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专题 3.5 抛物线定义及性质归类
一、热考题型归纳
【题型一】 抛物线定义：焦点与准线
【题型二】 抛物线定义：方程求参
【题型三】 抛物线求轨迹：定义型
【题型四】 抛物线求轨迹： 内外切圆型
【题型五】 抛物线求轨迹： 点到直线距离型
【题型六】 抛物线焦半径
【题型七】 中点弦
【题型八】 焦点弦：梯形性质
【题型九】 最值：点线距离互化
【题型十】 焦点弦面积
【题型十一】面积最值型
【题型十二】焦点弦定比分点型
二、培优练
【题型一】抛物线定义：焦点与准线
【典例分析】
1.（2021上·广东湛江·高二统考期末）已知抛物线C的焦点到准线的距离大于2，则C的方程可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】由题可得，即可判断.
【详解】抛物线C的焦点到准线的距离大于2，，即，
C的方程可能为.故选：C.
2.（2023上·河北邯郸·高二校联考期中）抛物线的焦点到准线的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线焦准距的概念直接求解即可.
【详解】抛物线化为标准方程为抛物线，
则，所以其焦点到准线的距离是.故选：B.
【提分秘籍】
抛物线：(1)抛物线定义：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M. (2)抛物线的标准方程与几何性质 标准方程y2＝2px (p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y＝0x＝0焦点离心率e＝1准线方程x＝－x＝y＝－y＝范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下
【变式演练】
（2023上·陕西宝鸡·高二校联考期末）
1．两抛物线与的焦点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
（2023下·四川资阳·高二统考期末）
2．抛物线：过点，则的焦点到准线的距离为（ ）
A． B． C． D．1
（2020·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）
3．抛物线的焦点到其准线的距离为 .
【题型二】抛物线定义：方程求参
【典例分析】
1.（2020·云南昆明·高三阶段练习）抛物线的准线方程是，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】将抛物线方程标准化后写出抛物线准线方程即可求得结果.
【详解】抛物线化为标准方程，
所以准线方程是，所以，解得.故选：B.
2.（2022·高二课时练习）若抛物线上的点到焦点的最短距离为1，则p的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线的定义结合题意可得，即可的解.
【详解】解：有抛物线的定义可知，
抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，
则最短距离为，所以.故选：C.
【提分秘籍】
抛物线中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益
【变式演练】
（2022·福建厦门·统考模拟预测）
4．已知抛物线的准线被圆所截得的弦长为，则（ ）
A．1 B． C．2 D．4
（2021上·四川攀枝花·高二攀枝花市第三高级中学校校考阶段练习）
5．若抛物线的焦点坐标为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
（2021下·陕西西安·高三西安中学校考阶段练习）
6．设为抛物线的焦点，曲线与交于，轴，则（ ）
A． B． C． D．
【题型三】抛物线求轨迹：定义型
【典例分析】
1.（2023·全国·高三专题练习）点P到点的距离比它到直线l：的距离大4，则点P的轨迹是（ ）
A．抛物线 B．椭圆 C．双曲线 D．以上都不对
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，按点在直线及左侧、右侧两种情况分类讨论，结合抛物线定义判断即得.
【详解】由点P到点的距离比它到直线的距离大4，知点P既可以在直线的左侧，也可以在直线的右侧，
当点P在直线及左侧时，点P到点的距离等于它到直线的距离，
则点P的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线在直线及左侧部分；
当点P在直线的右侧时，点P到点的距离等于它到直线的距离，
则点P的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线在直线的右侧部分，
所以点P的轨迹包含以上两部分，选项ABC错误，D正确.
故选：D
2.（2022下·福建福州·高二统考期中）在平面直角坐标系xOy中，动点到直线的距离比它到定点的距离小1，则P的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线的定义判断轨迹，再由抛物线焦点、准线得到方程即可.
【详解】由题意知动点到直线的距离与定点的距离相等，
由抛物线的定义知，P的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
所以，轨迹方程为，
故选：D
【提分秘籍】
求轨迹方程的常见方法有:
①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；
②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；
③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；
④逆代法，将代入.
【变式演练】
（2022·高二课时练习）
7．到直线与到定点的距离相等的点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．圆 C．抛物线 D．直线
（2021上·陕西宝鸡·高二统考期末）
8．点到点 的距离比它到直线的距离小2，则点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
（2020上·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考期末）
9．点到直线的距离比到点F(0，-1)的距离大，则点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【题型四】抛物线求轨迹：内切圆外切圆型
【典例分析】
1.（2021·高二课前预习）已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆 外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】根据动圆M与直线y=2相切，且与定圆外切，可得动点M到C（0，-3）的距离与到直线y=3的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹是抛物线，由此易得轨迹方程．
【详解】设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等,
由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C(0，-3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，
所以，其方程为，故选：A
【答案】D
【解析】
【分析】利用抛物线的定义得动点轨迹为抛物线．
【详解】设切线与圆的公共点，过作直线的垂线，过作，垂足为，连，
则， 所以，即动点到定点的距离等于动点到定直线的距离，且定点不在定直线上， 根据抛物线定义知，动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线． 故选D．
2.（2021上·浙江·高三学业考试）如图，在同一平面内，A，B为两个不同的定点，圆A和圆B的半径都为r，射线AB交圆A于点P，过P作圆A的切线l，当r（）变化时，l与圆B的公共点的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线
【提分秘籍】
圆相切时，要讨论内切与外切，内切要根据条件判断或者讨论“小圆与大圆”
【变式演练】
（2022·新疆乌鲁木齐·统考模拟预测）
10．与圆及圆都外切的圆的圆心在（ ）
A．一个圆上 B．一个椭圆上 C．一条抛物线上 D．双曲线的一支上
（2020·高二课时练习）
11．过点且与y轴相切的圆的圆心轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．直线 D．抛物线
（2021下·四川·高二双流中学校考开学考试）
12．已知动圆M与直线相切，且与定圆C：外切，那么动圆圆心M的轨迹方程为 .
【题型五】抛物线求轨迹：点到直线距离公式型
【典例分析】
1.（2023·全国·高三专题练习）已知动点的坐标满足方程，则动点M的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．以上都不对
【答案】C
【解析】
【分析】等价变形给定等式，再利用式子表示的几何意义，结合抛物线定义即可得解.
【详解】等式变形成，
因此该等式表示动点到原点的距离等于到它直线的距离，
而直线不过原点，所以动点M的轨迹是抛物线.故选：C
2.（2021上·高二课前预习）已知动点的坐标满足，则动点的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】
【分析】将转化为动点到点的距离，转化为动点到直线的距离，再根据抛物线的定义，即可求出结果.
【详解】设直线，则动点到点的距离为，动点到直线的距离为，又因为，
所以动点M的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，其轨迹方程为．
故答案为：
【变式演练】
（2021上·高二单元测试）
13．方程表示的曲线为
A．抛物线 B．椭圆 C．双曲线 D．圆
（2020·高二课时练习）
14．若点满足，则动点M的轨迹是（ ）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线
【题型六】抛物线焦半径
【典例分析】
1.（2023·辽宁辽阳·统考二模）已知抛物线的焦点为在抛物线上，且，则（ ）
A．2 B．4 C．8 D．12
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线的定义即可得解.
【详解】由题意可得，则．故选：B.
2.（2023·广西梧州·统考一模）若点为抛物线上一点，为焦点，且，则点到轴的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线的定义可求出结果.
【详解】由抛物线方程为，可知准线方程为，
因为，所以由抛物线的定义可知点到准线的距离为3，
设，所以，解得,从而可知点到轴的距离为2．故选：A．
【提分秘籍】
抛物线焦半径
(1) 焦半径问题：
①焦半径：|AF|＝|AD|＝x1＋，|BF|＝|BC|＝x2＋ (随焦点位置变动而改变)；
②焦点弦：|AB|＝x1＋x2＋p＝ (其中，α为直线AB的倾斜角)；
③.
【变式演练】
（2022上·江西·高二校联考期中）
15．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，为坐标原点，若，则（ ）
A．3 B． C．6 D．
（2022上·北京·高三统考开学考试）
16．抛物线W：的焦点为F.对于W上一点P，若P到直线的距离是P到点F距离的2倍，则点P的横坐标为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（2021上·天津红桥·高二统考期末）
17．抛物线上一点到焦点的距离是，则点的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
【题型七】中点弦
【典例分析】
1.（2023下·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期中）已知抛物线，直线交该抛物线于两点．若线段的中点坐标为，则直线斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】设，利用“点差法”，结合线段的中点坐标为，即可求得答案.
【详解】设，则，，故，由于线段的中点坐标为，
故由抛物线对称性可知斜率存在，即，且，
故，即，所以直线的斜率为.故选：C
2.（2020·福建福州·高三福建省福州第一中学校考阶段练习）已知抛物线，直线交抛物线于两点，是的中点，过作轴的垂线交抛物线于点，且，若，则k为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】
【分析】设,,根据向量运算可得，联立直线与抛物线方程，由根与系数的关系即可求解k.
【详解】设，则，
由，，
，，①即，
由得，当，即时，
代入①得：即，解得或（舍去），
【提分秘籍】
设，利用点差法得到，
【变式演练】
（2021·高二课时练习）
18．已知抛物线的顶点为原点，焦点在轴上，直线与抛物线交于两点，若为的中点，则抛物线的方程为(　　)
A． B． C． D．
（2023下·重庆南岸·高二校考期中）
19．为坐标原点，过点作直线的垂线，交抛物线于，两点，为线段的中点，若是等腰直角三角形，则（ ）
A．6 B．4 C．2 D．1
（2022·江苏南通·统考模拟预测）
20．已知直线与抛物线交于两点，为的中点，为坐标原点，则（ ）
A．2 B． C．4 D．
【题型八】焦点弦：梯形性质
【典例分析】
1.（2023·河南开封·统考模拟预测）已知直线过抛物线的焦点，直线与抛物线相交于两点，若的中点到抛物线的准线的距离为，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】
【分析】由直线所过定点及抛物线的焦点所在位置可求，设,联立直线与抛物线的方程，求出，根据即可求解.
【详解】因为直线过定点，抛物线的焦点在轴，且直线过抛物线的焦点，
所以抛物线的焦点坐标为，所以，解得，所以抛物线的标准方程为.
联立，消去，可得，即.设,
因为,所以.所以.
因为的中点到抛物线的准线的距离为，且抛物线的准线方程为,
所以，解得.所以，即，解得.故选:B.
2.（2023·北京·北师大实验中学校考模拟预测）过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于点A，B，线段的中点M的横坐标为4，则长为（ ）
A．10 B．8 C．5 D．4
【答案】A
【解析】
【分析】由梯形中位线长度得到上底和下底长度之和，通过抛物线的定义，转化为到焦点的距离，然后得到的长度.
【详解】设中点为，则，过分别做准线的垂线，垂足分别为
因为为中点，则易知为梯形的中位线，而，
所以.根据抛物线定义可知
所以.故选：A.
【提分秘籍】
设是过抛物线的焦点的弦，若，，则：
（1），；
（2）若点在第一象限，点在第四象限，则，，
弦长，（为直线的倾斜角）；
（3）；
（4）以为直径的圆与准线相切；
（5）以或为直径的圆与轴相切.
【变式演练】
（2022下·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考阶段练习）
21．已知F为抛物线的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若，则线段的中点M到抛物线C的准线的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
（2021上·四川宜宾·高二统考期末）
22．已知点是抛物线的焦点，过作斜率为的直线交抛物线于不同两点，，点为的中点，则到抛物线准线的距离为（ ）
A． B． C． D．
（2021上·四川宜宾·高二统考期末）
23．已知点是抛物线的焦点，过焦点的直线交抛物线于不同的两点，，设，点为的中点，则到抛物线准线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【题型九】最值：点线距离互化
【典例分析】
1.已知P为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，为平面内一定点，则的最小值为__________．
【答案】5
【解析】
【分析】利用抛物线的定义，将转化为到准线的距离，再由三点共线求最小值.
【详解】由题意，抛物线的准线为，焦点坐标为，过点向准线作垂线，垂足为，则，
当共线时，和最小；过点向准线作垂线，垂足为，则，所以最小值为5.
故答案为：5.
2.已知点为抛物线上的动点，设点到的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】直线为抛物线的准线，点到准线的距离等于点到焦点的距离，过焦点作直线的垂线，此时最小，再根据点到直线距离公式即可求解.
【详解】直线为抛物线的准线，点到准线的距离等于点到焦点的距离，过焦点作直线的垂线，
如下图所示，此时最小，为点到直线的距离.
，则．故选：B．
【变式演练】
24．已知抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，若，则的最小值为 ，此时点的坐标为 ．
25．是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为，则的最小值为 ．
26．设是抛物线上的一个动点为抛物线的焦点，记点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值为若记的最小值为则 ．
【题型十】焦点弦面积
【典例分析】
1.（2021·山西太原·统考一模）已知过抛物线的焦点的直线与该抛物线相交于两点，若的面积与（为坐标原点）的面积之比是2，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】通过焦点坐标，可确定抛物线方程，设出直线方程，分别表示出的面积与的面积，借助韦达定理和抛物线焦点弦长公式即可．
【详解】由焦点的坐标可得，所以，所以抛物线的方程为：，
设直线方程为：，设，设在轴上方，设，
联立，整理可得：，①，②，
由题意，可得，代入①②可得：，解得：，
将的值代入①可得，，
由抛物线的性质可得，故选：A.
2.（2021上·安徽合肥·高二校联考期末）如图，是抛物线的焦点，过作直线交抛物线于、两点，若与的面积之比为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合已知条件可得出，结合韦达定理求出的值，进而可得出的面积为，即可得解.
【详解】易知抛物线的焦点为.
若直线与轴垂直，此时直线与抛物线有且只有一个公共点，不合乎题意.
设直线的方程为，设点、，
联立，消去并整理得，
由韦达定理可得，，
由于与的面积之比为，则，则，
所以，，则，可得，
，可得，
所以，的面积为.
故选：A.
【提分秘籍】
抛物线y2＝2px(p>0)焦点弦AB，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点E，准线为l.
S△OAB＝(其中，α为直线AB的倾斜角)
【变式演练】
（2020上·河北·高三校联考期末）
27．已知过抛物线的焦点作斜率为的直线交抛物线于两点，分别过点作轴的垂线，垂足分别为，若四边形的面积是，则抛物线的方程是
A． B． C． D．
（2021·江西新余·统考模拟预测）
28．过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于两点，使，过点作与轴垂直的直线交抛物线于点，则的面积是（ ）
A．64 B．32 C．16 D．8
【题型十一】面积最值型
【典例分析】
1.（2020全国·校联考一模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，则的面积的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】设直线的方程为，与抛物线方程联立有：，结合韦达定理和面积公式求解面积的最小值即可.
【详解】由题可设直线的方程为，代入，消去可得，
设，，则，，
所以的面积 ，
所以的面积的最小值为．
本题选择B选项.
2.（2022·四川绵阳·统考二模）过抛物线的焦点任作一直线l交抛物线于两点，O为坐标原点，则的面积的最小值为（ ）
A．2 B．
C．4 D．8
【答案】A
【解析】
【详解】
抛物线的焦点为，设直线的方程为，代入抛物线，整理得，设，则，所以，所以面积，即的面积最小值为，故选A．
【提分秘籍】
圆锥曲线中求面积常规类型
（1）
（2）三角形恒过数轴上的定线段，可分为左右或者上下面积，转化为
（3）三角形恒过某定点，可分为左右或者上下面积，转化为
（4）四边形面积，注意根据题中条件，直接求面积或者转化为三角形面积求解.
【变式演练】
（2023上·河南三门峡·高二统考期末）
29．抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线与抛物线交于，两点，点为抛物线上的动点，且点在的右下方，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
（2020下·浙江嘉兴·高二校考期中）
30．已知点为抛物线上的两点，为坐标原点，且，则的面积的最小值为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
（2020下·吉林·高三校联考阶段练习）
31．过点的直线与抛物线交于两点，，则面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
【题型十二】焦点弦定比分点
【典例分析】
1.（2021上·江西南昌·高二南昌二中校考期中）在直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，点是准线上任一点，直线交抛物线于，两点，若，则的面积（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】先求出直线PF的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理，结合三角形的面积公式，即可得出结论．
【详解】不妨设B在x轴上方，直线PF的倾斜角为α，
∵=4，
∴由抛物线的定义，可得cosθ=，
∴tanθ=2
∵抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），
∴直线PF的方程为y=2（x﹣1），即x=y+1，
代入y2=4x，可得y2﹣y﹣4=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=﹣4，
∴|y1﹣y2|==3，
∴S△AOB==．故选D．
2.已知过抛物线的焦点的直线与该抛物线相交于，两点，点是线段的中点，以为直径的圆与轴相交于，两点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】法2由，求得AB的坐标，进而得到的中点M的坐标，写出圆的方程，令，求得P，Q的坐标， 然后利用求解.法2．由法1得的中点的横坐标为，半径，再由求解.
【详解】如图所示：
法1：由抛物线的焦点坐标可得，所以，
所以抛物线的方程为：，设直线的方程为：，设，，设A在轴上方，
联立，整理可得：，可得：①，
由，即，可得，代入①可得：，
所以，代入抛物线的方程可得：，，即，，
所以的中点，所以，即圆的直径为，
所以圆的方程为，令，可得，
所以，，所以，
所以，法2．由法1可得的中点的横坐标为，半径，
所以故选：A．
【提分秘籍】
抛物线y2＝2px(p>0)焦点弦AB，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点E，准线为l.
，焦半径公式得：，.
【变式演练】
32．已知直线与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点，直线OM与抛物线C交于O，N，若，则p=（ ）
A． B．1 C．2 D．4
（2020上·河北沧州·高二校考期中）
33．已知抛物线，过其焦点的直线交抛物线于两点，若，则的面积（为坐标原点）为（ ）
A． B． C． D．
（2020上·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）
34．已知点到抛物线（）的准线的距离为5，则抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
（2022上·四川成都·高二成都七中校考期中）
35．抛物线的准线方程为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
（2021上·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期中）
36．若点P到点的距离比它到直线的距离大1，则点P的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
（2021上·吉林·高二统考期中）
37．动圆经过点，且与直线相切，求动圆圆心的轨迹方程是 .
（2023上·江西景德镇·高二江西省乐平中学校考期中）
38．已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（ ）
A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
（2022上·安徽亳州·高二统考期末）
39．设抛物线的焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线与抛物线C交于A，B两点，若，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
（2023上·河南洛阳·高二洛阳市第一高级中学校考期中）
40．设抛物线的准线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于，两点．设线段的中点为，过点作轴的平行线交抛物线于点．已知的面积为2，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
（2020下·云南玉溪·高二峨山彝族自治县第一中学校考期中）
41．已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于、两点，若线段的中点纵坐标为2，则该抛物线的标准方程为（ ）.
A． B． C． D．
42．点，抛物线的焦点为，若对于抛物线上的任意点，的最小值为41，则的值等于 .
（2021·四川南充·统考一模）
43．过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于两点，使，过点作与轴垂直的直线交抛物线于点，则的面积是（ ）
A．64 B．32 C．16 D．8
（2022·海南·统考二模）
44．已知抛物线的焦点为，过点作互相垂直的两直线，与抛物线分别相交于，以及，，若，则四边形的面积的最小值为
A． B． C． D．
（2022上·内蒙古包头·高二包头市第九中学校考期末）
45．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，且，则为坐标原点的面积等于（ ）
A． B． C． D．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】求出两抛物线的焦点坐标，即可得出焦点间的距离.
【详解】由题意，
抛物线与的焦点坐标分别为，
∴两抛物线的焦点间的距离为．
故选：B
2．B
【分析】根据条件求出的值，从而得出抛物线的方程，进而可求出结果.
【详解】因为抛物线：过点，所以，故抛物线：，
所以的焦点到准线的距离为.
故选：B.
3．10
【分析】由抛物线方程可直接得出，则可得答案.
【详解】抛物线，，
则焦点到准线的距离为10.
故答案为：10.
【点睛】本题考查对抛物线方程和定义的理解，属于基础题.
4．C
【分析】有几何关系，圆与抛物线交点的坐标与圆半径满足勾股定理，可求得准线，即可求得p
【详解】由题，圆与抛物线都关于x轴对称，故所截得的弦AB与x轴垂直，圆心为原点，圆半径为2，则有，解得，故，得，
故选：C
5．C
【分析】将抛物线方程化为标准方程，根据焦点坐标可求得答案.
【详解】由题意抛物线的焦点坐标为，故 ，
抛物线方程即，
故 ，
故选：C
6．D
【分析】根据轴可得出点的坐标为，再将点的坐标代入抛物线的方程可求得正数的值.
【详解】抛物线的焦点为，因为轴，则点的横坐标为，
因为点在曲线上，可得点，
又因为点在抛物线上，则，，解得.
故选：D.
7．C
【分析】根据抛物线的定义判断即可
【详解】动点到定点的距离与到定直线：的距离相等，
所以的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，
故选：C．
8．B
【解析】点到点的距离比它到直线的距离小2可以转化为点到直线的距离等于它到点的距离可得答案.
【详解】因为点到点的距离比它到直线的距离少2，
所以将直线左移2个单位，得到直线，即，
可得点到直线的距离等于它到点的距离，
根据抛物线的定义，可得点的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，设抛物线方程为，可得，得，
所以抛物线的方程为，即为点的轨迹方程.
故选：B．
9．D
【分析】根据题意，点在的下方，故点到直线的距离和到点F(0，-1)的距离相等，可得点的轨迹为以F(0，-1)为焦点，以直线为准线的抛物线，即可得解.
【详解】根据题意，设点，且点在的下方，
故点到直线的距离和到点F(0，-1)的距离相等，
所以点的轨迹为以F(0，-1)为焦点，以直线为准线的抛物线，
所以的轨迹方程为，
故选：D.
10．D
【分析】结合双曲线的定义判断出正确选项.
【详解】圆的圆心为，半径为；
圆，即的圆心为，半径为；
设与圆及圆都外切的圆的圆心为，半径为，
则，，
所以，
所以在双曲线的一支上.
故选：D
11．D
【分析】由抛物线的定义可得，圆心的轨迹为抛物线 。
【详解】设点P为满足条件的一点，因为点P到点A的距离等于点P到y轴的距离，由抛物线定义可得，点P在以点A为焦点，y轴为准线的抛物线上.
故选：D.
【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了理解辨析能力和逻辑推理能力，属于基础题目.
12．
【分析】根据动圆与直线相切，且与定圆C：外切，可得动点到的距离与到直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹是抛物线，由此易得轨迹方程．
【详解】解：方法一：由题意知，设，
则，
，
解得.
方法二：由题意知，动点M到的距离比到的距离多1，
则动点M到的距离与到的距离相等，
根据抛物线的定义，为准线，为焦点，
设抛物线为，，，
故.
故答案为：.
13．A
【详解】方程表示动点到定点的距离与到定直线的距离，
点不在直线上，符合抛物线的定义；
14．D
【分析】根据抛物线的定义即可得出选项.
【详解】依题意，动点M到点的距离等于其到定直线的距离，
且点不在直线上，因此动点M的轨迹是抛物线.
故选：D
【点睛】本题考查了抛物线的定义，理解定义是关键，属于基础题.
15．B
【分析】根据焦半径公式求出，从而可求得，再根据两点间的距离公式即可得解.
【详解】解：由题意可得，解得，
则，
故.
故选：B.
16．A
【分析】设出P的横坐标为，利用条件列出方程，去掉不合题意的解，求出.
【详解】由题意得：，准线方程为，设点P的横坐标为，，
由抛物线的定义可知：
则，解得：或（舍去），
从而点P的横坐标为1
故选：A
17．B
【分析】根据抛物线的定义将点M到焦点的距离转化为到准线的距离即可求得答案.
【详解】由题意，抛物线的准线方程为，设点M的横坐标为，由抛物线的定义可知.
故选：B.
18．A
【分析】利用抛物线的定义和中点坐标公式进行求解即可.
【详解】因为抛物线C的顶点为原点，焦点在轴上，
所以设抛物线的方程为，与联立，可得，
设，所以，
因为为的中点，
所以，
所以抛物线的方程为，
故选：A
19．C
【分析】求出l的方程，联立抛物线方程，求得弦中点的坐标，根据是等腰直角三角形，可得，列方程可求得答案.
【详解】由题意可知的斜率为，则l的斜率为，
故l的方程为，即，
联立，可得，
设，则，
则，
为线段的中点，故，即，
因为是等腰直角三角形，而,
故,即，
解得或（舍去），
使得，
故选：C
20．D
【分析】直线方程与抛物线方程联立方程组求得交点坐标，再求得中点坐标，计算出，即可得．
【详解】由得，，，
则，，
所以，，
，
为的中点，则，
，，
所以．
故选：D．
21．C
【分析】先由抛物线的定义得到，再由梯形的中位线求解即可.
【详解】
如图：作垂直于准线，垂足为，由抛物线的定义知：，
故.
故选：C.
22．B
【解析】设点，联立直线与抛物线的方程得出，再结合抛物线的定义得出，最后由为的中点求出答案.
【详解】由题意可知，则直线的方程为
设点，由得，则
由抛物线的定义可知
又为的中点，则到抛物线准线的距离
故选：B
【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于联立直线与抛物线的方程由韦达定理求出，进而得出到抛物线准线的距离.
23．C
【解析】由抛物线的定义结合，得出，，从而求出，最后由梯形的性质得出到抛物线准线的距离.
【详解】设，由题意可知
，即①
由结合抛物线的定义得，②
由①②可得
则到抛物线准线的距离为
故选：C
【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用抛物线的定义以及向量共线的坐标关系求出.
24． ##3.5
【分析】先判断出点在抛物线内部，再根据抛物线的定义以及点到直线的距离最短即可解出．
【详解】易知点在抛物线内部，设抛物线的准线为，则的方程为，过点作于点，则，当，即，，三点共线时，最小，最小值为，此时点的纵坐标为2，代入，得，所以此时点的坐标为．
故答案为：；．
25．##
【分析】求出圆心坐标和抛物线的焦点坐标，把的最小值转化为减去圆的半径，再减去抛物线焦点到原点的距离即可得答案.
【详解】圆的圆心为，半径，
抛物线的焦点，
因为是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为，
所以要使最小，即到抛物线的焦点与到圆的圆心的距离最小，
连接，则的最小值为减去圆的半径，再减去抛物线焦点到原点的距离，
即，
所以的最小值为，
故答案为：
26．##
【分析】当P、A、F三点共线时，点P到点A的距离与到直线的距离之和最小，由两点间的距离公式可得M，当P、B、F三点共线时，最小，由点到直线距离公式可得.
【详解】如图所示，
过点作垂直于直线，垂足为点，
由抛物线的定义可得，
所以点到直线的距离为，
所以
当且仅当三点共线时，取到最小值，即．
如图所示，
过点作直线垂直于直线，垂足为点，
由抛物线的定义可得
点到直线的距离为，
所以，
当且仅当三点共线时，等号成立，即，
因此．
故答案为：
【点睛】
27．B
【分析】由题意，联立直线方程与抛物线方程可得，结合韦达定理有．则四边形的面积为，据此得到关于p的方程，解方程即可确定抛物线方程.
【详解】据题意，得直线的方程为．由 ，得．
设，则．
所以，
所以，解得，
所以抛物线的方程为．
【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，抛物线方程的求解，韦达定理的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
28．C
【分析】由题意可得抛物线的焦点即为原点，所作直线的方程为，联立方程可得：，由可得的坐标，进而可求三角形的面积．
【详解】由题意可得抛物线的焦点即为原点，
所以直线的方程为，
联立方程可得：，
由可得，
所以
，
所以，所以，
．
29．A
【分析】求出直线方程后，联立抛物线方程，求出弦长，再由点到直线距离得出三角形高，利用二次函数求最值即可.
【详解】由知，则直线为，

设，则D到直线的距离为，
又点在的右下方，所以，
联立方程，消元得，
设，则，，
所以，
所以
故当时，有最大值.
故选：A
30．D
【分析】首先设点，B的坐标，利用向量垂直关系，表示，再列出面积公式，利用基本不等式化简，求最小值.
【详解】设，则，,则解得， 根据三角形的面积公式，
，当且仅当时，取最小值.
则的面积的最小值为.
故选: D
31．A
【分析】设出直线的方程，以及两点的坐标，联立抛物线方程，利用韦达定理求得，再利用，将问题转化为求函数的最小值，即可容易求得.
【详解】设直线方程为，，，
由，得，
，，
，
当且仅当时，即直线方程为时，取得最小值.
面积的最小值为.
故选：A.
【点睛】本题考查抛物线中三角形面积的范围问题，处理问题的关键是将三角形面积转化为求函数的最值.属中档题.
32．C
【分析】联立直线与抛物线方程，求出点M的坐标，再表示出点N的坐标，借助点N在抛物线上即可求解作答.
【详解】由消去x并整理得：，设，
则有，，因此线段的中点，
依题意，，于是，而点N在抛物线C上，
则，又，所以.
故选：C
33．B
【分析】首先过作，过作（为准线），，易得，.根据直线：与抛物线联立得到，根据焦点弦性质得到，结合已知即可得到，再计算即可.
【详解】如图所示：
过作，过作（为准线），.
因为，设，则，.
所以.
在中，，所以.
则.
，直线为.
，.
所以，.
在中，.
所以.
故选：B
【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，同时考查焦点弦的性质，属于中档题.
34．C
【解析】利用抛物线方程及定义进行求解.
【详解】由抛物线（）得（），故抛物线的焦点在轴正半轴，
又到抛物线准线的距离为5，
即，解得，
故抛物线方程为，焦点为，
故选：C.
35．C
【分析】先求得抛物线的标准方程，可得其准线方程，根据题意，列出方程，即可得答案.
【详解】由题意得抛物线的标准方程为，准线方程为，
又准线方程是，所以，
所以.
故选：C
36．D
【分析】将点到点的距离比它到直线的距离大1转化为点到点的距离等于它到直线的距离，根据抛物线的定义，即可求得点的轨迹为抛物线，进而可求出点的轨迹方程．
【详解】∵点到点的距离比它到直线的距离大1，
∴点到点的距离等于它到直线的距离，
∴点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，则点的轨迹方程是.
故选：D.
37．
【详解】试题分析：设动点，设与直线的切点为，则，即动点到定点和定直线的距离相等，所以点的轨迹是抛物线，且以为焦点，以直线为准线，所以，所以动圆圆心的轨迹方程为.
考点：抛物线的定义及其标准方程.
38．A
【分析】等价变形给定等式，再利用式子表示的几何意义，结合点在线上，得过点与直线垂直的直线.
【详解】因为，得，
即动点到定点的距离等于与到定直线的距离，
直线过点，则轨迹为过点与直线垂直的直线.
故选：A
39．C
【分析】根据焦点弦的性质即可求出．
【详解】依题可知，，所以．
故选：C．
40．A
【分析】利用抛物线的图象与性质、直线方程、一元二次方程根与系数的关系、三角形面积公式运算即可得解.
【详解】解：

如上图，由题意，抛物线的准线为，可得．
∵直线与抛物线交于，两点，∴直线的斜率存在且不为，
∴设直线方程为，
将其代入，化简并整理得：．
由，得．
设，，则，，
∴．
∵是的中点，∴．过点平行轴的直线为，
与抛物线交点为知，所以．
又∵，则，
∴的面积．
由已知条件知，∴，解得（满足），解得：.
∴直线的方程为，即，
∴直线的斜率为．
故选：A．
41．B
【分析】根据抛物线标准方程，可得焦点坐标，结合直线斜率即可知直线方程；联立直线方程与抛物线方程，结合线段的中点纵坐标及韦达定理即可求得的值，进而得抛物线的标准方程.
【详解】抛物线，
则焦点坐标为，
过焦点且斜率为1的直线方程为，即，
所以，化简可得，
直线交抛物线于、两点，线段的中点纵坐标为2，
则，而，
解得，所以，
故选：B.
【点睛】本题考查了直线与抛物线位置关系的简单应用，根据中点弦的坐标求抛物线标准方程，属于基础题.
42．42或22
【分析】当点在抛物线的内部时，得到当三点共线时，此时的距离最小，即可求解；当点在抛物线的外部时，当三点共线时，的距离最小，即可求解.
【详解】由题意，（1）当点在抛物线的内部或曲线上时，则满足，解得，
过点点作抛物线的准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义，可得，
所以,
当三点共线时，此时的距离最小，且最小值为，
可得，解得；
（2）当点在抛物线的外部时，则满足，解得，
如图所示，
当三点共线时，的距离最小，且最小值为，
即，解得或（舍去），
综上所述，实数的值等于42或22.
故答案为42或22.
【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，以及抛物线的定义的应用，着重考查了分类讨论思想，以及数形结合思想，属于基础题.
43．C
【分析】由题意可得抛物线的焦点即为原点，所作直线的方程为，联立方程可得：，由可得的坐标，进而可求三角形的面积．
【详解】由题意可得抛物线的焦点即为原点，
所以直线的方程为，
联立方程可得：，
由可得，
所以
，
所以，所以，
．
44．C
【详解】由抛物线性质可知：，又，∴，
即
设直线AB的斜率为k（k≠0），则直线CD的斜率为．
直线AB的方程为y=k（x﹣1），
联立，消去y得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，
从而，1
由弦长公式得|AB|=，
以换k得|CD|=4+4k2，
故所求面积为≥32（当k2=1时取等号），即面积的最小值为32．
故选C
45．D
【解析】设，，直线的方程为，直线方程代入抛物线方程整理后应用韦达定理得，由得，从而可求得，，再由面积公式得结论．
【详解】设，，直线的方程为，将代入，消去可得，所以，．
因为，所以，所以，则，，所以，所以，
又，所以的面积．
故选：D．
【点睛】方法点睛：本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是应用韦达定理．
即设，，直线的方程为，直线方程代入抛物线方程后整理，应用韦达定理得，再结合已知求出，然后求出三角形面积．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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