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专题4 用导数解析函数零点问题
【典例1-1】（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）函数，若函数有3个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用导数研究函数的图象，然后作出函数的图象，结合图形可解.
【详解】令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
所以，当时，取得极小值，
再结合二次函数图象，作出的图象如下图：
因为函数有3个零点，
所以函数的图象与直线有3个交点，
由图可知，，即的取值范围为.
故选：C
【典例1-2】（2023·广东肇庆·模拟预测）已知函数有两个零点，则实数取值范围为 .
【答案】
【分析】将零点问题转化为交点问题求解即可.
【详解】若有两个零点，故有两个零点，
当时，无零点，故排除，化简得与，定义域为，
又，令，，令，，
故在单调递减，在单调递增，
故极小值为，当时，，当时，，
当时，，故.
故答案为：
【题后反思】根据函数零点个数求参数方法总结反思：
1、分离参数后，将原问题转化为的值域（最值）问题或转化为直线与的图象的交点个数问题（优先分离、次选分类）求解；
2、利用函数零点存在定理构造不等式求解；
3、转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解。
【举一反三】
（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）
1．已知函数，在点处的切线方程是.
(1)求的值；
(2)设函数，若函数只有1个零点，求的取值范围.
（23-24高二上·浙江宁波·期末）
2．已知函数有两个零点，求的取值范围 .
【典例2-1】（22-23高二上·河南·期末）若是函数的极值点，则函数在的零点个数是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】由函数的极值点判断，再由导数的性质得出单调性和最值，最后结合图像得出结果.
【详解】由，则，则．
所以，函数在上，，单调递增，最小值 ，
结合图象可知，交点个数为1．
故选：A
【典例2-2】（22-23高二下·福建泉州·阶段练习）已知函数，其中．
（1）讨论函数零点个数；
（2）求证：．
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【分析】（1）求导，分类讨论的取值，即可根据导函数的正负确定函数的单调性，进而可求解，
（2）根据，取，利用累加法，结合指对互化即可求解.
【详解】（1）
①当时，即在单调递减，
又，只有一个零点.
②当时，令则，
当时，当时，
故在单调递增，在单调递减，
，
令，则，
故当时，单调递减，当时，单调递增，
故，
又，，
故当时，只有一个零点，
当且时，有两个零点，
综上可知：故当或时，只有一个零点，
当且时，有两个零点，
（2）由（1）可知，当时，在单调递减，
故当时，，故，
取，则，即，
相加可得，
，
，
【点睛】方法点睛：
1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
【题后反思】1、判断函数零点个数的常用方法
（1）直接研究函数，求出极值以及最值，画出草图。函数零点的个数问题即是函数图象与轴交点的个数问题．
（2）分离出参数，转化为，根据导数的知识求出函数在某区间的单调性，求出极值以及最值，画出草图．函数零点的个数问题即是直线与函数图象交点的个数问题．只需要用a与函数的极值和最值进行比较即可．
2.证明函数零点个数的方法与判断零点个数的方法相似，多在解答题中进行考察。
利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值（最值）及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数。
注意：单调性+零点存在=唯一零点
【举一反三】
3．设函数
(1)当时，求曲线在处的切线方程.
(2)讨论函数在区间上零点的个数.
（22-23高二下·陕西榆林·阶段练习）
4．已知．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，判断的零点个数．
【典例3-1】（22-23高二下·安徽·阶段练习）函数在区间上的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据导数与函数的单调性、最值的关系以及零点的存在性定理求解.
【详解】对函数求导可得，，
记,则，
当时，，则，
当时，，则，
所以在上，，所以，所以单调递增，
注意到，
所以必存在使得，
于是在上单调递减，在上单调递增，
又，
所以在区间上必存在一个零点.
综上，函数在区间上有两个零点.
故选:B.
【典例3-2】（22-23高二下·四川眉山·期末）已知函数，其中为自然对数的底数．
（1）当时，证明：;
（2）当时，求函数零点个数．
【答案】（1）证明见解析；
（2）2.
【分析】（1）把代入，利用导数探讨函数单调性，借助函数最小值0推理作答.
（2）把代入，利用导数探讨函数单调性，求出函数最小值，再借助零点存在性定理求解作答.
【详解】（1）当时，，，求导得，
显然，当时，，则，
当时，，则，因此函数在上单调递减，在上单调递增，
则当时，，
所以.
（2）当时，，，求导得，
当时，，则，当时，，则，
当时，函数都递增，即函数在上单调递增，
而，因此存在，使得，
当时，，当时，，
从而当时，，当时，，
即有函数在上单调递减，在上单调递增，，
而，于是函数在，各存在一个零点，
所以函数零点个数是2.
【点睛】思路点睛：涉及函数零点个数问题，可以利用导数分段讨论函数的单调性，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.
【题后反思】有关三角函数的零点问题处理主要手段有：
（1）分段处理；
（2）讨论好单调性与端点（特殊点），注意高阶函数的应用，直接能清楚判断所讨论区间的单调性；
（3）关注有关三角函数不等式放缩，有时候可优化解题，避免繁杂的找点过程：
；；
【举一反三】
（22-23高二下·河北邯郸·期中）
5．已知函数是函数在上的一个零点，则（ ）
A．当时，
B．当时，
C．当时，
D．当时，
（23-24高二上·山西大同·期末）
6．已知函数．
(1)求的解析式；
(2)讨论在上的零点个数．
【典例4-1】（22-23高二下·河南许昌·期中）已知函数．
（1）求出函数的极值；
（2）若对于任意的，都有，求整数的最大值．
【答案】（1）极小值为，无极大值
（2）6
【分析】（1）求出函数的导数，判断函数单调性，然后根据单调性即可作答.
（2）将不等式等价变形，分离参数并构造函数，再探讨函数的最小值即可推理作答.
【详解】（1）由函数的定义域为，
所以，
令，则，令，则，
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以取得极小值， 无极大值.
（2），，
令，，则，
由（1）知，在上单调递增，
且，
则在区间内存在唯一的零点，
使，即，
则当时，，，
有在上单调递减，
当时，，，
在上单调递增，
于是得，
因此，，
所以整数的最大值为6.
【点睛】关键点睛：
涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.
【典例4-2】（22-23高二下·陕西渭南·期末）已知函数
（1）若，讨论的单调性.
（2）当时，都有成立，求整数的最大值.
【答案】（1）答案见解析
（2）1
【分析】（1）求定义域，求导，分与两种情况，得到的单调性；
（2）变形得到，令，，只需，求导，结合隐零点得到的单调性和极值，最值情况，得到，从而求出整数的最大值.
【详解】（1），定义域为R，
且，
当时，恒成立，故在R上单调递增，
当时，令得，，此时单调递增，
令得，，此时单调递减，
综上：当时，在R上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）由题意得，在上恒成立，
因为，所以，故，
令，，只需，
，
令，，
则在上恒成立，
故在上单调递增，
又，
故存在，使得，即，
当时，，，单调递减，
当时，，，单调递增，
故在处取得极小值，也是最小值，
，
所以，故整数的最大值为1.
【点睛】隐零点的处理思路：
第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；
第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.
【题后反思】1.不含参函数的“隐零点”问题的解策略：
已知不含参函数，导函数方程的根存在，却无法求出，
设方程的根为，则有：①关系式成立；②注意确定的合适范围.
2.含参函数的“隐零点”问题解题策略：
已知含参函数，其中为参数，导函数方程的根存在，却无法求出，
设方程的根为，则有①有关系式成立，该关系式给出了的关系；②注意确定的合适范围，往往和的范围有关.
3.“虚设零点”的具体操作方法：
第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程，并结合的单调性得到零点的范围；这里应注意，确定隐性零点范围的方式是多种多样的，可以由零点的存在性定理确定，也可以由函数的图象特征得到，甚至可以由题设直接得到，等等；至于隐性零点范围精确到多少，由所求解问题决定，因此必要时尽可能缩小其范围；
第二步：以零点为分界点，说明导函数的正负，进而得到的最值表达式；这里应注意，进行代数式的替换过程中，尽可能将目标式变形为整式或分式，那么就需要尽可能将指、对数函数式用有理式替换，这是能否继续深入的关键；
第三步：将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明；有时候第一步中的零点范围还可以适当缩小．导函数零点虽然隐形，但只要抓住特征(零点方程)，判断其范围(用零点存在性定理)，最后整体代入即可．（即注意零点的范围和性质特征）
【举一反三】
（22-23高二下·吉林白城·期末）
7．已知函数在处的切线与直线：垂直．
(1)求的单调区间；
(2)若对任意实数，恒成立，求整数的最大值．
（22-23高二下·江西南昌·期末）
8．已知函数.
(1)若曲线在处的切线与直线平行，求a的值；
(2)当时，对任意的，恒成立，求整数k的最大值.（参考数据：）
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．(1)，
(2)或
【分析】
（1）借助导数的几何意义计算即可得；
（2）借助导数研究函数的单调性后计算即可得.
【详解】（1），则，
，解方程组，可得，
即，；
（2）由，，故，，
，
故当或时，，当时，，
即在、上单调递增，在上单调递减，
又，，
若函数只有1个零点，则有或，
即或.
2．
【分析】
由函数求导后，对导函数中的参数进行分类讨论，在时，通过判断函数的单调性求得其最小值，依题需使推得；接着分段说明函数在区间和上各有一个零点即得.
【详解】由求导可得：
当时，，在上单调递增，所以至多有一个零点．
当时，由可得：，由可得：，故函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，当时，取得最小值，
．
令，，则，所以，在上单调递减．
又，所以要使，即，则．
又因为，
所以在上有一个零点．
又
令，，则，所以在上单调递增，
因为，所以，所以，所以．
所以在上也有一个零点．
综上所述，a的取值范围是．
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解；
（4）分类讨论法：通过对函数求导，根据参数分类讨论函数的单调性和最值，结合函数简图进行推理求解.
3．(1)
(2)答案见解析
【分析】
（1）先求得导函数，是切线的斜率，利用点斜式方程求切线方程即可；
（2）先对参数分类讨论研究函数的单调性，结合函数的最值和区间的边界值，利用零点存在性定理判断零点个数即可.
【详解】（1）因为，所以，
则，
所以，切线方程为
即
（2）由（1）知，.
①当时，在区间上大于零，在区间上单调递增，且，所以在区间上有一个零点.
②当时，在区间上小于零，在区间上单调递减，且，所以在区间上有一个零点.
③当时，在区间上小于零，在区间上大于零，
所以在区间上单调递减，在上单调递增，
而.
当，即时，在区间上有两个零点.
当，即时，在区间上有一个零点.
综上可知，当或时，在上有一个零点，
当时，在区间上有两个零点.
4．(1)答案见解析
(2)零点个数为3个．
【分析】
（1）求出，分，，三种情况讨论，分别根据导函数的符号，可求的单调区间；
（2）由（1）知在，上单调递增，在上单调递减，求出函数的极大值与极小值，再结合零点存在性定理求解即可.
【详解】（1），
①当时，在R上恒成立，所以在R上单调递增；
②当时，令，得，或，令，得，
所以在，上单调递增，在上单调递减；
③当时，令，得，或，令，得．
所以在，上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在，上单调递增，在上单调递减．
（2）
当时，由（1）知在，上单调递增，在上单调递减，
所以，，
又，，
所以在，，上各有一个零点，
故在R上的零点个数为3个．
5．AC
【分析】对求导，根据函数的单调性及零点存在定理得出，即可判断A，B；令，根据的单调性可判断C；令，根据的单调性可判断D．
【详解】，当时，，此时函数单调递增；
当，，此时函数单调递减，
且，
因为是函数在上的一个零点，所以，
所以当，当，
对于A选项，当时，，故A正确；
对于B选项，当，故B错误；
对于C选项，令，故在上为增函数，
当时，，所以，即，故C正确；
对于D选项，令，故在上为增函数，
当时，，所以，即，故D错误.
故选：AC.
6．(1)
(2)2
【分析】
（1）对函数求导后令可得，即可求得；
（2）根据函数解析式对自变量进行分类讨论，易知是其中一个零点，再通过构造函数利用零点存在定理即可得出在上有2个零点．
【详解】（1）
（1）．
令可得，解得．
所以．
（2）
由（1）中可得，
①当时，有，，
所以恒成立，
所以在上单调递减，，
即可得0是的一个零点．
②当时，
设，则恒成立，
即在上单调递增．
又，，
根据零点存在定理可知，使得．
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增．
又，所以．
因为，
根据零点存在定理可知，使得．
综上所述，在上的零点个数为2．
【点睛】方法点睛：求解零点个数问题时要充分利用函数特征，由导函数判断出其单调性并结合零点存在定理即可得出零点个数.
7．(1)单调递减区间为，单调递增区间为．
(2)1
【分析】
（1）利用导数的几何意义得出，再利用导数判断单调区间即可；
（2）分离参数将问题转化为恒成立，利用导数求最值结合隐零点计算即可.
【详解】（1）由，得，又切线与直线：垂直，所以，即．
所以，令，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）对任意实数，恒成立，
即对任意实数恒成立．
设，即．
，令，
所以恒成立，所以在上单调递增．
又，，所以存在，使得，
即，所以．
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
所以
，
当时，，
所以，由题意知且
所以，即整数的最大值为1．
8．(1)
(2)
【分析】
（1）根据斜率相等，求导即可得切点处导数值，解出a；
（2）求导，利用导数求解单调性，结合零点存在性定理，即可求解最值得解.
【详解】（1）由题意可得，
则，解得.
故.
（2）当时，.
设，则，
故在上单调递增.
因为，，
所以存在唯一的，使得，即，
当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
故.
设，则，
所以在上单调递减，所以，即，
即.
因为对任意的，恒成立，且k为整数，所以，
则.
【点睛】方法点睛：利用导数求解参数范围的问题的解题常用方法：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
答案第1页，共2页
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