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第六章 平面向量及其应用
6.1　平面向量的概念
在一次军事演习中,某导弹部队接到射击某目标的命令。要使导弹击中目标, 不仅需要知道目标、目标与导弹发射地点间的距离,还需要知道导弹发射的方位角。可用本节所要学的平面向量来表示。 1.通过对力、速度、位移等物理量的分析,了解平面向量的实际背景,理解平面向量的意义和两个向量相等的含义。 2.理解平面向量的几何表示和基本要素。
1.向量的定义及表示
(1)定义:既有大小又有方向的量叫做向量。
(2)表示:
①有向线段:具有方向的线段。它包含三个要素:起点、方向、长度。
②向量的表示:
2.向量的有关概念
向量名称 定义
零向量 长度为0的向量,记作0
单位向量 长度等于1个单位长度的向量
平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量。向量a与b平行,记作a∥b。规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量a,都有0∥a
相等向量 长度相等且方向相同的向量;向量a与b相等,记作a=b
微提醒
(1)零向量与实数零是两个不同类型的量,零向量的模为0,方向是任意的,而不是没有方向,它是一个特殊的向量,而实数0表示的仅仅是数量,与方向无关。(2)平行向量与共线向量是同一概念的不同名称,根据定义可知,平行(共线)向量所在的直线可以平行,也可以重合。(3)共线向量所在的直线可以平行,与平面几何中的“共线”含义不同。
微思考
1.向量与数量有什么区别
提示:数量是一个代数量,只有大小没有方向,其大小可以用正数、负数、零来表示,可以比较大小,如长度、质量、面积、体积等;向量既有大小又有方向,因为方向不能比较大小,所以向量不能比较大小。
2.向量就是有向线段,这种说法对吗
提示:不对。从定义上看,向量有大小和方向两个要素,而有向线段有起点、方向和长度三个要素,因此向量与有向线段是两个不同的概念。向量可以平行移动,而有向线段不行。有向线段是表示向量的方法。
类型一 向量的概念
【例1】　(1)下列说法正确的是(D)
A.身高是一个向量
B.∠AOB的两条边都是向量
C.温度含零上和零下温度,所以温度是向量
D.物理学中的摩擦力、重力都是向量
解析　只有D项物理学中的摩擦力、重力既有大小又有方向,是向量,故ABC错误,D正确。
(2)判断下列说法是否正确。
①有向线段与表示同一向量;
②若a是单位向量,b也是单位向量,则a与b的方向相同或相反;
③若向量是单位向量,则也是单位向量;
④以直角坐标平面上的定点A为起点,所有单位向量的终点P的集合是以A为圆心的单位圆。
解　有向线段与的方向相反,不表示同一向量,因此说法①错误;由单位向量的定义知,凡长度为1个单位长度的向量均称为单位向量,但是对方向没有任何要求,因此说法②错误;因为||=||,所以当是单位向量时,也是单位向量,因此说法③正确;由于向量||=1,所以点P是以点A为圆心的单位圆上的一点,因此说法④正确。
(1)判断一个量是否为向量的两个关键条件:①有大小;②有方向。两个条件缺一不可。
(2)理解零向量和单位向量应注意的问题:①零向量的方向是任意的,所有的零向量都相等;②单位向量不一定相等,易忽略向量的方向。
提醒:两个单位向量的模相等,但这两个单位向量不一定相等。
【变式训练】　(多选)下列结论中正确的是(BC)
A.若a,b都是单位向量,则a=b
B.物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量
C.方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量
D.直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量
解析　对于A,单位向量的方向不一定相同,故A错误;对于B,物理学中的作用力与反作用力大小相等,方向相反,是一对共线向量,故B正确;对于C,如图所示,方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量在一条直线上,是共线向量,故C正确;对于D,直角坐标平面上的x轴、y轴只有方向,没有大小,不是向量,故D错误。综上,正确的结论有BC。
类型二 向量的几何表示
　　【例2】　在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1),用直尺和圆规画出下列向量。
(1),使||=4,点A在点O北偏东45°方向上;
(2),使||=4,点B在点A正东方向上;
(3),使||=6,点C在点B北偏东30°方向上。
解　(1)因为点A在点O北偏东45°方向上,所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等。又||=4,小方格边长为1,所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4,于是点A位置可以确定,画出向量如图所示。
(2)因为点B在点A正东方向上,且||=4,所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4,纵向小方格数为0,于是点B位置可以确定,画出向量如图所示。
(3)由于点C在点B北偏东30°方向上,且||=6,根据勾股定理可得,在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3,纵向小方格数为3≈5.2,于是点C位置可以确定,画出向量如图所示。
用有向线段表示向量时,先确定起点,再确定方向,最后依据向量模的大小确定向量的终点。必要时,需依据解直角三角形的知识求出向量的方向或长度,选择合适的比例关系作出向量。
【变式训练】　一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点,然后改变方向向西偏北50°方向行驶了200 km到达C点,又改变方向,向东行驶了100 km到达D点。
(1)作出向量,,;
(2)求汽车从A点到D点的位移大小||。
解　(1)如图所示。
(2)由题意,易知与方向相反,故与平行。
又因为||=||,所以在四边形ABCD中,AB∥CD,且AB=CD。所以四边形ABCD为平行四边形。
所以||=||=200 km,即这辆汽车从A点到D点的位移大小为200 km。
类型三 相等向量与共线向量
【例3】　如图,△ABC和△A'B'C'是在各边的处相交的两个全等的等边三角形,设△ABC的边长为a,图中画出了长度均为的若干个向量。
(1)写出图中与向量相等的向量;
(2)写出图中与向量平行,且模相等的向量;
(3)写出图中与向量平行,且模相等的向量。
解　(1)与向量相等的向量是,。
(2)与向量平行,且模相等的向量是,,,,。
(3)与向量平行,且模相等的向量是,,,,。
本题考查相等向量与共线向量的概念,大小和方向是向量的两个要素,分别是向量的代数特征和几何特征。
【变式训练】　如图所示,O是正六边形ABCDEF的中心,且=a,=b,=c。
(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些
(2)与a共线的向量有哪些
(3)请一一列出与a,b,c相等的向量。
解　(1)与a的长度相等、方向相反的向量有,,,。
(2)与a共线的向量有,,,,,,,,。
(3)与a相等的向量有,,;与b相等的向量有,,;与c相等的向量有,,。
向量在平面几何中的应用
【典例】　如图,四边形ABCD与四边形ABDE都是平行四边形,求证:C,D,E三点共线。
【证明】　因为四边形ABCD与四边形ABDE都是平行四边形,
所以∥,∥,
又≠0,所以∥。
因为与有公共点D,
所以C,D,E三点共线。
解答本题的关键是证明∥,且需说明与有公共点D,若不说明,则证明过程不完整。
1.如图,在圆O中,向量,,是(C)
A.有相同起点的向量
B.单位向量
C.模相等的向量
D.相等的向量
解析　由题图可知三个向量方向不同,但长度相等。
2.若=,则四边形ABCD的形状为(A)
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.等腰梯形
解析　在四边形ABCD中,因为=,所以BA=CD且BA∥CD,所以四边形ABCD为平行四边形。
3.(多选)下列说法错误的为(ABC)
A.共线的两个单位向量相等
B.相等向量的起点相同
C.若∥,则一定有直线AB∥CD
D.若向量,共线,则点A,B,C必在同一直线上
解析　A错,共线的两个单位向量的方向可能相反;B错,相等向量的起点和终点都可能不相同;C错,直线AB与CD可能重合;D正确,直线AB与BC平行且有公共点B,则A,B,C三点共线。
4.已知在边长为2的菱形ABCD中,∠ABC=60°,则||= 2 。
解析　由题意,知AC⊥BD,且∠ABD=30°,设AC,BD交点为O,在Rt△ABO中,||=||·cos 30°=2×=,所以||=2||=2。
5.在如图所示的坐标纸(每个小方格的边长均为1)中,用直尺和圆规画出下列向量。
(1),使||=3,点A在点O正西方向;
(2),使||=3,点B在点O北偏西45°方向;
(3),使||=2,点C在点O南偏东60°方向。
解　如图所示:
课时达标检测(一)　平面向量的概念
基础达标
一、单项选择题
1.下列说法中正确的是(B)
A.若a≠b,则|a|≠|b|
B.模为0的向量的方向是不确定的
C.向量就是有向线段
D.任意两个单位向量的方向相同
解析　a与b方向不同但模相等时,a≠b,故A错误;模为0的向量为零向量,零向量的方向是不确定的,故B正确;有向线段是向量的几何表示,是个图形,而向量是带方向的量,不是有向线段,故C错误;任意两个单位向量的长度相等,但方向不一定相同,故D错误。
2.若向量a与b不相等,则a与b一定(C)
A.有不相等的模
B.不共线
C.不可能都是零向量
D.不可能都是单位向量
解析　所有的零向量都是相等的向量,所以C正确;方向不同或模不相等的向量均不相等,A,B,D均不正确。
3.设e1,e2是两个单位向量,则下列结论中正确的是(D)
A.e1=e2 B.e1∥e2
C.e1=-e2 D.|e1|=|e2|
解析　单位向量的模为1。
4.已知向量a,b是两个非零向量,,分别是与a,b同方向的单位向量,则下列各式正确的是(D)
A.=
B.=或=-
C.=1
D.||=||
解析　由于a与b的方向未知,故无法判断与是否相等,故A,B错误。因为与均为单位向量,所以||=||=1,故C错误,D正确。
5.如图所示,梯形ABCD中,对角线AC与BD交于点P,点E,F分别在两腰AD,BC上,EF过点P,且EF∥AB,则下列等式成立的是(D)
A.= B.=
C.= D.=
解析　根据相等向量的定义,分析可得,A,B不成立;C中,与方向相反,故=不成立;D中,与方向相同,且长度都等于线段EF长度的一半,故=成立。
6.若||=||且=,则四边形ABCD的形状为(C)
A.正方形 B.矩形
C.菱形 D.等腰梯形
解析　由=,知AB=CD且AB∥CD,即四边形ABCD为平行四边形。又因为||=||,所以平行四边形ABCD为菱形。
二、多项选择题
7.设O是正方形ABCD的中心,则下列结论正确的是(ABC)
A.=
B.∥
C.与共线
D.=
解析　根据正方形的特征,结合相等向量,平行向量作出判断,只有D是错误的,与只是模相等,由于方向不相同,所以不是相等向量。
8.在下列结论中,正确的结论为(ACD)
A.a∥b且|a|=|b|是a=b的必要不充分条件
B.a∥b且|a|=|b|是a=b的既不充分也不必要条件
C.a与b方向相同且|a|=|b|是a=b的充要条件
D.a与b方向相反或|a|≠|b|是a≠b的充分不必要条件
解析　若a=b,则a与b方向相同,模相等,所以A对B错;a与b方向相同且|a|=|b| a=b,所以C对;对于D,a与b方向相反 a≠b,|a|≠|b| a≠b,所以充分性成立,但a≠ba与b方向相反,a≠b|a|≠|b|,所以必要性不成立,D对。
三、填空题
9.如图,是某人行走的路线,那么的几何意义是某人从A点沿西偏南 60° 方向行走了 2 km。
解析　由已知图形可知,的几何意义是从A点沿西偏南60°方向,行走了2 km。
10.如图,已知四边形ABCD为正方形,△CBE为等腰直角三角形,回答下列问题:
(1)图中与共线的向量有 ,,,,,, ;
(2)图中与相等的向量有 , ;
(3)图中与模相等的向量有 ,,,,,,,, 。
11.将向量用具有同一起点M的有向线段表示,当与是平行向量,且||=2||=2时,||= 3或1 。
解析　当与同向时,||=||+||=3;当与反向时,||=||-||=1。
四、解答题
12.在如图的方格纸上,已知向量a,每个小正方形的边长为1。
(1)试以B为终点画一个向量b,使b=a;
(2)在图中画一个以A为起点的向量c,使|c|=,并说出向量c的终点的轨迹是什么
解　(1)根据相等向量的定义可知,所作向量b与向量a平行,且长度相等(作图略)。
(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心,半径为的圆(作图略)。
13.我国国内有些城市的道路命名非常有趣,它以“经纬”来命名道路,目前比较典型的有郑州市,其经纬路走向与地理意义上的经纬走向保持了一致,而济南市的命名则与地理意义上的经纬走向完全相反。设某城市的地图如图(街道刚好分布在一个方形格纸中且距离都为1个单位长度):
(1)请作出某人从经1纬2路口走到经3纬4路口的位移图象,并计算其走过的位移和最短路程的大小;
(2)以图中的格点为起点和终点作向量,与相等的有几个
解　(1)如图,用向量表示此人的位移。
位移的大小为=2个单位长度。
从A走到B,可以向右走2个单位长度,向下走2个单位长度,所以走过的路程为4个单位长度。
(2)在每一个由四个小方格组成的大方格中找出与同向的对角线即可,共有8个。
素养提升
14.O是△ABC内一点,若||=||=||,则O是△ABC的(C)
A.重心 B.内心
C.外心 D.垂心
解析　由条件知点O到△ABC三个顶点的距离相等,所以O是△ABC的外心。
15.已知在四边形ABCD中,=,且||=||=||=2,则该四边形内切圆的面积是 。
解析　由=知四边形ABCD为平行四边形,由||=||=||知四边形ABCD为菱形,△ABD为等边三角形,故∠ABC=120°,菱形的内切圆圆心O在对角线BD的中点处,令其半径为r,则r=||·sin 60°=,所以S内切圆=πr2=π×=。
16.如图,在四边形ABCD中,=,N,M分别是AD,BC上的点,且=。求证:=。
证明　因为=,所以||=||且AB∥CD,
所以四边形ABCD为平行四边形。
所以||=||且DA∥CB。
又因为与的方向相同,所以=。
因为=,所以||=||且CN∥MA,
所以四边形CNAM是平行四边形。
所以||=||且CM∥NA。
又因为与的方向相同,
所以=,所以=。第六章 平面向量及其应用
6.1　平面向量的概念
在一次军事演习中,某导弹部队接到射击某目标的命令。要使导弹击中目标, 不仅需要知道目标、目标与导弹发射地点间的距离,还需要知道导弹发射的方位角。可用本节所要学的平面向量来表示。 1.通过对力、速度、位移等物理量的分析,了解平面向量的实际背景,理解平面向量的意义和两个向量相等的含义。 2.理解平面向量的几何表示和基本要素。
1.向量的定义及表示
(1)定义:既有大小又有方向的量叫做向量。
(2)表示:
①有向线段:具有方向的线段。它包含三个要素: 、方向、长度。
②向量的表示:
2.向量的有关概念
向量名称 定义
零向量 长度为0的向量,记作0
单位向量 长度等于 长度的向量
平行向量 (共线向量) 方向 的非零向量。向量a与b平行,记作a∥b。规定:零向量与任意向量 ,即对于任意向量a,都有0∥a
相等向量 长度 且方向相同的向量;向量a与b相等,记作a=b
微提醒
(1)零向量与实数零是两个不同类型的量,零向量的模为0,方向是任意的,而不是没有方向,它是一个特殊的向量,而实数0表示的仅仅是数量,与方向无关。(2)平行向量与共线向量是同一概念的不同名称,根据定义可知,平行(共线)向量所在的直线可以平行,也可以重合。(3)共线向量所在的直线可以平行,与平面几何中的“共线”含义不同。
微思考
1.向量与数量有什么区别
2.向量就是有向线段,这种说法对吗
类型一 向量的概念
【例1】　(1)下列说法正确的是( )
A.身高是一个向量
B.∠AOB的两条边都是向量
C.温度含零上和零下温度,所以温度是向量
D.物理学中的摩擦力、重力都是向量
(2)判断下列说法是否正确。
①有向线段与表示同一向量;
②若a是单位向量,b也是单位向量,则a与b的方向相同或相反;
③若向量是单位向量,则也是单位向量;
④以直角坐标平面上的定点A为起点,所有单位向量的终点P的集合是以A为圆心的单位圆。
(1)判断一个量是否为向量的两个关键条件:①有大小;②有方向。两个条件缺一不可。
(2)理解零向量和单位向量应注意的问题:①零向量的方向是任意的,所有的零向量都相等;②单位向量不一定相等,易忽略向量的方向。
提醒:两个单位向量的模相等,但这两个单位向量不一定相等。
【变式训练】　(多选)下列结论中正确的是( )
A.若a,b都是单位向量,则a=b
B.物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量
C.方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量
D.直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量
类型二 向量的几何表示
【例2】　在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1),用直尺和圆规画出下列向量。
(1),使||=4,点A在点O北偏东45°方向上;
(2),使||=4,点B在点A正东方向上;
(3),使||=6,点C在点B北偏东30°方向上。
用有向线段表示向量时,先确定起点,再确定方向,最后依据向量模的大小确定向量的终点。必要时,需依据解直角三角形的知识求出向量的方向或长度,选择合适的比例关系作出向量。
【变式训练】　一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点,然后改变方向向西偏北50°方向行驶了200 km到达C点,又改变方向,向东行驶了100 km到达D点。
(1)作出向量,,;
(2)求汽车从A点到D点的位移大小||。
所以||=||=200 km,即这辆汽车从A点到D点的位
类型三 相等向量与共线向量
【例3】　如图,△ABC和△A'B'C'是在各边的处相交的两个全等的等边三角形,设△ABC的边长为a,图中画出了长度均为的若干个向量。
(1)写出图中与向量相等的向量;
(2)写出图中与向量平行,且模相等的向量;
(3)写出图中与向量平行,且模相等的向量。
本题考查相等向量与共线向量的概念,大小和方向是向量的两个要素,分别是向量的代数特征和几何特征。
【变式训练】　如图所示,O是正六边形ABCDEF的中心,且=a,=b,=c。
(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些
(2)与a共线的向量有哪些
(3)请一一列出与a,b,c相等的向量。
向量在平面几何中的应用
【典例】　如图,四边形ABCD与四边形ABDE都是平行四边形,求证:C,D,E三点共线。
解答本题的关键是证明∥,且需说明与有公共点D,若不说明,则证明过程不完整。
1.如图,在圆O中,向量,,是( )
A.有相同起点的向量 B.单位向量
C.模相等的向量 D.相等的向量
2.若=,则四边形ABCD的形状为( )
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.等腰梯形
3.(多选)下列说法错误的为(ABC)
A.共线的两个单位向量相等
B.相等向量的起点相同
C.若∥,则一定有直线AB∥CD
D.若向量,共线,则点A,B,C必在同一直线上
4.已知在边长为2的菱形ABCD中,∠ABC=60°,则||= 。
5.在如图所示的坐标纸(每个小方格的边长均为1)中,用直尺和圆规画出下列向量。
(1),使||=3,点A在点O正西方向;
(2),使||=3,点B在点O北偏西45°方向;
(3),使||=2,点C在点O南偏东60°方向。
课时达标检测(一)　平面向量的概念
基础达标
一、单项选择题
1.下列说法中正确的是( )
A.若a≠b,则|a|≠|b|
B.模为0的向量的方向是不确定的
C.向量就是有向线段
D.任意两个单位向量的方向相同
2.若向量a与b不相等,则a与b一定( )
A.有不相等的模
B.不共线
C.不可能都是零向量
D.不可能都是单位向量
3.设e1,e2是两个单位向量,则下列结论中正确的是( )
A.e1=e2 B.e1∥e2
C.e1=-e2 D.|e1|=|e2|
4.已知向量a,b是两个非零向量,,分别是与a,b同方向的单位向量,则下列各式正确的是( )
A.=
B.=或=-
C.=1
D.||=||
5.如图所示,梯形ABCD中,对角线AC与BD交于点P,点E,F分别在两腰AD,BC上,EF过点P,且EF∥AB,则下列等式成立的是( )
A.= B.=
C.= D.=
6.若||=||且=,则四边形ABCD的形状为( )
A.正方形 B.矩形
C.菱形 D.等腰梯形
二、多项选择题
7.设O是正方形ABCD的中心,则下列结论正确的是( )
A.=
B.∥
C.与共线
D.=
8.在下列结论中,正确的结论为( )
A.a∥b且|a|=|b|是a=b的必要不充分条件
B.a∥b且|a|=|b|是a=b的既不充分也不必要条件
C.a与b方向相同且|a|=|b|是a=b的充要条件
D.a与b方向相反或|a|≠|b|是a≠b的充分不必要条件
三、填空题
9.如图,是某人行走的路线,那么的几何意义是某人从A点沿西偏南 方向行走了 km。
10.如图,已知四边形ABCD为正方形,△CBE为等腰直角三角形,回答下列问题:
(1)图中与共线的向量有 ;
(2)图中与相等的向量有 ;
(3)图中与模相等的向量有 。
11.将向量用具有同一起点M的有向线段表示,当与是平行向量,且||=2||=2时,||= 。
四、解答题
12.在如图的方格纸上,已知向量a,每个小正方形的边长为1。
(1)试以B为终点画一个向量b,使b=a;
(2)在图中画一个以A为起点的向量c,使|c|=,并说出向量c的终点的轨迹是什么
13.我国国内有些城市的道路命名非常有趣,它以“经纬”来命名道路,目前比较典型的有郑州市,其经纬路走向与地理意义上的经纬走向保持了一致,而济南市的命名则与地理意义上的经纬走向完全相反。设某城市的地图如图(街道刚好分布在一个方形格纸中且距离都为1个单位长度):
(1)请作出某人从经1纬2路口走到经3纬4路口的位移图象,并计算其走过的位移和最短路程的大小;
(2)以图中的格点为起点和终点作向量,与相等的有几个
素养提升
14.O是△ABC内一点,若||=||=||,则O是△ABC的( )
A.重心 B.内心
C.外心 D.垂心
15.已知在四边形ABCD中,=,且||=||=||=2,则该四边形内切圆的面积是 。
16.如图,在四边形ABCD中,=,N,M分别是AD,BC上的点,且=。求证:=。

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