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专题7杨辉三角的应用问题
【典例1-1】（22-23高二下·云南玉溪·期中）
1．如图是杨辉三角数阵.杨辉三角原名“开方作法本源图”，也有人称它为“乘方求廉图”，在我国古代用来作为开方的工具.在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，就已经出现了这个表.在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角.杨辉三角的发现比欧洲早500年左右，很值得我们中华民族自豪.记为图中第行各个数之和，为的前项和，则（ ）

A．511 B．512 C．1023 D．1024
【典例1-2】（22-23高二下·江苏盐城·期中）
2．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，...，则此数列的前34项和为（ ）

A．959 B．964 C．1003 D．1004
【题后反思】
通过观察杨辉三角可以得出第行的所有数之和等于，并且奇数位之和与偶数位之和相等，都等于.
【举一反三】
（22-23高二下·山西太原·阶段练习）
3．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（ ）
A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是84
B．由“第行所有数之和为”猜想：
C．在“杨辉三角”中，当时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为286
D．在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字
（21-22高三上·湖北十堰·期末）
4．如图，杨辉三角最早出现于我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》．它揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．由此可得图中第9行从左到右数第5个数是 ，第9行排在奇数位置的所有数字之和为 ．
【典例2-1】（21-22高二下·广东中山·期末）
5．，当n＝1，2，3，4，5，6时展开式的二项式系数表示形式
借助上面的表示形式，判断λ与μ的值分别是（ ）
A．5，9 B．5，10 C．6，10 D．6，9
【典例2-2】（22-23高二上·全国·单元测试）
6．根据数组中的数构成的规律，其中的a所表示的数是（ ）

A．2 B．4 C．6 D．8
【题后反思】
通过观察杨辉三角可得看成除1以外的数等于肩上两数之和.
【举一反三】
（22-23高二下·江苏南京·期中）
7．如图，在杨辉三角形中，斜线的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：…，记此数列的前n项之和为，则的值为（ ）．
A．452 B．848 C．984 D．1003
（22-23高二下·山东·阶段练习）
8．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）
杨辉三角
A．在第10行中第5个数最大
B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等
C．
D．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数
【典例3-1】（21-22高二下·湖北·期中）
9．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年．在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中（如图），记第2行的第3个数字为，第3行的第3个数字为，……，第行的第3个数字为则（ ）
A．165 B．120 C．220 D．96
【典例3-2】（22-23高二上·江西抚州·期末）
10．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家，他在《详解九章算法》一书中，画了一个由二项式展开式的系数构成的三角形数阵，称作“开方作法本源”，这就是著名的“杨辉三角”．在“杨辉三角”中，从第2行开始，除1以外，其他每一个数值都是它上面的两个数值之和，每一行第k（，）个数组成的数列称为第k斜列．该三角形数阵前5行如图所示，则该三角形数阵前2022行第k斜列与第斜列各项之和最大时，k的值为（ ）
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1
A．1009 B．1010 C．1011 D．1012
【题后反思】
杨辉三角中自腰上的某个1开始平行于腰的一条直线上连续个数之和等于最后一个数斜右下方的数.
【举一反三】
（21-22高二下·北京东城·期中）
11．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里给出了杨辉三角，书中是用汉字来表示的，如图1.研究发现，杨辉三角可以由组合数来表示，如图2.

杨辉三角有很多有趣的性质，如杨辉三角的两个腰上的数字都是1，用组合数表示为.请写出一条其他的性质，用组合数表示为： .从杨辉三角蕴含的规律可知： .
（21-22高二下·湖北·期中）
12．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（ ）
A．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：
B．
C．第7行中从左到右第5与第6个数的比为
D．由“第n行所有数之和为2”猜想：
（22-23高二下·湖南·期中）
13．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示．下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）
A．
B．第2023行中从左往右第1011个数与第1012个数相等
C．记第n行的第i个数为，则
D．第30行中第12个数与第13个数之比为
（21-22高二下·河南·期中）
14．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）
A．
B．在第2022行中第1011个数最大
C．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数
D．第34行中第15个数与第16个数之比为2：3
（22-23高二下·山东青岛·期中）
15．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.则下列结论正确的是（ ）

A．
B．第2023行的第1012个和第1013个数最大
C．第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第7个数
D．第34行中从左到右第14个数与第15个数之比为2：3
（23-24高二上·山东青岛·期末）
16．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．则下列结论正确的是（ ）
A．第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数
B．
C．第2020行的第1010个数最大
D．第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为
（21-22高二下·福建泉州·期中）
17．“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一．如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为1，1，2，3，5，8，13，，则下列选项正确的是（ ）
A．在第9条斜线上，各数之和为55
B．在第条斜线上，各数自左往右先增大后减小
C．在第条斜线上，共有个数
D．在第11条斜线上，最大的数是
（21-22高二下·广东广州·期中）
18．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（ ）
A．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：
B．
C．第7行中从左到右第5与第6个数的比为
D．由“第n行所有数之和为2”猜想：
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】由题意可得，结合等比数列的前项和公式即可求解.
【详解】由题意可得，
而，所以数列是等比数列，且首项，公比，
所以.
故选：A
2．A
【分析】先算出2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，，9，36，84，126，126，84，36，9这36项的和，再减去36和9．
【详解】将这个数列分组：
第一组1个数；
第二组2个数；
，
第七组7个数，这7个数的和为
第八组8个数，
前八组共36 项，前36项和为，
所以前34 项和为，
故选：A．
3．ABCD
【分析】
根据给定的“杨辉三角”，结合二项式定理、组合数计算、组合数的性质逐项分析计算判断作答.
【详解】在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是，A正确；
由“第行所有数之和为”猜想：，
因为，则令得：，B正确；
在“杨辉三角”中，当时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为：
，C正确；
在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字，
即
因为
对应相乘可得的系数为，
而二项式展开式的通项公式，当时，，
则的系数为：，所以，D正确.
故选：ABCD
4． 126 256
【分析】根据题意，分析图中杨辉三角的各行数字之间的规律关系，即可得到答案.
【详解】由题意得
第0行有1个数，为1，
第1行有2个数，依次是、,
第2行有3个数，依次是、、,
‥‥‥
则第9行有10个数，其中第5个数为，
第9行排在奇数位置的所有数字之和为.
故答案为：，.
5．C
【分析】根据展开式的二项式系数的规律，直接求出即可．
【详解】解：结合题意可得，
故选：C．
【点睛】本题考查了二项式定理展开式的二项式系数的规律，属于基础题
6．C
【分析】
观察规律即可求得结果.
【详解】
从第三行起头尾两个数均为1，中间数等于上一行肩上两数之和，
所以a=3+3=6.
故选：C.
7．C
【分析】观察杨辉三角结合其中数的来源，可得到这个数列的奇数项的通项公式和偶数项的通项公式，分别求奇数项和与偶数项和，从而得到前n项和.
【详解】设数列为，前32项里面有偶数项16项，奇数项16项，当为偶数时，易知，且，所以，所以偶数项之和为，
当为奇数时，，，，，…，
所以，则，
所以前32项里面奇数项和为：
，
又由组合数性质，所以，
所以.
故选：C.
8．D
【分析】
A、B选项由二项式系数的增减性即可判断；C选项，由及即可判断；D选项，由及即可判断.
【详解】A选项，第10行，10是偶数，所以在时取得最大值，也就是在第10行中第6个数最大，故选项A错误；
B选项，第2023行是奇数，中间两项最大，即和，也就是第2023行中第1012个数和第1013个数相等，故选项B错误；
C选项，由可得，故选项C错误；
D选项，，故选项D正确.
故选：D.
9．A
【分析】根据题意，由杨辉三角可得，再由组合数的性质可求得答案
【详解】由题意得，，
则，
故选：A
10．C
【分析】根据题意可得第k斜列各项之和为，第k+1斜列各项之和为，结合组合数的运算性质即可求解.
【详解】当时，第k斜列各项之和为
，
同理，第k+1斜列各项之和为，
所以，
当第k斜列与第k+1斜列各项之和最大时，，解得.
故选：C.
11． （答案不唯一）
【分析】利用杨辉三角的数的规律可得结论.
【详解】杨辉三角有很多有趣的性质，如，
故：.
故答案为：（答案不唯一）；.
12．ABD
【分析】根据杨辉三角，利用组合数的计算判断A，B，C；利用二项式系数的性质判断D作答.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，第7行中从左到右第5与第6个数的比为，C不正确；
对于D，由二项式系数的性质知成立，D正确.
故选：ABD
13．C
【分析】
选项A，利用组合数性质即可求解；选项B、D，利用杨辉三角中数的排列规律即可判断；选项C，先用杨辉三角确定，再结合二项式定理可得.
【详解】对A，由可得
，故A错误；
对B，第2023行有2024项，中间两项最大，即和，
也就是第2023行中第1012个数和第1013个数相等，故选项B错误；
对C，第n行的第i个数为，所以，故C正确；
对D，第30行中第12个数与第13个数之比为
，故D错误．
故选：C．
14．C
【分析】A选项由及即可判断；B选项由二项式系数的增减性即可判断；C选项由及即可判断；D选项直接计算比值即可判断.
【详解】由可得
，故A错误；
第2022行中第1011个数为，故B错误；
，故C正确；
第34行中第15个数与第16个数之比为，故D错误.
故选：C.
15．ABD
【分析】
A选项，利用组合数运算公式计算；B选项，如果是奇数，则第和第个数字最大，且这两个数字一样大；C选项，第6，7，8，9行的第7个数字分别为：1，7，28，84，C错误；D选项，第34行第14个数字是，第34行第15个数字是，所以，故D正确.
【详解】
A选项，，，故A正确；
B选项，由图可知：第行有个数字，如果是奇数，则第和第个数字最大，且这两个数字一样大；如果是偶数，则第个数字最大，故第2023行的第1012个和第1013个数最大，故B正确；
C选项，第6行，第7行，第8行的第7个数字分别为：1，7，28，其和为36；第9行第7个数字是84，故C错误；
D选项，依题意：第34行第14个数字是，第34行第15个数字是，所以，故D正确.
故选：ABD.
16．ABD
【分析】
根据杨辉三角读出数据即可判断A，利用组合数公式判断B，分析各行数据的特征，即可判断C，求出第行中从左到右第个数与第个数，即可判断D.
【详解】对于A：第行，第行，第行的第个数字分别为：，，，其和为；
而第行第个数字就是，故A正确；
对于B：因为，，
所以，故B正确；
对于C：由图可知：第行有个数字，
如果是偶数，则第（最中间的）个数字最大；
如果是奇数，则第和第个数字最大，并且这两个数字一样大，
所以第行的第个数最大，故C错误；
对于D：依题意：第行从左到右第个数为，第行从左到右第个数为，
所以第行中从左到右第个数与第个数之比为，故D正确；
故答案为：ABD.
17．BCD
【分析】根据给定的杨辉三角数据特征，逐项分析计算、判断作答.
【详解】对于A，因从上往下每条线上各数之和依次为1，1，2，3，5，8，13，…，从第3项起，每一项是其相邻前两项的和，
则第8条斜线上各数之和为，因此，第9条斜线上各数之和为，A不正确；
对于B，由定义及图中规律知，在第条斜线上，各数自左往右先增大后减小，B正确；
对于C，从上往下每条斜线上的数据个数为1，1，2，2，3，3，4，4，…，均满足，
所以在第条斜线上，共有个数，C正确；
对于D，在第11条斜线上，最大的数是，D正确.
故选：BCD
18．ABD
【分析】根据杨辉三角，利用组合数的计算判断A，B，C；利用二项式系数的性质判断D作答.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，第7行中从左到右第5与第6个数的比为，C不正确；
对于D，由二项式系数的性质知成立，D正确.
故选：ABD
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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