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专题3 导数与构造函数问题
【典例1-1】（23-24高二上·山西大同·期末）
1．已知，且满足，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（22-23高二下·河南·期中）
2．若不等式在上恒成立，e是自然对数的底数，则实数的取值范围是 ．
【题后反思】常见的同构变形：
(1) (2) (3) (4)
(5) (6) (7)
(8) (9)
【举一反三】
（22-23高二下·陕西商洛·阶段练习）
3．已知，且满足，为自然对数的底数，则（ ）
A． B．
C． D．
（23-24高二下·江苏盐城·开学考试）
4．设实数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若在区间上有最值，则
（1）恒成立： ；；
（2）能成立：；.
若能分离常数，即将问题转化为：（或），则
（1）恒成立： ；；
（2）能成立：；.
【典例2-1】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）
5．已知，则的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】（23-24高二上·湖南长沙·期末）
6．若，则（ ）
A． B．
C． D．
【题后反思】（1）最常见的构造比大小函数：型函数

函数极值点：
此函数定义域为，求导，
当时，，故为增函数，
当时，，故为减函数，
当时，取得极大值为，
且，此结论经常用来把函数转化到同一边进行比较；
（2）其他形式比大小：根据各个数字的特征，利用共同特征构造函数求解单调性进行判断.
【举一反三】
（23-24高二上·河南开封·期末）
7．设，，，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
（23-24高二下·云南·开学考试）
8．下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例3-1】（22-23高二下·安徽滁州·阶段练习）
9．设在上的导函数均存在，，且，当时，下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例3-2】
10．已知是自然对数的底数，函数的定义域为，是的导函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
【题后反思】
1、两个基本还原
① ②
2、类型一：构造可导积函数
① 高频考点1：
②
高频考点1： 高频考点2
③ 高频考点1：
④
高频考点1： 高频考点2
⑤
⑥
序号 条件 构造函数
1
2
3
4
5
6
7
8
3、类型二：构造可商函数
①
高频考点1：
②
高频考点1：
高频考点2：
③
⑥
【举一反三】
（22-23高二下·四川成都·期末）
11．记函数的导函数为，若为奇函数，且当时恒有成立，则（ ）
A． B．
C． D．
（23-24高二下·上海·阶段练习）
12．已知定义在上的函数关于轴对称，其导函数为，当时，不等式．若对，不等式恒成立，则的取值范围是 .
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．AD
【分析】
根据对数运算性质转化已知得，构造函数，根据函数单调性可得，从而可判断.
【详解】
等式，等号两边同除以，
可得，
所以，
所以，
所以，
构造函数，则，
显然，函数在定义域内是增函数，
所以，即．
而，而，
故，故，故D正确.
故选：AD．
【点睛】
构造函数，利用函数单调性证明不等式.
2．
【分析】
将不等式化为，即得，讨论的取值范围，当时，构造函数，利用函数单调性可得，化为，继而再构造函数，利用导数求其最值，即可求得答案.
【详解】
由题意知，，
所以，即,
①若，则，而，符合题意；
②若，令，则在恒成立，
∴在单调递增，又，，，
∴由，得；
由在恒成立，则可化为，
令，，
当时，；当时，，
在单调递减，单调递增，
∴，即有．综上：，
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键是结合的结构特点，合理变形为，即而化为，从而可采用构造函数的方法，利用导数即可求解问题.
3．A
【分析】根据指数函数的性质得到，再构造函数，利用导函数研究函数的单调性判断即可.
【详解】因为在上单调递增，，所以，
构造函数，则，令，解得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
因为，，即，又，
所以，，，，
所以，
所以，，，即，
所以，故A正确.
故选：A.
4．
【分析】
将化简为，再构造函数，求导分析单调性可得在区间上恒成立，再参变分离构造函数求最值解决恒成立问题即可.
【详解】
因为恒成立即，
可得，令，则恒成立.
又，故当时，，故在区间上为增函数.
又恒成立，则在区间上恒成立，即，.
构造，则，令有，
故当时，，为增函数；当时，，为减函数.
故，故，即.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若在区间上有最值，则
（1）恒成立： ；；
（2）能成立：；.
若能分离常数，即将问题转化为：（或），则
（1）恒成立： ；；
（2）能成立：；.
5．B
【分析】
构造函数，，利用函数的单调性比较大小.
【详解】令，
当时，，单调递增；
所以即，所以.
令，
当时，，单调递减，所以即
所以，故.
故选：B.
6．C
【分析】
构造函数，利用导数判断单调性，结合单调性分析判断.
【详解】因为，
构造函数，则，
令，解得；当时，令，解得；
可得在上单调递减，在上单调递增；
且，所以，即.
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：根据题意构建，结合函数单调性比较大小.
7．A
【分析】
利用函数在上的单调性可得出、的大小关系，利用函数在上的单调性可得出、的大小关系，由此可得出、、的大小关系.
【详解】
令，则，
当时，，则单调递增，所以，
即，则；
令，则，当时，，单调递增，
所以，即，即．
综上所述，．
故选：A．
【点睛】结论点睛：两个常见的重要不等式：
（1）；（2）.
8．AD
【分析】
设，利用导数讨论其单调性后可得正确的选项.
【详解】设，则，
当时，，当时，，
故在上为增函数，在上为减函数，
因，故，即，故A正确；
因，故，即，故B错误；
因，故，即即，故C错误；
因，故即，故D正确；
故选：AD.
9．C
【分析】
根据题意构建，，利用导数判断其单调性，并利用单调性分析判断.
【详解】
因为，不妨设，，
则，所以在上单调递增，
因为与1的大小不确定，所以无法比较的大小关系，故A、B无法判断；
则，即，
且，则，故D错误；
由，即，
且，则，C正确；
故选：C．
10．AC
【分析】
构造函数，借助新函数的单调性，即可判断.
【详解】
令函数，则，
所以在上单调递增，
又，所以
，即，
所以，而的大小不确定．
故选：AC.
11．B
【分析】根据，构造函数，利用其单调性结合奇函数性质比较.
【详解】令，则，
当时恒有，所以，
则在上单调递增，
所以，则，即，选项A错误；
，则，即，选项B正确；
，则，又为奇函数，所以，选项C错误；
由得，选项D错误；
故选：B
12．
【分析】
构造函数，判断单调性及奇偶性，去掉函数符号，转化为恒成立,分离参数求最值即可求解.
【详解】
定义在上的函数关于轴对称，函数为上的偶函数．
令，则,为奇函数．
．
当时，不等式．
，在单调递增．
函数在上单调递增．
对，不等式恒成立，
,
即
．
当时，，
则，
则；；
故在单调递减，在单调递增；
可得时，函数取得极小值即最小值，
．
当时，，则，则
则的取值范围是.
故答案为：.
答案第1页，共2页
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