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2024年中考数学一模预测卷（山东德州专用）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上．写在本试卷上无效．
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．写在本试卷上无效．
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 的运算结果等于（ ）
A. 3 B. C. D.
2. 生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
3. 2023年1月17日，国家航天局公布了我国嫦娥五号月球样品的科研成果．科学家们通过对月球样品的研究，精确测定了月球的年龄是亿年，数据亿年用科学记数法表示为（ ）
A 年 B. 年 C. 年 D. 年
4. 下列各式运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图所示几何体的俯视图可能是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，是的直径，D，C是上的点，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（　　　）
A. B.
C. D.
8. 如图，，，，是上的点，，与交于点，，，，的半径为（　）
A. B. C. D.
9. 若关于的方程解为正数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. 且 D. 且
10. 如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，对称轴为直线若点的坐标为，则下列结论正确的是（　）
A.
B.
C. 是关于的一元一次方程的一个根
D. 点，在抛物线上，当时，
11. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，点在轴的正半轴上，且，将菱形绕原点逆时针方向旋转，得到四边形点与点重合，则点的坐标是( )
A. B. C. D.
12. 数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到．人们借助于这样的方法，得到（n是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中，且是整数．记，如，即，即，即，以此类推．则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
13. 若在实数范围内有意义，请写出一个满足条件的的值______．
14. 已知实数满足，则_________．
15. 如图，正八边形的边长为4，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为__________（结果保留）．
16. 某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点，在点和建筑物之间选择一点，测得．用高的测角仪在处测得建筑物顶部的仰角为，在处测得仰角为，则该建筑物的高是_________．
17. 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．点的坐标为．连接．若，则的值为___________．
18. 学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进．如图所示，和分别表示两人到小亮家的距离和时间的关系，则出发__________h后两人相遇．
三、解答题：本题共7小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19.
（1）化简 ；
（2）解不等式组：．
20. 举世瞩目中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月在北京成功召开．为弘扬党的二十大精神，某学校举办了“学习二十大，奋进新征程”的知识竞赛活动．赛后随机抽取了部分学生的成绩（满分：100分），分为，，，四组，绘制了如下不完整的统计图表：
组别 成绩（：分） 频数
20
60
学生成绩频数分布直方图
学生成绩扇形统计图
根据以上信息，解答以下问题：
（1）直接写出统计表中的________，________；
（2）学生成绩数据的中位数落在________内；在学生成绩扇形统计图中，组对应的扇形圆心角是________度；
（3）将上面的学生成绩频数分布直方图补充完整；
（4）若全校有1500名学生参加了这次竞赛，请估计成绩高于90分的学生人数．
21. 如图，正比例函数和反比例函数的图像交于点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线向上平移3个单位后，与轴交于点，与的图像交于点，连接，求的面积．
22. 如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求长．
23. 为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用万元购买A型充电桩与用万元购买B型充电桩的数量相等．
（1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
（2）该停车场计划共购买个A，B型充电桩，购买总费用不超过万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？
24. （1）如图，为四边形的对角线，，，，，分别为，，的中点，连接，，判断的形状，并说明理由；
（2）如图，在四边形中，，，点，分别在，上，且，求的取值范围；
（3）如图，在四边形中，，，，点，分别在，上，且，，求的值．
25. 如图，一条抛物线经过的三个顶点，其中为坐标原点，点，点在第一象限内，对称轴是直线，且的面积为．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）求点的坐标；
（3）设为线段中点，为直线上的一个动点，连接，，将沿翻折，点的对应点为，问是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．2024年中考数学一模预测卷（山东德州专用）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上．写在本试卷上无效．
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．写在本试卷上无效．
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 的运算结果等于（ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据绝对值性质：负数的绝对值等于它的相反数直接求解即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，
故选：B；
【点睛】本题考查去绝对值符号，解题的关键是熟练掌握负数的绝对值等于它的相反数．
2. 生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形定义：把图形沿某点旋转得到的新图形与原图形重合的图形叫中心对称图形，轴对称图形定义：把一个图形沿某条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形，逐个判断即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
A选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意，
B选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意，
C选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意，
D选项图形是中心对称图形但不是轴对称图形，符合题意，
故选：D；
【点睛】本题考查中心对称图形定义：把图形沿某点旋转得到的新图形与原图形重合的图形叫中心对称图形，轴对称图形定义：把一个图形沿某条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形．
3. 2023年1月17日，国家航天局公布了我国嫦娥五号月球样品的科研成果．科学家们通过对月球样品的研究，精确测定了月球的年龄是亿年，数据亿年用科学记数法表示为（ ）
A. 年 B. 年 C. 年 D. 年
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
详解】解：亿年年年，
故选B．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
4. 下列各式运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘除、完全平方公式、积的乘方逐个计算即可．
【详解】A．，所以A选项不符合题意；
B．，所以B选项不符合题意；
C．，所以C选项不符合题意；
D．，所以D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除、完全平方公式、积的乘方，熟记运算法则是解题关键．
5. 如图所示的几何体的俯视图可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】解：从上边看，是一个六边形和圆形．
故选：C．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图是解题关键．
6. 如图，是的直径，D，C是上的点，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆内接四边形对角互补和直径所对圆周角等于90度求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查圆的性质，涉及到圆内接四边形对角互补和直径所对圆周角等于90度，熟记知识点是关键．
7. 如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（　　　）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意得，，平分，根据三角形内角和及角平分线判断A即可；由角平分线求出，得到，根据三角形内角和求出，得到，即可判断B；证明，得到，设，则，求出x，即可判断C；过点E作于G，于H，由角平分线的性质定理推出，即可根据三角形面积公式判断D．
【详解】解：由题意得，，平分，
∵在中，，，
∴
∵平分，
∴，故A正确；
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故B正确；
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，故C错误；
过点E作于G，于H，
∵平分，，，
∴
∴，故D正确；
故选：C．
【点睛】此题考查了等腰三角形等边对等角，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键．
8. 如图，，，，是上的点，，与交于点，，，，的半径为（　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作辅助线如图，根据圆周角定理可得，进而可证明，即可得，再根据垂径定理以及勾股定理求解即可．
【详解】解：连接，，，设交于点H，如图：
，
，
，
，即，
解得，
，即是的中点，
，，
在中，，
，
，
在中，，
，
解得．
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，垂径定理，根据题意得出是解决问题的关键．
9. 若关于的方程解为正数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. 且 D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】将分式方程化为整式方程解得，根据方程的解是正数，可得，即可求出的取值范围．
【详解】解：
∵方程的解为正数，且分母不等于0
∴，
∴，且
故选：D．
【点睛】此题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，解不等式，将方程化为整式方程求出整式方程的解，列出不等式是解答此类问题的关键．
10. 如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，对称轴为直线若点的坐标为，则下列结论正确的是（　）
A.
B.
C. 是关于的一元一次方程的一个根
D. 点，在抛物线上，当时，
【答案】C
【解析】
【分析】本题题考查二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．根据对称轴为直线，得到即可判断A项；根据当时，，结合其开口方向，即可判断B项；根据二次函数对称性得到抛物线与轴的另一个交点为，即可判断C项；根据二次函数增减性，即可判断D项；
【详解】解：对称轴为直线，
，
，
，故A项错误，不符合题意；
对称轴为直线，点的坐标为，
当时，，
，
，
，
抛物线开口向上，
，
，
即，故B项错误，不符合题意；
抛物线与轴交于，对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点为，
是关于的一元一次方程的一个根，故C正确，符合题意；
抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，随的增大而增大，
当时，，故D错误，不符合题意；
故选：C．
11. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，点在轴的正半轴上，且，将菱形绕原点逆时针方向旋转，得到四边形点与点重合，则点的坐标是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】延长交轴于点，根据旋转的性质以及已知条件得出，进而求得的长，即可求解．
【详解】解：如图所示，延长交轴于点，
∵四边形是菱形，点在轴的正半轴上，平分，，
∴，
∵将菱形绕原点逆时针方向旋转，
∴，则，
∴
∴，
在中，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，坐标与图形，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
12. 数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到．人们借助于这样的方法，得到（n是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中，且是整数．记，如，即，即，即，以此类推．则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】利用图形寻找规律，再利用规律解题即可．
【详解】解：第1圈有1个点，即，这时；
第2圈有8个点，即到；
第3圈有16个点，即到，；
依次类推，第n圈，；
由规律可知：是在第23圈上，且，则即，故A选项不正确；
是在第23圈上，且，即，故B选项正确；
第n圈，，所以，故C、D选项不正确；
故选B．
【点睛】本题考查图形与规律，利用所给的图形找到规律是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
13. 若在实数范围内有意义，请写出一个满足条件的的值______．
【答案】答案不唯一
【解析】
【分析】此题考查了二次根式的有意义的条件，二次根式被开方数大于等于零时，二次根式有意义，据此解答．
【详解】解：要使若在实数范围内有意义，
则，
即，
则写出一个满足条件的的值为．
故答案为：答案不唯一．
14. 已知实数满足，则_________．
【答案】8
【解析】
【分析】由题意易得，然后整体代入求值即可．
详解】解：∵，
∴，
∴
；
故答案为8．
【点睛】本题主要考查因式分解及整体思想，熟练掌握利用整体思维及因式分解求解整式的值．
15. 如图，正八边形的边长为4，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为__________（结果保留）．
【答案】
【解析】
【分析】先利用正八边形求出圆心角的度数，再利用扇形的面积公式求解即可．
【详解】解：由题意，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查正多边形与圆，扇形的面积等知识，解题的关键是记住扇形的面积，正多边形的每个内角度数为．
16. 某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点，在点和建筑物之间选择一点，测得．用高的测角仪在处测得建筑物顶部的仰角为，在处测得仰角为，则该建筑物的高是_________．
【答案】##
【解析】
【分析】结合三角形外角和等腰三角形的判定求得，然后根据特殊角的三角函数值解直角三角形．
【详解】解：由题意可得：四边形，四边形，四边形均为矩形，
∴，，
在Rt中，，
在Rt中，，
∴，
∴，
∴，
在Rt中，，即，
解得，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
17. 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．点的坐标为．连接．若，则的值为___________．
【答案】##
【解析】
【分析】过点作轴于点，过点作于点，证明，进而根据全等三角形的性质得出，根据点，进而得出，根据点在反比例函数的图象上．列出方程，求得的值，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作于点，
∴，
∵，
∴
∴
∴
∵点的坐标为．
∴，
∴
∵在反比例函数的图象上，
∴
解得：或（舍去）
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，求得点的坐标是解题的关键．
18. 学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进．如图所示，和分别表示两人到小亮家的距离和时间的关系，则出发__________h后两人相遇．
【答案】0.35
【解析】
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以计算出小明和小亮的速度，从而可以解答本题．
【详解】解：由题意和图象可得，小明0.5小时行驶了，
∴小明的速度为：，
小亮0.4小时行驶了，
∴小明的速度为：，
设两人出发后两人相遇，
∴
解得，
∴两人出发0.35后两人相遇，
故答案为：0.35
【点睛】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
三、解答题：本题共7小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19.
（1）化简 ；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的混合运算，解不等式组，熟练掌握分式混合运算法则及解一元一次不等式组的步骤是解题关键．
（1）先通分计算括号内的，同时将除法变为乘法，再因式分解，并约分；
（2）先分别求出两个不等式的解集，再确定答案即可．
【小问1详解】
原式
；
【小问2详解】
解不等式①，得；
解不等式②，得，
不等式的解集为．
20. 举世瞩目的中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月在北京成功召开．为弘扬党的二十大精神，某学校举办了“学习二十大，奋进新征程”的知识竞赛活动．赛后随机抽取了部分学生的成绩（满分：100分），分为，，，四组，绘制了如下不完整的统计图表：
组别 成绩（：分） 频数
20
60
学生成绩频数分布直方图
学生成绩扇形统计图
根据以上信息，解答以下问题：
（1）直接写出统计表中的________，________；
（2）学生成绩数据的中位数落在________内；在学生成绩扇形统计图中，组对应的扇形圆心角是________度；
（3）将上面的学生成绩频数分布直方图补充完整；
（4）若全校有1500名学生参加了这次竞赛，请估计成绩高于90分的学生人数．
【答案】（1）40，80
（2），72
（3）见解析 （4）1050
【解析】
【分析】（1）由题意知，共调查（人），根据，计算可得值，根据，计算求解即可；
（2）根据中位数为第100，101位的数的平均数，进行判断即可，根据，计算求解即可；
（3）补全统计图即可；
（4）根据，计算求解即可．
【小问1详解】
解：由题意知，共调查（人），
∴（人），
∴（人），
故答案为：40，80；
【小问2详解】
解：由题意知，中位数为第100，101位的数的平均数，
∵，，
∴中位数落在组内，
∴，
故答案为：，72；
【小问3详解】
解：补全条形统计图如下：
【小问4详解】
解：∵（人），
∴估计成绩高于90分的学生人数为1050人．
【点睛】本题考查了条形统计图，频数分布表，扇形统计图，中位数，圆心角，用样本估计总体．解题的关键在于从图表中获取正确的信息．
21. 如图，正比例函数和反比例函数的图像交于点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线向上平移3个单位后，与轴交于点，与的图像交于点，连接，求的面积．
【答案】（1）
（2）3
【解析】
【分析】（1）待定系数法求函数解析式；
（2）根据平移的性质求得平移后函数解析式，确定B点坐标，然后待定系数法求直线的解析式，从而利用三角形面积公式分析计算．
【小问1详解】
解：把代入中，，
解得，
∴，
把代入中，，
解得，
∴反比例函数的解析式为；
【小问2详解】
解：将直线向上平移3个单位后，其函数解析式为，
当时，，
∴点B的坐标为，
设直线的函数解析式为，
将，代入可得，
解得，
∴直线的函数解析式为，
联立方程组，解得，
∴C点坐标为，
过点C作轴，交于点，
在中，当时，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式，运用数形结合思想解题是关键．
22. 如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）如图：，然后根据等边对等角可得、即，再根据可得，进而得到即可证明结论；
（2）如图：连接，有圆周角定理可得，再解直角三角形可得，进而得到，然后说明，最后根据弧长公式即可解答．
小问1详解】
证明：如图：连接
∵，
∴,
∵，
∴,
∴,
∴,
∴。
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线．
【小问2详解】
解：如图：连接
∵是的直径，
∴,
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆的切线证明、圆周角定理、解直角三角形、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识是解答本题的关键．
23. 为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用万元购买A型充电桩与用万元购买B型充电桩的数量相等．
（1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
（2）该停车场计划共购买个A，B型充电桩，购买总费用不超过万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？
【答案】（1）A型充电桩的单价为万元，B型充电桩的单价为万元
（2）共有三种方案：方案一：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个；方案二：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个；方案三：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个；方案三总费用最少．
【解析】
【分析】（1）根据“用万元购买A型充电桩与用万元购买B型充电桩的数量相等”列分式方程求解；
（2）根据“购买总费用不超过万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的”列不等式组确定取值范围，从而分析计算求解
【小问1详解】
解：设B型充电桩的单价为万元，则A型充电桩的单价为万元，由题意可得：
,
解得，
经检验：是原分式方程的解，
，
答：A型充电桩的单价为万元，B型充电桩的单价为万元；
【小问2详解】
解：设购买A型充电桩个，则购买B型充电桩个，由题意可得：
，解得，
∵须为非负整数，
∴可取，，，
∴共有三种方案：
方案一：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元）；
方案二：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元）；
方案三：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元），
∵
∴方案三总费用最少．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，找准等量关系列出分式方程和一元一次不等式组是解决问题的关键．
24. （1）如图，为四边形的对角线，，，，，分别为，，的中点，连接，，判断的形状，并说明理由；
（2）如图，在四边形中，，，点，分别在，上，且，求的取值范围；
（3）如图，在四边形中，，，，点，分别在，上，且，，求的值．
【答案】（1）是直角三角形，见解析；（2）；（3）的值为
【解析】
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）由三角形中位线定理得到，，进一步得到，即可得到结论；
（2）连接，在上截取，连接，，则，证明，则，得到，证明，则，则，再根据三角形三边关系即可得到答案；
（3）连接，在于截取，连接，，作交的延长线于点，证明，则，，得到，证明，则，，得到， 求出，则，得到，由勾股定理即可得到
【详解】解：（1）是直角三角形，
理由：点，，分别为，，的中点，
，分别为，的中位线，
，，
，，
，，
，
是直角三角形．
（2）如图，连接，在上截取，连接，，则，
，，，，
，
，，
∴，
，
，
，，
；
，
，
，
，
的取值范围是．
（3）如图，连接，在于截取，连接，，作交的延长线于点，
，，，，
，，
，，
，
，，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的值为．
25. 如图，一条抛物线经过的三个顶点，其中为坐标原点，点，点在第一象限内，对称轴是直线，且的面积为．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）求点的坐标；
（3）设为线段的中点，为直线上的一个动点，连接，，将沿翻折，点的对应点为，问是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，点坐标为或或或
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，轴对称的性质是解题的关键．（1）根据对称轴可得，将点代入，可得，两式联立求出的值即可求函数的解析式；（2）设，过点作轴交于点，过点作交于点，则，解得即可求点的坐标；（3）先求直线的解析式为，设，当为平行四边形的对角线时，可得，由方程，求出，即可求点坐标为为或；当为平行四边形的对角线时，可得，由方程，求出或，可得或．
【小问1详解】
解：∵对称轴为直线，
，
，
将点代入，
，
联立可得，，，
函数的解析式为；
【小问2详解】
解：设，
如图，过点作轴交于点，过点作交于点，
∴，
解得或(舍)，
；
【小问3详解】
解：存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
，，
，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
设，
如图，当为平行四边形的对角线时，，，
，
，
由对称性可知，，
，
，
解得，
点坐标为或；
如图，当为平行四边形的对角线时，，，
由对称性可知，，
，
，
解得或，
或；
综上所述：点坐标为或或或．

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