资源简介

九年级 （下）练习卷数学
注意事项：
本试卷共 6页．全卷满分 120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．
一、选择题（本大题共 6 小题，每小题2分，共 12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 是第五代移动通信技术的简称，网络理论下载速度可以达到每秒以上，这意味着下载一部高清电影只需要1秒．用科学记数法表示1300000是（　）
A. B. C. D.
2. 在哪两个连续整数之间（　）
A. 5与6 B. 6与7 C. 7与8 D. 8与9
3. 下列运算正确的是（　）
A. B. C. D.
4. 元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行里，慢马每天行里，驽马先行天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，由题意得（ ）
A. B.
C. D.
5. 如图，点、、、在网格中小正方形的顶点处，与相交于点，小正方形的边长为1，则的长等于（ ）
A. 2 B. C. D.
6. 如图，一个小球由静止开始沿一个斜坡滚下，其速度每秒增加值相同．用t表示小球滚动的时间，表示小球的速度．下列图象中，能表示小球在斜坡上时与的函数关系的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分. 请把答案填写在答题卡相应位置上）
7. ﹣2的相反数是___，﹣2的倒数是___．
8. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．
9. 设、是方程的两个根，则________．
10. 若圆锥的侧面积为18π，底面半径为3，则该圆锥的母线长是___．
11. 一组数据：2，3，4，5，6的方差是 ____
12. 如图，点P在反比例函数的图象上，PA⊥x轴于点A，若的面积为，则的值为__．
13. 将函数 的图象先向上平移1个单位长度，再向右平移2 个单位长度，所得图象的函数表达式为______．
14. 如图，在正六边形中交于点G，则______．
15. 如图，在中，，将 绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在上，交于点，则______°．
16. 如图， 在中，，点， 是射线上一动点，，且，连接，则的最小值是______．
三、解答题（本大题共 11小题，共88分. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）分解因式：；
（2）计算： ．
18. 解方程： ．
19. 如图，在矩形中，，垂足分别为E，F，连接．求证：四边形是平行四边形．
20. 某调查机构调查了全国青少年儿童的近视情况，部分资料如下：
年儿童青少年近视率变化及2030年防控要求
年全国小学、初中、高中学生近视总人数（单位：万人）
人数 2010年 2014 年 2018年 2020 年
小学生 3107 4458 3722 3818
中学生 3061 3262 3331 3493
高中生 3554 3616 3187 3351
（1）下列结论中，所有正确结论序号是______．
①2018年幼儿园学生近视率为，小学生近视率为，中学生近视率为，而高中生近视率已达到；
②2014年全国小学、初中、高中学生近视人数突破1 亿人；
③2020年各年龄段的近视率都未达到2030年的防控要求．
（2）根据上图提供的信息，请再写出两个不同类型的结论．
21. 某校组织学生进行视力检查，共开设了 A，B，C 三个检查窗口，每位同学随机选择其中一个窗口进行检查．
（1）甲同学选择A 窗口检查的概率是______；
（2）甲同学和乙同学选择同一个窗口检查的概率是多少？
22. 如图，一次函数 与反比例函数 （k为常数，）的图象交于A，B两点， 其中点A 的坐标为．
（1）求m和k的值；
（2）当时，直接写出x的取值范围______．
23. 如图，为了测量无人机的飞行高度，在地面上选择一个建筑物，在点P 处测得A的俯角为，保持水平飞行方向不变，继续飞行到达点Q处，测得 B的俯角为 ，点A，B，P，Q在同一平面内，A，B 两点在的同侧， 求无人机的飞行高度．
（参考数据： °°）
24. 如图，在正方形网格中， 的三个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺作 的角平分线（用两种不同的方法）．
25. 如图，在和中，，，是的外接圆，交于点 E．
（1）求证：是切线；
（2）若
①求的长度；
②求的半径．
26. 已知二次函数 （a为常数，）．
（1）求证：不论a为何值，该函数图象与x轴必有公共点；
（2）①当时，求该函数图象的顶点坐标；
②已知，该函数的图象与线段有且只有一个公共点，则a 的取值范围是______．
27. 某兴趣小组在学习了对称的性质后，又进行了如下探究：
【点关于点对称】
如图，点O是线段的中点，则称点B 是点 A 关于点O的对称点；
【线关于点对称】
（1）尺规作图：作出线段关于点O 的对称线段．
【三角形关于点对称】
（2）如图， 点O 关于三边 中点对称的点分别为点 D， E， F， 连接，得，则称是关于点O的“对称”三角形．求证．
【四边形关于点对称】
（3）如图，点 O 关于四边形四条边 中点对称的点分别为M、N、P、Q， 连接，得四边形，则称四边形是四边形关于点O的“对称”四边形．
①求证：四边形是平行四边形．
②当四边形满足 条件时，四边形是矩形；此时四边形的面积和四边形的面积满足的数量关系是______．九年级 （下）练习卷数学
注意事项：
本试卷共 6页．全卷满分 120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．
一、选择题（本大题共 6 小题，每小题2分，共 12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 是第五代移动通信技术的简称，网络理论下载速度可以达到每秒以上，这意味着下载一部高清电影只需要1秒．用科学记数法表示1300000是（　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值大于1的数的方法：将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．据此即可解答．
【详解】解：用科学记数法表示1300000是，
故选：A．
2. 哪两个连续整数之间（　）
A. 5与6 B. 6与7 C. 7与8 D. 8与9
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了无理数的估算．用夹逼法估算即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴在7与8之间，
故选：C．
3. 下列运算正确的是（　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂乘法和合并同类项等计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
4. 元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行里，慢马每天行里，驽马先行天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，由题意得（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设快马天可追上慢马，根据路程相等，列出方程即可求解．
【详解】解：设快马天可追上慢马，由题意得
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
5. 如图，点、、、在网格中小正方形的顶点处，与相交于点，小正方形的边长为1，则的长等于（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据勾股定理计算AD的长，再根据△AOB∽△DOC，对应边成比例，从而求出AO的长．
【详解】解： AD=，AB=2，CD=3，
∵AB∥DC，
∴△AOB∽△DOC，
∴，
∴设AO=2x，则OD=3x，
∵AO+OD=AD，
∴2x+3x=5．
解得：x=1，
∴AO=2，
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理和相似三角形判定和性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质．
6. 如图，一个小球由静止开始沿一个斜坡滚下，其速度每秒增加的值相同．用t表示小球滚动的时间，表示小球的速度．下列图象中，能表示小球在斜坡上时与的函数关系的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一次函数k的几何意义判断即可
【详解】解：∵一个小球由静止开始沿一个斜坡滚下，其速度每秒增加的值相同
∴ =定值
∴v与t是正比例函数的关系．
故选：
【点睛】本题考查一次函数图像的知识．了解正比例函数k的意义是关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分. 请把答案填写在答题卡相应位置上）
7. ﹣2的相反数是___，﹣2的倒数是___．
【答案】 ①. 2， ②. ﹣
【解析】
【分析】根据相反数和倒数的定义分别进行求解即可．
【详解】解：的相反数是2；
的倒数是；
故答案为：2，．
【点睛】此题考查了相反数和倒数，解题的关键是：知道只有符号不同的两个数互为相反数；的倒数为，是一道基础题．
8. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，
要使在实数范围内有意义，必须，
∴．
故答案为：
9. 设、是方程的两个根，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系公式，可直接求得 和.
【详解】如果方程的两个实数根是，那么，. 可知：，所以．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系.
10. 若圆锥的侧面积为18π，底面半径为3，则该圆锥的母线长是___．
【答案】6
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面积＝πrl，列出方程求解即可．
【详解】解：∵圆锥的侧面积为18π，底面半径为3，
3πl＝18π．
解得：l＝6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，解题关键是熟记圆锥的侧面积公式，列出方程进行求解．
11. 一组数据：2，3，4，5，6的方差是 ____
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查方差的求法．首先求出平均数，然后根据方差的计算方法即可求出方差．
【详解】解：，
∴．
故答案为：2.
12. 如图，点P在反比例函数的图象上，PA⊥x轴于点A，若的面积为，则的值为__．
【答案】
【解析】
【分析】根据的几何意义，结合函数图象即可求解．
【详解】解：∵PA⊥x轴于点A，的面积为，
∴
又∵点在第二象限，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．
13. 将函数 的图象先向上平移1个单位长度，再向右平移2 个单位长度，所得图象的函数表达式为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律进行求解即可．
【详解】解：将函数 的图象先向上平移1个单位长度，再向右平移2 个单位长度，所得图象的函数表达式为，即，
故答案为：．
14. 如图，在正六边形中交于点G，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了正多边形内角和定理，等边对等角，解直角三角形等等，先由正六边形内角和定理求出，再由等边对等角得到，进一步求出，则．
【详解】解：∵六边形是正六边形，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 如图，在中，，将 绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在上，交于点，则______°．
【答案】
【解析】
【分析】由旋转的性质可得是等腰三角形，再根据其性质求出，再由三角形内角和定理即可求．
【详解】将绕点逆时针旋转，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
16. 如图， 在中，，点， 是射线上一动点，，且，连接，则的最小值是______．
【答案】
【解析】
【分析】取中点H，连接交于点G，连接，当时，有最小值，此时易得是等腰三角形，推出，即有最小值，则有最小值，此时根据，推出，设中点为O，根据，易得点在以点O为圆心为直径的圆上，易得，由，易得此时点B在圆O上，进而推出，则，得到四边形是矩形，即，利用勾股定理即可计算出的最小值，进而得出结果．
【详解】解：取中点H，连接交于点G，连接，
当时，有最小值，
点H是中点，，
是等腰三角形，
，
是定值，有最小值时，
即有最小值，则有最小值，
，
，
设中点为O，
，
点在以点O为圆心为直径的圆上，
，
，
此时点B在圆O上，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
在中，
，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理求最短距离，圆周角定理，四点共圆，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正确作出辅助线，证明四点共圆是解题的关键．
三、解答题（本大题共 11小题，共88分. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）分解因式：；
（2）计算： ．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了分解因式，求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂和实数的运算：
（1）直接提取公因式进行分解因式即可；
（2）先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂和负整数指数幂，最后根据实数的运算法则求解即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
18. 解方程： ．
【答案】原方程无解
【解析】
【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可得到答案．
【详解】解：
去分母得：，
去括号得： ，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
∴是原方程的增根，
∴原方程无解．
19. 如图，在矩形中，，垂足分别为E，F，连接．求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的性质与判定，先由矩形的性质得到，再证明，从而证明，得到，即可证明四边形是平行四边形．
【详解】证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
20. 某调查机构调查了全国青少年儿童的近视情况，部分资料如下：
年儿童青少年近视率变化及2030年防控要求
年全国小学、初中、高中学生近视总人数（单位：万人）
人数 2010年 2014 年 2018年 2020 年
小学生 3107 4458 3722 3818
中学生 3061 3262 3331 3493
高中生 3554 3616 3187 3351
（1）下列结论中，所有正确结论的序号是______．
①2018年幼儿园学生近视率为，小学生近视率为，中学生近视率为，而高中生近视率已达到；
②2014年全国小学、初中、高中学生近视人数突破1 亿人；
③2020年各年龄段的近视率都未达到2030年的防控要求．
（2）根据上图提供的信息，请再写出两个不同类型的结论．
【答案】（1）①② （2）①随年龄的增长，学生近视率再不断增加；②2020年年全国小学、初中、高中学生近视人数达到万人，与2014年全国小学、初中、高中学生近视人数比较减少了万人
【解析】
【分析】本题考查折线统计图，统计表，正确处理统计表，统计图中的数据是解题的关键．
（1）根据折线统计图和统计表所给数据逐一判断即可；
（2）分别从学生年纪的增加总结学生近视率和从2030年防控要求来总结学生近视率即可．
【小问1详解】
解：根据折线统计图，2018年幼儿园学生近视率为，小学生近视率为，中学生近视率为，而高中生近视率已达到，故①正确；
（万人）（人）
2014年全国小学、初中、高中学生近视人数突破1 亿人，故②正确；
2020年只有小学生的近视率达到2030年的防控要求，故③错误；
故答案为：①②；
【小问2详解】
解：由折线图可知：①随年龄的增长，学生近视率再不断增加；
由统计表数据：（万人）
（万人）
②年全国小学、初中、高中学生近视人数万人，与2014年全国小学、初中、高中学生近视人数比较减少了万人．
21. 某校组织学生进行视力检查，共开设了 A，B，C 三个检查窗口，每位同学随机选择其中一个窗口进行检查．
（1）甲同学选择A 窗口检查的概率是______；
（2）甲同学和乙同学选择同一个窗口检查的概率是多少？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率：
（1）根据概率计算公式求解即可；
（2）先列出表格得到所有等可能性结果数，再找到两人选择同一窗口的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【小问1详解】
解：∵一共有3个窗口，每个窗口被选择的概率相同，
∴甲同学选择A 窗口检查的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：列表如下：
甲 乙
由表格可知一共有9种等可能性的结果数，其中甲同学和乙同学选择同一个窗口检查的结果数有3种，
∴甲同学和乙同学选择同一个窗口检查的概率为
22. 如图，一次函数 与反比例函数 （k为常数，）的图象交于A，B两点， 其中点A 的坐标为．
（1）求m和k的值；
（2）当时，直接写出x的取值范围______．
【答案】（1），
（2）或
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合：
（1）分别把点A的坐标代入两个函数解析式中进行求解即可；
（2）先由对称性求出点B的坐标，再根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围即可得到答案．
【小问1详解】
解：把代入中得：，解得，
把代入中得：；
【小问2详解】
解：由对称性可知，点B的坐标为，
∴由函数图象可知，当时，x的取值范围或，
故答案为：或．
23. 如图，为了测量无人机的飞行高度，在地面上选择一个建筑物，在点P 处测得A的俯角为，保持水平飞行方向不变，继续飞行到达点Q处，测得 B的俯角为 ，点A，B，P，Q在同一平面内，A，B 两点在的同侧， 求无人机的飞行高度．
（参考数据： °°）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，延长交延长线于C，则，设，则，解得到，解得到，进而建立方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：如图所示，延长交延长线于C，则，
设，则，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴无人机的飞行高度为．
24. 如图，在正方形网格中， 的三个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺作 的角平分线（用两种不同的方法）．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，勾股定理，如图1所示，取格点D，E，连接，则射线即为的角平分线；如图2所示，取格点D、E、F、H，连接交于G，连接交于O，则射线即为所求．
【详解】解：如图1所示，取格点D，E，连接，则射线即为的角平分线；
易证明且点E为的中点，则由三线合一定理可得射线即为的角平分线；
如图2所示，取格点D、E、F、H，连接交于G，连接交于O，则射线即为所求；
易证明且点G为的中点，则平分，由网格的特点可知平分，根据三角形三条角平分线交于一点可知射线即为所求．
25. 如图，在和中，，，是的外接圆，交于点 E．
（1）求证：是的切线；
（2）若
①求的长度；
②求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）①8；②
【解析】
【分析】（1）如图所示，连接，证明得到，再证明得到，进而得到，由此即可证明是的切线；
（2）①如图所示，连接，证明，进而证明，得到，设，则，证明，得到，即，解得或（舍去）则；②过点O作于H，连接，则，由勾股定理得，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
证明：如图所示，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：①如图所示，连接，
由圆内接四边形的性质可得，
又∵，
∴，
由（1）可知，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，即，
解得或（舍去）
∴；
②如图所示，过点O作于H，连接，
∴，
∵，
∴，
∴三点共线，
在中，由勾股定理得，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴的半径为．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，切线的判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．
26. 已知二次函数 （a为常数，）．
（1）求证：不论a为何值，该函数图象与x轴必有公共点；
（2）①当时，求该函数图象的顶点坐标；
②已知，该函数的图象与线段有且只有一个公共点，则a 的取值范围是______．
【答案】（1）见解析 （2）①；②或且
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象与性质并分类讨论是解题的关键．
（1）根据根的判别式，即可解答；
（2）①把代入函数解析式，求出顶点坐标即可；
②考虑三种情况，即函数图象的顶点在线段上；函数图象的左边交于线段时；函数图象的右边交于线段时，依次解答即可．
【小问1详解】
证明：列方程，
，
方程有两个不相同的实数根，
即不论a为何值，该函数图象与x轴必有公共点；
【小问2详解】
解：①当时，二次函数解析式为，
，
该函数图象的顶点坐标为；
②函数的图象与线段有且只有一个公共点，考虑三种情况，
当函数图象的右边交于线段时，
可得当时，函数图象线段上方，当时，函数图象在线段下方，
故可得不等式，
解得，
经过检验当时，函数图象与线段产生两个交点，
，即；
当函数图象的左边交于线段时，
可得当时，函数图象在线段下方，当时，函数图象在线段上方，
故可得不等式，
解得，
经过检验当时，函数图象与线段产生两个交点，
，即；
当函数图象的顶点在线段时，
二次函数 的顶点为，
即，解得，
综上所述，或且．
27. 某兴趣小组在学习了对称的性质后，又进行了如下探究：
【点关于点对称】
如图，点O是线段的中点，则称点B 是点 A 关于点O的对称点；
【线关于点对称】
（1）尺规作图：作出线段关于点O 的对称线段．
【三角形关于点对称】
（2）如图， 点O 关于三边 中点对称的点分别为点 D， E， F， 连接，得，则称是关于点O的“对称”三角形．求证．
【四边形关于点对称】
（3）如图，点 O 关于四边形四条边 的中点对称的点分别为M、N、P、Q， 连接，得四边形，则称四边形是四边形关于点O的“对称”四边形．
①求证：四边形是平行四边形．
②当四边形满足 条件时，四边形是矩形；此时四边形的面积和四边形的面积满足的数量关系是______．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）①见解析；②对角线；
【解析】
【分析】（1）作射线，以O为圆心，分别以为半径画弧，分别交射线于点，连接即可；
（2）连接，利用对角线互相平分证明四边形是平行四边形，得是平行四边形，推出，利用即可证明；
（3）①连接，利用对角线互相平分证明四边形是平行四边形，得是平行四边形，推出，即可证明四边形是平行四边形；②连接，由①知四边形是平行四边形，即可推出，进而得到，得到四边形是平行四边形，即，由①知，根据是矩形，，得到，即，即可得出结论；根据此时四边形的面积，四边形的面积，即可得出结论．
【详解】（1）解：如图所示，线段为所求；
（2）证明：连接，
点O 关于三边 的中点对称的点分别为点 D， E， F，
互相平分，互相平分，互相平分，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
同理：四边形是平行四边形，
，
；
（3）证明：①连接，
点 O 关于四边形四条边 的中点对称的点分别为M、N、P、Q，
互相平分，互相平分，互相平分，互相平分，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
同理得：四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形；
②连接，
由①知四边形是平行四边形
，
，
四边形是平行四边形，
，
由①知，
四边形是矩形，
，
，
，
当四边形的对角线时，四边形是矩形；
此时四边形的面积，四边形的面积，
，
，
故答案为：对角线；．
【点睛】本题考查四边形综合题，对称的性质，平行四边形的判定与性质，三角形全等的判定，矩形的判定与性质，正确作出辅助线，构造平行四边形是解题的关键．

展开更多......

收起↑