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2023—2024学年七年级下学期
第一次综合训练数学学科试卷
一、选择题：（本大题共10小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 根据下列表述，能确定具体目标位置的是（ 　）
A. 电影院号厅第2排 B. 邢台市顺德路
C. 东经，北纬 D. 南偏西
【答案】C
【解析】
【分析】根据坐标的定义，确定位置需要两个数据对各选项分析判断利用排除法求解．
【详解】解：A、电影院1号厅第2排，不能确定具体位置，故本选项不符合题意；
B、普宁市大学路，不能确定具体位置，故本选项不符合题意；
C、东经118°，北纬68°，能确定具体位置，故本选项符合题意；
D、南偏西45°，不能确定具体位置，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标确定位置，理解确定坐标的两个数是解题的关键．
2. 下列四个数中，是有理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查实数的分类，算术平方根和立方根．实数分为有理数和无理数，有理数即可用有限小数和无限循环小数表示的数，无理数即无限不循环小数．
【详解】解：A、是有理数，故本选项符合题意；
B、是无理数，故本选项不符合题意；
C、是无理数，故本选项不符合题意；
D、是无理数，故本选项不符合题意；
故选：A．
3. 在下列式子中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了算术平方根的性质，立方根的性质，二次根式的减法运算，熟练掌握算术平方根的性质，立方根的性质，二次根式的减法运算法则是解题的关键．
【详解】解：A. ，原计算错误；
B. 不能开方，原计算错误；
C. ，计算正确；
D ，原计算错误；
故选C．
4. “数x不小于2”是指( )
A. x≤2 B. x≥2 C. x＜2 D. x＞2
【答案】B
【解析】
【详解】数x不小于2，即是大于或等于2，由此得出答案．
解：数x不小于2，即是数x大于或等于2，x≥2．
故本题选B
5. 如图所示的象棋盘上，若“帅”位于点，“马”位于点，则位于原点位置的是（ ）
A. 兵 B. 炮 C. 相 D. 车
【答案】B
【解析】
【分析】根据坐标特点即可确定原点位置．
【详解】∵“帅”位于点，“马”位于点
∴位于原点位置的是“炮”
故选B．
【点睛】此题主要考查坐标与图形，解题的关键是熟知坐标的特点．
6. 在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）
A. 点P（3，2）到x轴的距离是3
B. 若ab＝0，则点P（a，b）表示原点
C. 若A（2，﹣2）、B（2，2），则直线AB∥x轴
D. 第三象限内点的坐标，横纵坐标同号
【答案】D
【解析】
【分析】根据点的坐标的几何意义逐一进行判断即可得答案．
【详解】A.点P（3，2）到x轴的距离是2，故本选项不符合题意．
B.若ab＝0，则点P（a，b）表示原点或坐标轴上的点，故本选项不符合题意．
C.若A（2，﹣2）、B（2，2），则直线AB∥y轴，故本选项不符合题意．
D.第三象限内点的坐标，横纵坐标都是负号，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查点的坐标的几何意义，由坐标平面内的一点P分别向x轴，y轴作垂线，垂足M,N在x轴，y轴上的坐标分别为x和y，我们则说P点的横坐标为x,纵坐标是y，记作P(x，y)；熟练掌握相关定义是解题关键．
7. 如图，若将三个数，，表示在数轴上，其中能被墨迹覆盖的数是（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查无理数的大小估值，正确掌握各整数的平方数的大小是解题的关键．
根据对，，数值的估算，确定在数轴上的位置，即可解题．
【详解】解：∵，，，
∴可知墨迹覆盖的是．
故选：B．
8. 如图，点，点，线段平移后得到线段，若点，点，则的值是（ ）
A. 4 B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】由，，，，可得，，计算求解，然后代入求值即可．
【详解】解：∵，，，，
∴，，
解得，，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了点坐标的平移，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
9. 在平面直角坐标系中，点，，当线段最短时，的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查图形与坐标，根据垂线段最短即可求得b的值是解题的关键．
【详解】解：由题可知，点B在过且垂直于x轴的直线上，
根据垂线段最短，可得当时，有最小值，最小值．
故选：C．
10. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点P(1，0)．点P第1次向上跳动1个单位至点P1(1，1)，紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2(﹣1，1)，第3次向上跳动1个单位至点P3，第4次向右跳动3个单位至点P4，第5次又向上跳动1个单位至点P5，第6次向左跳动4个单位至点P6，…．照此规律，点P第100次跳动至点P100的坐标是( )
A. (﹣26，50) B. (﹣25，50)
C. (26，50) D. (25，50)
【答案】C
【解析】
【分析】解决本题的关键是分析出题目的规律，以奇数开头的相邻两个坐标的纵坐标是相同的，所以第100次跳动后，纵坐标为，其中4的倍数的跳动都在轴的右侧，那么第100次跳动得到的横坐标也在轴的右侧.横坐标为，横坐标为，横坐标为，以此类推可得到的横坐标．
【详解】解：经过观察可得：和的纵坐标均为，
和的纵坐标均为，
和的纵坐标均为，
∴可以推知和的纵坐标均为，
∵4的倍数的跳动都在轴的右侧，
∴第100次跳动得到的横坐标也在轴的右侧.横坐标为，横坐标为，横坐标为，
∴以此类推可得到：的横坐标为（是4的倍数），
∴点的横坐标为：，纵坐标为：，
∴点第100次跳动至点的坐标为
故选：．
【点睛】本题考查规律型：点的坐标，解题的关键是分析出题目的规律，找出题目中点的坐标的规律，属于中考常考题型．
二、填空题：（本大题共6小题，共24分）
11. 9的算术平方根是_____．
【答案】3
【解析】
【分析】根据一个正数的算术平方根就是其正的平方根即可得出．
【详解】∵，
∴9算术平方根为3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键．
12. 已知，则点到轴的距离为__________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据点到坐标轴的距离公式可知.
【详解】解：点到x轴的距离为，所以点到轴的距离为4.
故答案为：4.
【点睛】本题考查了点到坐标轴的距离，理解点横纵坐标的含义是解题的关键. 点到x轴的距离为，到y轴的距离为.
13. 已知 ≈1.435，≈5.539，则≈ _______
【答案】143.5
【解析】
【分析】本题可根据积的算术平方根性质进行计算即可．
【详解】解：
≈1.435×100
≈143.5
【点睛】正确理解积的算术平方根：（a≥0，b≥0）是解答问题的关键．
14. 已知点P（m，1）在第二象限，则点Q（－m，3）在第______象限．
【答案】一
【解析】
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数求出m的取值范围，再根据各象限内点的坐标特征解答．
【详解】解：∵点P（m，1）在第二象限，
∴m＜0，
∴－m＞0，
∴点Q（－m，3）在第一象限．
故答案为：一．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（＋，＋）；第二象限（－，＋）；第三象限（－，－）；第四象限（＋，－）．
15. 若的小数部分为a，的整数部分为，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查无理数的估算的运算，掌握无理数是无限不循环小数，包括整数部分和小数部分并理解其表示形式是解题的关键．
根据，，确定a，b的值代入计算即可解题．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
故答案为：．
16. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的坐标分别为，，，若的面积为面积的2倍，则的值为____________
【答案】12或
【解析】
【分析】由点的横坐标相等，得出轴，，点到的距离为，根据的面积为面积的2倍，建立方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵、、的坐标分别为，
∴轴，，
点到的距离为
∵若的面积为面积的2倍，
∴
即
解得或
故答案为：或．
【点睛】本题考查了坐标与图形，两点之间的距离，点到直线的距离，正确建立方程是解题的关键．
三、解答题：（本大题共9小题，共86．0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算，先根据算术平方根，有理数的乘方，绝对值运算，然后合并解题即可．
【详解】解：
．
18. 求下列各式中的：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题考查解方程，涉及平方根、立方根的定义及运算，熟练掌握平方根及立方根的运算法则是解决问题的关键．
（1）先化简得到，再利用平方根运算直接开方即可得到答案；
（2）根据立方根运算直接开方即可得到答案．
【小问1详解】
解：，
，
，；
【小问2详解】
解：，
，
．
19. 在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点分别为，，．
（1）在所给的图中，画出这个平面直角坐标系；
（2）点A经过平移后对应点为，将△ABC作同样的平移得到△DEF，画出平移后的△DEF；
（3）在（2）的条件下，点M在直线CD上，若，直接写出点M的坐标．点M的坐标为______．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）（3，-2）或（3，-6）
【解析】
【分析】（1）利用已知点坐标即可得出原点位置进而得出答案；
（2）利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）分两种情况讨论，即可求解．
【小问1详解】
解：如图，
【小问2详解】
解：∵点经过平移后对应点为，
∴△ABC先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到△DEF，
∴点，的对应点E（5，0），F（8，-3），
图形如下图，
【小问3详解】
解：如图，
根据题意得：CD=3，
∵，
∴当点M位于点D的上方时，CM=，
此时点M（3，-2）；
当点M位于点D的下方时，CM=CD+DM=2CD=6，
此时点M（3，-6）；
综上所述，点M的坐标为（3，-2）或（3，-6）．
【点睛】本题考查的是作图——平移变换，准确建立平面直角坐标系，熟知图形平移的性质是解答此题的关键．
20 已知点，解答下列各题．
（1）点在轴上，求出点的坐标．
（2）点的坐标为，直线轴，求出点的坐标．
（3）若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据轴上的点的纵坐标为0，可得关于的方程，解得的值，再求得点的横坐标即可得出答案．
（2）根据平行于轴的直线的横坐标相等，可得关于的方程，解得的值，再求得其纵坐标即可得出答案．
（3）根据第二象限的点的横纵坐标的符号特点及它到轴、轴的距离相等，可得关于的方程，解得的值，再代入要求的式子计算即可．
小问1详解】
解：∵点在轴上，
，
，
，
点的坐标为；
【小问2详解】
解：点的坐标为，直线轴，
，
，
，
点的坐标为；
【小问3详解】
解：∵点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，
∴横纵坐标互为相反数，
，
，
，
．
的值为．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，熟练掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点是解题的关键．
21. 平面直角坐标系中，O为原点，点，，．
（1）如图①，则三角形ABC的面积为______；
（2）如图②，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．求的面积．
【答案】（1）6； （2）9
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形、点的平移等知识，掌握运用数形结合的思想分析解决问题是解题关键．
（1）根据题意得出，，，然后根据三角形面积公式直接计算即可；
（2）由平移的性质可得点坐标；①连接，过点作轴于点，过点作轴于点，根据进行计算即可得到答案；②根据的面积等于的面积，求解即可．
【小问1详解】
解：∵O为原点，点，，．
∴，，，
∴，
∴．
故答案为：6；
【小问2详解】
解：∵将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，，
∴得到对应点坐标为，
连接，过点作轴于点，过点作轴于点，
∵，
∴，，
∴
；
22. 已知正实数x的平方根是m和.
（1）当时，求m的值；
（2）若，求x的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正实数平方根互为相反数即可求出m的值；
（2）利用平方根的定义得到，代入式子即可求出x值．
【小问1详解】
∵正实数x的平方根是m和，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵正实数x的平方根是m和，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了平方根的定义及平方根的性质，熟练掌握这两个知识点是解题的关键．
23. 如图1，教材第41页有这样一个探究：把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题：
（1）所得到的面积为的大正方形的边就是原先边长为的小正方形的对角线长，因此，可得到小正方形的对角线长为__________；
（2）由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点，则图2中A，B两点表示的数分别为__________．
（3）通过动手操作，小张同学把长为5，宽为1的长方形进行裁剪，拼成如图3所示的一个正方形．请用（2）中相同的方法在数轴上找到表示的点．（作图过程中标出必要的线段长）
【答案】（1）
（2）
（3）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了实数与数轴，任意一个实数都可以用数轴上的点表示； 反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（1）根据小正方形的对角线长等于大正方形的面积的算术平方根，可得小正方形的对角线长；
（2）依据图中小正方形对角线长为 ，，即可得到两点表示的数为和
（3）先根据大正方形的面积为，可得小长方形的对角线长为，进而在数轴上找到表示点．
【小问1详解】
∵面积为的大正方形的边就是原先边长为的小正方形的对角线长，
∴小正方形的对角线长等于大正方形的面积的算术平方根，即，
故答案为：；
【小问2详解】
图中小正方形对角线长为，
∵，
∴两点表示的数为和 ；
故答案为：；
【小问3详解】
如图，大正方形的面积为5，
∴小长方形的对角线长为
如图所示，点表示的数为
24. 在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“近似距离”，给出如下义：若，则点与点的“近似距离”为；若，则与点的“近似距离”为．
（1）已知点，点，求点P与点Q的“近似距离”；
（2）已知点，B为x轴上的动点．
①若点A与点B的“近似距离”为5，试求出满足条件的点B的坐标；
②求出点A与点B的“近似距离”的最小值．
【答案】（1）5 （2）①或；②2
【解析】
【分析】（1）由题意即可得点P与点Q的“近似距离”；
（2）①设点B的坐标为，由“近似距离”的定义得出，即可得出结论；
②设点B的坐标为，且，由，得点A、B两点的“近似距离”为；再由，得点A、B两点的“近似距离”为；即可得出结论．
【小问1详解】
∵点，点，
∴点P与点Q的“近似距离”为5．
【小问2详解】
①∵点B为x轴上的一个动点，
∴设点B的坐标为．
∵A、B两点的“近似距离为5”，，
∴．
解得或．
∴点B的坐标是或，
②设点B的坐标为，且，
∴若，则点A、B两点的“近似距离”为，
若，点A、B两点的“近似距离”为；
∴综上所述，点A、B两点的“近似距离”的最小值为2．
【点睛】本题考查了新定义“近似距离”、点的坐标、绝对值的定义、绝对值不等式等知识，正确理解新定义“近似距离”和绝对值的定义是解题的关键．
25. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、，将线段平移至线段．使点的对应点在轴的正半轴上，点的坐标，点在第一象限．
（1）点的坐标为__________．（直接用含的式子表示）；
（2）连接、，若三角形的面积为5，求的值；
（3）在（2）的条件下，点是轴的正半轴上的动点（），的面积记为，的面积记为，的面积记为，试探究当为何值时，的值是个定值，并求出这个定值．
【答案】（1）
（2）
（3）当时，的值是个定值，定值为
【解析】
【分析】本题考查坐标与平移，掌握利用割补法求三角形面积是解题的关键．
（1） 由平移的性质可得出答案；
（2）过点作轴于点，过点作轴于点，由四边形D的面积可得出答案；
（3）分别求出，，，然后代入整理得到，然后根据定值得到方程解题即可．
【小问1详解】
解：∵点，将线段平移至线段，
∴点向上平移一个单位，向右平移个单位到点，
；
【小问2详解】
解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
，
，
∵，
，
解得： ；
【小问3详解】
当时，点D的坐标为，点C的坐标为
∴，
，
，
∴，
∵它是定值，
∴，
解得：，即，
∴当时，的值是个定值，定值为．2023—2024学年七年级下学期
第一次综合训练数学学科试卷
一、选择题：（本大题共10小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 根据下列表述，能确定具体目标位置的是（ 　）
A. 电影院号厅第2排 B. 邢台市顺德路
C. 东经，北纬 D. 南偏西
2. 下列四个数中，是有理数是（ ）
A. B. C. D.
3. 在下列式子中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. “数x不小于2”是指( )
A. x≤2 B. x≥2 C. x＜2 D. x＞2
5. 如图所示的象棋盘上，若“帅”位于点，“马”位于点，则位于原点位置的是（ ）
A. 兵 B. 炮 C. 相 D. 车
6. 在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）
A. 点P（3，2）到x轴的距离是3
B. 若ab＝0，则点P（a，b）表示原点
C. 若A（2，﹣2）、B（2，2），则直线AB∥x轴
D. 第三象限内点的坐标，横纵坐标同号
7. 如图，若将三个数，，表示在数轴上，其中能被墨迹覆盖数是（ ）
A. B. C. D. 无法确定
8. 如图，点，点，线段平移后得到线段，若点，点，则值是（ ）
A. 4 B. C. 2 D.
9. 在平面直角坐标系中，点，，当线段最短时，的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
10. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点P(1，0)．点P第1次向上跳动1个单位至点P1(1，1)，紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2(﹣1，1)，第3次向上跳动1个单位至点P3，第4次向右跳动3个单位至点P4，第5次又向上跳动1个单位至点P5，第6次向左跳动4个单位至点P6，…．照此规律，点P第100次跳动至点P100的坐标是( )
A. (﹣26，50) B. (﹣25，50)
C. (26，50) D. (25，50)
二、填空题：（本大题共6小题，共24分）
11. 9的算术平方根是_____．
12. 已知，则点到轴的距离为__________．
13. 已知 ≈1.435，≈5.539，则≈ _______
14. 已知点P（m，1）在第二象限，则点Q（－m，3）在第______象限．
15. 若的小数部分为a，的整数部分为，则的值为__________．
16. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的坐标分别为，，，若的面积为面积的2倍，则的值为____________
三、解答题：（本大题共9小题，共86．0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
18. 求下列各式中的：
（1）；
（2）．
19. 在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点分别为，，．
（1）在所给的图中，画出这个平面直角坐标系；
（2）点A经过平移后对应点为，将△ABC作同样的平移得到△DEF，画出平移后的△DEF；
（3）在（2）的条件下，点M在直线CD上，若，直接写出点M的坐标．点M的坐标为______．
20. 已知点，解答下列各题．
（1）点在轴上，求出点的坐标．
（2）点的坐标为，直线轴，求出点的坐标．
（3）若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求的值．
21. 平面直角坐标系中，O为原点，点，，．
（1）如图①，则三角形ABC的面积为______；
（2）如图②，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．求的面积．
22. 已知正实数x的平方根是m和.
（1）当时，求m的值；
（2）若，求x的值.
23. 如图1，教材第41页有这样一个探究：把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题：
（1）所得到的面积为的大正方形的边就是原先边长为的小正方形的对角线长，因此，可得到小正方形的对角线长为__________；
（2）由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应点，则图2中A，B两点表示的数分别为__________．
（3）通过动手操作，小张同学把长为5，宽为1的长方形进行裁剪，拼成如图3所示的一个正方形．请用（2）中相同的方法在数轴上找到表示的点．（作图过程中标出必要的线段长）
24. 在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“近似距离”，给出如下义：若，则点与点的“近似距离”为；若，则与点的“近似距离”为．
（1）已知点，点，求点P与点Q的“近似距离”；
（2）已知点，B为x轴上动点．
①若点A与点B的“近似距离”为5，试求出满足条件的点B的坐标；
②求出点A与点B的“近似距离”的最小值．
25. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、，将线段平移至线段．使点的对应点在轴的正半轴上，点的坐标，点在第一象限．
（1）点的坐标为__________．（直接用含的式子表示）；
（2）连接、，若三角形的面积为5，求的值；
（3）在（2）的条件下，点是轴的正半轴上的动点（），的面积记为，的面积记为，的面积记为，试探究当为何值时，的值是个定值，并求出这个定值．

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