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专题2 用导数研究函数性质的参数问题
【典例1-1】（22-23高二下·四川成都·期中）若函数的单调递减区间为，则实数k的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】A
【分析】求导得到导函数，确定，1是的两根，解得答案.
【详解】由，由已知递减区间，则得：，
故，1是的两根，，，
故选：A
【典例1-2】（22-23高二下·北京海淀·期中）如果定义在R上的函数的单调增区间为，那么实数的值为 ．
【答案】
【分析】根据导数研究函数的单调性，将单调区间的端点代入导函数值为零，计算并验证即可.
【详解】由题意可得：且，
代入验证，符合题意，故.
故答案为：
【题后反思】
已知函数单调区间求参数问题，即已知导数的零点求参数，结合基本初等函数相关知识求解并检验即可.
【举一反三】
（22-23高二下·四川成都·期中）
1．已知函数的单调递减区间为，则的值为（ ）
A．3 B． C．6 D．
（22-23高二下·全国·课时练习）
2．已知函数是区间上的单调函数，则的取值范围是 ．
【典例2-1】（23-24高二上·福建福州·期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
依题意，在区间上恒成立，分离参数可得实数a的最大值.
【详解】由题意，
因为函数在区间上单调递减，
所以在区间上恒成立，即，
令，则，
又，所以，所以在为减函数，
所以，
所以，即实数a的最大值是.
故选：C
【典例2-2】（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知函数，若在上单调递增，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由在上单调递增，即有在上恒成立，参变分离后借助导数计即可得.
【详解】由题意，在上恒成立，
即在上恒成立，
令，
在上恒成立，
所以在上单调递减，有，
所以，解得，
即实数a的取值范围是．
故答案为：.
故答案为：-1.
【题后反思】
函数在某个区间上单调求参数的范围
1.数形结合：对于基本初等函数、分段函数，可结合函数图象列不等式，求参数的取值范围；
2.借助导数：转化为导函数在这个区间上恒大于等于0或者恒小于等于0，借助不等式恒成立的解法即可求出参数的范围.
【举一反三】
（23-24高二下·湖北黄冈·阶段练习）
3．已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．或 B． C．或 D．
（23-24高二下·山东菏泽·阶段练习）
4．若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【典例3-1】（23-24高二上·重庆·期末）若是函数，的极值点，则 .
【答案】-1
【分析】求出函数的导数，根据极值点的含义可得，经验证即可确定答案.
【详解】由于，故，
由于是函数的极值点，故，
即，
此时，
由于，则，
故是的变号零点，
即是函数，的极值点，符合题意，
故，
【典例3-2】（22-23高二下·河南郑州·阶段练习）若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是
【答案】
【分析】根据导函数有2个不同的零点，且两个零点均大于零可求解．
【详解】函数，定义域为，
若函数有两个不同的极值点，
则有两个不同正根，
即有两个不同正根，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
【题后反思】已知极值点求参数
已知函数的极值点求参数，往往是通过列方程来求解：
1.求参数的值：①导函数在极值点处的函数值等于0；②极值也是函数值，函数在极值点处的函数值等于极值；
2.验证：极值点都是导函数方程的解，但导函数方程的解不一定是极值点，要使导函数方程的解是极值点，必须满足函数在这个解左右两边的单调性正好相反，因此求出参数后，需带入原函数验证.
【举一反三】
（23-24高二上·山西运城·期末）
5．若是函数的极值点，则下面结论正确的为（ ）
A． B．的递增区间为
C．的极小值为1 D．的极大值为
（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）
6．若函数在处有极小值，则（　 ）
A． B． C．或 D．
【典例4-1】（2024高二下·全国·专题练习）若函数的极大值为11，则的极小值为 ．
【答案】－21
【分析】
首先利用导数判断函数的单调性和极大值，并求，再求解函数的极小值.
【详解】函数的定义域为，，令，解得或，
列表：
0 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以当时，函数有极大值，由题意得，解得，
当时，函数有极小值.
故答案为：
【典例4-2】（22-23高二下·吉林长春·阶段练习）已知函数在上的最大值为2，则 ．
【答案】
【分析】直接对函数求导，利用函数在区间上单调性和条件，求出值，从而求出结果.
【详解】因为，所以，
又，所以在上恒成立，即在区间上单调递减，
所以，得到，故，
所以.
故答案为：.
【题后反思】已知函数的最值求参：
一般先求出函数在给定区间上的最值（含参数），根据最值列方程组或不等式组求参数的范围.
【举一反三】
（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）
7．已知函数在处取得极值5，则 .
（22-23高二下·河南南阳·阶段练习）
8．已知函数，且的最小值为0，则的值为 ．
【典例5-1】（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）函数.
（1）若函数在区间上单调递增，求的取值范围；
（2）当时，讨论函数在区间上的单调性.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【分析】
（1）求出函数的导函数，依题意可得在上恒成立，参变分离可得在上恒成立，求出，即可求出参数的取值范围；
（2）首先利用导数求出函数在定义域上的单调性，再分、两种情况讨论，即可得到函数在区间上的单调性.
【详解】（1）因为，则，
依题意在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，，则，
所以在上单调递减，
所以，
所以，即的取值范围为.
（2）当时，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时在区间上单调递减，
当时在区间上单调递减，在上单调递增.
【典例5-2】（22-23高二下·辽宁鞍山·阶段练习）已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）求函数在区间上的最小值．
【答案】（1）答案见解析；
（2）.
【分析】（1）求出函数的导数，讨论a的取值情况，结合解不等式即可求得答案；
（2）根据所给范围，讨论a的取值范围，确定导数正负，判断函数的单调性，即可求得函数最小值.
【详解】（1）由题意得，
定义域是，
当时，由得或;
则的单调递增区间是，，
当时，恒成立，仅在时等号成立，
故的单调递增区间是，
当时，由得或，
则的单调递增区间是，；
当时，由得，
则的单调递增区间是，
故当时，的单调递增区间为，；
当时，单调递增区间是；
当时，单调递增区间是，；
当时，单调递增区间是.
（2）由（1）知，令，得，
当，时，在上单调递增，仅当时等号成立，
则，
当，时， 在上单调递减，
时，在上单调递增，
则；
当，在上单调递减，
则，
综上所述．
【点睛】方法点睛：求出函数的导数后，表达式中含有字母参数，因此判断导数的正负时要注意参数对导数的影响，因此要注意分类讨论，即要注意结合二次函数相关知识分类讨论参数的取值范围，判断导数正负，从而判断函数单调性，解决问题.
【题后反思】讨论的角度：
①讨论最高次幂的系数是否为0；
②讨论导函数是否有变号零点；
③若导函数有变号零点，讨论变化零点是否在函数定义域或指定区间内；
④讨论导函数的变号零点之间的大小关系．
【举一反三】
（2024高二·上海·专题练习）
9．已知函数.
(1)当时，求的最大值.
(2)讨论函数的单调性.
（23-24高二上·江苏徐州·期末）
10．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，若函数有最小值2，求a的值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】
求出函数的导函数，依题意的解集为，即可求出参数的值.
【详解】
由，所以，
单调递减区间是，的解集为，
即的解集为，
，，经检验符合题意.
故选：D.
2．
【分析】
求导，根据是区间上的单调函数，可得导函数的零点不在区间上，从而可得出答案.
【详解】
，
令，则或，
因为是区间上的单调函数，
所以或，解得或，
所以的取值范围是.
故答案为：.
3．C
【分析】
先求出导函数，由得到函数的单调递减区间，则是函数单调递减区间的子集，从而求出的取值范围．
【详解】
，
，令得：，
函数的单调递减区间为，函数在上单调递减，
，，
又函数在上连续，或，
或.
故选：C．
4．D
【分析】
把原问题转化为在上恒成立，分离参数，构造函数，利用单调性求解最值即可求解.
【详解】因为在上单调递减，所以在上恒成立，
即在上恒成立，又函数在上为增函数，所以，
故，经检验符合题意.
故选：D
5．AD
【分析】
先由求出值，再利用导函数研究函数的单调性与极值即可.
【详解】由题可得，，
因为是函数的极值点，
所以，则，解得，
故，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
故的递增区间，递减区间为，故A正确，B错误；
由上可知，的极大值为，极小值为，
故C错误，D正确.
故选：AD.
6．A
【分析】
根据求得c，然后验证即可.
【详解】，
因为在处有极小值，
所以，解得或，
当时，令，解得或，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
此时，在处有极大值，不满足题意.
当时，令，解得或，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
此时，在处有极小值，满足题意.
故选：A
7．
【分析】
由极值及极值点的定义可得、，计算即可得.
【详解】，则有，解得，
，解得，故.
故答案为：.
8．
【分析】
利用导数求出，结合已知最小值可得结果.
【详解】的定义域为，
，
当时，，在上为减函数，此时无最小值，不合题意；
当时，令，得；令，得，
在上为减函数，在上为增函数，
所以，
令，，
令，得，令，得，
所以在上为增函数，在上为减函数，
所以当时，取得最大值，
故.
故答案为：.
9．(1)0
(2)答案见解析
【分析】
（1）利用导数求解函数最值即可.
（2）含参讨论函数单调性即可.
【详解】（1）
当时，，
由，所以，
当时，，所以函数在上单调递增；
当时，，所以函数在上单调递减；
故；
（2）
定义域为，，
当时，，在上递增；
当时，令，解得，
令，解得.
于是在上单调递增；在上单调递减.
10．(1)
(2)
【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义求得答案；
（2）对求导，得到的单调性，可得，再令，证得，即，可得出答案.
【详解】（1）当时，，的定义域为，
则，则，，
由于函数在点处切线方程为，即.
（2）的定义域为，
，
当时，令，解得：；令，解得：，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，，即
则令，设，，
令，解得：；令，解得：，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，解得：.
答案第1页，共2页
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