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专题6非二项式结构问题
【典例1-1】（23-24高二上·江西九江·期末）实数精确到的近似值为 .
【答案】
【解析】因为
，
将精确到，故近似值为.
故答案为：.
【典例1-2】（21-22高二下·江苏苏州·期中）已知为正整数，若，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】因为
，
而，
所以，
因此，
又为正整数，，所以；
故选：C.
【题后反思】
一项如何拆分为两项:
对于一项的问题，主要是将底数变成整数部分和小数部分，再由二项式定理展开求解.
【举一反三】
（22-23高二下·浙江台州·期末）
1．设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
（21-22高二·全国·单元测试）
2．的计算结果精确到0.001的近似值是（ ）
A．0.930 B．0.931 C．0.932 D．0.933
【典例2-1】（22-23高二下·河南周口·期中）的展开式中的系数为（ ）
A． B．60 C． D．120
【答案】A
【解析】因为展开式的通项为，
当时才能出现，此时展开的通项为，
当时出现的一次，所以展开式中的系数为．
故选：A.
【典例2-2】（22-23高二下·福建三明·期中）已知的展开式中各项系数和为1024，则展开式中不含的所有项系数和等于 .
【答案】213
【解析】因为的展开式中各项系数和为1024，
令，整理得，解得；
故的展开式满足，
令时，的展开式满足，令，解得，
故含的所有项系数为，
由于的所有项的系数和满足当，时，所有项的系数和为，
故不含的所有项系数和等于．
故答案为：213．
【题后反思】
如何解决三项求项或指定项：
对于三项问题，可以由化为二项式进行求解，也可以利用多项式的乘法法则结合计数原理，分类讨论得出所求项或指定项系数.
【举一反三】
（22-23高二下·上海青浦·期中）
3．的展开式中，含有的项为
（22-23高二下·浙江·期中）
4．展开式为多项式，设其展开式经过合并同类项后的项数记为，其通项的形式为（为项的系数），则下列说法正确的是（ ）
A．当时，前的系数为2240 B．当时，前的系数为6272
C．当时， D．当时，
【典例3-1】（江苏省泰州市2022-2023学年高二下学期期末数学试题）在的展开式中，含的项的系数为（ ）
A．6 B．10 C．24 D．35
【答案】B
【解析】解：当 选1相乘时，都选x相乘，此时的项的系数为1；
当 选2相乘时，都选x相乘，此时的项的系数为2；
当 选3相乘时，都选x相乘，此时的项的系数为3；
当 选4相乘时，都选x相乘，此时的项的系数为4；
综上：的项的系数为1+2+3+4=10.
故选：B
【典例3-2】展开式中的常数项为 .
【答案】
【解析】表示个相乘，
则常数项，应为个，个，个，个相乘，
所以展开式中的常数项为.
故答案为：.
【题后反思】
如何有效解决多项求系数或指定项：
对于多项的问题，主要是由多项式的乘法法则结合计数原理，分类讨论得出所求项或指定项系数.
【举一反三】
（23-24高三下·浙江丽水·开学考试）
5．的展开式中x项系数为 ．
（2024·广西南宁·一模）
6．已知（为常数）的展开式中所有项的系数和为32，则展开式中的系数为 ．（用数字作答）．
（23-24高三下·河北·开学考试）
7．已知二项式的二项式系数的和为，则 .试估算时，的值为 .（精确到）
（2024·河南·模拟预测）
8．的展开式中的系数为 ．
（23-24高三下·重庆大足·阶段练习）
9．已知，则 ．
（23-24高一下·四川成都·开学考试）
10．在的展开式中，含的项的系数是 用数字作答
（23-24高二下·辽宁本溪·开学考试）
11．已知的展开式中常数项为80，则 .
12．在的展开式中，含的项的系数为，则的最小值为（ ）
A．13 B．25 C．30 D．36
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】
，用二项式定理展开计算前四项即可得；
，，即可得，从而可得答案.
【详解】，
，所以；
又，
所以.
故选：B
2．C
【分析】由二项式定理求解
【详解】.
故选：C
3．
【分析】
表示有个因式相乘，根据的来源分析即可.
【详解】表示有个因式相乘，可能来源如下：
（1）有个提供，剩下的个提供常数，此时系数是；
（2）有个提供，剩下的个提供常数，此时系数是；
（3）有个提供，个提供，个提供常数，此时系数是；
于是的系数为，含有的项为.
故答案为：
4．AC
【分析】
利用隔板法确定，代入计算得到C正确D错误，再根据个相乘，利用组合计算系数为，A正确B错误，得到答案.
【详解】展开式为多项式，对应的项数为将个相同的小球分为组，
共有种方法，故，
对选项A：时，考虑个相乘，其中个选择，个选择，
剩余的选择，则系数为，正确；
对选项B：当时，前的系数为，错误；
对选项C：当时，，正确；
对选项D：当时，，错误；
故选：AC.
5．10
【分析】由的x项系数是求解.
【详解】因为的x项系数是，
所以的展开式中x项系数为：
.
故答案为：10．
6．15
【分析】
代入，解出，再利用二项展开式的通项公式进行合理赋值即可.
【详解】令，则，即，
则对，有，
令，即，有，即有，
令，即，有，即有，
故展开式中的系数为15.
故答案为：15.
7．
【分析】
利用二项式系数和求出的值，再利用二项式定理可求出的近似值.（精确到）
【详解】二项式的二项式系数的和为，解得，
当时，
.
故答案为：；.
8．
【分析】
首先将看成一个整体，再结合的形式，利用二项式定理的通项公式求解.
【详解】的通项公式为，
当时，，
中，含项的系数为，
所以展开式中的系数为.
故答案为：
9．
【分析】
先化简，再利用二项式定理求得，再将等式两边同时求导，从而得解.
【详解】
因为，
而的展开通项公式为，
所以展开式中的系数，
由，
两边同时求导可得，
令可得，
所以.
故答案为：.
10．
【分析】
首先得出展开式的通项为，然后分别令和得出其展开式的常数项和含的项，分两类情形即可得出所求的答案．
【详解】
解：因为，
又因为展开式的通项为，
所以令，则其常数项为；
令，则其含的项为，
所以原展开式中含的项的系数为：．
故答案为：．
【点睛】
本题考查二项式定理的应用，考查学生的逻辑思维能力，属中档题．
11．##
【分析】
计算展开式的通项公式，计算通项公式中含的项，结合，可求出常数项，代入计算即可求出的值.
【详解】
解：由展开式的通项公式为，
令，无整数解；
令，解得，；
令，解得，；
∴展开式中的常数项为，解得.
故答案为：.
12．B
【分析】
先求出，进而可求得含的项的系数，从而可得的关系，再根据基本不等式求解即可.
【详解】，，
则含的项的系数为，
所以，所以，
则，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为.
故选：B.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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