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6.4.3余弦定理、正弦定理（一）
余弦定理
班级 姓名
学习目标
1．掌握余弦定理及其推论．
2．掌握余弦定理的综合应用．
学习过程
自学指导 自学检测及课堂展示
阅读教材，完成右边的内容 引例：已知的两边长请用已知的表示出第三边，完成下列解答过程. 解：设，，，则= (用表示)所以 同理 ； 余弦定理：在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有语言叙述三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍公式表达 ； ； .推论 cos A＝ ；cos B＝ ；cos C＝ .解三角形：一般地，把三角形的三个内角和它们的对边叫做三角形的 ，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.【即时训练】(1)在△ABC中，已知b＝60，c＝60，A＝，则a＝________(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＋c2－b2＝ac，则角B等于
已知两边与一角解三角形(SAS) 例1、在△ABC中，a＝2，c＝＋，B＝45°，解这个三角形.
已知两边与一角解三角形(SSA) 例2、在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，求角A、角C和边a.变式1、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，c＝2，cosA＝，则b＝
已知三边解三角形 例3、在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C．变式2、(1)在△ABC中,已知a＝3,b＝5,c＝,则最大角与最小角的和为 ;(2)如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为 .
课后作业
一、基础训练题
1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a＝，c＝2，cos A＝，则b＝(　　)
A．　　 　　 B．　 　　　
C．2　　　 　 D．3
2．在△ABC中，已知a＝5，b＝7，c＝8，则A＋C＝(　　)
A．90°　　　　　　　　　　 B．120°
C．135° D．150°
3．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于(　　)
A． B．
C． D．
4．在△ABC中，若(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，则A等于(　　)
A．90°　 B．60°
C．120° D．150°
5．(多选题)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.则下列结论正确的是(　　)
A．若a＝5，b＝7，c＝8，则B＝30°
B．若a∶b∶c＝2∶3∶4，则△ABC最大角的余弦值为－
C．若b＝3，c＝1，a＝2bcos B，则a＝2
D．若c2＝a2＋b2－ab，则C＝
6．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－，则b＝________.
7．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________．
8．已知在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2＋c2＋bc.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，b＝2，求边c的值．
9．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，2cos (A＋B)＝1.
(1)求角C的度数；
(2)求AB的长．
二、综合训练题
10．在△ABC中，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则角B的值为(　　)
A． B．
C．或 D．或
11．若△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则·的值为(　　)
A．19 B．14
C．－18 D．－19
12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且a＝3，b＝4，c＝6，则bccos A＋accos B＋abcos C的值是________．
三、能力提升题
13．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a－c)2＝b2－ac.
(1)求cos B的值；
(2)若b＝，且a＋c＝2b，求ac的值．
6.4.3余弦定理、正弦定理（一）
余弦定理参考答案
1、【答案】D
【解析】∵a＝，c＝2，cos A＝，∴由余弦定理，可得cos A＝＝＝，
整理可得3b2－8b－3＝0，∴b＝3或b＝－(舍去)，故选D．
2、【答案】B
【解析】cos B＝＝＝.所以B＝60°，所以A＋C＝120°.
3、【答案】B
【解析】∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，∴cos B＝＝＝.
4、【答案】B
【解析】因为(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝.
因为A∈(0°，180°)，所以A＝60°.
5、【答案】BCD
【解析】由a＝5，b＝7，c＝8，代入余弦定理公式得cos B＝＝＝，
又b所以边c所对角最大，设a＝2k，b＝3k，c＝4k，由余弦定理得cos C＝＝－，B正确；已知b＝3，c＝1，a＝2bcos B，由余弦定理可得a＝2b·，
整理得a2＝12，解得a＝2，C正确；
由c2＝a2＋b2－2abcos C，对比c2＝a2＋b2－ab，得cos C＝，又C∈(0，π)，则C＝，D正确．
6、【答案】4
【解析】因为b＋c＝7，所以c＝7－b.由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2accos B，
即b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×，解得b＝4.
7、【答案】0
【解析】∵b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－2accos 120°＝a2＋c2＋ac，∴a2＋c2＋ac－b2＝0．
8、[解] (1)由已知可得cosA＝＝＝－，∵0(2)∵a2＝b2＋c2－2bccosA，将a＝2，b＝2，cosA＝－代入可得12＝4＋c2－4c·，
即c2＋2c－8＝0，∴c＝－4(舍去)或c＝2，∴边c的值为2.
9、[解](1)∵cos C＝cos [π－(A＋B)]＝－cos (A＋B)＝－，且C∈(0，π)，∴C＝.
(2)∵a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，∴
∴AB2＝b2＋a2－2abcos 120°＝(a＋b)2－ab＝10，∴AB＝.
10、【答案】D
【解析】∵(a2＋c2－b2)tan B＝ac，∴·tan B＝，
即cos B·tan B＝sin B＝.∵0＜B＜π，∴角B的值为或.
11、【答案】D
【解析】设角A，B，C的对边分别为a，b，c，依题意得，a＝5，b＝6，c＝7.
∴·＝||·||·cos(π－B)＝－ac·cos B.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B，
∴－ac·cos B＝(b2－a2－c2)＝(62－52－72)＝－19，∴·＝－19.
12、【答案】
【解析】bccos A＋accos B＋abcos C＝＋＋＝.
因为a＝3，b＝4，c＝6，所以bccos A＋accos B＋abcos C＝×(32＋42＋62)＝.
13、[解] (1)由(a－c)2＝b2－ac，可得a2＋c2－b2＝ac.所以＝，即cos B＝.
(2)因为b＝，cos B＝，由余弦定理，得b2＝13＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－ac，
又a＋c＝2b＝2，所以13＝52－ac，解得ac＝12.
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