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专题 3.4 双曲线大题归类
一、热考题型归纳【题型一】双曲线中点弦 【题型二】双曲线韦达定理基础型 【题型三】五个方程转化型 【题型四】双曲线中直线过定点 【题型五】双曲线直线过定点：斜率和定值型 【题型六】双曲弦直线过定点：斜率积定值型 【题型七】 双曲线中的定制线型【题型八】 双曲线中的定值 【题型九】 双曲线与圆过定点 【题型十】 最值范围型 二、培优练
【题型一】双曲线中点弦
【典例分析】
1．已知点在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)是否存在过点的直线l与双曲线相交于A,B两点，且满足P是线段的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
【提分秘籍】
A,B是双曲线C: 上两点，M为A,B中点，则（可用点差法快速证明）
【变式演练】
（2023春·云南保山·高二校联考期末）
2．设双曲线的焦距为6，点在双曲线上.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知的右焦点为是直线上一点，直线交双曲线于两点（在第一象限），过点作直线的平行线与直线交于点，与轴交于点，证明：为线段的中点.
【题型二】双曲线韦达定理基础型
【典例分析】
3．已知点，，动点满足直线与的斜率积为，记的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程，并说明是什么曲线；
(2)已知直线：与曲线交于两点，且在曲线存在点，使得，求的值及点的坐标.
【提分秘籍】
利用韦达定理解决双曲弦与直线相交的问题
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
【变式演练】
4．已知双曲线为坐标原点,离心率,点在双曲线上
(1)求双曲线的方程;
(2)如图,若斜率为的直线过双曲线的左焦点,分别交双曲线于两点,求的值,并求出外接圆的方程
【题型三】五个方程转化型
【典例分析】
5．设双曲线，F是右焦点，O是坐标原点．
(1)若过和F的直线与C的一条渐近线垂直，求C离心率e的值；
(2)若直线l过F且交双曲线右支于A，B两点，已知的最大值为，求当取得最大时直线l的方程．
【变式演练】
（2023·重庆巴南·统考一模）
6．在平面直角坐标系中，已知点、，的内切圆与直线相切于点，记点M的轨迹为C.
(1)求C的方程；
(2)设点T在直线上，过T的两条直线分别交C于A、B两点和P，Q两点，连接.若直线的斜率与直线的斜率之和为0，试比较与的大小.
【题型四】双曲线中直线过定点
【典例分析】
7．已知F1（，0），F2（，0）为双曲线C的两个焦点，点在双曲线C上．
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知点A，B是双曲线C上异于P的两点，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，若，证明：直线AB过定点．
【提分秘籍】
过定点问题的两大类型及解法
（1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点；
（2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．
【变式演练】
8．已知双曲线的离心率为，两条准线间的距离为.
(1)求C的标准方程；
(2)斜率为k的直线l过点，且直线与C的两支分别交于点A，B，
①求k的取值范围；
②若D是点B关于x轴的对称点，证明：直线AD过定点.
【题型五】双曲线中直线过定点：斜率和定之型
【典例分析】
（2023·全国·高二专题练习）
9．已知点为双曲线上一点，的左焦点到一条渐近线的距离为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)不过点的直线与双曲线交于两点，若直线PA，PB的斜率和为1，证明：直线过定点，并求该定点的坐标.
【提分秘籍】
定点问题解决步骤：
（1）设直线代入二次曲线方程，整理成一元二次方程；
（2）根与系数关系列出两根和及两根积；
（3）写出定点满足的关系，整体代入两根和及两根积；
（4）整理（3）所得表达式探求其恒成立的条件．
【变式演练】
（2023秋·江西宜春·高三统考开学考试）
10．已知双曲线，四点，，，中恰有三点在双曲线上.
(1)求的方程；
(2)设直线不经过点且与相交于两点，若直线与直线的斜率的和为证明：过定点.
【题型六】双曲线中直线过定点：斜率积定值型
【典例分析】
11．已知椭圆的长轴为双曲线的实轴，且椭圆过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点是椭圆上异于点的两个不同的点，直线与的斜率均存在，分别记为，若，试问直线是否经过定点，若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由.
【提分秘籍】
求定点问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定点，再证明这个值与变量无关．
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点．
【变式演练】
12．点在双曲线上，离心率.
(1)求双曲线的方程；
(2)是双曲线上的两个动点（异于点），分别表示直线的斜率，满足，求证：直线恒过一个定点，并求出该定点的坐标.
【题型七】双曲线中的定直线型
【典例分析】
13．已知双曲线：（，）实轴端点分别为，，右焦点为，离心率为2，过点且斜率1的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过的直线与双曲线交于，两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．
【提分秘籍】

【变式演练】
14．已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为.
(1)求C的方程；
(2)设A，B是直线上关于x轴对称的两点，直线与C交于M，N两点，证明：直线AM与BN的交点在定直线上.
【题型八】双曲线中的定值
【典例分析】
15．已知F1（－，0），F2（，0）为双曲线C的焦点，点P（2，－1）在C上．
(1)求C的方程；
(2)点A，B在C上，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，点Q在直线AB上，若＋，＝0，证明：存在定点T，使得|QT|为定值．
【提分秘籍】
【变式演练】
16．已知双曲线C与双曲线 有相同的渐近线，且过点.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知点，E，F是双曲线C上不同于D的两点，且，于点G，证明:存在定点H，使为定值.
【题型九】双曲线与圆过定点
【典例分析】
（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）
17．已知双曲线的左、右焦点分别为，且到的一条渐近线的距离为.
(1)求的方程；
(2)过的左顶点且不与轴重合的直线交的右支于点，交直线于点，过作的平行线，交直线于点，证明：在定圆上.
【变式演练】
（2023春·福建福州·高二福建省福州第一中学校考期中）
18．已知双曲线上任意一点P（异于顶点）与双曲线两顶点连线的斜率之积为，E在双曲线C上，F为双曲线C的右焦点，的最小值为.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设O为坐标原点，直线l为双曲线C的切线，过F作的垂线，垂足为A，求证：A在定圆上.
【题型十】最值范围型
【典例分析】
19．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，，的最小值，，且满足．
(1)求双曲线的离心率；
(2)若，过点的直线交双曲线于，两点，线段的垂直平分线交轴于点（异于坐标原点），求的最小值．
【提分秘籍】
最值思维：
1.可以借助均值不等式求最值.
2.分式型，多可以通过构造来求最值，如下几种常见的.
分式型：以下几种求最值的基本方法
（1）反比例函数型，可以分离常数，利用“左加右减上加下减”画图；
（2）与型，可以设mx+n=t，换元，简化一次项，然后构造均值或者对勾函数求解.
（3）型，判别式法，或者分离常数，然后转化分子为一次，再换元求解6
【变式演练】
20．椭圆上有两点和，．点关于椭圆中心的对称点为点，点在椭圆内部．是椭圆的左焦点，是椭圆的右焦点．
(1)若点在直线上，求点坐标；
(2)是否存在一个点，满足，若满足求出点坐标，若不存在请说明理由；
(3)设的面积为，的面积为，求的取值范围．
（2023·全国·高二专题练习）
21．已知双曲线的右焦点为，且C的一条渐近线经过点.
(1)求C的标准方程；
(2)是否存在过点的直线l与C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P.若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
（黑龙江省哈尔滨市第三中学校2022届高三第五次高考模拟考试文科数学试题）
22．已知椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，且.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆的右焦点且斜率为1的直线交椭圆于两点（点在轴上方），线段的垂直平分线交直线于点，求以为直径的圆的方程.
（2023秋·河北秦皇岛·高三校联考开学考试）
23．已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为.
(1)求双曲线的方程；
(2)过的直线与交于两点，过的左顶点作的垂线，垂足为，求证：.
（2023·全国·高三专题练习）
24．已知双曲线的虚轴长为2，点到C的渐近线的距离为．
(1)求双曲线C的标准方程．
(2)若斜率不为零的直线l与C交于A，B两点，y轴恰是的平分线，试问：直线l是否过定点？若过定点，求该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
25．已知椭圆的左右顶点是双曲线的顶点，且椭圆的上顶点到双曲线的渐近线距离为．
(1)求椭圆的方程；
(2)点F为椭圆的左焦点，不垂直于x轴且不过F点的直线l与曲线相交于A、B两点，若直线FA、FB的斜率之和为0，则动直线l是否一定经过一定点？若存在这样的定点，则求出该定点的坐标；若不存在这样的定点，请说明理由．
（2023秋·河北邢台·高二邢台一中校考期末）
26．设双曲线的右焦点是椭圆的右顶点，且椭圆的右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为3.
(1)求双曲线的方程；
(2)为双曲线上一定点，为双曲线上两个动点，直线的斜率满足，求证：直线恒过一个定点，并求出该定点的坐标.
（2023·全国·高二专题练习）
27．已知双曲线：的实轴长为2，两渐近线的夹角为．
(1)求双曲线的方程：
(2)当时，记双曲线的左、右顶点分别为，，动直线：与双曲线的右支交于，两点（异于），直线，相交于点，证明：点在定直线上，并求出定直线方程．
28．已知双曲线C：经过点（2，3），两条渐近线的夹角为60°，直线l交双曲线于A、B两点．
(1)求双曲线C的方程．
(2)若l过原点，P为双曲线上异于A、B的一点，且直线PA、PB的斜率、均存在．求证：为定值．
(3)若l过双曲线的右焦点，是否存在x轴上的点M（m，0），使得直线l绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求实数m的值；若不存在，请说明理由．
29．已知双曲线为双曲线的左 右焦点，焦距为4，点在上，且满足．
(1)求的方程；
(2)过点作直线交双曲线于两点，轴上是否存在定点，使其恒在以为直径的圆上？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
30．已知双曲线的离心率为2，F为双曲线的右焦点，直线l过F与双曲线的右支交于两点，且当l垂直于x轴时，；
(1)求双曲线的方程；
(2)过点F且垂直于l的直线与双曲线交于两点，求的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）代入点的坐标，解方程可得的值，即可得双曲线方程；
（2）假设存在，设过的直线方程为：，，两点的坐标为，，，，代入双曲线方程，再相减，运用平方差公式和中点坐标公式，及斜率公式，即可得到所求直线的斜率，进而得到直线方程，代入双曲线方程，检验判别式即可判断．
【详解】（1）解：已知点在双曲线上
所以，整理得：，解得：，则
所以双曲线方程为：.
（2）解：由题可知若直线存在则直线的斜率存在，故设直线的方程为：
且设交点
则 ，两式相间得：
由于为中点，则
则
即有直线的方程：，即
检验判别式为，方程无实根．
故不存在过点的直线与该双曲线相交A,B两点，且满足P是线段的中点.
2．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意列式运算求解，即可得结果；
（2）根据题意求直线的交点结合韦达定理分析证明.
【详解】（1）因为焦距为6，所以，
将点代入的方程，得，
又因为，解得，
所以双曲线方程为.
（2）如图所示：

是直线上一点
的横坐标为，
设直线的方程为，则，
联立方程组得，
设，
则，且，
则，
直线的方程为，①
又直线的方程为，②，
由①②消去得，
在中，
两式相除，得，则，
则，
，
故为线段的中点.
【点睛】方法点睛：对双曲线定值定点类问题的常见设线法分为以下几步：
（1）画出双曲线；
（2）设相应的直线方程；
（3）联立方程组；
（4）韦达定理；
（5）化简分析.
3．(1)：（），是除去左右两个端点的双曲线
(2)时，，当时，.
【分析】（1）利用斜率公式列出方程即可；
（2）将直线与曲线联立消去，设，利用韦达定理得和，再设 ，由列方程解出的值即可.
【详解】（1）动点满足直线与的斜率积为
即：（），是除去左右两个端点的双曲线
（2）将直线与曲线联立得，
设，则，
设，由得，
即，又因为，解得，
所以当时，，当时，.
4．(1)
(2),
【分析】（1）根据条件列方程即可
（2）设直线方程与双曲线联立，再运用韦达定理即可求出，由OP,OQ垂直，知PQ为外接圆直径，即可求出外接圆方程.
【详解】（1）由题知,解得
所以双曲线的方程为:
（2）直线,设
联立,得
所以
所以外接圆圆心为
直径为,即半径
所以外接圆的方程为
5．(1)
(2)
【分析】（1）利用垂直时斜率乘积为-1即可.
（2）联立直线与双曲线，计算出的正切值，利用基本不等式计算出的最大值即可.
【详解】（1）由题意可知，
的渐近线方程为，
直线的斜率为，则 ，即 ，
即 ，解得 ，故 ，
所以C离心率e的值为；
（2）设直线l的方程为 ，联立，
可得.
不妨设A在第一象限，且A（，），B（，），则
，.
所以，
化简可得，.
由题意，，所以.另外，显然，.
所以，.
所以，.此时，.
即直线l的方程为： .
【点睛】直线与圆锥曲线相关问题，一般需要联立直线与圆锥曲线方程，利用韦达定理，设而不求，进行整体代换.
6．(1)
(2)
【分析】（1）根据内切圆的性质得到，从而结合双曲线的定义得到轨迹方程；
（2）根据条件设，，，，，，根据直线与双曲线方程的联立，由韦达定理得到，，结合弦长公式得到，从而证明，进而可得相似于，由四点共圆的知识即可得到答案.
【详解】（1）因为点、，的内切圆与直线相切于点，
所以，
因此根据双曲线的定义可知，点的轨迹为以，为焦点的双曲线的右支，
设点的轨迹C的方程为，焦距为，
所以，，
所以，，，
所以点的轨迹方程C为
（2）由题意，直线的斜率互为相反数，记，
则，，，，，
设，则直线，.
联立直线和双曲线方程，
整理得.
该方程有两个不等实根，，
则
根据韦达定理可得，，
同理可得，.
又因为，.
，.
则，
同理可得
即
进而可得相似于，
即，，
也即A，B，Q，P四点共圆，可得
从而得.
因此
【点睛】关键点点睛：本题考查直线与双曲线的综合问题.关键在于直线与双曲线方程的联立，进而通过韦达定理的转化得到，进而得到相似于，由A，B，Q，P四点共圆，可得从而进而得到答案.本题考查学生的数据运算与分析能力、数形结合能力、转化与化归能力，属于难题.
7．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意得，再结合，可求出，从而可求出双曲线的方程，
（2）设直线AB的方程为，，将直线方程代入双曲线方程消去化简，利用根与系数的关系，表示直线PA，PB的方程，从而可求出点M，N的坐标，再由化简计算可求出的关系，从而可证得结论
【详解】（1）设双曲线C的方程为（），
由题意知，
因为，所以解得
∴双曲线C的方程为
（2）设直线AB的方程为，，
由，整理得，
则，，得，
直线PA方程为
令，则M（0，），同理N（0，）.
由，可得，
∴0，
0，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴
当时，
此时直线AB方程为恒过定点，显然不可能
∴，直线AB方程为恒过定点
8．(1)；
(2)①；②证明见解析．
【分析】（1）根据题意可列出两个关于的方程，解出，再根据的关系求出，即可得到C的标准方程；
（2）①设直线，，，联立直线方程与椭圆方程，由且，即可求出k的取值范围；②设，令，将的值代入即可求出，从而可知直线AD过定点，
从而得证．
【详解】（1）由已知得 可得 ，
又双曲线中，所以C的标准方程为：．
（2）设直线，，，
由，消去y可得，，
则，，，
①因为直线与双曲线交于两支，所以且，即，解得：
；
②设，令，
，即直线AD过定点.
9．(1)
(2)证明见解析，定点为.
【分析】（1）由点到直线的距离公式求出，再将点代入双曲线方程求出，可得双曲线的标准方程；
（2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理得、，再根据斜率和为列式，推出，从而可得直线过定点.
【详解】（1）设到渐近线，即的距离为，
则，结合得，
又在双曲线上，所以，得，
所以双曲线的标准方程为.
（2）联立，消去并整理得，
则，，即，
设，，
则，，
则
，
所以，
所以，
所以，
整理得，
所以，
所以，
因为直线不过，即，，
所以，即，
所以直线，即过定点.

【点睛】关键点点睛：利用韦达定理和斜率公式推出是解题关键.
10．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意代入相应的点运算求解即可；
（2）设直线的方程以及的坐标，再根据题意结合韦达定理运算求解.
【详解】（1）易知双曲线关于轴对称，，关于轴对称，故，都在双曲线上，
若，，在双曲线上，
则，解得，不满足；
若，，在双曲线上，
则，解得，满足；
综上所述：双曲线的方程为.
（2）设直线与直线的斜率分别为，
如果直线斜率不存在，则，不符合题设，
设直线：，，，，
联立，整理得，
，化简得：.
则，，
则，
整理得，
即，
化简得：，解得或，
当时，直线的方程为，
令时，，所以直线过定点，
又因为直线不经过点，不合题意；
当时，直线的方程为，
当时，，所以直线过定点；
综上所述：过定点.

【点睛】方法点睛：过定点问题的两大类型及解法
（1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点；
（2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．
11．(1)
(2)过定点，理由见解析
【分析】（1）由题意可得，，求出，从而可得椭圆方程，
（2）分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，求出直线与的斜率，再由列方程可得参数的关系，代入直线方程可求出直线恒过的定点.
【详解】（1）因为椭圆的长轴为双曲线的实轴，
所以，
因为椭圆过点，所以，，得，
所以椭圆方程为；
（2）①当直线的斜率存在时，设其方程为，
由，得， ，
所以，，
所以，，
因为，所以，
所以，
所以，
所以，
化简得，即，
所以或，
当时，直线的方程为，
则直线过定点（舍去），
当时，直线的方程为，
所以直线过定点，
②当直线的斜率不存在时，设直线为（），
由，得，所以，
所以，
解得（舍去），或，
所以直线也过定点，
综上，直线恒过定点.
【点睛】处理定点问题的思路：
（1）确定题目中的核心变量（此处设为），
（2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式，
（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到，
①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点；
②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数.
12．(1)
(2)证明见解析，定点
【分析】（1）根据题意列出方程组，求得a,b，可得答案;
（2）分类讨论直线AB的斜率是否存在的情况，斜率存在，设出直线方程并联立双曲线方程，得到根与系数的关系，表示出，结合根与系数的关系化简，可得参数之间的关系式，结合直线方程，求得答案.
【详解】（1）由题意点在双曲线上，离心率
可得； ，解出，，
所以，双曲线的方程是
（2）①当直线的斜率不存在时，则可设，
代入，得，
则，
即，解得或，
当时，，其中一个与点重合，不合题意；
当时，直线的方程为，它与双曲线不相交，故直线的斜率存在；
②当直线的斜率存在时，设直线的方程代入，
整理得，，设，
则，
由，
所以
所以，，
即,
整理得，
即，
所以或，
若，则，直线化为，过定点；
若，则，直线化为，它过点，舍去
综上，直线恒过定点
另解：
设直线的方程为①，
双曲线的方程可化为，
即②，
由①②可得，
整理可得，
两边同时除以，
整理得③，
，
则是方程③的两个不同的根，
所以，即④，
由①④可得 ，解得，
故直线恒过定点.
【点睛】本题考查了双曲线方程的求法，以及直线和双曲线相交时直线过定点的问题，综合性较强，计算量大，解答时要明确解题思路，注意分类讨论，解答的关键是利用联立方程得到根与系数的关系，并利用该关系式化简得到参数之间的关系，从而解决直线过定点问题.
13．(1)
(2)在定直线方程上
【分析】（1）联立直线方程与双曲线方程，可得点，进而根据三角形面积公式即可求出的值；（2）分直线斜率 和不存在两种情况讨论，求出两直线交点，代入化简即可求解.
【详解】（1）设直线的方程为，联立，得，
又，，代入上式得，即，
∴，解得，∴，，∴双曲线的方程为．
（2）当直线点的斜率不存在时，，，直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得的，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，
联立得，∴，，
∴直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得：
，两边平方得，
又，满足，
∴
，
∴，∴，或，（舍去）
综上，在定直线上，且定直线方程为．
14．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据渐近线方程得到，结合点到直线距离公式求出，利用求出，写出双曲线方程；
（2）联立直线与双曲线方程，写出两根之和，两根之积，表达出直线AM与BN的方程，联立后求得交点横坐标满足.
【详解】（1）双曲线的渐近线方程为，所以.
又焦点到直线的距离，所以，
又，所以，，
所以双曲线C的标准方程为.
（2）证明：联立方程组消去y，并整理得.
设，，则，.
设，（），则得直线AM的方程为，
直线BN的方程为，
两个方程相减得，①
因为，
把上式代入①得：，
所以，
因此直线AM与BN的交点在直线上.
【点睛】直线与双曲线结合的题目，一般处理思路，设出直线方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理得到两根之和，两根之积，再利用题干条件列出方程，将问题转化为两根之和与两根之积问题，代入求解.
15．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）待定系数法列方程组求得的值，即可得到双曲线C的方程；
（2）设出直线AB的方程并与双曲线C的方程联立，利用设而不求的方法得到M、N的坐标，利用题给条件＋求得直线AB的过定点，再由＝0可得使|QT|为定值的定点T.
【详解】（1）设双曲线C的方程为，
由题意知，
∴双曲线C的方程为
（2）设直线AB的方程为，A（、），B（，），P（2，－1）
，
则，，
∴直线PA方程为，
令，则，同理N（0，），
由，可得
∴
∴
∴
∴
∴
∴，
当时，，
此时直线AB方程为恒过定点P（2，－1），显然不可能
∴，直线AB方程为恒过定点E（0，－3）
∵，∴，取PE中点T，∴T（1，－2）
∴为定值，∴存在T（1，－2）使|QT|为定值．
【点睛】求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
16．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，设出双曲线C的方程，再将点的坐标代入求解作答.
（2）当直线斜率存在时，设出其方程并与双曲线C的方程联立，由给定的数量积关系结合韦达定理求得直线过定点，再验证斜率不存在的情况，进而推理判断作答.
【详解】（1）依题意，设双曲线C的方程为，而点在双曲线C上，
于是，双曲线C的方程为，即，
所以双曲线C的标准方程为.
（2）当直线斜率存在时，设直线的方程为：，设，
由消去y并整理得，
有，且，即且，
有，又，
，由，得，
整理得，
于是，化简得，
即，解得或，均满足条件，
当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾，
当时，直线的方程为，直线过定点；
当直线的斜率不存在时，由对称性不妨设直线的方程为：，
由解得或，因此点的横坐标有，即直线过定点，
综上得直线过定点，
由于，即点在以为直径的圆上，为该圆圆心，为该圆半径，
所以存在定点，使为定值.

【点睛】思路点睛：与圆锥曲线相交的直线过定点问题，设出直线的斜截式方程，与圆锥曲线方程联立，借助韦达定理求出直线斜率与纵截距的关系即可解决问题.
17．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据焦点到渐近线的距离求出即可得解；
（2）由题意可设PA，的斜率分别为，设直线AP的方程为，联立双曲线方程，求出，由三角函数可得，即化为得证.
【详解】（1）根据题意可知C的一条渐近线方程为，
设到渐近线的距离为，
所以，
所以的方程为.
（2）设C的左顶点为A，则,
故直线为线段的垂直平分线.
所以可设PA，的斜率分别为，故直线AP的方程为.
与C的方程联立有，
设B），则，即，
所以
当轴时，，是等腰直角三角形，
且易知
当不垂直于x轴时，直线的斜率为，故
因为，
所以
所以
因为
所以
所以为定值，
所以点Q在以为圆心且半径为4的定圆上.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
18．(1)
(2)证明见解析.
【分析】（1）设，根据两点表示斜率公式可得，结合计算即可求解；
（2）易知当直线的斜率不存在时点A在定圆上；当直线的斜率存在时设，联立双曲线方程，根据根的判别式可得，利用两直线求交点坐标可得，计算化简即可求解.
【详解】（1）由题意知，双曲线的顶点为，
设点，则①，又P与双曲线两顶点连线的斜率之积为，
所以，即②，
由①②得，，因为，所以③，
又的最小值为，所以④，
由③④和得，所以双曲线的方程为；
（2）当直线的斜率不存在时，，则点A为双曲线的顶点，
此时点A在圆上，符合题意；
当直线的斜率存在时，设，
若，不符合题意，故.
，
，整理得.
由（1）知，因为，所以，
，解得，即，
所以
，
所以点A在圆上.
综上，点A在定圆上.
19．(1)2
(2)．
【分析】（1）由双曲线的性质知，，利用化简可得双曲线的离心率；
（2）当时，双曲线的方程为，设出直线的方程，与双曲线方程联立，消去并写出韦达定理，表示出弦长，并由线段的垂直平分线的方程得出点的坐标，进而把表示成关于的式子，利用基本不等式求出最小值．
【详解】（1）由题意知，．由双曲线的性质知，，∴，∴，故双曲线的离心率．
（2）当时，，．∴双曲线的方程为，．
由题知直线的斜率存在，设为，则，直线的方程为．
联立消去并整理，得．
设，，则，，
∴．
又∵，线段的中点的坐标为，
∴线段的垂直平分线的方程为．令，得，
∴点的坐标为，∴，∴，
当且仅当，即时等号成立，∴的最小值为．
20．(1)
(2)不存在，理由见解析
(3)
【分析】（1）先求得两点坐标，进而可得直线的方程，将点坐标代入该方程，解之即可求得点坐标；
（2）假设存在符合条件的点，列方程去求点坐标，再以点，在椭圆内部去判别是否存在；
（3）先求得的表达式，再去求的值域，进而求得的取值范围．
【详解】（1）解：因为点和，在椭圆上，
所以，代入椭圆方程可得，
所以，直线方程为，
又点，在直线上，
所以，，解之得，
所以，；
（2）解：椭圆的两焦点；
假设存在一个点，满足，
所以，点一定在双曲线的左半支上，
因为，
所以，点一定在双曲线的左半支上，
又因为，
所以，，解得，
又因为点在椭圆内部，
所以，得，
所以满足条件的点不存在；
（3）解：由题知在椭圆上，
点，在椭圆内部，，
所以，直线的方程为，
点到直线的距离，
所以，，
同理，直线的方程为，
点到直线的距离
所以，，
令，，
所以，，
由，可得，，即，
由，可得，，＜0，即，
综上，的取值范围为，
所以，则的取值范围为．
【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键在于结合（2）中，再根据点到直线的距离公式和三角形面积公式得到，进而结合分段函数的性质求解最值.
21．(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）根据题意得到，得出，再由C的一条渐近线经过点，求得，联立方程组，求得，即可求解；
（2）设直线的斜率为，且，代入曲线方程得到，由，求得，得出直线的方程为，联立方程组，结合方程没有实根，即可得到答案.
【详解】（1）解：因为双曲线C的右焦点为，所以，可得，
又因为双曲线C的一条渐近线经过点，可得，即，
联立方程组，解得，
所以双曲线C的标准方程为.
（2）解：假设存在符合条件的直线，易知直线l的斜率存在，
设直线的斜率为，且，
则，两式相减得，所以，
因为的中点为，所以，所以，解得，
直线的方程为，即，
把直线代入，整理得，
可得，该方程没有实根，所以假设不成立，
即不存在过点的直线与C交于两点，使得线段的中点为.
22．(1)
(2)
【分析】（1）由题知，进而结合题意，根据椭圆的离心率公式得，进而得答案；
（2）根据题意得直线方程为，进而与椭圆联立方程得，进而得，再求解圆的方程即可.
【详解】（1）解：双曲线的离心率，
，其中，
所以椭圆方程为：
（2）解：由题知，故直线方程为，
联立直线与椭圆方程得，
，其中点为
所以，垂直平分线为：
以为直径的圆的圆心为：，半径为，
以为直径的圆的方程为：
23．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得双曲线的方程.
（2）设出直线的方程并与双曲线方程联立，化简写出根与系数关系，由得到直线与直线垂直，利用相似三角形证得结论成立.
【详解】（1）的右焦点为，
渐近线方程为，
，
，
的方程为：；
（2）设方程为，
联立得：，
，
，
设，则，，
，
，
，
直线与直线垂直，
在中，
，
，
即.

【点睛】求解双曲线的标准方程，主要是根据已知条件求得，是两个未知数，要求得两个未知数，需要知道两个已知条件，如本题中焦点坐标以及渐近线的方程，再结合双曲线中的“隐藏条件”，即可求得.
24．(1)
(2)直线过定点
【分析】（1）根据虚轴长可得，再根据点到C的渐近线的距离求出即可得解；
（2）由题意可知直线l的斜率存在，设其方程为，联立方程，利用韦达定理求出，，根据y轴是的平分线，可得，从而可求出，即可得出结论.
【详解】（1）双曲线C的渐近线方程为，
则点到渐近线的距离，
又∵，∴，∴双曲线C的标准方程为；
（2）直线l过定点．理由如下：
由题意可知直线l的斜率存在，设其方程为，
∵y轴是的平分线，∴，
即，
联立，消去y并整理，得，
则，且，即，
则，，
∴，解得，
∴直线l的方程为，且，其过定点，
∴直线过定点．
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中直线过定点问题通法，是先设出直线方程，通过韦达定理和已知条件若能求出为定值可得直线恒过定点，若得到和的一次函数关系式，代入直线方程即可得到直线恒过定点.
25．(1)；
(2)存在，.
【分析】（1）由双曲线顶点求出a，再由点到直线距离求出b作答.
（2）设出直线l的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式计算、推理作答.
【详解】（1）双曲线的顶点坐标为，渐近线方程为，
依题意，，椭圆上顶点为到直线的距离，解得，
所以椭圆的方程为．
（2）依题意，设直线l的方程为，、，点，
由消去y并整理得，则，，
直线FA、FB的斜率之和为，
即，有，整理得，
此时，，否则，直线l过F点，
因此当且，即且时，直线l与椭圆交于两点，直线l：，
所以符合条件的动直线l过定点．
26．(1)；
(2)证明见解析，定点.
【分析】（1）根据双曲线焦点和椭圆顶点坐标公式，结合点到直线距离公式、双曲线渐近线方程进行求解即可；
（2）根据直线的斜率是否存在，结合一元二次方程根与系数关系、直线斜率公式分类讨论进行求解即可.
【详解】（1）椭圆的右顶点为，
故双曲线的右焦点为，
双曲线的渐近线为，
依题意解得：，故双曲线的方程为；
（2）①当直线的斜率不存在时，则可设，
代入，得，则，
即，解得或，当时，过点，不合题意；
当时，直线的方程为，它与双曲线不相交，不合题意.
②当直线的斜率存在时，设直线的方程代入，
整理得，，设，
则，
由，
所以，，即，
整理得即，
所以或，
若，则，直线化为，
即，过定点；
若，则，直线化为，
即，它过点，舍去.
综上，直线恒过定点
【点睛】关键点点睛：根据一元二次方程根与系数关系，结合直线斜率公式进行求解是解题的关键.
27．(1)：或：
(2)证明见解析，定直线
【分析】（1）根据实轴长度确定a的取值，再根据渐近线夹角确定渐近线斜率，从而确定b的取值，写出解析式；
（2）首先联立直线与双曲线方程，根据韦达定理确定，两点坐标关系，联立方程，再利用点斜式表示出直线，的方程，代入列出等式，代入韦达定理求解出即可,
【详解】（1）由题知，得，
或，得或，
所以双曲线的方程为：或：．
（2）由（1）知，当时，：，
设，，
联立直线与双曲线得：，
，方程的两根为，，则，．
，，则：，：，
因为直线，相交于点，
故，，
消去，整理得：，
，
因此，
故点在定直线上．
【点睛】方法点睛：求解双曲线方程的题型一般步骤：（1）判断焦点位置；（2）设方程；（3）列方程组求参数；（4）得结论.
28．(1)
(2)证明见解析
(3)存在；
【分析】（1）根据题意得到，解方程组即可求出结果；
（2）设出点的坐标，结合根据两点求斜率，化简整理即可求出结果；
（3）设出直线的方程，结合韦达定理得到，从而可得，即可得到结果，注意检验斜率不存在的情况即可.
【详解】（1）由题意得，解得
所以双曲线C的方程为．
（2）证明：设点A的坐标为，则由对称性知点B的坐标为．
设P（x，y），则，
由得，
所以．
（3）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，
与双曲线方程联立消y得，
所以，得且，
所以
．
假设存在实数m，使得，
则对任意的恒成立，
所以，解得．
所以当时，．
当直线l的斜率不存在时，由A（2，3），B（2，－3）及M（－1，0）知结论也成立．
综上，存在M（－1，0），使得．
【点睛】（1）解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
29．(1)
(2)存在，
【分析】（1）先根据双曲线的定义得到，再根据焦距得到，即可求出，即可求解；（2）分直线的斜率为0和斜率不为0两种情况讨论，联立直线的方程与双曲线方程，利用韦达定理即可求解；或分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，当直线的斜率不存在时，直接求出的坐标，直接求出的值；当直线的斜率存在时，联立直线与双曲线的方程结合韦达定理和即可求解．
【详解】（1）由得．
设双曲线的半焦距为，由双曲线的焦距为4，得，
，
双曲线的方程为
（2）解法一：当直线的斜率为0时，，
不妨设，
由得；
当直线的斜率不为0时，
设，
联立消去得，
则，
若，则
，此时．
综上所述，存在，使得，
即以为直径的圆恒过轴上的定点．
解法二：当直线的斜率不存在时，，
此时不妨设，
若，则；
当直线的斜率存在时，
设，
联立消去得，
则，
，
若，则
，此时．
综上所述，存在，使得，
即以为直径的圆恒过轴上的定点．
【点睛】本题考查双曲线的定义与几何性质 直线与双曲线的位置关系，考查推理论证能力 运算求解能力，考查逻辑推理 数学运算核心素养．
30．(1)
(2)
【分析】（1）根据通径，直接求得，再结合离心率为2即可求双曲线的方程；
（2）通过对转化为，从而简化计算，利用韦达定理求解即可.
【详解】（1）依题意，，当l垂直于x轴时，，
即，即，
解得，，因此；
（2）设，联立双曲线方程，
得：，
当时，，
，
当时，设，
因为直线与双曲线右支相交，
因此，即，同理可得，
依题意，
同理可得，，
而，
代入，，
，
分离参数得，，
因为，
当时，由，
，
所以，
综上可知，的取值范围为.
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