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项目4 逻辑代数基础
任务4.2 数字逻辑及基本逻辑关系
任务4.1与码制计数制
任务4.3 认识逻辑代数及其化简
项目导入
在数理逻辑的发展史上，布尔被誉为“现代符号逻辑的真正创造者。
逻辑代数中的逻辑变量取值仅有“0”和“1”，基本逻辑运算有“与”、“或”、“非”等。是设计计算机的有力工具。
1854年，布尔出版了《The Laws of Thought》，这是他最著名的著作。书中介绍了以他的名字命名的布尔代数。由于布尔在符号逻辑运算中的特殊贡献，很多计算机语言中将逻辑运算称为布尔运算。
了解数字逻辑的基本概念，重点理解与、或、非三个基本逻辑关系；了解数制与码制的相关基本概念，熟悉各种数制之间的相互转换及各种码制的特点；熟悉逻辑代数的各种定律及定理及逻辑函数的正确表示方法；掌握运用逻辑定律和定理化简逻辑函数式，熟练掌握逻辑函数的卡诺图化简法。
具有二进制、十进制、八进制和十六进制之间进行熟练转换的技能；具有正确判断逻辑关系的能力；具有运用逻辑代数化简法和卡诺图化简法对逻辑函数
进行正确化简的能力。
知识目标和技能目标
提出问题
逻辑代数包含哪些基本公式、定律？逻辑代数的表示方法有哪些？什么是逻辑函数的代数化简法？逻辑函数的代数化简法有哪些逻辑运算规则？什么是最小项？你会用卡诺图表示一个逻辑函数吗？逻辑函数的卡诺图化简法你掌握得如何？
任务4.3 认识逻辑代数及其化简
逻辑函数的化简，直接关系到数字电路的复杂程度和性能
指标。逻辑化简的目标：与或表达式与项数最少，每一与项
的变量数最少；或与表达式或项数最少，每一或项的变量数
最少。
达到上述化简目标，可使数字电路板上的芯片数量最少，
信号传递级数最少，同时门的输入端数也最少。
4. 3.1 逻辑代数的公式、定律和逻辑运算规则
1. 逻辑常量的基本运算公式
与运算: 0·0=0 0·1=0 1·0=0 1·1=1
或运算： 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1
非运算
2. 逻辑变量、常量的基本运算公式
与运算 或运算 非运算
A·0=0 A·1=A A·A=A A·A=0 A+0=A A+1=1 A+A=A A+A=1 A=A
由于变量A的取值只能是0或1，因此当A≠0时，必有A=1。我们把上述公式中相同变量之间的运算称为重叠律。
如:A·A=A和A+A=A；0和1与变量之间的运算称为0-1律，如A·1=A、A+1=1；把两个互非变量间的运算称为互补律，如 A·A=0和A+A=1。
3. 逻辑代数的基本定律
交换律：
结合律：
分配律：
反演律：
逻辑代数的常用公式
逻辑代数在运算时应遵循先括号内后括号外、先“与”运算后“或”运算的规则，也可利用分配律或反演律变换后再运算。
4.3.2 逻辑函数的代数化简法
代数化简法就是应用逻辑代数的代数的公理、定理及规则
对已有逻辑表达式进行逻辑化简的工作。逻辑函数在化简过
程中，通常化简为最简与或式。最简与或式的一般标准是：
表达式中的与项最少，每个与项中的变量个数最少。代数化
简法最常用的方法有：
1. 并项法
利用公式
提取两项公因子后，互非变量消去。
例
化简逻辑函数
解
…提取公因子A
…应用反演律将非与变换为或非
…消去互非变量后，保留公因子A，实现并项。
并项法的关键在对函数式的某两与项提取公因子后，消去其中相同因子的原变量和反变量，则两项即可并为一项。
提取公因子BC
消去互为
反变量的因子
提取公因子B
消去互为
反变量的因子
提取公因子A
利用反演律
提取公因子A
消去互为
反变量的因子
例
例
2. 吸收法
利用公式
将多余项AB吸收掉
例
化简逻辑函数
解
…应用或运算规律，括号内为1
…提取公因子AC
3. 消去法
利用公式
例
化简逻辑函数
解
…提取公因子C
…应用反演律将非或变换为与非
消去与项AB中的多余因子A
…消去多余因子AB，实现化简。
利用公式A=A(B+B)，为某一项配上所缺变量。
配项
运用分配律
提取公因子
利用公式A+A=A，为某一项配上所能合并的项。
配冗余项
配冗余项
运用吸收律消去互非的变量
4. 配项法
应用吸收律化简
例
例
将函数
化简为最简与或式。
…提取公因子C
…应用非非定律
…应用反演律
…消去多余因子AB
…消去多余因子C
…得到函数式最简结果
采用代数法化简逻辑函数时，所用的具体方法不是唯一
的，最后的表示形式也可能稍有不同，但各种最简结果的
与或式乘积项数相同，乘积项中变量的个数对应相等。
例
用代数法化简下列逻辑函数式。
AC
1. F=ABCDE+ABC+AC
2. F=AB+ABD+AC+ACE
3. F=ABC+ABC+ABC+ABC
4. F=ABC+AB+AC
AB+AC
AC+AB
A
5. F=(A+B)(A+C)
A+BC
6. F=AB+C+ACD+BCD
AB+C+D
4.3.3 逻辑函数的卡诺图化简法
卡诺图是真值表的一种变形，为逻辑函数的化简提供了直
观的图形方法。当逻辑变量不太多(一般小于5个)时，应用卡
诺图化简逻辑函数，方法直观、简捷，较容易掌握。
1. 最小项的概念
设有 n 个变量，它们组成的与项中，每一项或以原变量或
以反变量形式出现一次，且仅出现一次，这些与项均称之为
n个变量的最小项。若函数包含 n 个变量，就可构成 2n个最
小项，分别记为 mn。
例如
两变量的最小项共有22 =4个，可表示为：
三变量的最小项共有23 =8个，可表示为：
四变量的最小项共有24=16个，分别表示为：
显然，当变量为n个时，最多可构成的最小项数为2n个。
2. 卡诺图表示法
A
0
1
B
0
1
m0
m1
m2
m3
两变量卡诺图
A
0
1
BC
00
01
11
10
m0
m1
m4
m5
m3
m2
m7
m6
三变量卡诺图
CD
00
01
11
10
AB
00
01
11
10
m0
m1
m4
m5
m3
m2
m7
m6
m12
m13
m8
m9
m15
m14
m11
m10
四变量卡诺图
显然，相邻两个变量之间只允许有一个变量不同！
3. 用卡诺图表示逻辑函数
卡诺图是平面方格阵列图，其画法满足几何相邻原则：相
邻方格中的最小项仅有一个变量不同。
用卡诺图表示逻辑函数时，将函数中出现的最小项，在
对应方格中填1，没有的最小项填0(或不填)，所得图形即为
该函数的卡诺图。
例
把函数式
和
表示在
卡诺图中。
m0
m1
m4
m5
A
BC
00
01
0
1
m3
m2
m7
m6
11
10
1
m0
m1
m4
m5
A
BC
00
01
0
1
m3
m2
m7
m6
11
10
1
1
1
1
1
1
1
1
1
试把下列逻辑函数式表示在卡诺图中
0
1
0
1
A
BC
00
01
0
1
1
0
0
1
11
10
CD
00
01
11
10
AB
00
01
11
10
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
用卡诺图表示逻辑函数，关键在于正确找出函数式中所
包含的全部最小项，并用1标在卡诺图对应的方格中。
4. 用卡诺图化简逻辑函数
利用卡诺图化简逻辑函数式的步骤如下：
①根据变量的数目，画出相应方格数的卡诺图；
②根据逻辑函数式，把所有为“1”的项画入卡诺图中；
③用卡诺圈把相邻最小项进行合并，合并时应按照20、21、
22、23、24个相邻变量圈定，并遵照卡诺圈最大化原则；
④根据所圈的卡诺圈，消除圈内全部互非的变量，保留相同
的变量作为一个“与”项(注意圈圈时应把卡诺图看作成一个圆柱
形)，最后将各“与”项相或，即为化简后的最简与或表达式。
例
试把逻辑函数式
CD
00
01
11
10
AB
00
01
11
10
用卡诺图化简。
②把逻辑函数表示在卡诺图的方格中
①画出相应方格数的卡诺图
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
③按最大化原则圈定卡诺圈
④消去卡诺圈中互非变量后得最简式
例
其余不为1的方格填写上0
圈卡诺圈：只对2n个相邻为1项圈画
消去互为反变量的因子，保留相
同的公因子，原函数化简为：
CD
00
01
11
10
AB
00
01
11
10
1
0
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
例
AB
00
01
11
10
CD
00
01
11
10
1
1
1
1
1
1
1
1
试把逻辑函数式
化简。
其余不为1的方格0可省略不填
圈卡诺圈：只对2n个相邻为1项圈画
卡诺圈圈的变量数为2n时，消去的互非
变量数为n，因此，原函数化简为：
当卡诺圈中的相邻最小项为23个，即可消去3个互非的变量
因子后合并为一项。
小结：卡诺图化简时，相邻最小项的数目必须为2n个才能圈成卡诺圈，消去的互非变量为n个，而且卡诺圈圈得越大越好(消去的互非变量越多)，卡诺圈数目越少越好(逻辑式中的与项就越少)，相应的逻辑电路就越简单，这就是利用卡诺图化简逻辑函数的基本原理。
CD
00
01
11
10
AB
00
01
11
10
1
1
1
1
1
1
1
1
AB
00
01
11
10
CD
00
01
11
10
1
1
1
1
1
1
1
1
例
例
试用卡诺图化简下列逻辑函数。
AB
00
01
11
10
CD
00
01
11
10
1
1
1
1
1
1
1
1
1
AB
00
01
11
10
CD
00
01
11
10
1
1
1
1
1
1
1
0
1
A
BC
00
01
11
10
1
1
1
1
为0的最小项可以不标示在卡诺图中！
1
一个n变量的逻辑函数最小项数为2n 个，但在实际应用中可能仅用一部分，如8421BCD码中的0000~1001为有效码，而1010~1111则为无效码。无效码禁止出现或者出现后对电路的逻辑状态无影响，我们把这部分无关最小项d称为约束项。
5. 带有约束项的逻辑函数的化简
利用约束项化简的过程中，尽量不要
将不需要的约束项也画入圈内，否则
得不到函数的最简形式。显然约束项
对逻辑函数的化简起到了简化作用。
约束项对逻辑函数最终的化简结果无影响，因此在化简的过程中可根据需要把约束项当作“0”或“1”，在卡诺图中用×表示。
1 1
1 1
× × × ×
1 × ×
AB
CD
00 01 11 10
00
01
11
10
例
显然
用卡诺图法化简下面的逻辑函数式
思考与问题
1、用真值表证明
2、将
写成为最小项表达式。
3、将
化为最简与或式。
4、用卡诺图化简下列逻辑函数：

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