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八校联盟2023-2024学年度第二学期阶段质量调研
八年级数学试题
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，将此选项的代号填到答题纸上．）
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，解答本题的关键是掌握它们的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．
【详解】A.既是轴对称图形又是中心对称图形，此选项符合题意；
B.不是轴对称图形，是中心对称图形，此选项不符合题意；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，此选项不符合题意；
D.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，此选项不符合题意；
故选A．
2. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是　　
A. x<1 B. x≤1 C. x>1 D. x≥1
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x的取值范围即可．
【详解】解：由题意得，x－1≥0，
解得x≥1．
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握要使二次根式有意义，其被开方数应为非负数．
3. 某校为了解本校500名学生的体重情况，从中抽取了50名学生测量体重，下列说法中正确的（　　）
A. 总体是500名学生 B. 样本容量是50
C. 该调查方式是普查 D. 个体是50名学生的体重
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了统计调查与抽样调查，根据个体、总体、样本容量及调查方式的定义逐一判断即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】解：A、总体是500名学生的体重，则错误，故不符合题意；
B、样本容量是50，则正确，故符合题意；
C、该调查方式是抽样调查，则错误，故不符合题意；
D、个体是每名学生的体重，则错误，故不符合题意；
故选B．
4. 实数的倒数是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了倒数和分母有理化，掌握分母有理化的做法的是解题关键．根据倒数的定义，分母有理化即可．
【详解】解：实数的倒数是，
故选：C．
5. 下列二次根式的运算正确的是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的加减运算可判断A，B，根据二次根式的乘除运算法则可判断C，D，从而可得答案．
【详解】解：不是同类二次根式，不能合并，故A不符合题意；
故B不符合题意；
故C不符合题意；
，运算正确，故D符合题意；
故选D
【点睛】本题考查的是二次根式的加减运算，二次根式的乘除运算，掌握“二次根式的加减乘除运算的运算法则”是解本题的关键．
6. 在平面直角坐标系中，把点P(－5，3)向右平移8个单位得到点P1，再将点P1绕原点旋转90°得到点P2，则点P2的坐标是( )
A. (3，-3) B. (-3，3) C. (3，3)或(-3，-3) D. (3,－3)或(-3，3)
【答案】D
【解析】
【分析】先根据把点P（﹣5，3）向右平移8个单位得到点P1，可得点P1的坐标为：（3，3），然后分两种情况，即可求解
【详解】解：∵把点P（﹣5，3）向右平移8个单位得到点P1，
∴点P1的坐标为：（3，3），
如图所示：
将点P1绕原点逆时针旋转90°得到点P2，则其坐标：（﹣3，3），
将点P1绕原点顺时针旋转90°得到点P3，则其坐标为：（3，﹣3），
故符合题意的点的坐标为：（3，﹣3）或（﹣3，3）．
故选：D
【点睛】此题主要考查了坐标与图形——平移和旋转的变化，正确利用图形分类讨论是解题关键．
二、填空题（本大题共有10小题，每空2分，共24分，答案填到答题纸上．）
7. （1）在整数20230520中，数字“0”出现的频率是 __________________．
（2）了解端午节期间某市场粽子的质量情况，适合的调查方式是________．（填“普查”或“抽样调查”）．
【答案】 ①. #### ②. 抽样调查
【解析】
【分析】本题考查了概率公式和抽样调查，掌握相关知识点是解题关键．
（1）根据概率公式计算即可；
（2）根据抽样调查和普查的特点分析即可．
【详解】解：（1）在整数20230520中，共有8个数字，数字“0”出现3次，
数字“0”出现的频率是，
故答案为：；
（2）了解端午节期间某市场粽子的质量情况，适合的调查方式是抽样调查，
故答案为：抽样调查．
8. 最简二次根式与是同类二次根式，则__________．
【答案】7
【解析】
【分析】根据最简二次根式及同类二次根式的定义列得，求解即可．
【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
解得，
故答案为：7．
【点睛】此题考查了最简二次根式的定义，同类二次根式的定义，熟记定义是解题的关键．
9. 已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是利用数轴比较实数的大小，二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
根据数a、b在数轴上的位置确定，，，的符号，再根据二次根式的性质进行化简，再合并同类项．
【详解】根据数轴，得，
，，
故答案为：．
10. 样本容量为90的数据中，最大值是133，最小值是40，取组距为10，则可以分成____组.
【答案】10
【解析】
【分析】根据样本的极差和组距求组数.
【详解】样本的极差为133-40=93，组距为10，则组数为10.
【点睛】本题考查样本的极差、组距与组数的关系等概念.
11. 实数a、b满足，那么_______，_____．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了非负数的性质，二次根式和分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0是解题关键，根据偶次方和绝对值的非负性，得到，，再根据二次根式和分式有意义的条件，得到，分别求解即可．
【详解】解：，
，，，
或（舍），
，
故答案为：，．
12 如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，AB=3，AE=5，∠D=90°，则AC=_________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据中心对称得出AC=CD，DE=AB=3，根据勾股定理求出AD即可得出AC的长度．
【详解】解：∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称，
∴AC=CD，DE=AB=3，
∵AE=5，∠D=90°，
∴AD==4，
∴AC=AD=2，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查中心对称和勾股定理的知识，熟练掌握中心对称的性质及勾股定理是解题的关键．
13. 若，则代数式的值为________．
【答案】0
【解析】
【分析】利用配方法把x2﹣4x﹣6变为(x-2)2-10，然后把x＝2﹣代入计算即可.
【详解】∵x＝2﹣，
∴x2﹣4x﹣6
=(x-2)2-10
=(2﹣ -2)2-10
=10-10
=0.
故答案为：0．
【点睛】本题考查了整式的化简求值及二次根式的运算，熟练掌握配方法是解答本题的关键. 配方法：先加上一次项系数一半的平方，使式中出现完全平方式，再减去一次项系数一半的平方，使整个式子的值不变，这种变形的方法称为“配方法”．
14. 把中根号前的移到根号内得到的结果是 ___________ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质及二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质进行化简即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】解：由题意得：，
得：，
，
，
故答案为：．
15. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为________．
【答案】16
【解析】
【分析】根据旋转的性质得到△ABC≌△A1BC1，A1B=AB=8，所以△A1BA是等腰三角形，依据∠A1BA=30°得到等腰三角形的面积，由图形可以知道，最终得到阴影部分的面积．
【详解】解：∵在△ABC中，AB=8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，
∴△ABC≌△A1BC1，
∴A1B=AB=8，
∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA=30°，
过点A1作于点D
∴
∴×8×4=16，
又∵，
，
∴=16．
故答案为：16．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．运用面积的和差关系解决不规则图形的面积是解决此题的关键．
16. 如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转得到，若P为边上一动点，旋转后点P的对应点为点，则线段长度的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质、勾股定理，利用勾股定理求得，在利用等面积法求得，根据旋转的性质得，当点与点重合时，有最大值为8，当点与点重合时，有最小值为，进而可求解，准确找出当点与点重合时，有最大值，当点与点重合时，有最小值是解题的关键．
【详解】解：过点作于，如图：
在中，，，，
，
，
，
将绕点C顺时针旋转得到，
，，
，
点P为边上一动点，
当点与点重合时，有最大值为8，当点与点重合时，有最小值为，
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共10小题，共108分，答案填到答题纸上．）
17. 计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、分母有理化：
（1）利用二次根式的混合运算法则即可求解；
（2）利用分母有理化及二次根式的混合运算法则即可求解；
（3）利用二次根式的混合运算法则即可求解；
（4）利用分母有理化及二次根式的混合运算法则即可求解；
（5）利用二次根式的混合运算法则即可求解；
（6）利用二次根式的混合运算法则即可求解；
熟练掌握其运算法则是解题的关键．
【小问1详解】
解：原式
．
【小问2详解】
原式
．
【小问3详解】
原式
．
【小问4详解】
原式
．
【小问5详解】
原式
．
【小问6详解】
原式
．
18. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出关于y轴对称的；
（2）将绕着点B顺时针旋转90°后得到，请在图中画出，并求出线段旋转过程中所扫过的面积为 （结果保留）．
（3）作关于点O成中心对称的
（4）在y轴上求作一点P，使的值最小，求出点P的坐标为 ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析，
（3）见解析 （4）
【解析】
【分析】（1）关于y轴对称的两点横坐标互为相反数，纵坐标不变，根据对称法则得出各点的对应点，然后得出三角形；
（2）根据旋转图形的性质得出各点的对应点，然后顺次连接，得到三角形；首先得出半径和旋转的角度，然后根据扇形的面积计算法则得出答案；
（3）关于原点对称的两点横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，根据对称法则得出各点的对应点，然后得出三角形；
（4）如图，作点A关于y轴对称点，连接交y轴于点P，此时值最小，根据待定系数法即可求出直线的解析式，然后令，求出的值，即可求出点的坐标．
【小问1详解】
如图所示，
即为所求作的图形；
【小问2详解】
如图所示，即为所求作的图形；
，
线段旋转过程中所扫过的面积为；
【小问3详解】
如图所示，
即为所求作的图形；
【小问4详解】
如图，作点A关于y轴对称点，连接交y轴于点P，此时的值最小
点关于轴对称的是点
设直线解析式为
直线与轴交于点
令，则
点的坐标为
【点睛】本题考查了作图-旋转变换，对称轴变换、勾股定理以及扇形的面积，做出正确的图形时解题的关键．
19. 为全面推行“托管拓展”课后服务模式，某校体育兴趣小组开展了篮球、足球、排球、乒乓球、羽毛球五类社团活动． 为了对活动进行统筹安排，随机抽取了部分学生进行调查（要求每人从五个类别中选且只选一个） ，并将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图． 请根据统计图中的信息，解答下列问题：
（1）此次共调查了 名学生；
（2）将图1中的条形统计图补充完整，并标出对应数字；
（3）图2中，“足球”所在扇形的圆心角为 度；
（4）若该校共有学生 1200人，估计该校喜欢“乒乓球”的学生人数．
【答案】（1）60 （2）见解析
（3）36 （4）300
【解析】
【分析】本题主要考查统计调查，能结合条形统计图和扇形统计图得出所需的信息是解题的关键．
（1）用篮球的人数除以所占的百分比即可求出总人数；
（2）求得选择“足球”和“羽毛球”的人数，即可绘制条形统计图；
（3）用乘以选择“足球”的学生人数所占的百分比即可求解．
（４）先求得样本中选择“乒乓球”的学生人数比例，用该校学生总数乘该比例即可．
【小问1详解】
本次共调查学生人数：(名) ．
【小问2详解】
选择“羽毛球”的学生人数为：(名)，
选择“足球”的学生人数为：(名)，
故补全条形统计图如下．
【小问3详解】
“足球”所在扇形的圆心角为：，
故答案为：36．
【小问4详解】
(名) ．
答：估计该校喜欢“乒乓球”的学生人数名．
20. 若x，y为实数，且，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求得x的值，进而得到y的值，代入求值即可．
【详解】解：依题意得：，则，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
21. 观察下列各式：①，②；③，…
（1）请观察规律，并写出第④个等式：　 　；
（2）请用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律：　 　；
（3）请证明（2）中的结论．
【答案】（1） ；（2） ；（3）详见解析．
【解析】
【详解】试题分析：（1）认真观察题中所给的式子，得出其规律并根据规律写出第④个等式；
（2）根据规律写出含n的式子即可；
（3）结合二次根式的性质进行化简求解验证即可．
试题解析：(1)
(2)
(3)
故答案为(1)
22. 已知，．
（1）求的值．
（2）求值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了分母有理化、二次根式的性质：
（1）先将、进行分母有理化，再代入式子计算即可求解；
（2）由（1）得，，再利用二次根式的性质进行化简即可求解；
熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
【小问1详解】
解：，，
．
【小问2详解】
由（1）得：，，
，，
．
23. 四边形ABCD是正方形，E，F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE，AF，EF。
（1）求证：△ADE≌△ABF
（2）△ABF可以由△ADE绕旋转中心________点，按顺时针方向旋转________度得到；
（3）若BC=8，DE=3，求△AEF的面积
【答案】（1）详见解析；（2）A，90； （3）36.5
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质得AD=AB，∠D=∠ABC=90°，然后利用“SAS”易证得△ADE≌△ABF；
（2）观察图形可得；
（3）先利用勾股定理可计算出AE= ，再根据旋转的性质得到AE=AF，∠EAF=90°，然后根据直角三角形的面积公式计算即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形
∴AD=AB，∠D=∠ABF=90°
∵DE=BF
∴△AFB≌△AED（SAS）
（2）观察图形可知：△ABF可以由△ADE绕旋转中心点A，按顺时针方向旋转 90度得到．
故答案为：A，90.
（3）S△AEF=S梯AFCD-S△ADE-S△EFC=--=36.5
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识点．掌握相关知识是解题的关键.
24. 数学张老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答：
（1）的整数部分是______．
（2）为的小数部分，为的整数部分，求的值．
（3）已知，其中是一个正整数，，求的值．
【答案】（1）3 （2）1
（3）17
【解析】
【分析】题目主要考查无理数的估算及求代数式的值，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．
（1）根据无理数的估算方法求解即可；
（2）根据题意得出，，然后代入求解即可；
（3）根据题意得出，，然后代入计算即可．
【小问1详解】
解：
的整数部分为3
【小问2详解】
为的小数部分，为的整数部分，
，，
；
【小问3详解】
，其中是一个正整数，，
，，
．
25. 【阅读理解】爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的：
∵，．
∴，即．
∴．
∴．
请你根据小名的分析过程，解决如下问题：
（1）计算： ；
（2）计算： ；
（3）若，求的值．
【答案】（1）
（2）9 （3）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式混合运算，分母有理化，乘法公式等，熟练掌握分母有理化的方式是解题关键．
（1）利用平方差公式分母有理化即可；
（2）利用分母有理化可得，然后计算二次根式即可；
（3）利用分母有理化可得，进而得到，，然后将代数式变形，代入计算即可．
【小问1详解】
解：，
故答案为：；
【小问2详解】
解：，
，
，
……
，
，
故答案为：9；
【小问3详解】
解：，
，
，即，
．
26. 阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图①等边内有一点，若点到顶点、、距离分别为8，15，17，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出 ；
（2）基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题
已知如图②，中，，，、为上的点且，求证：；
（3）能力提升
如图③，在中，，，，点为内一点，连接，，，且，求的值．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）根据全等三角形的性质及等边三角形的判定及性质得出为等边三角形，再根据等边三角形的性质得出，，然后利用勾股定理的逆定理得出，最后根据角的和差即可得出答案；
（2）把绕点逆时针旋转得到，连接，由旋转的性质得出，，，，，再利用证明，然后根据全等三角形的性质及勾股定理即可得证；
（3）根据勾股定理求出的值，将绕点顺时针旋转，得到，连接，根据旋转的性质得出，，，，，即可得出是等边三角形，再根据等边三角形的性质结合角的和差得出、、、四点共线，然后根据勾股定理及等量代换即可得出答案．
【详解】（1）
，，，
为等边三角形
即
为等边三角形
，
为直角三角形，且
（2）证明：如图，把绕点逆时针旋转得到，连接，
由旋转的性质得，，，，
在和中
，
由勾股定理得，
即；
（3）在中，，，
，
如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接
，，，，
是等边三角形
，
、、、四点共线
在中，
．
【点睛】本题考查了旋转的综合题，涉及到全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、旋转的性质以及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．八校联盟2023-2024学年度第二学期阶段质量调研
八年级数学试题
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，将此选项的代号填到答题纸上．）
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A B. C. D.
2. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是　　
A. x<1 B. x≤1 C. x>1 D. x≥1
3. 某校为了解本校500名学生的体重情况，从中抽取了50名学生测量体重，下列说法中正确的（　　）
A. 总体是500名学生 B. 样本容量是50
C. 该调查方式是普查 D. 个体是50名学生的体重
4. 实数的倒数是（　　）
A. B. C. D.
5. 下列二次根式的运算正确的是
A B. C. D.
6. 在平面直角坐标系中，把点P(－5，3)向右平移8个单位得到点P1，再将点P1绕原点旋转90°得到点P2，则点P2的坐标是( )
A. (3，-3) B. (-3，3) C. (3，3)或(-3，-3) D. (3,－3)或(-3，3)
二、填空题（本大题共有10小题，每空2分，共24分，答案填到答题纸上．）
7. （1）在整数20230520中，数字“0”出现的频率是 __________________．
（2）了解端午节期间某市场粽子的质量情况，适合的调查方式是________．（填“普查”或“抽样调查”）．
8. 最简二次根式与是同类二次根式，则__________．
9. 已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：_________．
10. 样本容量为90的数据中，最大值是133，最小值是40，取组距为10，则可以分成____组.
11. 实数a、b满足，那么_______，_____．
12. 如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，AB=3，AE=5，∠D=90°，则AC=_________．
13. 若，则代数式值为________．
14. 把中根号前的移到根号内得到的结果是 ___________ ．
15. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积________．
16. 如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转得到，若P为边上一动点，旋转后点P的对应点为点，则线段长度的取值范围是______．
三、解答题（本大题共10小题，共108分，答案填到答题纸上．）
17. 计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
18. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出关于y轴对称的；
（2）将绕着点B顺时针旋转90°后得到，请在图中画出，并求出线段旋转过程中所扫过的面积为 （结果保留）．
（3）作关于点O成中心对称的
（4）在y轴上求作一点P，使的值最小，求出点P的坐标为 ．
19. 为全面推行“托管拓展”课后服务模式，某校体育兴趣小组开展了篮球、足球、排球、乒乓球、羽毛球五类社团活动． 为了对活动进行统筹安排，随机抽取了部分学生进行调查（要求每人从五个类别中选且只选一个） ，并将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图． 请根据统计图中的信息，解答下列问题：
（1）此次共调查了 名学生；
（2）将图1中的条形统计图补充完整，并标出对应数字；
（3）图2中，“足球”所在扇形的圆心角为 度；
（4）若该校共有学生 1200人，估计该校喜欢“乒乓球”的学生人数．
20. 若x，y为实数，且，求的值．
21. 观察下列各式：①，②；③，…
（1）请观察规律，并写出第④个等式：　 　；
（2）请用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律：　 　；
（3）请证明（2）中的结论．
22 已知，．
（1）求的值．
（2）求值．
23. 四边形ABCD是正方形，E，F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE，AF，EF。
（1）求证：△ADE≌△ABF
（2）△ABF可以由△ADE绕旋转中心________点，按顺时针方向旋转________度得到；
（3）若BC=8，DE=3，求△AEF的面积
24. 数学张老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答：
（1）的整数部分是______．
（2）为的小数部分，为的整数部分，求的值．
（3）已知，其中是一个正整数，，求的值．
25. 【阅读理解】爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的：
∵，．
∴，即．
∴．
∴．
请你根据小名的分析过程，解决如下问题：
（1）计算： ；
（2）计算： ；
（3）若，求的值．
26. 阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图①等边内有一点，若点到顶点、、的距离分别为8，15，17，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出 ；
（2）基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题
已知如图②，中，，，、为上的点且，求证：；
（3）能力提升
如图③，在中，，，，点为内一点，连接，，，且，求的值．

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