资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
平面向量综合复习
班级 姓名
知识归纳
一、平面向量的基本概念
1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
2、零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
3、单位向量：长度等于1个单位的向量．
4、平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行．
5、相等向量：长度相等且方向相同的向量．
6、相反向量：长度相等且方向相反的向量．
二、向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λa|＝|λ||a|，当λ > 0时，λa与a的方向相同；当λ < 0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb
三、向量的共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.
四、平面向量的数量积
1、向量的夹角
已知非零向量a,b,作＝a,＝b,则∠AOB叫做a与b的夹角，a与b的夹角的取值范围是[0,π].
当a与b同向时,它们的夹角为0；当a与b反向时,它们的夹角为π；
当夹角为90°时,我们说a与b垂直,记作a⊥b.
2、平面向量的数量积的定义
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|·cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.
3、投影向量
设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，这种变换为向量a向向量b投影，
叫做向量a在向量b上的投影向量．
a在b上的投影向量为：；b在a上的投影向量为：．
五、平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
六、平面向量的坐标运算
1、向量加法、减法、数乘及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
2、向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
3、已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
结论 几何表示 坐标表示
模 |a|＝ |a|＝
夹角 cosθ＝ cosθ＝
a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤
4、平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线 x1y2－x2y1＝0.
七、“爪”子定理
形式1：在△ABC中，D是BC上的点，如果|BD|＝m，|DC|＝n，则＝＋，其中，，知二可求一．特别地，若D为线段BC的中点，则＝(＋)．
　　　　　
形式2：在△ABC中，D是BC上的点，且＝λ，则＝λ＋(1－λ)，其中，，知二可求一．特别地，若D为线段BC的中点，则＝(＋)．
八、极化恒等式
1、三角形模型
在中，D为BC的中点：
2、平行四边形模型
在平行四边形ABCD中：
九、平面向量与三角形的四心
1、关于四心的概念及性质：
(1)重心：三角形的重心是三角形三条中线的交点．
性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1．
②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．
③在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数．即G为△ABC的重心，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则G．
④重心到三角形3个顶点距离的平方和最小．
(2)垂心：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点．
性质：锐角三角形 ( http: / / baike. / view / 9094.htm )的垂心在三角形内，直角三角形 ( http: / / baike. / view / 8935.htm )的垂心在直角顶点上，钝角三角形 ( http: / / baike. / view / 9110.htm )的垂心在三角形外．
(3)内心：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心)．
性质：①三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r．
②，特别地，在Rt△ABC中，∠C=90°，．
(4)外心：三角形三边的垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心)．
性质：外心到三角形各顶点的距离相等．
2、三角形四心的向量式
设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则
(1)G为△ABC的重心 ＋＋＝0．
(2)O为△ABC的外心 ||＝||＝||＝ sin 2A·＋sin 2B·＋sin 2C·＝0．
(3)O为△ABC的内心 a＋b＋c＝0 sin A·＋sin B·＋sin C·＝0．
(4)H为△ABC的垂心 ·＝·＝·或2＋2＝2＋2＝2＋2
tan A·＋tan B·＋tan C·＝0．
典例分析
题型一、平面向量的线性运算
例1-1、如图，在△ABC中，点D在BC边上，且CD＝2DB，点E在AD边上，且AD＝3AE，则用向量，表示与，则= ； .
A．＋　　　　 　B．－　　　　　
C．＋　　　　 　D．－
例1-2、如图，在直角梯形中，，为边上一点，，为的中点，则＝（ ）
A． B．
C． D．
例1-3、在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于H，记，分别为a，b，则＝(　　)
A．a－b　　　　　B．a＋b　　　　　C．－a＋b　　　　　D．－a－b
题型二、平面向量数量积的运算
例2-1、(1)||＝5，||＝4，与的夹角θ＝120°，则向量在向量方向上的投影向量为________．
(2)已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影向量为________．
例2-2、已知非零向量，的夹角为，，，则______．
例2-3、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，AD＝3，CD＝2，＝2.若·＝－3，则·＝ .
例2-4、如图，△AOB为直角三角形，OA＝1，OB＝2，C为斜边AB的中点，P为线段OC的中点，则·＝ .
题型三、平面向量的平行与垂直问题
例3-1、(1)已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(1，1)，c＝(－5，1)．若(a＋kb)∥c，则实数k的值为
(2)已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝
例3-2、设a，b是不共线的两个非零向量．
(1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，求证：A，B，C三点共线；
(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值；
(3)若＝a＋b，＝2a－3b，＝2a－kb，且A，C，D三点共线，求k的值．
题型四、向量的夹角问题
例4-1、已知e1，e2是单位向量，m＝e1＋2e2，n＝5e1－4e2，若m⊥n，则e1与e2的夹角为________．
例4-2、已知正方形ABCD，点E在边BC上，且满足2＝，设向量，的夹角为θ，则cos θ＝________．
例4-3、若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，则向量a＋b与a的夹角为________．
例4-4、已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，若∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是________．
题型五、向量的长度(模)与距离的问题
例5-1、若||＝||＝|－|＝2，则|＋|＝________．
例5-2、设向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝，a·(a－b)＝0，则|2a＋b|＝______．
例5-3、已知向量、、满足，，，则______．
题型六、极化恒等式的应用
例6-1、如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则·＋·＝________．
例6-2、如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且＝λ，·＝－，则实数λ的值为________，若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则·的最小值为________．
题型七、三角形四心的判断
例7-1、已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足
＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的________．
例7-2、在△ABC中，设2－2＝2·，那么动点M的轨迹必经过△ABC的(　　)
A．垂心　　　　　　B．内心　　　　　　C．外心　　　　　　　D．重心
例7-3、下列叙述正确的是________．
①为的重心．
②为的垂心．
③为的外心．
④为的内心．
课后作业
一、基础训练题
1．已知平面向量a，b的夹角为，且a·(a－b)＝8，|a|＝2，则|b|等于(　　)
A． B．2
C．3 D．4
2．已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC的中点，则||等于(　　)
A．2　　　　 B．4
C．6　　　　 D．8
3．已知平面向量，不共线，，，，则（ ）
A．，，三点共线 B．，，三点共线
C．，，三点共线 D．，，三点共线
4．已知单位向量满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
5．在等边中，O为重心，D是的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知平面向量，的夹角为，且，，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(　　)
A．　　　　　　　 B．　　　　　　　　
C．　　　　　　　　 D．
8．已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝，则向量a与b的夹角为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．以上都不对
9．已知点在所在平面内，满，，则点依次是的（ ）
A．重心，外心 B．内心，外心
C．重心，内心 D．垂心，外心
10．已知是平面内一点，，，是平面内不共线的三点，若，一定是的（ ）
A．外心 B．重心
C．垂心 D．内心
11．(多选题)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是(　　)
A．|b|＝2　　　　 B．a⊥b　　　　
C．a·b＝－1　　　　 D．(4a＋b)⊥
12．(多选题)如图，在4×6的方格纸(小正方形的边长为1)中有一个向量(以图中的格点O为起点，格点A为终点)，则(　　)
A．分别以图中的格点为起点和终点的有向线段表示的向量中，与是相反向量的共有11个
B．满足|－|＝的格点B共有3个
C．存在格点B，C，使得＝＋
D．满足·＝1的格点B共有4个
13．(多选题)已知单位向量的夹角为,则以下说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．与可以作为平面内的一组基底
14．(多选题)设，非零向量，，则（ ）.
A．若，则 B．若，则
C．存在，使 D．若，则
15．已知向量a，b的夹角为，|a|＝，|b|＝2，则a·(a－2b)＝________．
16．已知非零向量a，b满足|a－b|＝|a|，a·(a－b)＝0，则a－b与b夹角的大小为________．
17．已知平面向量满足，则_______．
18．已知平面向量a，b满足|a|＝1，b＝(1，1)，且a∥b，则向量a的坐标是__________．
19．已知非零向量a＝(t，0)，b＝(－1，)，若a＋2b与a的夹角等于a＋2b与b的夹角，则t＝________．
20．已知向量，且，则__________，在方向上的投影向量的坐标为__________.
21．已知向量e1，e2，且|e1|＝|e2|＝1，e1与e2的夹角为.m＝λe1＋e2，n＝3e1－2e2.
(1)求证：(2e1－e2)⊥e2；
(2)若|m|＝|n|，求λ的值；
(3)若m⊥n，求λ的值；
(4)若m与n的夹角为，求λ的值．
22．如图，＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，且∥．
(1)求y与x的关系式；
(2)若⊥，求x与y的值及四边形ABCD的面积．
二、综合训练题
23．如图所示，AB是圆O的直径，P是上的点，M，N是直径AB上关于点O对称的两点，且
AB＝6，MN＝4，则·＝(　　)
A．13　　　　　　　　B．7　　　　　　　　C．5　　　　　　　　D．3
24．如图，在四边形ABCD中，AB＝6，AD＝2，＝，AC与BD相交于点O，E是BD的中点，若·＝8，则·＝(　　)
A．－9　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．－10　　　　　　　　D．－
25．如图所示，在正方形ABCD中，M是BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)
A. B.
C. D.2
三、能力提升题
26．已知非零向量，满足，且，则为（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
27．(多选题)如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有眼，阴鱼的头部有个阳殿，表示万物都在相互转化，互相涉透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律，其平面图形记为图乙中的正八边形，其中，则（ ）
A． B．
C． D．
28．如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝，C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则·的最小值为________．
平面向量综合复习参考答案
典例分析
题型一、平面向量的线性运算
例1-1、如图，在△ABC中，点D在BC边上，且CD＝2DB，点E在AD边上，且AD＝3AE，则用向量，表示与，则= ； .
A．＋　　　　　B．－　　　　　C．＋　　　　　D．－
【答案】＝＋ ＝－
【解析】＝＋ ; ＝－＝－＝(＋)－
＝－＝－．
例1-2、如图，在直角梯形中，，为边上一点，，为的中点，则＝（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
例1-3、在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于H，记，分别为a，b，则＝(　　)
A．a－b　　　　　B．a＋b　　　　　C．－a＋b　　　　　D．－a－b
【答案】B　
【解析】设＝λ，＝μ．而＝＋＝－b＋λ＝－b＋λ，
＝μ＝μ．因此，μ＝－b＋λ．由于a，b不共线，
因此由平面向量的基本定理，得解之得λ＝，μ＝．故＝λ＝λ＝a＋b．
另解：如图，过点F作BC的平行线交DE于G，则G是DE的中点，且＝＝，∴＝，易知△AHD∽△FHG，从而＝，∴＝，＝＋＝b＋a，∴＝＝a＋b，故选B．
题型二、平面向量数量积的运算
例2-1、(1)||＝5，||＝4，与的夹角θ＝120°，则向量在向量方向上的投影向量为________．
(2)已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影向量为________．
【答案】(1)；(2)
例2-2、已知非零向量，的夹角为，，，则______．
【答案】9
【解析】由及，夹角为可知，
又，解得，则，故
例2-3、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，AD＝3，CD＝2，＝2.若·＝－3，则·＝ .
【答案】
【解析】因为·＝·＝－2－·＝－3，所以·＝.
例2-4、如图，△AOB为直角三角形，OA＝1，OB＝2，C为斜边AB的中点，P为线段OC的中点，则·＝ .
【答案】B　
【解析】法一：因为△AOB为直角三角形，OA＝1，OB＝2，C为斜边AB的中点，
所以＝＋，所以＝＝(＋)，则＝－＝－，
所以·＝(－3 )·(＋)＝(2－32)＝．
法二：以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(如图)，则A(0，1)，B(2，0)，C，P，所以＝，＝，故·＝×－×＝．
题型三、平面向量的平行与垂直问题
例3-1、(1)已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(1，1)，c＝(－5，1)．若(a＋kb)∥c，则实数k的值为
【答案】
【解析】由题意知，a＋kb＝(2，－1)＋k(1，1)＝(k＋2，k－1)，由(a＋kb)∥c，得－5(k－1)＝k＋2，
解得k＝，故选B.
(2)已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝
【答案】－3
【解析】因为m＋n＝(2λ＋3，3)，m－n＝(－1，－1)，(m＋n)⊥(m－n)，
所以(m＋n)·(m－n)＝(2λ＋3，3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.
例3-2、设a，b是不共线的两个非零向量．
(1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，求证：A，B，C三点共线；
(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值；
(3)若＝a＋b，＝2a－3b，＝2a－kb，且A，C，D三点共线，求k的值．
解：(1)证明：因为＝－＝a＋2b，＝－＝－a－2b，
所以＝－.又因为A为公共点，所以A，B，C三点共线．
(2)设8a＋kb＝λ(ka＋2b)，λ∈R，则解得或
所以实数k的值为±4.
(3)＝＋＝(a＋b)＋(2a－3b)＝3a－2b，因为A，C，D三点共线，所以与共线．
从而存在实数μ使＝μ，即3a－2b＝μ(2a－kb)，
所以解得所以k＝.
题型四、向量的夹角问题
例4-1、已知e1，e2是单位向量，m＝e1＋2e2，n＝5e1－4e2，若m⊥n，则e1与e2的夹角为________．
【答案】　
【解析】因为m⊥n，|e1|＝|e2|＝1，所以m·n＝(e1＋2e2)·(5e1－4e2)＝5e＋6e1·e2－8e＝－3＋6e1·e2＝0.
所以e1·e2＝.设e1与e2的夹角为θ，则cos θ＝＝.因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
例4-2、已知正方形ABCD，点E在边BC上，且满足2＝，设向量，的夹角为θ，则cos θ＝________．
【答案】－　
【解析】因为2＝，所以E为BC中点．设正方形的边长为2，则||＝，||＝2，
·＝·(－)＝||2－||2＋·＝×22－22＝－2，
所以cosθ＝＝＝－．
优解：因为2＝，所以E为BC中点．
设正方形的边长为2，建立如图所示的平面直角坐标系xAy，
则点A(0，0)，B(2，0)，D(0，2)，E(2，1)，所以＝(2，1)，＝(－2，2)，
所以·＝2×(－2)＋1×2＝－2，故cos θ＝＝＝－．
例4-3、若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，则向量a＋b与a的夹角为________．
【答案】　
【解析】设|b|＝1，则|a＋b|＝|a－b|＝2．由|a＋b|＝|a－b|，得a·b＝0，
故以a、b为邻边的平行四边形是矩形，且|a|＝，设向量a＋b与a的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝＝，又0≤θ≤π，所以θ＝．
例4-4、已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，若∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是________．
【答案】(－，)∪(，＋∞)　
【解析】由已知得＝－＝(3，1)，＝－＝(2－m，1－m)．
若∥，则有3(1－m)＝2－m，解得m＝．由题设知，＝(－3，－1)，＝(－1－m，－m)．
∵∠ABC为锐角，∴·＝3＋3m＋m>0，可得m>－．由题意知，当m＝时，∥．
故当∠ABC为锐角时，实数m的取值范围是(－，)∪(，＋∞)．
题型五、向量的长度(模)与距离的问题
例5-1、若||＝||＝|－|＝2，则|＋|＝________．
【答案】2　
【解析】∵||＝||＝|－|＝2，∴△ABC是边长为2的正三角形，
∴|＋|为△ABC的边BC上的高的2倍，∴|＋|＝2×2sin＝2．
例5-2、设向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝，a·(a－b)＝0，则|2a＋b|＝______．
【答案】2　
【解析】由a·(a－b)＝0，可得a·b＝a2＝1，由|a－b|＝，可得(a－b)2＝3，
即a2－2a·b＋b2＝3，解得b2＝4．所以(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝12，所以|2a＋b|＝2．
例5-3、已知向量、、满足，，，则______．
【答案】
【解析】由已知可得，则，
即，
因为，则，所以，，，
因此，，故.
题型六、极化恒等式的应用
例6-1、如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则·＋·＝________．
【答案】　
【解析】连结EG，FH，交于点O，则·＝·＝2－2＝1－＝，
·＝·＝2－2＝1－＝，因此·＋·＝．
例6-2、如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且＝λ，·＝－，则实
数λ的值为________，若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则·的最小值为________．
【答案】　　
【解析】第1空　因为＝λ，所以AD∥BC，则∠BAD＝120°，
所以·＝||·||·cos 120°＝－，解得||＝1．
因为，同向，且BC＝6，所以＝，即λ＝．
第2空　通法　在四边形ABCD中，作AO⊥BC于点O，则BO＝AB·cos 60°＝，AO＝AB·sin 60°＝．以O为坐标原点，以BC和AO所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系．如图，设M(a，0)，不妨设点N在点M右侧，
则N(a＋1，0)，且－≤a≤．又D，所以＝，＝，所以·＝a2－a＋＝2＋．所以当a＝时，·取得最小值．
极化恒等式法　如图，取MN的中点P，连接PD，则·＝2－2＝2－，当⊥时，||2取最小值，所以·的最小值为．
题型七、三角形四心的判断
例7-1、已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足
＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的________．
【答案】内心　
【解析】由条件，得－＝λ，
即＝λ，而和分别表示平行于，的单位向量，
故＋平分∠BAC，即平分∠BAC，所以点P的轨迹必过△ABC的内心．
例7-2、在△ABC中，设2－2＝2·，那么动点M的轨迹必经过△ABC的(　　)
A．垂心　　　　　　　　B．内心　　　　　　　　C．外心　　　　　　　　D．重心
【答案】C　
【解析】设BC边中点为D，∵2－2＝2 ·，∴(＋)·(－)＝2 ·，即·＝·，∴·＝0，则⊥，即MD⊥BC，∴MD为BC的垂直平分线，∴动点M的轨迹必经过△ABC的外心，故选C．
例7-3、下列叙述正确的是________．
①为的重心．
②为的垂心．
③为的外心．
④为的内心．
【答案】①②　
【解析】①为的重心，
①正确；
②由，同理，，
②正确；
③
．，
与角的平分线平行，必然落在角的角平分线上，③错误；
④为的外心，④错误．正确的叙述是①②．故答案为：①②．
课后作业
一、基础训练题
1．已知平面向量a，b的夹角为，且a·(a－b)＝8，|a|＝2，则|b|等于(　　)
A． B．2
C．3 D．4
1、【答案】D
【解析】因为a·(a－b)＝8,所以a·a－a·b＝8，即|a|2－|a||b|cos〈a，b〉＝8，所以4＋2|b|×＝8，解得|b|＝4.
2．已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC的中点，则||等于(　　)
A．2　　　　 B．4
C．6　　　　 D．8
2、【答案】A
【解析】因为＝(＋)＝(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，
所以||2＝4(a－b)2＝4(a2－2b·a＋b2)＝4×＝4，则||＝2.
3．已知平面向量，不共线，，，，则（ ）
A．，，三点共线 B．，，三点共线
C．，，三点共线 D．，，三点共线
3、【答案】D
【解析】平面向量，不共线，，，，
对于A，，与不共线，A不正确；
对于B，因，，则与不共线，B不正确；
对于C，因，，则与不共线，C不正确；
对于D，，即，
又线段与有公共点，则，，三点共线，D正确.
4．已知单位向量满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4、【答案】A
【解析】，因为，所以，
所以在方向上的投影向量为.
5．在等边中，O为重心，D是的中点，则（ ）
A． B． C． D．
5、【答案】D
【解析】O为的重心，延长AO交BC于E，如图，
E为BC中点，则有，而D是的中点，
所以.
6．已知平面向量，的夹角为，且，，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
6、【答案】C
【解析】因为平面向量，的夹角为，且，，
所以在方向上的投影向量为 ，故选：C
7．已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
7、【答案】B　
【解析】方法一　设a与b的夹角为θ，因为(a－b)⊥b，
所以(a－b)·b＝a·b－|b|2＝0，又因为|a|＝2|b|，所以2|b|2cos θ－|b|2＝0，
即cos θ＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝，故选B．
方法二　如图，令＝a，＝b，则＝－＝a－b．
因为(a－b)⊥b，所以∠OBA＝，又|a|＝2|b|，所以∠AOB＝，即a与b的夹角为，故选B．
8．已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝，则向量a与b的夹角为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．以上都不对
8、【答案】C
【解析】设向量a与b的夹角为θ，因为a＋b＋c＝0，所以c＝－(a＋b)，所以c2＝(a＋b)2，
即|c|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos θ，所以19＝4＋9＋12cosθ，
所以cos θ＝，又0°≤θ≤180°，所以a与b的夹角为60°.
9．已知点在所在平面内，满，，则点依次是的（ ）
A．重心，外心 B．内心，外心 C．重心，内心 D．垂心，外心
9、【答案】A
【解析】设中点为，因为，
所以，即，
因为有公共点，所以，三点共线，即在的中线，
同理可得在的三条中线上，即为的重心；
因为，所以，点为的外接圆圆心，即为的外心
综上，点依次是的重心，外心.
10．已知是平面内一点，，，是平面内不共线的三点，若，一定是的（ ）
A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心
10、【答案】C
【解析】由题意知，中，，则，
即，所以，即，同理，，；
所以是的垂心.
11．(多选题)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是(　　)
A．|b|＝2　　　　B．a⊥b　　　　C．a·b＝－1　　　　D．(4a＋b)⊥
11、【答案】ACD　
【解析】在△ABC中，由＝－＝2a＋b－2a＝b，得|b|＝2，A错误．
又＝2a且||＝2，所以|a|＝1，所以a·b＝|a||b|cos 120°＝－1，B错误，C正确．
所以(4a＋b)·＝(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a＋b)⊥，D正确，故选D．
12．(多选题)如图，在4×6的方格纸(小正方形的边长为1)中有一个向量(以图中的格点O为起点，格点A为终点)，则(　　)
A．分别以图中的格点为起点和终点的有向线段表示的向量中，与是相反向量的共有11个
B．满足|－|＝的格点B共有3个
C．存在格点B，C，使得＝＋
D．满足·＝1的格点B共有4个
12、【答案】BCD
【解析】分别以图中的格点为起点和终点的有向线段表示的向量中，
与是相反向量的共有18个，故A错误．
以O为原点建立平面直角坐标系，则A(1，2)，设B(m，n)，若|－|＝，
则＝.由－3≤m≤3，－2≤n≤2，且m∈Z，n∈Z，
得B(0，－1)，(2，－1)，(－2，1)，共3个，故B正确．
当B点坐标为(1，0)，C点坐标为(0，2)时，＝＋，故C正确．
设B(a，b)，若·＝1，则a＋2b＝1，由－3≤a≤3，－2≤b≤2，且a∈Z，b∈Z，
得B(1，0)，(3，－1)，(－1，1)，(－3，2)，共4个，故D正确．故选BCD.
13．(多选题)已知单位向量的夹角为,则以下说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．与可以作为平面内的一组基底
13、【答案】ABD
【解析】据题意
因为所以,所以对
因为,所以,所以对.
因为
所以,所以错
因为与不共线,所以可以作为平面内的一组基底,所以正确故选：ABD
14．(多选题)设，非零向量，，则（ ）.
A．若，则 B．若，则
C．存在，使 D．若，则
14、【答案】ABD
【解析】A选项，，则，故A正确；
B选项，，则，
故，故B正确；
C选项，假设存在，使，则，，则可得，故可得，则假设不成立，故C错误；
D选项，因，则，又由题可得，则
，故D正确.
15．已知向量a，b的夹角为，|a|＝，|b|＝2，则a·(a－2b)＝________．
15、【答案】6
【解析】a·(a－2b)＝a2－2a·b＝2－2××2×＝6.
16．已知非零向量a，b满足|a－b|＝|a|，a·(a－b)＝0，则a－b与b夹角的大小为________．
16、【答案】135°
解析：因为非零向量a，b满足a·(a－b)＝0，所以a2＝a·b，由|a－b|＝|a|可得a2－2a·b＋b2＝a2，
解得|b|＝|a|，设a－b与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝＝－，
又0°≤θ≤180°，所以θ＝135°.
17．已知平面向量满足，则_______．
17、【答案】
【解析】由可得，两边同时平方得，
，，解得.故答案为：.
18．已知平面向量a，b满足|a|＝1，b＝(1，1)，且a∥b，则向量a的坐标是__________．
18、【答案】或　
【解析】a＝(x，y)，因为平面向量a，b满足|a|＝1，b＝(1，1)，
且a∥b，所以＝1，且x－y＝0，解得x＝y＝±．所以a＝或．
19．已知非零向量a＝(t，0)，b＝(－1，)，若a＋2b与a的夹角等于a＋2b与b的夹角，则t＝________．
19、【答案】4或－4
【解析】由题设得＝，所以|b|(|a|2＋2b·a)＝|a|(a·b＋2|b|2)，
将a＝(t，0)，b＝(－1，)代入整理得2t2＋t·|t|＝8|t|＋4t，当t>0时，3t2＝12t，所以t＝4；
当t<0时，t2＝－4t，所以t＝－4.综上，t的值为4或－4.
20．已知向量，且，则__________，在方向上的投影向量的坐标为__________.
20、【答案】
【解析】①已知，，由于，所以，解得；
②由①知：，，得，
则，，
故在方向上的投影为，
得在方向上的投影向量为.
故答案为：；
21．已知向量e1，e2，且|e1|＝|e2|＝1，e1与e2的夹角为.m＝λe1＋e2，n＝3e1－2e2.
(1)求证：(2e1－e2)⊥e2；
(2)若|m|＝|n|，求λ的值；
(3)若m⊥n，求λ的值；
(4)若m与n的夹角为，求λ的值．
21、解析：(1)证明：因为|e1|＝|e2|＝1，e1与e2的夹角为，
所以(2e1－e2)·e2＝2e1·e2－e＝2|e1||e2|cos－|e2|2＝2×1×1×－12＝0，所以(2e1－e2)⊥e2.
(2)由|m|＝|n|得(λe1＋e2)2＝(3e1－2e2)2，即(λ2－9)e＋(2λ＋12)e1·e2－3e＝0.
因为|e1|＝|e2|＝1，〈e1，e2〉＝，所以e＝e＝1，e1·e2＝1×1×cos＝，
所以(λ2－9)×1＋(2λ＋12)×－3×1＝0，即λ2＋λ－6＝0.所以λ＝2或λ＝－3.
(3)由m⊥n知m·n＝0，即(λe1＋e2)·(3e1－2e2)＝0，即3λe＋(3－2λ)e1·e2－2e＝0.
因为|e1|＝|e2|＝1，〈e1，e2〉＝，所以e＝e＝1，e1·e2＝1×1×cos＝，
所以3λ＋(3－2λ)×－2＝0.所以λ＝.
(4)由前面解答知e＝e＝1，e1·e2＝，|n|＝.
而|m|2＝(λe1＋e2)2＝λ2e＋2λe1·e2＋e＝λ2＋λ＋1，所以|m|＝.
m·n＝(λe1＋e2)·(3e1－2e2)＝3λe＋(3－2λ)e1·e2－2e＝3λ＋(3－2λ)×－2＝2λ－.
因为〈m，n〉＝，由m·n＝|m||n|cos〈m，n〉得2λ－＝·×，
化简得3λ2－5λ－2＝0，所以λ＝2或λ＝－.经检验知λ＝－不成立，故λ＝2.
22．如图，＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，且∥．
(1)求y与x的关系式；
(2)若⊥，求x与y的值及四边形ABCD的面积．
22、[解]　(1)∵＝＋＋＝(4＋x，y－2)，
∴由∥，得x(y－2)＝y(4＋x)，即y＝－x．
(2)由题易得，＝＋＝(x＋6，y＋1)，＝＋＝(x－2，y－3)．
由⊥可得·＝0，
即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝x2＋y2＋4x－2y－15＝0，
又∵y＝－x，
∴或
∴＝(8,0)，＝(0，－4)或＝(0,4)，＝(－8,0)，
又∵⊥，
∴四边形ABCD的面积为·||||＝×8×4＝16．
二、综合训练题
23．如图所示，AB是圆O的直径，P是上的点，M，N是直径AB上关于点O对称的两点，且
AB＝6，MN＝4，则·＝(　　)
A．13　　　　　　　　B．7　　　　　　　　C．5　　　　　　　　D．3
23、【答案】C　
【解析】连接AP，BP，则＝＋，＝＋＝－，所以·＝(＋)·(－)＝·－·＋·－||2＝－·＋·－||2＝·－||2＝1×6－1＝5．
24．如图，在四边形ABCD中，AB＝6，AD＝2，＝，AC与BD相交于点O，E是BD的中点，若·＝8，则·＝(　　)
A．－9　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．－10　　　　　　　　D．－
24、【答案】D
【解析】由＝，可得DC∥AB，且DC＝2，则△AOB∽△COD，
＝＝ (＋)＝＋，又E是BD的中点，所以＝＋，
则·＝(＋)(＋)＝＋＋·＝＋＋·＝8，
则·＝4，则·＝(＋)·(－)＝－－·＝4－×36－×4＝－．
25．如图所示，在正方形ABCD中，M是BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)
A. B.
C. D.2
25、【答案】B
【解析】因为＝λ＋μ＝λ(＋)＋μ(＋)＝λ(＋)＋μ(－＋)
＝(λ－μ)＋，且＝＋，所以得所以λ＋μ＝，故选B.
三、能力提升题
26．已知非零向量，满足，且，则为（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
26、【答案】D
【解析】，，，
，为等腰三角形，又，，
，又，所以，为等边三角形，
27．(多选题)如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有眼，阴鱼的头部有个阳殿，表示万物都在相互转化，互相涉透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律，其平面图形记为图乙中的正八边形，其中，则（ ）
A． B．
C． D．
27、【答案】ABC
【解析】由题意，分别以所在的直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
因为正八边形，所以
，作，则，
因为，所以，所以，
同理可得其余各点坐标，，，，，
对于A中，，故A正确；
对于B中，，故B正确；
对于C中，，，，
所以，故C正确；
对于D中，，，，
，故D不正确.
28．如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝，C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则·的最小值为________．
28、【答案】－　
【解析】取OB的中点D，连接PD，则·＝||2－||2＝||2－，于是只要求求
PD的最小值即可，由图可知，当PD⊥AB，时，PD＝，即所求最小值为－．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 6.4.3余弦定理、正弦定理（三）
正弦定理
班级 姓名 6.4.3余弦定理、正弦定理（四）
正弦定理
班级 姓名
学习目标
1．掌握正弦定理的变形式及运用．
2．会利用正弦定理边角互化．
3．掌握判断三角形的形状的基本方法．
学习过程
自学指导 自学检测及课堂展示
正弦定理的变形式与运用 1．正弦定理： ＝ ＝ ＝ 2．正弦定理的变形若R为△ABC外接圆的半径，则(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；(2)sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)；(3)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；(4)eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝2R．【即时训练1】在△ABC中，A∶B∶C＝4∶1∶1，则a∶b∶c等于 【即时训练2】在△ABC中，若eq \r(3)a＝2bsin A，则B＝
知识拓展 3．三角形内的诱导公式在△ABC中，A＋B＋C＝π，则C＝π－(A＋B)，eq \f(C,2)＝eq \f(π,2)－eq \f(A＋B,2)sin(A＋B)＝ ；cos(A＋B)＝ ；tan(A＋B)＝ ；＝ ；＝ ．【即时训练3】在△ABC中，a＝4，b＝eq \f(5,2)，5cos(B＋C)＋3＝0，则B的大小为 4．射影定理在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，则：a＝ ，b＝ ，c＝ .
三角形形状的判断 例1、在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状． 变式1、在△ABC中，若3b＝2eq \r(3)asin B，cos A＝cos C，试判断△ABC的形状．
正弦定理与余弦定理的综合运用 例2、设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝eq \r(3)acosB.(1)求角B的大小；(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．变式2、如图,在△ABC中,∠B＝eq \f(π,3),AB＝8,点D在BC边上,CD＝2,cos∠ADC＝eq \f(1,7).(1)求sin∠BAD；(2)求BD，AC的长．
课后作业
一、基础训练题
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若eq \f(b,\r(3)cos B)＝eq \f(a,sin A)，则cos B等于(　　)
A．－eq \f(1,2) B．eq \f(1,2)
C．－eq \f(\r(3),2) D．eq \f(\r(3),2)
2．已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若acos B＝bcos A，则△ABC一定是(　　)
A．等腰三角形　　　 B．等边三角形
C．直角三角形　　 D．等腰直角三角形
3．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，满足eq \f(a,cos A)＝eq \f(b,cos B)＝eq \f(c,cos C)，则△ABC的形状是(　　)
A．等腰三角形　　 B．直角三角形
C．等边三角形　　 D．等腰直角三角形
4．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
5．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长等于________．
6．已知在△ABC中，A∶B∶C＝1∶2∶3，a＝1，则eq \f(a－2b＋c,sin A－2sin B＋sin C)＝________.
7．如图，在△ABC中，D是AC边上的点，且AB＝AD＝eq \f(\r(3),2)BD，
BC＝2BD，则sin C的值是________．
8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin A＋csin C－eq \r(2)asin C＝bsin B.
(1)求角B的大小；
(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.
9．已知△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos C＋eq \f(\r(3),2)c＝b.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝1，b＝eq \r(3)，求c的值．
二、综合训练题
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c－acos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状是(　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos C＋eq \r(3)bsin C－a－c＝0，则角B＝_____．
12．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，B＝eq \f(2π,3)，若a2＋c2＝4ac，则eq \f(sin（A＋C）,sin Asin C)＝____
三、能力提升题
13．(多选题)在△ABC中，A>B，则下列不等式中一定正确的是(　　)
A．sin A>sin B B．cos AC．sin 2A>sin 2B D．cos 2A14．(多选题)下列命题中，正确的是(　　)
A．在△ABC中，若A>B，则sin A>sin B
B．在锐角△ABC中，不等式sin A>cos B恒成立
C．在△ABC中，若acos A＝bcos B，则△ABC必是等腰直角三角形
D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形
6.4.3余弦定理、正弦定理（四）
正弦定理参考答案
1、【答案】B　
【解析】由正弦定理知eq \f(sin B,\r(3)cos B)＝eq \f(sin A,sin A)＝1，即tan B＝eq \r(3)，
由B∈(0，π)，所以B＝eq \f(π,3)，所以cos B＝cos eq \f(π,3)＝eq \f(1,2).
2、【答案】A
【解析】由正弦定理得：acos B＝bcos A sin Acos B＝sin Bcos A sin(A－B)＝0，由于－π＜A－B＜π，
故必有A－B＝0，A＝B，即△ABC为等腰三角形．
3、【答案】C
【解析】由正弦定理得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，又eq \f(a,cos A)＝eq \f(b,cos B)＝eq \f(c,cos C)，得eq \f(sin A,cos A)＝eq \f(sin B,cos B)＝eq \f(sin C,cos C)，
即tan A＝tan B＝tan C，所以A＝B＝C，即△ABC为等边三角形．
4、【答案】B　
【解析】由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，
即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sin A＞0，∴sin A＝1，
即A＝eq \f(π,2)，∴△ABC为直角三角形．
5、【答案】eq \f(\r(6),3)　
【解析】由三角形内角和定理知：A＝75°，由边角关系知B所对的边b为最小边，
由正弦定理eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)得b＝eq \f(csin B,sin C)＝eq \f(1×\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝eq \f(\r(6),3)．
6、【答案】2
【解析】∵A∶B∶C＝1∶2∶3，∴A＝30°，B＝60°，C＝90°.
∵eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝eq \f(1,sin 30°)＝2，∴a＝2sin A，b＝2sin B，c＝2sin C，
∴eq \f(a－2b＋c,sin A－2sin B＋sin C)＝2.
7、【答案】eq \f(\r(6),6)
【解析】设AB＝x，则AD＝x，BD＝eq \f(2\r(3),3)x，BC＝eq \f(4\r(3),3)x.在△ABD中，
由余弦定理，得cos A＝eq \f(x2＋x2－\f(4,3)x2,2x2)＝eq \f(1,3)，则sin A＝eq \f(2\r(2),3).
在△ABC中，由正弦定理，得eq \f(x,sin C)＝eq \f(BC,sin A)＝eq \f(\f(4\r(3),3)x,\f(2\r(2),3))，解得sin C＝eq \f(\r(6),6).
8、[解]　(1)由正弦定理得a2＋c2－eq \r(2)ac＝b2.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B.故cos B＝eq \f(\r(2),2)，因此B＝45°.
(2)sin A＝sin (30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝eq \f(\r(2)＋\r(6),4).
故由正弦定理得a＝b·eq \f(sin A,sin B)＝1＋eq \r(3).
由已知得，C＝180°－45°－75°＝60°，c＝b·eq \f(sin C,sin B)＝2×eq \f(sin 60°,sin 45°)＝eq \r(6).
9、[解] (1)由acos C＋eq \f(\r(3),2)c＝b，得sin Acos C＋eq \f(\r(3),2)sin C＝sin B.
因为sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，所以eq \f(\r(3),2)sin C＝cos Asin C.
因为sin C≠0，所以cos A＝eq \f(\r(3),2).因为0(2)由正弦定理，得sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(\r(3),2).所以B＝eq \f(π,3)或eq \f(2π,3).
①当B＝eq \f(π,3)时，由A＝eq \f(π,6)，得C＝eq \f(π,2)，所以c＝2；
②当B＝eq \f(2π,3)时，由A＝eq \f(π,6)，得C＝eq \f(π,6)，所以c＝a＝1.
综上可得c＝1或2.
10、【答案】D
【解析】已知c－acos B＝(2a－b)cos A，由正弦定理得sin C－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，
所以sin(A＋B)－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，化简得cos A(sin B－sin A)＝0，
所以cos A＝0或sin B－sin A＝0，则A＝90°或A＝B，故△ABC为等腰三角形或直角三角形．
11、【答案】
【解析】由正弦定理知，sin Bcos C＋eq \r(3)sin Bsin C－sin A－sin C＝0.(*)
因为sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
代入(*)式得eq \r(3)sin Bsin C－cos Bsin C－sin C＝0.
因为sin C＞0，所以eq \r(3)sin B－cos B－1＝0，
所以2sin＝1，即sin＝eq \f(1,2).因为B∈(0，π)，所以B＝eq \f(π,3).
12、【答案】
【解析】因为eq \f(a2＋c2,ac)＝eq \f(b2＋2accos B,ac)＝4，B＝eq \f(2π,3)，所以b2＝5ac.
由正弦定理得sin2B＝5sin Asin C＝eq \f(3,4)，所以sin Asin C＝eq \f(3,20)，所以eq \f(sin（A＋C）,sin Asin C)＝eq \f(sin B,sin Asin C)＝eq \f(10\r(3),3).
13、【答案】ABD　
【解析】A>B a>b sin A>sin B，A正确．
由于在(0，π)上，y＝cos x单调递减，∴cos Acos 2α＝1－2sin2α．∵sin A>sin B>0，∴sin2 A>sin2 B，∴cos 2A14、【答案】ABD　
【解析】对于A，在△ABC中，由正弦定理可得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，所以sin A>sin B a>b A>B，故A正确；对于B，在锐角△ABC中，A，B∈，且A＋B>eq \f(π,2)，则eq \f(π,2)>A>eq \f(π,2)－B>0，
所以sin A>sin＝cos B，故B正确；
对于C，在△ABC中，由acos A＝bcos B，利用正弦定理可得sin 2A＝sin 2B，
得到2A＝2B或2A＝π－2B，故A＝B或A＝eq \f(π,2)－B，即△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2accos B，
所以ac＝a2＋c2－ac，即(a－c)2＝0，解得a＝c，又B＝60°，所以△ABC必是等边三角形，故D正确．
学习目标
1．通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明．
2．能运用正弦定理解决简单的解三角形问题．
学习过程
自学指导 自学检测及课堂展示
阅读教材，完成右边的内容 1、正弦定理条件在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c结论 ＝ ＝ 文字叙述在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等2、正弦定理的证明方法一：利用面积相等 方法二：利用外接圆【即时训练】在△ABC中，若a＝3，cos A＝－eq \f(1,2)，则△ABC的外接圆的半径为________．
已知两角一边解三角形(AAS或ASA) 例1、在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形．变式1、在△ABC中，已知A＝60°，tan B＝eq \r(2)，a＝2，则c＝________．
已知两边和其中一边的对角解三角形 例2、解下列三角形ABC：(1)a＝eq \r(2)，b＝2，A＝30°，求C； (2)A＝60°，a＝eq \r(2)，b＝eq \f(2\r(3),3)，求B； (3)a＝3，b＝4，A＝60°，求B.
三角形解的个数 已知两边及其中一边的对角，用正弦定理解三角形，可能有两解、一解或无解．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角图形关系式a2　　　　　　　　 B．x<2C．2课后作业
一、基础训练题
1．在△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则边b的值为(　　)
A．eq \r(3)＋1　　　　　 B．2eq \r(3)＋1
C．2eq \r(6) D．2＋2eq \r(3)
2．在△ABC中，A＝60°，a＝4eq \r(3)，b＝4eq \r(2)，则B等于(　　)
A．45°或135° B．135°
C．45° D．以上答案都不对
3．(多选题)在△ABC中，下列式子与 eq \f(sin A,a) 的值相等的有(　　)
A． eq \f(b,c) B． eq \f(sin B,sin A)
C． eq \f(sin C,c) D． eq \f(1,2R) (R为△ABC的外接圆半径)
4．(多选题)的内角A，B，C的对边分别为，已知，，若解该三角形有且只有一解，则b的可能值为（ ）
A．5 B．
C． D．6
5．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a＝eq \r(3)，sin B＝eq \f(1,2)，C＝eq \f(π,6)，则b＝________．
6．在△ABC中，若eq \f(sin A,a)＝eq \f(cos B,b)，则B的度数为________．
7．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长等于________．
8．在△ABC中，已知b＝3，c＝3eq \r(3)，B＝30°，求角A，角C和边a.
9．如图所示，AB⊥BC，CD＝33，∠ACB＝30°，∠BCD＝75°，∠BDC＝45°，求AB的长．
10．已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B.
二、综合训练题
11．(多选题)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列各组条件中使得△ABC有两个解的是(　　)
A．a＝2 eq \r(3) ，b＝4，A＝ eq \f(π,6)
B．a＝2 eq \r(3) ，b＝4，cos A＝ eq \f(3,5)
C．a＝2 eq \r(3) ，b＝4，C＝ eq \f(π,6)
D．a＝2 eq \r(3) ，b＝4，B＝ eq \f(π,6)
12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，B＝2A，cos A＝eq \f(\r(6),3)，则b＝________．
13．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝eq \f(4,5)，cos C＝eq \f(5,13)，a＝1，则b＝ .
6.4.3余弦定理、正弦定理（三）
正弦定理参考答案
1、【答案】C　
【解析】由已知及正弦定理，得eq \f(4,sin 45°)＝eq \f(b,sin 60°)，∴b＝eq \f(4sin 60°,sin 45°)＝eq \f(4×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝2eq \r(6)．
2、【答案】C　
【解析】∵sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(4\r(2)×\f(\r(3),2),4\r(3))＝eq \f(\r(2),2)，∴B＝45°或135°．
∵a＞b，∴当B＝135°时，不符合题意，∴B＝45°．
3．【答案】CD
【解析】对A，取a＝3，b＝5，c＝4，显然 eq \f(sin A,a) ≠ eq \f(b,c) ，故A错误；
对B，取a＝3，b＝5，c＝4， eq \f(sin B,sin A) ＝ eq \f(b,a) ≠ eq \f(sin A,a) ，故B错误；
对C，D，∵ eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(b,sin B) ＝ eq \f(c,sin C) ＝2R，∴ eq \f(sin A,a) ＝ eq \f(sin C,c) ＝ eq \f(1,2R) ，故C，D正确．故选CD.
4、【答案】CD
【解析】①，三角形有两解；②当时，三角形有一解；
③当时，三角形为等腰直角三角形，有一解；④当时，三角形无解．
5、【答案】1　
【解析】在△ABC中，∵sin B＝eq \f(1,2)，0又∵B＋C<π，C＝eq \f(π,6)，∴B＝eq \f(π,6)，∴A＝π－eq \f(π,6)－eq \f(π,6)＝eq \f(2,3)π．∵eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，∴b＝eq \f(asin B,sin A)＝1．
6、【答案】45°
【解析】根据正弦定理知，eq \f(sin A,a)＝eq \f(sin B,b)，结合已知条件可得sin B＝cos B，又0°＜B＜180°，所以B＝45°.
7、【答案】eq \f(\r(6),3)　
【解析】由三角形内角和定理知：A＝75°，由边角关系知B所对的边b为最小边，
由正弦定理eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)得b＝eq \f(csin B,sin C)＝eq \f(1×\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝eq \f(\r(6),3)．
8、[解]　方法一：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B，
得32＝a2＋(3eq \r(3))2－2a×3eq \r(3)×cos 30°∴a2－9a＋18＝0，得a＝3或6.
当a＝3时，A＝30°，∴C＝120°.
当a＝6时，由正弦定理，得sin A＝eq \f(asin B,b)＝eq \f(6×\f(1,2),3)＝1.
∴A＝90°，∴C＝60°.
方法二：由bcsin 30°＝3eq \r(3)×eq \f(1,2)＝eq \f(3\r(3),2)，知本题有两解．
由正弦定理，得sin C＝eq \f(csin B,b)＝eq \f(3\r(3)×\f(1,2),3)＝eq \f(\r(3),2).∴C＝60°或120°.
当C＝60°时，A＝90°，由勾股定理，得a＝eq \r(b2＋c2)＝eq \r(32＋（3\r(3)）2)＝6.
当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形，∴a＝3.
9、[解] 在△BCD中，∠DBC＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理知，eq \f(33,sin 60°)＝eq \f(BC,sin 45°)，
可得BC＝11eq \r(6)，在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝11eq \r(6)×tan 30°＝11eq \r(2).
10、[解] 由正弦定理可知 eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(c,sin C) ，
∴a＝ eq \f(c,sin C) ·sin A＝ eq \f(10,\f(1,2)) × eq \f(\r(2),2) ＝10 eq \r(2) ，
因为A＝45°，C＝30°，所以B＝180°－45°－30°＝105°，
sin B＝sin (A＋C)＝sin (30°＋45°)＝ eq \f(1,4) ( eq \r(6) ＋ eq \r(2) )， eq \f(c,sin C) ＝ eq \f(b,sin B) ，
所以b＝ eq \f(c sin B,sin C) ＝ eq \f(10sin 105°,sin 30°) ＝5( eq \r(2) ＋ eq \r(6) ).
11．【答案】AB
【解析】A选项，b sin A＝4×sin eq \f(π,6) ＝2，b sin AB选项，a0，A为锐角，sin A＝ eq \r(1－cos 2A) ＝ eq \f(4,5) ，b sin A＝4× eq \f(4,5) ＝ eq \f(16,5) ，b sin A所以△ABC有两个解，B选项正确；
C选项，由余弦定理得c＝ eq \r(a2＋b2－2ab cos C) ＝4，所以△ABC有唯一解；
D选项，a sin B＝2 eq \r(3) × eq \f(1,2) ＝ eq \r(3) ，a sin B12、【答案】2eq \r(6)
【解析】因为cos A＝eq \f(\r(6),3)，所以sin A＝eq \f(\r(3),3)，因为B＝2A，所以sin B＝sin 2A＝2sin Acos A＝eq \f(2\r(2),3)，
又eq \f(b,sin B)＝eq \f(a,sin A)，所以b＝2eq \r(6).
13、【答案】eq \f(21,13)
【解析】在△ABC中由cos A＝eq \f(4,5)，cos C＝eq \f(5,13)，可得sin A＝eq \f(3,5)，sin C＝eq \f(12,13)，
sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝eq \f(63,65)，由正弦定理得b＝eq \f(asin B,sin A)＝eq \f(21,13).
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑