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第18章《平行四边形》培优提升训练题
一．选择题
1．如图， ABCD中，∠ABC＝75°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE＝2AB，则∠AED的大小是（　　）
A．60° B．65° C．70° D．75°
2．如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC＝∠BEF＝60°，则＝（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF沿EF折叠，点D恰好落在BE上M点处，延长BC、EF交于点N．有下列四个结论：
①DF＝CF；
②BF⊥EN；
③△BEN是等边三角形；
④S△BEF＝3S△DEF．
其中，将正确结论的序号全部选对的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
4．如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED，过点D作DF⊥BC，垂足为F，则DF的长为（　　）
A．2+2 B．5﹣ C．3﹣ D．+1
5．如图，在菱形ABCD中，∠A＝100°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC＝（　　）
A．35° B．45° C．50° D．55°
6．如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB、AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交于点O2，同样以AB、AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2，…，依此类推，则平行四边形AB nOn的面积为（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，矩形ABCD中，点E为CD边的中点，连接AE，过E作EF⊥AE交BC于点F，连接AF，若∠EFC＝α，则∠BAF的度数为（　　）
A．2α﹣90° B．45°+ C． D．90°﹣α
8．如图，正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P，若AE＝AP＝1，PB＝．下列结论：①EB⊥ED；②点B到直线DE的距离为； ③S△APD+S△APB＝； ④S正方形ABCD＝2．其中正确结论的序号是（　　）
A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
二．填空题
9．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分线AE、DF分别交BC于点E、F．若EF＝2，AB＝5，则AD的长为 　 　．
10．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，交BD于点F，若E为BC的中点，且AB＝4，则AF的长等于 　 　．
11．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于点E、F，连接PB、PD，若AE＝2，PF＝9，则图中阴影面积为 　 　．
12．如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边CD所在直线上，连接AE，以AE为边，作正方形AEFG（点A，E，F，G按顺时针排列）．当正方形AEFG中的某一顶点落在直线BD上时（不与点D重合），则正方形AEFG的面积为 　 　．
13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P是BC边上的一个动点，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，则MN的最小值为 　 　．
14．如图，正方形ABCD的边长为3，△EFG是等边三角形，点E，F，G分别在线段BD．BC，CD上，且，则DE的长为 　 　．
15．新定义：若点P（m，n），点Q（p，q），如果m+n＝p+q，那么点P与点Q就叫作“和等点”，m+n＝p+q＝k，称k为等和．例如：点P（4，2），点Q（1，5），因4+2＝1+5＝6，则点P与点Q就是和等点，6为等和．如图在长方形GHMN中，点H（2，3），点N（﹣2，﹣3），MN⊥y轴，HM⊥x轴，若长方形GHMN的边上存在不同的两个点P、Q，这两个点为和等点，等和为4，则PQ的长为 　 　．
16．如图，在长方形ABCD中，AB＝DC＝3cm，BC＝AD＝2cm，现有一动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿长方形的边A→B→C→D→A运动，到达点A时停止；点Q在边DC上，DQ＝BC，连接AQ．设点P的运动时间为t s，则当t＝　 　s时，以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与△ADQ全等．（不考虑两个三角形重合的情况）
三．解答题
17．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD、∠ABC的平分线AF、BG分别与线段CD交于点F、G，AF与BG交于点E．
（1）求证：AF⊥BG，DF＝CG；
（2）若AB＝10，AD＝6，AF＝8，求FG和BG的长度．
18．已知，如图，在 ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE＝CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF、EG、AG，∠1＝∠2．
（1）若CF＝2，AE＝3，求BE的长；
（2）求证：∠CEG＝∠AGE．
19．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点P是AB边上一点（不与A，B重合），连接CP，过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ．
（1）当△CDQ≌△CPQ时，求AQ的长；
（2）取CQ的中点M，连接MD，MP，MD⊥MP，求AQ的长．
20．如图，已知矩形ABCD，AD＝4，CD＝10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．
（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；
（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；
（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．
21．如图，点M是正方形ABCD的边BC上一点，连接AM，点E是线段AM上一点，∠CDE的平分线交AM延长线于点F．
（1）如图1，若点E为线段AM的中点，BM：CM＝1：2，BE＝，求AB的长；
（2）如图2，若DA＝DE，求证：BF+DF＝AF．
22．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、AB上两点，且BE＝BF，过点B作AE的垂线交AC于点G，过点G作CF的垂线交BC于点H延长线段AE、GH交于点M．
（1）求证：∠BFC＝∠BEA；
（2）求证：AM＝BG+GM．
参考答案
一．选择题
1．解：取DE中点O，连接AO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAB＝180°﹣∠ABC＝105°，
∵AF⊥BC，
∴AF⊥AD，
∴∠DAE＝90°，
∴OA＝DE＝OD＝OE，
∵DE＝2AB，
∴OA＝AB，
∴∠AOB＝∠ABO，∠ADO＝∠DAO，∠AED＝∠EAO，
∵∠AOB＝∠ADO+∠DAO＝2∠ADO，
∴∠ABD＝∠AOB＝2∠ADO，
∴∠ABD+∠ADO+∠DAB＝180°，
∴∠ADO＝25°，∠AOB＝50°，
∵∠AED+∠EAO+∠AOB＝180°，
∴∠AED＝65°．
故选：B．
2．解：如图，
延长GP交DC于点H，
∵P是线段DF的中点，
∴FP＝DP，
由题意可知DC∥GF，
∴∠GFP＝∠HDP，
∵∠GPF＝∠HPD，
∴△GFP≌△HDP，
∴GP＝HP，GF＝HD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，
∴CG＝CH，
∴△CHG是等腰三角形，
∴PG⊥PC，（三线合一）
又∵∠ABC＝∠BEF＝60°，
∴∠GCP＝60°，
∴＝；
故选：B．
3．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠BCD＝90°，DF＝MF，
由折叠的性质可得：∠EMF＝∠D＝90°，
即FM⊥BE，CF⊥BC，
∵BF平分∠EBC，
∴CF＝MF，
∴DF＝CF；故①正确；
∵∠BFM＝90°﹣∠EBF，∠BFC＝90°﹣∠CBF，
∴∠BFM＝∠BFC，
∵∠MFE＝∠DFE＝∠CFN，
∴∠BFE＝∠BFN，
∵∠BFE+∠BFN＝180°，
∴∠BFE＝90°，
即BF⊥EN，故②正确；
∵在△DEF和△CNF中，
，
∴△DEF≌△CNF（ASA），
∴EF＝FN，
∴BE＝BN，
假设△BEN是等边三角形，则∠EBN＝60°，∠EBA＝30°，
则AE＝BE，又∵AE＝AD，则AD＝BC＝BE，
而明显BE＝BN＞BC，
∴△BEN不是等边三角形；故③错误；
∵∠BFM＝∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF，
∴BM＝BC＝AD＝2DE＝2EM，
∴BE＝3EM，
∴S△BEF＝3S△EMF＝3S△DEF；
故④正确．
故选：B．
4．解：方法一：如图，延长DA、BC交于点G，
∵四边形ABED是正方形，
∴∠BAD＝90°，AD＝AB，
∴∠BAG＝180°﹣90°＝90°，
∵△ABC是边长为2的等边三角形，
∴AB＝2，∠ABC＝60°，
∴AG＝AB tan∠ABC＝2×tan60°＝2，
∴DG＝AD+AG＝2+2，
∵∠G＝90°﹣60°＝30°，DF⊥BC，
∴DF＝DG＝×（2+2）＝1+，
故选D．
方法二：如图，过点E作EG⊥DF于点G，作EH⊥BC于点H，
则∠BHE＝∠DGE＝90°，
∵△ABC是边长为2的等边三角形，
∴AB＝2，∠ABC＝60°，
∵四边形ABED是正方形，
∴BE＝DE＝2，∠ABE＝∠BED＝90°，
∴∠EBH＝180°﹣∠ABC﹣∠ABE＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
∴EH＝BE sin∠EBH＝2 sin30°＝2×＝1，BH＝BE cos∠EBH＝2cos30°＝，
∵EG⊥DF，EH⊥BC，DF⊥BC，
∴∠EGF＝∠EHB＝∠DFH＝90°，
∴四边形EGFH是矩形，
∴FG＝EH＝1，∠BEH+∠BEG＝∠GEH＝90°，
∵∠DEG+∠BEG＝90°，
∴∠BEH＝∠DEG，
在△BEH和△DEG中，
，
∴△BEH≌△DEG（AAS），
∴DG＝BH＝，
∴DF＝DG+FG＝+1，
故选：D．
5．解：延长EF交DC的延长线于H点．
∵在菱形ABCD中，∠A＝100°，E，F分别是边AB和BC的中点，
∴∠B＝80°，BE＝BF．
∴∠BEF＝（180°﹣80°）÷2＝50°．
∵AB∥DC，∴∠FHC＝∠BEF＝50°．
又∵BF＝FC，∠B＝∠FCH，
∴△BEF≌△CHF．
∴EF＝FH．
∵EP⊥DC，
∴∠EPH＝90°．
∴FP＝FH，则∠FPC＝∠FHP＝∠BEF＝50°．
故选：C．
6．解：根据矩形的对角线相等且互相平分，
平行四边形ABC1O1底边AB上的高为BC，
平行四边形ABC2O2底边AB上的高为×BC＝BC，
所以平行四边形AB nOn底边AB上的高为BC，
∵S矩形ABCD＝AB BC＝5，
∴S平行四边形ABCnOn＝AB×BC＝5×（）n．
故选：C．
7．解：延长AE，交BC的延长线于点G，如图所示：
在矩形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝∠DCB＝90°，AD∥BC，
∴∠ECG＝90°，
∵E为CD边中点，
∴DE＝CE，
在△ADE和△GCE中，
，
∴△ADE≌△GCE（ASA），
∴AE＝GE，
∵EF⊥AE，
∴EF垂直平分AG，
∴AF＝GF，
∴∠FAE＝∠G，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠G，
∴∠DAE＝∠FAE，
∴∠DAE＝，
∵∠DAE+∠AED＝90°，∠AED+∠FEC＝90°，
∴∠FEC＝∠DAE＝，
∵∠FEC+∠EFC＝90°，
∴∠EFC＝90°﹣＝α，
∴∠BAF＝2α﹣90°，
故选：A．
8．解：如图，∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠BAD＝ADC＝90°，
∵AE⊥AP，
∴∠EAP＝90°，
∴∠BAE+∠BAP＝∠BAP+∠DAP＝90°，
∴∠BAE＝∠DAP，
∵AE＝AP＝1，
∴△ABE≌△ADP（SAS），
∴∠AEB＝∠APD，BE＝DP，
∵△AEP是等腰直角三角形，
∴∠AEP＝∠APE＝45°，EP＝AE＝，
∴∠APD＝180°﹣∠APE＝180°﹣45°＝135°，
∴∠AEB＝135°，
∴∠BED＝∠AEB﹣∠AEP＝135°﹣45°＝90°，
∴EB⊥ED，
∴①正确；
∴BE＝＝＝1＝AE，
∴②不正确；
∵△ABE≌△ADP，
∴S△ABE＝S△ADP，
∵∠BAP＝90°，AE＝AP＝1，PB＝，
∴EP＝，∠AEP＝45°，
∵∠AEB＝135°，
∴∠BEP＝135°﹣45°＝90°，
∴S△APD+S△APB＝S△AEB+S△APB＝S△AEP+S△EPB＝AE×AP+EP×BE＝×1×1+××1＝，
∴③正确；
如图，过点B作BO⊥AE，交AE的延长线于点O，
则∠O＝90°，
∵∠BEO＝180°﹣∠AEB＝180°﹣135°＝45°，
∴△BOE是等腰直角三角形，
∴OE＝OB＝BE＝，
∴AO＝AE+OE＝1+，
在Rt△ABO中，∵AB2＝AO2+OB2＝（1+）2+（）2＝2+，
∴S正方形ABCD＝AB2＝2+；
∴④正确；
故选：A．
二．填空题
9．解：∵AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DFC，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADF＝∠CDF，
∴∠DFC＝∠CDF，
∴CF＝CD，
同理BE＝AB，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∴AB＝BE＝CF＝CD＝5，
∴BC＝BE+CF﹣EF＝5+5﹣2＝8，
∴AD＝BC＝8，
故答案为：8．
10．解：如图，连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，OA＝OC，AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∵AE⊥BC，E为BC的中点，
∴AC＝AB＝4，
∴OA＝2，AB＝AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AE⊥BC，
∴∠CAE＝∠BAC＝30°，
∴AF＝2OF，
∴OA＝＝＝OF＝2，
∴OF＝，
∴AF＝2OF＝，
故答案为：．
11．解：过点P作GH分别交AD、BC于点G、H，
由矩形性质可知，
S△ADC＝S△ABC，S△PFC＝S△PHC，S△AGP＝S△AEP，
∴S△ADC﹣S△PFC﹣S△AGP＝S△ABC﹣S△PHC﹣S△AEP，
即S四边形GPFD＝S四边形EPHB，
∴S四边形GPFD＝S四边形EPHB，即S△DPF＝S△PEB．
∵GP＝AE＝2，PF＝9，
∴S△DPF＝＝9＝S△PEB．
即图中阴影面积为S△DPF+S△PEB＝9+9＝18．
故答案为：18．
12．解：当点F在直线BD上时，过点F作FM⊥CD，交CD的延长线于M，B，
则∠M＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BDC＝45°，∠ADE＝90°，
∴∠FDM＝∠BDC＝45°，∠AED+∠EAD＝90°，
∴△DFM是等腰直角三角形，
∴DM＝FM，
∵四边形AEFG是正方形，
∴EF＝AE，∠AEF＝90°，
∴∠AED+FEM＝90°，
∴∠EAD＝∠FEM，
在△AED和△EFM中，
，
∴△AED≌△EFM（AAS），
∴DE＝FM，AD＝EM，
∴DE＝DM＝FM，
∵DE+DM＝EM，
∵2DE＝AD＝4，
∴DE＝2，
在Rt△ADE中，
AE＝AD2+DE2＝42+22＝20，
∴正方形的面积为20．
当点G在直线上BD时，过点G作GM⊥AD，交AD 的延长线于M，如图，
同理可得：△AED≌△GAM（AAS），
∴GM＝AD＝4，AM＝DE，
∵∠ADB＝MDG＝45°，∠M＝90°，
∴△DGM是等腰直角三角形，
∴DM＝GM，
∴DM＝AD＝4，
∴AM＝8，
在Rt△AGM中，
AG2＝AM2+GM2＝82+42＝802，
∴正方形的面积为80．
综上，正方形AEFG的面积为20或80．
故答案为：20或80．
13．解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴，
∵PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，∠BAC＝90°，
∴四边形AMPN为矩形，
连接AP，则：MN＝AP，
∴AP最小时，MN最小，
∵垂线段最短，
∴AP⊥BC时，AP最小，
∴，即：5AP＝3×4，
∴，
∴MN的最小值为；
故答案为：．
14．解：如图，连接BG，过点E作EH⊥BG于H，
∵BC＝3，CG＝，四边形ABCD是正方形，
∴BG＝＝，
∴GC＝BG，
∴∠GBC＝30°，∠BGC＝60°，
∵△EFG是等边三角形，
∴∠EGF＝60°，
∴∠EGH+∠BGF＝60°＝∠BGF+∠CGF，
∴∠CGF＝∠EGH，
又∵EG＝GF，∠C＝∠EHG，
∴△EGH≌△FGC（AAS），
∴GH＝GC＝，
∴BH＝BG﹣GH＝2﹣＝，
∴BH＝GH，
∵EH⊥BG，
∴BE＝EG，
∴∠EBG＝∠EGB，
∵∠DBC＝45°，∠GBC＝30°，
∴∠EBG＝∠DBC﹣∠GBC＝45°﹣30°＝15°，
∠MEG＝∠EBG+∠EGB＝2×15°＝30°；
作GM⊥BD于M，
∵∠MDC＝45°，
∴DM＝GM＝，DG＝CD﹣GC＝3﹣，
∵∠MEG＝30°，
∴ME＝GM，
∴DE＝ME+MD＝GM+DM＝DM（1+）＝DG（1+）＝（3﹣）（1+）＝，
∴DE的长为．
故答案为：．
15．解：设点P（m，n），点Q（p，q），
由题意可得，m+n＝p+q＝4，
∴P（m，4﹣m），Q（p，4﹣p），
∴点P，Q均在直线y＝﹣x+4上，
在坐标系中可作出直线y＝﹣x+4，则直线y＝﹣x+4与矩形的交点即为点P，Q，
∴令y＝3时，x＝1，令x＝2时，y＝2，
∴P（1，3），Q（2，2）或P（2，2），Q（1，3），
∴PQ＝＝．
故答案为：．
16．解：当t＝1s时，AP＝1cm，则BP＝2cm，如图1，
在△AQD和△CPB中，
，
∴△AQD≌△CPB（SAS）；
当t＝2时，AP＝2cm，如图2，
∴AP＝DQ，
在△AQD和△DPA中，
，
∴△AQD≌△DPA（SAS）；
当t＝7时，AB+BC+CP＝7cm，如图3，
∴CP＝2cm，
∴DQ＝CP，
在△AQD和△BPC中，
，
∴△AQD≌△BPC（SAS）；
故答案为：1或2或7．
三．解答题
17．（1）证明：∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF＝∠BAF＝∠BAD．
∵BG平分∠ABC，
∴∠ABG＝∠CBG＝∠ABC．
∵四边形ABCD平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
即2∠BAF+2∠ABG＝180°，
∴∠BAF+∠ABG＝90°．
∴∠AEB＝180°﹣（∠BAF+∠ABG）＝180°﹣90°＝90°．
∴AF⊥BG；
∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠AFD，
∴∠AFD＝∠DAF，
∴DF＝AD，
∵AB∥CD，
∴∠ABG＝∠CGB，
∴∠CBG＝∠CGB，
∴CG＝BC，
∵AD＝BC．
∴DF＝CG；
（2）解：∵DF＝AD＝6，
∴CG＝DF＝6．
∴CG+DF＝12，
∵四边形ABCD平行四边形，
∴CD＝AB＝10．
∴10+FG＝12，
∴FG＝2，
过点B作BH∥AF交DC的延长线于点H．
∴∠GBH＝∠AEB＝90°．
∵AF∥BH，AB∥FH，
∴四边形ABHF为平行四边形．
∴BH＝AF＝8，FH＝AB＝10．
∴GH＝FG+FH＝2+10＝12，
∴在Rt△BHG中：BG＝＝．
∴FG的长度为2，BG的长度为4．
18．（1）解：∵CE＝CD，点F为CE的中点，CF＝2，
∴DC＝CE＝2CF＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝4，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE＝＝；
（2）证明：解法一、过G作GM⊥AE于M，
∵AE⊥BE，GM⊥AE，
∴GM∥BC∥AD，
∵在△DCF和△ECG中，
，
∴△DCF≌△ECG（AAS），
∴CG＝CF，CE＝CD，
∵CE＝2CF，
∴CD＝2CG，
即G为CD中点，
∵AD∥GM∥BC，
∴M为AE中点，
∴AM＝EM（一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等），
∵GM⊥AE，
∴AG＝EG，
∴∠AGM＝∠EGM，
∴∠AGE＝2∠MGE，
∵GM∥BC，
∴∠EGM＝∠CEG，
∴∠CEG＝∠AGE；
解法二、延长AG，交BC延长线于M，
在△ECG和△DCF中，
，
∴△ECG≌△DCF（AAS），
∴CF＝CG，
∵CE＝CD，F为CE的中点，
∴DG＝CG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADG＝∠MCG，
在△ADG和△MCG中，
，
∴△ADG≌△MCG（ASA），
∴AG＝MG，
∵∠AEC＝90°，
∴EG＝AM＝GM，
∴∠GEC＝∠M，
∵∠AGE＝∠GEC+∠M，
∴∠CEG＝∠AGE．
19．解：（1）∵△CDQ≌△CPQ，
∴DQ＝PQ，PC＝DC，
∵AB＝DC＝5，AD＝BC＝3，
∴PC＝5，
在Rt△PBC中，PB＝＝4，
∴PA＝AB﹣PB＝5﹣4＝1，
设AQ＝x，则DQ＝PQ＝3﹣x，
在Rt△PAQ中，（3﹣x）2＝x2+12，
解得x＝，
∴AQ＝．
（2）方法1，如图2，过M作EF⊥CD于F，则EF⊥AB，
∵MD⊥MP，
∴∠PMD＝90°，
∴∠PME+∠DMF＝90°，
∵∠FDM+∠DMF＝90°，
∴∠MDF＝∠PME，
∵M是QC的中点，
∴DM＝QC，PM＝QC，
∴DM＝PM，
在△MDF和△PME中，
，
∴△MDF≌△PME（AAS），
∴ME＝DF，PE＝MF，
∵EF⊥CD，AD⊥CD，
∴EF∥AD，
∵QM＝MC，
∴DF＝CF＝DC＝，
∴ME＝，
∵ME是梯形ABCQ的中位线，
∴2ME＝AQ+BC，即5＝AQ+3，
∴AQ＝2．
方法2、∵点M是Rt△CDQ的斜边CQ中点，
∴DM＝CM，
∴∠DMQ＝2∠DCQ，
∵点M是Rt△CPQ的斜边的中点，
∴MP＝CM，
∴∠PMQ＝2∠PCQ，
∵∠DMP＝90°，
∴2∠DCQ+2∠PCQ＝90°，
∴∠PCD＝45°，°∠BCP＝90°﹣45°＝45°，
∴∠BPC＝45°＝∠BCP，∴BP＝BC＝3，
∵∠CPQ＝90°，
∴∠APQ＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
∴∠AQP＝90°﹣45°＝45°＝∠APQ，
∴AQ＝AP＝2．
20．解：（1）∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，
∴ME，NE是△PDC的中位线，
∴ME∥PC，EN∥PD，
∴四边形PMEN是平行四边形；
（2）当AP＝5时，
在Rt△PAD和Rt△PBC中，
，
∴△PAD≌△PBC，
∴PD＝PC，
∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，
∴NE＝PM＝PD，ME＝PN＝PC，
∴PM＝ME＝EN＝PN，
∴四边形PMEN是菱形；
（3）四边形PMEN可能是矩形．
若四边形PMEN是矩形，则∠DPC＝90°
设PA＝x，PB＝10﹣x，
DP＝，CP＝．
DP2+CP2＝DC2
16+x2+16+（10﹣x）2＝102
x2﹣10x+16＝0
x＝2或x＝8．
故当AP＝2或AP＝8时，四边形PMEN是矩形．
21．解：（1）设BM＝x，则CM＝2x，BC＝3x，
∵BA＝BC，∴BA＝3x．
在Rt△ABM中，E为斜边AM中点，
∴AM＝2BE＝2．
由勾股定理可得AM2＝MB2+AB2，
即40＝x2+9x2，解得x＝2．
∴AB＝3x＝6．
（2）延长FD交过点A作垂直于AF的直线于H点，过点D作DP⊥AF于P点．
∵DF平分∠CDE，
∴∠1＝∠2．
∵DE＝DA，DP⊥AF
∴∠3＝∠4．
∵∠1+∠2+∠3+∠4＝90°，
∴∠2+∠3＝45°．
∴∠DFP＝90°﹣45°＝45°．
∴AH＝AF．
∵∠BAF+∠DAF＝90°，∠HAD+∠DAF＝90°，
∴∠BAF＝∠DAH．
又AB＝AD，
∴△ABF≌△ADH（SAS）．
∴AF＝AH，BF＝DH．
∵Rt△FAH是等腰直角三角形，
∴HF＝AF．
∵HF＝DH+DF＝BF+DF，
∴BF+DF＝AF．
22．证明：（1）在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴∠BFC＝∠BEA；
（2）连接DG，在△ABG和△ADG中，
，
∴△ABG≌△ADG（SAS），
∴BG＝DG，∠2＝∠3，
∵BG⊥AE，
∴∠BAE+∠2＝90°，
∵∠BAD＝∠BAE+∠DAM＝90°，
∴∠2＝∠3＝∠DAM，
∵GM⊥CF，
∴∠BCF+∠1＝90°，
又∠BCF+∠BFC＝90°，
∴∠1＝∠BFC＝∠2，
∴∠1＝∠3，
在△ADG中，∠DGC＝∠3+45°，
∴∠DGC也是△CGH的外角，
∴D、G、M三点共线，
∵∠3＝∠DAM（已证），
∴AM＝DM，
∵DM＝DG+GM＝BG+GM，
∴AM＝BG+GM．

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