资源简介

专题 3.1 椭圆离心率归类
一、热考题型归纳
【题型一】离心率基础
【题型二】通径型角度求离心率
【题型三】焦点三角形顶角型求离心率
【题型四】焦点三角形顶角型求离心率范围
【题型五】椭圆第一定义求离心率
【题型六】图形求离心率
【题型七】 椭圆第三定义型求离心率
【题型八】 焦点四边形求离心率
【题型九】 四边形求离心率范围
【题型十】 双三角形余弦定理型求离心率
二、培优练
【题型一】离心率基础
【典例分析】
（2021秋·贵州黔西·高二校考期中）
1．曲线与曲线的（ ）
A．长轴长相等 B．短轴长相等
C．焦距相等 D．离心率相等
（2021秋·湖南常德·高二统考期末）
2．椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】
椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： ①求出a，c，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或a2转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）．
【变式演练】
（2023春·江苏镇江·高二校考期中）
3．椭圆的离心率为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
（2023秋·高二课时练习）
4．椭圆与具有相同的（ ）
A．长轴 B．焦点 C．离心率 D．顶点
（2022·全国·高三专题练习）
5．设是椭圆的离心率，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【题型二】通径型角度求离心率
【典例分析】
（2022·高二课时练习）
6．已知椭圆：的左，右焦点分别为，，为上一点，，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（2022·全国·高二专题练习）
7．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点P为C上一点，若，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】
椭圆通径： 通径：|AC|＝ （椭圆、双曲线通用）；
【变式演练】
（2023春·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期中）
8．过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（2023秋·高二课时练习）
9．已知为椭圆上一点，，分别为的左、右焦点，且，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（2004·安徽·高考真题）
10．已知为椭圆的焦点，M为椭圆上一点，垂直于x轴，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【题型三】焦点三角形顶角型求离心率
【典例分析】
（2022春·陕西榆林·高二校考期末）
11．已知是椭圆的左右焦点，椭圆上一点M满足：，则该椭圆离心率是（ ）
A． B． C． D．
（2023秋·高二课前预习）
12．已知F为椭圆C：=1(a>b>0)的右焦点，O为坐标原点，P为椭圆C上一点，若|OP|=|OF|，∠POF=120°，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C．-1 D．-1
【提分秘籍】
椭圆焦点三角形性质： 焦点△F1AF2周长C△F1AF2＝2a＋2c、 面积S△F1AF2＝b2·tan ；
【变式演练】
（2021秋·安徽淮南·高二统考期末）
13．已知为椭圆上一点，，分别为的左、右焦点，且，若，则的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
（2020秋·湖南衡阳·高二衡阳市田家炳实验中学校考阶段练习）
14．若，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，当，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（2023·全国·高三专题练习）
15．若P是以，为焦点的椭圆上的一点，且，，则此椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【题型四】焦点三角形顶角型求离心率范围
【典例分析】
（2023秋·高二单元测试）
16．椭圆（）的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点P满足，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
（2023春·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考期中）
17．已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆存在一点，若，则椭圆的离心率取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【提分秘籍】
求解椭圆的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组或不等式组，求得、的值或不等式，根据离心率的定义求解离心率的值或取值范围； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程或不等式，然后转化为关于的方程或不等式求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值构建方程或不等式，求得离心率的值或取值范围.
【变式演练】
（2022秋·四川成都·高二校联考期中）
18．已知是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2023·高二课时练习）
19．已知，是椭圆的左、右焦点，椭圆上一点M满足，则该椭圆离心率取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
（2023秋·浙江·高二校联考期中）
20．已知椭圆：，点，是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【题型五】椭圆第一定义求离心率
【典例分析】
21．设椭圆的一个焦点，点为椭圆内一点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
22．椭圆的左 右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l与E交于A，B两点，若△ABF2的周长为12，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】
椭圆定义： 动点P满足：| PF1|＋| PF2|＝2a，|F1F2|＝2c且a> c （其中a>0，c0，且a，c为常数） 椭圆性质： 标准方程图形性 质范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴　　对称中心：原点顶点A1（－a，0），A2（a，0），B1（0，－b），B2（0，b）A1（0，－a），A2（0，a），B1（－b，0），B2（b，0）轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率a，b，c的关系a2＝b2＋c2
【变式演练】
23．已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点，且，若关于平分线的对称点在椭圆上，则该椭圆的离心率为 ．
（2023秋·湖南·高三校联考阶段练习）
24．已知椭圆的左、右焦点分别为，经过的直线交椭圆于两点，为坐标原点，且，则椭圆的离心率为 .
（2023·全国·高三专题练习）
25．已知椭圆的上、下焦点分别为、，焦距为，与坐标轴不垂直的直线过且与椭圆交于、两点，点为线段的中点，若，则椭圆的离心率为 ．
【题型六】图形求离心率
【典例分析】
26．已知椭圆C的左、右焦点分别为，，直线AB过与该椭圆交于A，B两点，当为正三角形时，该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（2023春·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考期末）
27．已知椭圆，过左焦点作直线l在x轴上方交椭圆于点A，过右焦点作直线交直线l于点B（B在椭圆外），若为正三角形，则椭圆的离心率为 .
【变式演练】
（2023·江苏·高二专题练习）
28．已知椭圆E：与直线相交于A，B两点，O是坐标原点，如果是等边三角形，那么椭圆E的离心率等于（　　）
A． B．
C． D．
（2023春·福建泉州·高二校考期末）
29．已知椭圆长轴、短轴的一个端点分别为A，B，F为椭圆的一个焦点，若为直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（2023·全国·高三专题练习）
30．如图，，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，是面积为的正三角形，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【题型七】椭圆第三定义求离心率
【典例分析】
（2023秋·高二课时练习）
31．设分别为椭圆的左右顶点，若在椭圆上存在点P，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2023·全国·高三专题练习）
32．如图，已知椭圆，．若由椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向椭圆引切线和，若两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率 ．
【提分秘籍】
椭圆第三定义： A，B是椭圆C:+＝1 （a>0，b>0）上两点，M为A，B中点，则（可用点差法快速证明）
【变式演练】
（2023春·四川绵阳·高三绵阳中学校考阶段练习）
33．已知椭圆C：，经过原点O的直线交C于A，B两点．P是C上一点（异于点A，B），直线BP交x轴于点D．若直线AB，AP的斜率之积为，且，则椭圆C的离心率为 ．
（2022·全国·高二期中）
34．已知点，是椭圆上的两点，且线段恰为的一条直径，点关于轴的对称点为，设，直线与椭圆的另一个交点为，且直线，斜率之积为，则椭圆的离心率为 .
（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）
35．已知点A，B是椭圆长轴上的两个顶点，点P在椭圆上（异于A，B两点），若直线斜率之积为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【题型八】焦点四边形求离心率
【典例分析】
（2022秋·宁夏吴忠·高二吴忠中学校考阶段练习）
36．已知椭圆的左 右焦点分别是，，直线与椭圆交于，两点，，且，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
（2023·湖北荆州·沙市中学校考模拟预测）
37．已知椭圆，为其左焦点，直线与椭圆交于点，，且．若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】
椭圆具有中心对称性质，内接焦点四边形性质： 1.焦点四边形具有中心对称性质. 2.焦点四边形可分割为两个焦点三角形，具有焦点三角形性质. 3.焦点四边形可分割为两个余弦定理形双三角形，可以用双余弦定理求解
【变式演练】
（2023秋·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校联考期末）
38．已知椭圆C：上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（2022秋·江苏镇江·高二校考阶段练习）
39．已知椭圆的左 右焦点分别是，，直线与椭圆交于A，B两点，，且，则椭圆的离心率是 ．
（2022·全国·高三专题练习）
40．已知椭圆的左焦点是点，过原点倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点，若，则椭圆的离心率是 ．
【题型九】四边形求离心率范围
【典例分析】
（2023·全国·高三专题练习）
41．椭圆上一点关于原点的对称点为，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的取值范围为 .
（2023春·宁夏银川·高三宁夏育才中学校考开学考试）
42．椭圆的左右焦点分别为 ，直线与交于A 两点，若，，当时，的离心率的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式演练】
（2023秋·山东枣庄·高二滕州市第一中学新校校考期末）
43．已知椭圆上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率e的最大值为 .
（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二校考期中）
44．已知椭圆上一点关于原点的对称点为为其右焦点，若设且则椭圆离心率的取值范围是　 　.
（2022·全国·高二期末）
45．已知椭圆上一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆右焦点，且满足，设，且，则椭圆离心率的取值范围是 .
【题型十】双三角形求离心率
【典例分析】
（2021·高二单元测试）
46．已知，分别为椭圆的左 右焦点，过的直线与椭圆交于，两点，且，，则椭圆的离心率为 .
（2023·全国·高三专题练习）
47．已知点P在以，为左、右焦点的椭圆上，椭圆内存在一点Q在的延长线上，且满足，若，则该椭圆离心率取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】
点弦型双三角形双余弦定理，常见的一般模型如下图： 可分别在俩三角形中各自用余弦定理，联立解离心率
【变式演练】
（2023春·吉林长春·高二长春外国语学校校考期中）
48．已知椭圆的两个焦点分别是，，过的直线交椭圆于，两点，若且，则椭圆的离心率为（ ）.
A． B．
C． D．
（2023秋·江苏淮安·高三统考开学考试）
49．椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为A，直线与椭圆C交于另一点B，若，则椭圆C的离心率为 ．
（2023·全国·高三专题练习）
50．已知椭圆的左右焦点为，，过的直线交椭圆C于P，Q两点，若，且，则椭圆C的离心率为 ．
（2023·河南平顶山·校联考模拟预测）
51．已知双曲线，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
（2021秋·黑龙江双鸭山·高二双鸭山一中校考期中）
52．椭圆的左 右焦点分别为 ，是椭圆上一点，轴，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
（2018春·浙江温州·高二校联考期中）
53．已知椭圆的方程为，，是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且，，则椭圆的离心率是
A． B． C． D．
（2023秋·湖北·高二赤壁一中校联考期末）
54．已知是椭圆的左右焦点，椭圆上一点M满足：，则该椭圆离心率取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2023春·广东韶关·高三南雄中学校考阶段练习）
55．已知是椭圆的左、右焦点，过左焦点的直线与椭圆交于两点，且，，则椭圆的离心率为
（2023春·河南焦作·高三博爱县第一中学校考阶段练习）
56．已知，分别是椭圆：的左，右焦点，A是椭圆的上顶点，过点A且斜率为的直线上有一点P，满足是以为顶角的等腰三角形，其中，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（2023·重庆·校联考三模）
57．设椭圆的右焦点为，点在椭圆外，P，Q在椭圆上，且P是线段AQ的中点．若直线PQ，PF的斜率之积为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（2023秋·高二课时练习）
58．已知椭圆的右焦点是，直线交椭圆于两点﹐直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为 ．
（2022秋·湖北襄阳·高二襄阳四中校考阶段练习）
59．已知椭圆的左 右焦点分别为，以线段为直径的圆交于两点，其中点在第一象限，点在第三象限，若，则的离心率的取值范围是 .
（2023·江苏·高二专题练习）
60．设，分别是椭圆的左，右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为 .
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】首先将后面的曲线化简为标准形式，分别求两个曲线的几何性质，比较后得出选项．
【详解】解：由方程形式可知，曲线的长轴长是8，短轴长是6，焦距是，离心率
；
将化简为标准方程 为，可知该椭圆的长轴长是
，短轴长是，焦距是，离心率，所以离心率相等．
故选：D．
2．A
【解析】将椭圆方程转化为标准形式，可得，然后根据以及可得结果.
【详解】由题可知：即
所以，
所以
故选：A
3．C
【分析】利用椭圆的离心率公式即可求解.
【详解】由，知，
因为椭圆的离心率为，
所以，即，解得.
故选：C.
4．C
【分析】将化为标准方程，与按选项逐项对比，即可求解.
【详解】椭圆的离心率为：；
标准方程为，
的离心率为：，
所以椭圆与具有相同的离心率．
故选：C．
【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，化标准方程是关键，属于基础题.
5．B
【分析】根据椭圆焦点位置分情况讨论.
【详解】当椭圆焦点在轴上时，椭圆方程为，
即，解得，
当椭圆焦点在轴上时，椭圆方程为，
即，解得，
综上：，
故选：B.
6．A
【解析】由题意可得：，所以，化简即可得解.
【详解】由题意可得：，
所以，得，
所以.
故选：A.
【点睛】本题考查了椭圆离心率的计算，考查了椭圆通径长，属于基础题.
7．D
【分析】先根据，且求得，再根据勾股定理列出关于 的方程，解出 即可
【详解】点椭圆上的点，

，且
在 中，
即 ，整理得：
即
故选：D
8．A
【分析】根据椭圆的定义、离心率的公式以及正弦定理求得正确答案.
【详解】依题意，轴，，
所以.
故选：A
9．A
【分析】根据焦点三角形（直角三角形）的已知角的正切可得斜边与两条直角边的比，从而得到椭圆的离心率.
【详解】设，因为，，所以，，
故．
故选：A．
【点睛】本题考查椭圆的离心率的计算，与焦点三角形有关的计算问题，注意利用椭圆的几何性质来处理，本题属于基础题．
10．C
【分析】在直角中，由得到的等量关系，结合计算即可得到离心率.
【详解】由已知，得，则,
又在椭圆中通径的长度为，，
故,
即,
解得
故选：C
11．D
【分析】根据椭圆定义和余弦定理，即可求解.
【详解】设，由椭圆定义知：.由余弦定理得：，即，所以.故选D.
12．D
【分析】记椭圆的左焦点为，在中，通过余弦定理得出，，根据椭圆的定义可得，进而可得结果.
【详解】记椭圆的左焦点为，在中，可得，
在中，可得，故，
故，
故选：D.
13．A
【解析】根据题目中的条件，把用a，b，c表示出来，利用勾股定理找到a和c齐次式，即可求出离心率．
【详解】如图示，在RT△F1PF2中，，
∴，又，
∴，
由勾股定理得：，即，
∴的离心率．
故选：A
【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a、b、c的关系，消去b，构造离心率e的方程或（不等式）即可求出离心率．
14．B
【分析】根据题意可知，，，求得和，进而利用椭圆定义建立等式，求得和的关系，则离心率可得.
【详解】解：依题意可知，，，
，，
由椭圆定义可知，
.
故选：B.
15．D
【分析】由已知条件可得，由，设（），则，从而可求出的值，进而可求出椭圆的离心率
【详解】解：因为，所以，
在中，设（），则，，
所以，，
所以.
故选：D.
16．B
【分析】先根据焦点三角形的顶角范围，求出椭圆特征三角形顶角的范围，继而求出离心率的范围.
【详解】设椭圆的上顶点为,则令,
则,

且，
,
,
故选：B.
17．C
【分析】设，，根据椭圆的定义和余弦定理得，再根据基本不等式和离心率公式可得结果.
【详解】设，，则，
在中，，
所以，
所以，
所以，
因为，当且仅当时，取等号，
所以，
所以，所以，
所以，所以，又，
所以.
故选：C
18．D
【分析】根据给定的条件，结合直角三角形性质可得半焦距c与短半轴长b的关系，再求解作答.
【详解】令椭圆长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，依题意，是直角三角形，而坐标原点O为斜边的中点，
则，而，即有，，，即，于是得，
所以椭圆离心率的取值范围是.
故选：D
19．D
【分析】如图根据椭圆的性质可知，当点在短轴顶点（不妨设上顶点时最大，要椭圆上存在点，满足，，，即可，
【详解】解：如图根据椭圆的性质可知，当点在短轴顶点（不妨设上顶点时最大，
要椭圆上存在点，满足，则，，，即，又，所以
故椭圆离心率的取值范围是，
故选：D．
20．A
【分析】由P在上顶点时，最大，进而得到，由求解.
【详解】如图：
当P在上顶点时，最大，此时，
则，
所以，
即，，
所以，
则，
所以椭圆的离心率的取值范围是，
故选：A
21．A
【分析】利用，求得，再利用，求得，得到，结合离心率的定义，即可求解.
【详解】记椭圆的左焦点为，则，即，，，即，即 ，
椭圆的离心率的取值范围是，
故选：A.
【点睛】本题考查椭圆的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中熟练应用椭圆的定义，以及利用三角形的性质是解决本题的关键.
22．A
【分析】由椭圆的定义，求得，再由，求得的值，结合离心率的定义，即可求解.
【详解】因为的周长为，根据椭圆的定义可得，解得，
则，所以，则椭圆的离心率为.
故选：A.
23．
【分析】根据椭圆的定义与几何性质判断为正三角形，且轴，设，可得，从而可得结果.
【详解】
因为关于的对称点在椭圆上，
则，，
为正三角形，，
又，
所以轴，
设，则，
即，故答案为.
【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．
24．##
【分析】利用向量的数量积的运算律，以及椭圆的定义，利用齐次化方法求离心率.
【详解】因为，所以，
即，
所以，所以.
设，则，所以，
由得，
所以，所以，
在中，由，
得，所以.

故答案为: .
25．##
【分析】作出图形，分析可知为等腰直角三角形，设，则，利用椭圆的定义可得出，，在中，利用勾股定理可得出关于、的齐次等式，即可求出该椭圆的离心率的值.
【详解】因为点为线段的中点，，则，
所以，为等腰直角三角形，

设，则，
由椭圆的定义可得，
所以，，
所以，，
由勾股定理可得，即，
整理可得，因此，该椭圆的离心率为.
故答案为：.
26．B
【分析】根据椭圆的定义，结合余弦定理、椭圆离心率公式进行求解即可.
【详解】设正三角形的边长为，
设椭圆的标准方程为：，设左、右焦点分别为，
设，则有，
由椭圆的定义可知：，
，解得：，，
在中，由余弦定理可知：，
故选：B
27．
【分析】根据正三角形的性质可推出，，则，再根据椭圆的定义可求得，再解在即可.
【详解】因为为正三角形，
所以，
因为轴，所以，，
所以，
又，所以，
在中，，
所以椭圆的离心率为.
故答案为：.

28．C
【分析】根据题意不妨设点B在第一象限， 则，结合直线OB的斜率运算求解即可.
【详解】联立方程，解得，
不妨设点B在第一象限， 则，
由题意可知：OB的倾斜角是，则，
所以椭圆的离心率.
故选：C．

29．C
【分析】根据椭圆的几何性质表示的各边长，并结合勾股定理求解结果.
【详解】如图，
，
由已知得，且，，
得，解得.

故选：C.
30．B
【分析】根据正三角形可得及点坐标，将点代入椭圆方程，可得，，进而可得离心率.
【详解】
由于是面积为的正三角形，
过点作轴于，则为的中点，
所以，，
所以，解得，
所以，
将点的坐标代入椭圆方程，得，
即，
解得，，
，
，
故选：B．
31．C
【分析】根据题意设坐标，根据结合椭圆方程求出，代入离心率公式求解即可.
【详解】设，，，则、，
所以，因为，所以，
由点P在椭圆上可得，则，
解得，所以，
故选：C.
32．
【分析】设切线，，联立椭圆方程根据判别式为零结合条件可得，然后根据离心率公式即得.
【详解】由题可知，，
设切线，，
由，可得，
所以，
整理可得，
由，可得，
所以，
整理可得，
又两切线斜率之积等于，
所以，即，
所以，又，
所以.
故答案为：.
33．
【分析】设点的坐标，求斜率，由题知，两式相减，化简得，结合
，知，再利用及离心率公式即可求解.
【详解】设，，，
则直线AP的斜率为，BP的斜率为，
由题知，两式相减得，
即，即，即，
又，则，即，
即，则，所以，
即，则椭圆C的离心率为.
故答案为：
34．．
【分析】已知得关于原点对称，设，则，，
由向量线性运算求得点坐标，求得的斜率关系，再设，用点差法可求得，再由已知斜率之积可得的等式，从而求得离心率．
【详解】因为线段是圆的一条直径，所以关于原点对称，
设，则，，
又，即，，即，
所以，，①
设，则，
又，相减得，，
所以，②，而，③，
由①②③可得，，所以．
故答案为：．
【点睛】本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到关于的齐次等式．解题方法是设，由对称性得坐标，再得点坐标，用点差法求得，这样可利用直线的斜率得出关系式．
35．C
【分析】根据题意可设点坐标为，则，即，由，则，整理解方程即可.
【详解】设点坐标为，则，，
不妨设，
则，
整理可得，即，
或（舍），
故选：C
36．B
【分析】根据椭圆的对称性可知，，设，由以及椭圆定义可得，，在中再根据余弦定理即可得到，从而可求出椭圆的离心率．
【详解】
由椭圆的对称性，得.设，则.由椭圆的定义，知，即，解得，故，.
在中，由余弦定理，得，即，则，故.
故选：B.
37．A
【分析】设椭圆的右焦点为，连接，，设，根据余弦定理得到，计算得到离心率.
【详解】设椭圆的右焦点为，连接，，故四边形为平行四边形，
设，，则，，
，，
中，，
整理得到，即，故.
故选：A
38．B
【分析】设椭圆的左焦点为，则由已知条件结合椭圆的性质可得四边形为矩形，得，然后在中，表示出，再利用椭圆的定义列方程化简可求出离心率.
【详解】设椭圆的左焦点为，
因为，所以根据椭圆的对称性可知：四边形为矩形，
所以，
在中，，
根据椭圆定义可知：，
所以，
所以，，所以，
所以离心率为
故选：B．
39．
【分析】根据椭圆作出图形，由椭圆的定义，结合余弦定理可得a与、c与的关系，根据椭圆的离心率的定义即可求解.
【详解】如图，连接，
由椭圆的对称性可知，，
因为，所以，
由椭圆的定义，知，
所以，由，
得，
整理，得，即，
所以.
故答案为：.
40．
【分析】设右焦点为，设直线的方程为：，设，，利用几何性质可得，结合焦点三角形的性质和余弦定理可得，求出的坐标后代入椭圆方程可求离心率.
【详解】
解：设右焦点为，由题意可得直线的方程为：，设，，
连接，，因为，
所以四边形为平行四边形，则，
所以，
整理得到即，
故，
所以可得，代入直线的方程可得，
将的坐标代入椭圆的方程可得：，
整理可得：，即，
解得：，由椭圆的离心率，
所以，
故答案为：．
【点睛】方法点睛：椭圆离心率的计算问题，关键在于构建基本量的方程，可利用点在曲线上来构建，注意焦点三角形的性质在计算过程中的应用.
41．
【解析】记椭圆的左焦点为，连，，根据椭圆的对称性和性质知，，由椭圆定义得到，得到，进而可求出结果.
【详解】记椭圆的左焦点为，连，，
由椭圆的对称性和性质知，，
由，可得，
得，
由，可得，则，
所以.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：
求椭圆离心率的常用方法有：
（1）直接法：根据椭圆的性质，结合题中条件，求出，，可直接得出离心率；
（2）构造齐次方程求离心率：结合题中条件，以及椭圆的性质和定义等，列出关于，的齐次等量关系，再化简整理，即可求得结果.
42．D
【分析】结合题干条件得到，表达出，，利用椭圆定义得到关系，结合的范围求出离心率的最小值.
【详解】连接，由题知点A 关于原点对称，，，，则，，又，即，，由得，所以，D正确.
故选：D
43．##
【分析】利用已知条件设出椭圆的左焦点，进一步根据垂直的条件得到长方形，则，再根椭圆的定义，由离心率的公式得到，即可求解答案.
【详解】已知椭圆 上一点A关于原点的对称点为点B、F为其右焦点，
设椭圆的左焦点为，连接，所以四边形为长方形，
根据椭圆的定义，且，则，
所以，
又由离心率的公式得，
由，则，
所以，即椭圆的离心率的最大值为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：把椭圆的离心率转化为的三角函数，利用三角函数的值域求解是解答的关键.
44．
【详解】∵B和A关于原点对称，∴B也在椭圆上．
设左焦点为，根据椭圆定义：|AF|+|A|=2a
又∵|BF|=|A| ∴|AF|+|BF|=2a ……①
O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c
又|AF|=2csinα ……②
|BF|=2ccosα ……③
将②③代入① 2csinα+2ccosα=2a
∴，即，
∵，
∴)≤1，故椭圆离心率的取值范围为
45．
【分析】设椭圆的左焦点为，连接、，分析可知四边形为矩形，可得出，，利用椭圆的定义结合三角函数的基本性质可求得该椭圆离心率的取值范围.
【详解】设椭圆的左焦点为，连接、，
由题意可知，为、的中点，且，则四边形为矩形，
则，又因为，所以，，
因为，则，，
，则，所以，，
由椭圆的定义可得，
所以，椭圆的离心率为.
故答案为：.
46．
【分析】由题意画出图形，设，由余弦定理求得，再由椭圆定义求解与的关系，在中，再由余弦定理列式求得椭圆的离心率.
【详解】如图,设又
,
由椭圆定义知, ,可得：即，
在中,由余弦定理可得,
，即.
即,解得:.
故答案为:
47．B
【分析】由和正弦值，可设出的三边长，结合椭圆定义和勾股定理求出等量关系，利用点的位置求出的范围，代入等式有解，可求出的关系，即可求出离心率的范围.
【详解】解： 因为，，不妨设，，，
由椭圆定义可知：，，
由勾股定理可知：，即，化简可得：，
点在延长线上，且在椭圆内部，所以，，解得：.
令在上单调递增，所以，解得：，，又，且在椭圆内部，所以，则，.
故选B．
48．C
【分析】根据所给关系式利用椭圆的定义用a、c表示出边、、、，在、中利用余弦定理求出、，再根据两角互补列出关系式即可求得离心率.
【详解】由题意作出草图，如下图所示，
由椭圆的定义可知，
， ，则，
，，，则，
在中由余弦定理可得，
在中有余弦定理可得，
，，，
化简得，.
所以椭圆的离心率为．
故选：C
【点睛】本题考查椭圆的定义及几何性质、椭圆离心率的求法、余弦定理，属于较难题.
49．
【分析】设，再在中根据余弦定理结合椭圆的定义可得，再分别在与列出余弦定理，根据化简即可.
【详解】由椭圆的性质可得，设，在中根据余弦定理结合椭圆的定义可得，
即，
整理可得，即，故.
又，故，，
故，即，，
故，故离心率.

故答案为：
50．
【分析】根据椭圆的定义，线段比例关系和余弦定理即可求解.
【详解】
因为，
所以，
又，
所以，
所以，
在三角形中，，
在三角形中，，
以上两式相等整理得，
故或（舍去），
故，
故答案为：.
51．B
【分析】，由此可得.
【详解】由，得，则，，
故．
故选：B
52．A
【分析】求出P的坐标，由得到a、c的齐次式，求出离心率.
【详解】设
因为椭圆的右焦点为，是椭圆上一点，轴，则有：
，解得，
所以
所以,即,
所以，所以，解得：（或舍去）.
故选：A
53．B
【分析】首先根据题中所给的条件求得，再利用椭圆的定义得，即可求得椭圆的离心率.
【详解】由题意可知，结合，，
可以求得，
又因为，
所以，椭圆离心率.
故选：B.
54．B
【分析】设，在中，利用余弦定理，结合椭圆的定义，求出，再由重要不等式，可得出不等量关系，即可求解.
【详解】设，由余弦定理得：
，又，
即，
解得，
因为，得，
故.又，所以.
故选：B.
55．
【分析】连接,设,利用椭圆性质,得到长度,分别在△和中利用余弦定理,得到c的长度，根据离心率的定义计算得到答案.
【详解】设，则，，由，
得，，在△中，，
又在中，，得
故离心率
【点睛】本题考查了离心率的计算,涉及到椭圆的性质,正余弦定理,综合性强,属于难题.
56．B
【分析】由题意易知直线AP的方程为，因为为等腰三角形，，求出的值，再结合三角函数和椭圆离心率的求法进行求解即可.
【详解】椭圆的定义和几何性质
由题意易知直线AP的方程为①，因为为等腰三角形，，
所以直线的方程为，联立①②可得．
如图，过点P向x轴引垂线，垂足为H，则，
所以，即，，
所以，所以.
故选：B．
57．B
【分析】利用中点弦问题，结合点差法可得，即可求离心率.
【详解】
如图，取的中点为，连接，
则由题意可得，，
所以相似，所以,
因为直线PQ，PF的斜率之积为，
所以,
设，
则有，两式相减可得，
即，即，
即，所以椭圆的离心率为，
故选:B.
58．##
【分析】设椭圆的左焦点为，利用已知条件结合椭圆的对称性可得四边形为矩形，再利用勾股定理方程组求解即可.
【详解】设椭圆的左焦点为，连接，，，，

由直线交椭圆于两点﹐及，
结合椭圆的对称性可得，
所以，，均为直角三角形，所以四边形为矩形，
设，则，，，
所以在直角中，即①，
在直角中，即②，
由②解得，
将代入①得，即，
所以，
故答案为：
59．
【分析】首先画出图形，设，，根据椭圆的定义和圆的性质得到，，从而得到，再构造函数求其范围即可.
【详解】如图所示：
设，，因为点在第一象限，所以.
又因为均在以线段为直径的圆上，
所以四边形为矩形，即.
因为，所以，即.
因为，，
所以，即.
因为，
设，，即，.
因为，所以在区间单调递增.
所以，即.
当时，解得，即，解得；
当时，解得，即，即.
综上.
故答案为：
60．##
【分析】如图，设，由题意，椭圆定义结合余弦定理可得，后在由余弦定理可得，即可得答案.
【详解】如图，设，则，.
又由椭圆定义可得.
则在中，由余弦定理可得:
.
则，
则在由余弦定理可得：
.
又.
故答案为：

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