边形是矩形，
，
、、、分别平分、、、，
，
，，，
四边形是矩形，
在和中，
，
，
，
，
，
，
矩形是正方形，
故选：．
【习题5】如图，已知四边形是平行四边形，下列结论正确的是　　
A．当时，四边形是矩形
B．当时，四边形是矩形
C．当时，四边形是菱形
D．当时，四边形是正方形
解：、四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形，故本选项不符合题意；
、四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形，故本选项不符合题意；
、四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形，故本选项符合题意；
、四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形，故本选项不符合题意；
故选：．
【习题6】如图，在矩形中，对角线，交于点，，，则的长是　　
A．4 B．2 C． D．
解：四边形是矩形，对角线，交于点，
，
又，
是等边三角形，
，
，
，
，
故选：．
【习题7】如图，在矩形中，对角线、交于点，，矩形的面积是，那么这个矩形的周长是　　
A． B． C． D．
解：四边形是矩形，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
矩形的面积是，
，
，，
这个矩形的周长，
故选：．
【习题8】如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，为垂足，连接，求的度数．
解：四边形是菱形，
，，
，
在菱形中，，
垂直平分，
，
，
在和中，，
，
，
，
，
．
【习题9】已知：如图，中，是延长线上一点，是的中线，是的中点，过点作，与的延长线相交于点．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）如果平分，求证：四边形是矩形．
【解答】证明：（1）是的中线，是的中点，
是的中位线，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）四边形是平行四边形，
．
是的中线，
，
．
，
四边形是平行四边形．
平分，
．
，
，，
，
，
，
，
平行四边形是矩形．
【习题10】已知：如图，在四边形中，，对角线、交于点，过点作交的延长线于点，联结，．
（1）求证：；
（2）如果平分，求证：四边形是菱形．
【解答】证明：（1），，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2），
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
平行四边形是菱形．
【习题11】已知：如图，四边形是菱形，点，分别在边，上，且，过点作的平行线交对角线的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）如果，求证：四边形是正方形．
【解答】（1）证明：菱形，
，，，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
（2）证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
四边形是正方形．
【习题12】如图，矩形中，点在轴上，点在轴上，点的坐标是．矩形沿直线折叠，使得点落在对角线上的点处，折痕与、轴分别交于点、．
（1）求点的坐标；
（2）若点是平面内任一点，在轴上是否存在点，使、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）四边形是矩形，点的坐标是．
，，，
；
由折叠的性质得：，，，
，，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
即，解得：，
；
（2）存在，点的坐标为或或，或，；理由如下：
①当、都为菱形的边时，，
的坐标为或；
②当为菱形的边，为对角线时，垂直平分，垂足为，如图1所示：
则，
，，
，
到轴的距离，
，
，
，
解得：，
，；
③当为菱形的对角线，为边时，如图2所示：
同②得：，；
综上所述，在轴上存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形，点的坐标为或或，或，．
五．作业（共10小题）
【作业1】下面性质中菱形有而矩形没有的是　　
A．邻角互补 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线互相平分
解：、平行四边形的邻角互补，
矩形的邻角互补．故矩形和菱形的邻角均互补，故不符合题意；
、菱形对角线互相垂直，矩形的对角线不互相垂直，故符合题意．
、矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直且平分，故不符合题意；
、平行四边形的对角线互相平分，矩形对角线互相平分．故矩形和菱形的对角线互相平分，故不符合题意；
故选：．
【作业2】如图，把长方形沿对折后使两部分重合，若，则　　
A． B． C． D．
解：把长方形沿对折后使两部分重合，，
，
，
，
，
故选：．
【作业3】如果要证明平行四边形为正方形，那么我们需要在四边形是平行四边形的基础上，进一步证明　　
A．且 B．且
C．且 D．和互相垂直平分
解：、根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，或者对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以不能判断平行四边形是正方形；
、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形为矩形，所以能判断四边形是正方形；
、一组邻角相等的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形也是矩形，即只能证明四边形是矩形，不能判断四边形是正方形；
、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以不能判断四边形是正方形．
故选：．
【作业4】在下列图形中，①等边三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形．其中既是轴对称图形又是中心对称的图形有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：②、④两者都既是中心对称图形又是轴对称图形，①③只是轴对称图形．
故选：．
【作业5】已知一个菱形的边长为5，其中一条对角线长为8，则这个菱形的面积为　24　．
解：如图，菱形中，，，
，，
，
，
这个菱形的面积为：．
故答案为：24．
【作业6】矩形的两条对角线的夹角为，一条对角线的长为2，那么矩形的周长为 　　．
解：矩形的两条对角线的夹角为，
且矩形对角线相等且互相平分，
为等边三角形，
，
在直角中，，，
，
故矩形的周长为．
故答案为：．
【作业7】如图，在矩形中，平分，，则的度数是 　　．
解：在矩形中，平分，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，，
为等腰直角三角形，
．
，，
．
故答案为：．
【作业8】已知：如图四边形是菱形，是对角线上的一点，联结、．求证：．
【解答】证明：四边形是菱形，
，，
在和中，
，
，
．
【作业9】如图，在正方形中，为的中点，，平分并交于．
试说明：．
解：取的中点，连接，
为的中点，且四边形是正方形，
；
；
；
；
而平分，
；
；
，
，
，即．
在与中，
，
．
【作业10】已知：如图，四边形的对角线、相交于点，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）如果点在边上，平分，，求证：．
【解答】证明：（1）在和中，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
平行四边形是矩形；
（2）过点作于，如图所示：
由（1）得：四边形是矩形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
．

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