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2024年浙江省中考专项复习-项目化学案
1．（2023 瓯海区一模）
如何分配工作，使公司支付的总工资最少
素材1 某包装公司承接到21600个旅行包的订单，策划部准备将其任务分配给甲、乙两个车间去完成．由于他们的设备与人数不同，甲车间每天生产的总数是乙车间每天生产总数的2倍，甲车间单独完成这项工作所需的时间比乙车间单独完成少18天．
素材2 经调查，甲车间每人每天生产60个旅行包，乙车间每人每天生产40个旅行包．为提高工作效率，人事部到甲、乙两车间抽走相等数量的工人．策划部为了使抽走后甲、乙两车间每天生产的总数之和保持不变，余下的所有工人每天生产个数需要提高20%．因此，甲车间每天工资提高到3400元，乙车间每天工资提高到1560元．
问题解决
任务1 确定工作效率 求甲、乙车间原来每天分别生产多少个旅行包？
任务2 探究抽走人数 甲、乙每个车间被抽走了多少人？
任务3 拟定设计方案 甲、乙两车间抽走相等数量的工人后，按每人每天生产个数提高20%计算，如何安排甲、乙两车间工作的天数，使公司在完成该任务时支付的总工资最少？最少需要多少元？
2．（2023 瑞安市模拟）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计喷水装置的高度？
素材1 图1为某公园的圆形喷水池，图2是其示意图，O为水池中心，喷头A、B之间的距离为20米，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心7m处达到最高，高度为5m．水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其底面直径CD为12m，高CF为1.8米．
素材2 如图3，拟在圆柱形蓄水池中心处建一喷水装置OP （OP⊥CD），并从点P向四周喷射与图2中形状相同的抛物线形水柱，且满足以下条件： ①水柱的最高点与点P的高度差为0.8m； ②不能碰到图2中的水柱； ③落水点G，M的间距满足：GM：FM＝2：7．
问题解决
任务1 确定水柱形状 在图2中以点O为坐标原点，水平方向为x轴建立直角坐标系，并求左边这条抛物线的函数表达式．
任务2 探究落水点位置 在建立的坐标系中，求落水点G的坐标．
任务3 拟定喷水装置的高度 求出喷水装置OP的高度．
3．（2023 文成县一模）根据以下素材，探索完成任务．
如何给桥护栏挂小彩灯
素材1 图1是桥的护栏实物图，护栏长200米，高1.6米，图2是桥护栏示意图，为了使彩灯挂起来整齐美观，设计小组首先制作了外缘呈抛物线型模板，然后用该模板在图纸上绘制抛物线图 案，彩灯沿抛物线摆放．
素材2 方案一：护栏中间正好可以摆5具模板，绘制5条抛物线图案连成一条波浪线，每条抛物线的顶点落在护栏的上下边． 方案二：将模板一部分放入护栏，绘制若干条抛物线图案，靠上下两边连成两条波浪线，每条抛物线的高度都相等，相对两条抛物线的顶点之间的距离h为0.7米． 方案三：将方案一和方案二中的抛物线图案各若干条，沿护栏下边摆放，大的图案摆在中间，小的图案摆两边，连成一条波浪线，且整个小彩灯图案呈轴对称图形，每条抛物线图案保持完整，两边能摆尽摆，可以有空余．
任务 问题解决
一 确定抛物线形状 求出模板抛物线的函数解析式；
二 确定方案二中一条抛物线图案的宽度和摆放方案 求出其中一条抛物线图案的宽度CD，每边这样的图案最多可以摆放几个？
三 设计方案三摆放方案 确定大小抛物线图案各需多少个，并给出摆放方案．
4．（2023 温州一模）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计奖品购买及兑换方案？
素材1 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件．
素材2 某学校花费400元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”， 两种奖品的购买数量均不少于20件，且购买笔记本的数量是10的倍数．
素材3 学校花费400元后，文具店赠送m张（1＜m＜10）兑换券（如右）用于商品兑换．兑换后，笔记本与钢笔数量相同．
问题解决
任务1 探求商品单价 请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价．
任务2 探究购买方案 探究购买钢笔和笔记本数量的所有方案．
任务3 确定兑换方式 运用数学知识，确定一种符合条件的兑换方式．
5．（2023 龙港市一模）根据以下素材，探索完成任务．
如何调整蔬菜大棚的结构？
素材1 我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟，一块土地上有一个蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体OA上，另一端固定在墙体BC上，其横截面有2根支架DE，FG，相关数据如图2所示，其中支架DE＝BC，OF＝DF＝BD．
素材2 已知大棚共有支架400根，为增加棚内空间，拟将图2中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化如图3所示，调整后C与E上升相同的高度，增加的支架单价为60元/米（接口忽略不计），现有改造经费32000元．
问题解决
任务1 确定大棚形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2 尝试改造方案 当CC'＝1米，只考虑经费情况下，请通过计算说明能否完成改造．
任务3 拟定最优方案 只考虑经费情况下，求出CC'的最大值．
6．（2023 永嘉县校级模拟）旋转的图形带来结论的奥秘．已知△ABC，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'．
初步探索 素材1： 如图①，连接对应点BB'，CC'，则． 素材2： 如图②，以A为圆心，BC边上的高AD为半径作⊙A，则B'C'与⊙A相切．
问题解决 （1）（ⅰ）请证明素材1所发现的结论． （ⅱ）如图2，过点A作AD'⊥B'C'，垂足为D'．证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．
深入研究 （2）在Rt△ABC满足∠A＝90°，，，M是AC的中点，△ABC绕点M逆时针旋转得△A'B'C'． （ⅰ）如图③，当边B'C'恰好经过点C时，连接BB'，则BB'的长为 　 　． （ⅱ）若边B'C'所在直线l恰好经过点B，于图④中利用无刻度的直尺和圆规作出直线l．（只保留作图痕迹） （3）在（2）的条件下，如图⑤，在旋转过程中，直线BB'，CC'交于点P，求BP的最大值为 　 　．
7．（2023 鹿城区校级一模）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计跳长绳方案
素材1 图1是集体跳长绳比赛，比赛时，各队跳绳10人，摇绳2人，共计12人．图2是绳甩到最高处时的示意图，可以近似的看作一条抛物线，正在甩绳的甲、乙两位队员拿绳的手间距6米，到地面的距离均为1米，绳子最高点距离地面2.5米．
素材2 某队跳绳成员有6名男生和4名女生，男生身高1.70米至1.80米，女生身高1.66米至1.68米．跳长绳比赛时，可以采用一路纵队或两路纵队并排的方式安排队员位置，但为了保证安全，人与人之间距离至少0.5米
问题解决
任务1 确定长绳形状 在图2中建立合适的直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式
任务2 探究站队方式 当该队以一路纵队的方式跳绳时，绳子能否顺利的甩过所有队员的头顶？
任务3 拟定位置方案 为了更顺利的完成跳绳，现按中间高两边低的方式居中安排站位．请在你所建立的坐标系中，求出左边第一位跳绳队员横坐标的最大取值范围．
8．（2023 龙湾区一模）根据以下素材，探索完成任务．
如何拟定计时器的计时方案？
问题背景 “漏刻”是我国古代的一种计时工具（如图1）， 它是中国古代人民对函数思想的创造性应用．
素材1 为了提高计时的准确度，需稳定“漏水壶” 的水位．如图2，若打开出水口B，水位就 稳定在BC位置，随着“受水壶”内的水 逐渐增加，读出“受水壶”的刻度，就可以确定时间． 小明想根据“漏刻”的原理制作一个简易计时器．
素材2 实验发现，当打开不同的出水口时，水位 可以稳定在相应的高度，从而调节计时时 长T（即“受水壶”到达最高位200mm的 总时间）．右表是记录“漏水壶”水位高度 h（mm）与“受水壶”每分钟上升高度x（mm） 的部分数据，已知h关于x的函数表达式 为：h＝ax2+c． h（mm）…72162288… x（mm/min）…101520…
问题解决
任务1 确定函数关系 求h关于x的函数表达式．
任务2 探索计时时长 “漏水壶”水位定在98mm时，求计时器的计时时长T．
任务3 拟定计时方案 小明想要设计出“漏水壶”水位高度和计时时长都是 整数的计时器，且“漏水壶”水位需满足 112.5mm～220.5mm（含112.5mm，220.5mm）． 请求出所有符合要求的方案．
9．（2023 鹿城区一模）根据信息，完成活动任务．
活动一：探究某地正午太阳光下长方体高度与影子的关系．如图1是长方体在正午阳光下投影情况，图2是图1的俯视图，通过实验测得一组数据如表所示：
AB的长（cm） 10 20 30 40 50
BC的长（cm） 15 30 45 60 75
sin∠BCD 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8
【任务1】如图2，作BH⊥CD于点H，设BH＝y（cm），AB＝x（cm），求y关于x的函数表达式．
活动二：设计该地房子的数量与层数．
在长方形土地上按图3所示设计n幢房子，已知每幢房子形状、高度相同，可近似看成长方体，图中阴影部分为1号楼的影子，相关数据如图所示．现要求每幢楼层数不超过24，每层楼高度为3米．
【任务2】当1号楼层数为24时，请通过计算说明正午时1号楼的影子是否落在2号楼的墙上．
【任务3】请你按下列要求设计，并完成表格．
（1）所有房子层数总和超过160．
（2）正午时每幢房子的影子不会落在相邻房子的墙上．
方案设计
每幢楼层数 n的值 层数总和
　 　 　 　 　 　
1．（2023 瓯海区一模）
如何分配工作，使公司支付的总工资最少
素材1 某包装公司承接到21600个旅行包的订单，策划部准备将其任务分配给甲、乙两个车间去完成．由于他们的设备与人数不同，甲车间每天生产的总数是乙车间每天生产总数的2倍，甲车间单独完成这项工作所需的时间比乙车间单独完成少18天．
素材2 经调查，甲车间每人每天生产60个旅行包，乙车间每人每天生产40个旅行包．为提高工作效率，人事部到甲、乙两车间抽走相等数量的工人．策划部为了使抽走后甲、乙两车间每天生产的总数之和保持不变，余下的所有工人每天生产个数需要提高20%．因此，甲车间每天工资提高到3400元，乙车间每天工资提高到1560元．
问题解决
任务1 确定工作效率 求甲、乙车间原来每天分别生产多少个旅行包？
任务2 探究抽走人数 甲、乙每个车间被抽走了多少人？
任务3 拟定设计方案 甲、乙两车间抽走相等数量的工人后，按每人每天生产个数提高20%计算，如何安排甲、乙两车间工作的天数，使公司在完成该任务时支付的总工资最少？最少需要多少元？
【解答】解：（1）设乙车间每天能生成x个旅行包，则甲车间每天能生成2x个旅行包，
由题意得：，
解得x＝600，
经检验，x＝600是原方程的解，也符合题意，
∴2x＝1200，
∴甲车间每天能生成1200个，乙车间每天能生成600个；
（2）由题意知：甲车间共有1200÷60＝20（人），乙车间共有600÷40＝15（人），
设甲乙车间各被抽走a人，
根据题意得：（20﹣a）×60×（1+20%）+（15﹣a）×40×（1+20%）＝1200+600，
解得a＝3，
∴甲、乙每个车间各被抽走了3人；
（3）设甲车间工作m天，乙车间工作n天，
根据题意得：60×（1+20%）×（20﹣3）m+40×（1+20%）×（15﹣3）n＝21600，
整理得：17m+8n＝300，
∴m＝﹣n+，
设总费用为W元，则W＝3400m+1560n＝3400×（﹣n+）+1560n＝﹣40n+60000，
∵﹣40＜0，
∴W随n的增大而减少，
∵17m+8n＝300，
∴m为4的倍数，即m最小为4，
∴n最大值为29，
∴当n＝29时，总费用W最小值为﹣40×29+60000＝58840（元），
∴甲车间安排4天，乙车间安排29天，公司在完成该任务时支付的总工资最少，最少需要58840元．
2．（2023 瑞安市模拟）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计喷水装置的高度？
素材1 图1为某公园的圆形喷水池，图2是其示意图，O为水池中心，喷头A、B之间的距离为20米，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心7m处达到最高，高度为5m．水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其底面直径CD为12m，高CF为1.8米．
素材2 如图3，拟在圆柱形蓄水池中心处建一喷水装置OP （OP⊥CD），并从点P向四周喷射与图2中形状相同的抛物线形水柱，且满足以下条件： ①水柱的最高点与点P的高度差为0.8m； ②不能碰到图2中的水柱； ③落水点G，M的间距满足：GM：FM＝2：7．
问题解决
任务1 确定水柱形状 在图2中以点O为坐标原点，水平方向为x轴建立直角坐标系，并求左边这条抛物线的函数表达式．
任务2 探究落水点位置 在建立的坐标系中，求落水点G的坐标．
任务3 拟定喷水装置的高度 求出喷水装置OP的高度．
【解答】解：（1）建立如图所示坐标系，
由题意得，右侧抛物线的顶点R的坐标为（7，5），点B（10，0），
设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣h）2+k，
则y＝a（x﹣7）2+5，
将点B的坐标代入上式得：0＝a（10﹣7）2+5，
解得：a＝﹣，
则右侧抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣7）2+5；
由图象的对称性得，左侧抛物线的表达式为：y＝﹣（x+7）2+5；
（2）建立如图所示坐标系，设y轴交FE于点L，
∵EF＝12，则LE＝OD＝6，
由图象的对称性知，GM：FM＝2：7＝HN：NE，
由（1）知，右侧抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣7）2+5，
当y＝1.8时，即y＝﹣（x﹣7）2+5＝1.8，
解得：x＝4.6＝LN（不合题意的值已舍去），
则NE＝OD﹣LN＝6﹣4.6＝1.4，
∵HN：NE＝2：7，即HN：1.4＝2：7，
则HN＝0.4，
则HE＝HN+NE＝0.4+1.4＝1.8，
则OH＝LE﹣HE＝6﹣1.8＝4.2＝OG，
即点G的坐标为：（﹣4.2，1.8）；
（3）由（1）知，右侧抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣7）2+5，
则中间抛物线的表达式为：y＝﹣x2+bx+c，
∵水柱的最高点与点P的高度差为0.8m，
即：该抛物线的最高点c﹣＝c﹣＝c+0.8，
解得：b＝，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+c，
由（2）知，点H（4，2，1.8），
将点H的坐标代入抛物线表达式得：1.8＝﹣（4.2）2+×4.2+c，
解得：c＝6＝OP，
即OP＝6．
3．（2023 文成县一模）根据以下素材，探索完成任务．
如何给桥护栏挂小彩灯
素材1 图1是桥的护栏实物图，护栏长200米，高1.6米，图2是桥护栏示意图，为了使彩灯挂起来整齐美观，设计小组首先制作了外缘呈抛物线型模板，然后用该模板在图纸上绘制抛物线图 案，彩灯沿抛物线摆放．
素材2 方案一：护栏中间正好可以摆5具模板，绘制5条抛物线图案连成一条波浪线，每条抛物线的顶点落在护栏的上下边． 方案二：将模板一部分放入护栏，绘制若干条抛物线图案，靠上下两边连成两条波浪线，每条抛物线的高度都相等，相对两条抛物线的顶点之间的距离h为0.7米． 方案三：将方案一和方案二中的抛物线图案各若干条，沿护栏下边摆放，大的图案摆在中间，小的图案摆两边，连成一条波浪线，且整个小彩灯图案呈轴对称图形，每条抛物线图案保持完整，两边能摆尽摆，可以有空余．
任务 问题解决
一 确定抛物线形状 求出模板抛物线的函数解析式；
二 确定方案二中一条抛物线图案的宽度和摆放方案 求出其中一条抛物线图案的宽度CD，每边这样的图案最多可以摆放几个？
三 设计方案三摆放方案 确定大小抛物线图案各需多少个，并给出摆放方案．
【解答】解：任务一：由题意得：AB＝200÷5＝40（m），点B的坐标为（20，0.8），
设抛物线解析式为y＝ax2，
将B点坐标代入解析式得：0.8＝400a，
解得a＝，
∴抛物线解析式为y＝x2；
任务二：h＝0.7时，点D的纵坐标为：（1.6﹣0.7）÷2＝0.45，
当y＝0.45时，代入y＝x2，
得0.45＝x2，
解得x1＝﹣15，x2＝15，
∴CD＝30，
200÷30＝6，
∴这样的抛物线图案每边最多可以摆放6个；
任务三：设较大的抛物线可以摆放m条，较小的抛物线n条，
由以上条件可知：AB＝40，CD＝30，
40m+30n≤200（m，n为正整数，且m≤5），
①m＝1，n＝5（不能对称摆放，舍去），
②m＝1，n＝4（中间摆1个较大的，左右摆2个较小的，两边各余20米，符合题意），
③m＝2，n＝4（中间摆2个较大的，左右摆2个较小的，两边各余20米，符合题意），
④m＝3，n＝2（中间摆3个较大的，左右摆1个较小的，两边各余10米，符合题意）．
⑤m＝4，n＝1（不对称摆放，舍去），
综上所述，方案1：较大的抛物线段1条，较小的抛物线4条；方案2：较大的抛物线段1条，较小的抛物线4条；方案3：较大的抛物线段3条，较小的抛物线2条．
4．（2023 温州一模）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计奖品购买及兑换方案？
素材1 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件．
素材2 某学校花费400元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”， 两种奖品的购买数量均不少于20件，且购买笔记本的数量是10的倍数．
素材3 学校花费400元后，文具店赠送m张（1＜m＜10）兑换券（如右）用于商品兑换．兑换后，笔记本与钢笔数量相同．
问题解决
任务1 探求商品单价 请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价．
任务2 探究购买方案 探究购买钢笔和笔记本数量的所有方案．
任务3 确定兑换方式 运用数学知识，确定一种符合条件的兑换方式．
【解答】解：任务1：设笔记本的单价为x元，根据题意，得，
解得x＝5，
经检验，x＝5是原方程的根，
这时2x＝10．
∴笔记本的单价为5元，钢笔的单价为10元；
任务2：设购买钢笔为a支，笔记本为b本，根据题意，得10a+5b＝400，化简得，
由题意，a≥20，b≥20，且b是10的倍数，
∴或或，
∴可购买钢笔30支，笔记本20本；或购买钢笔25支，笔记本30本；或购买钢笔20支，笔记本40本．
任务3：当原有钢笔30支，笔记本20本时，设有y张兑换券兑换钢笔，根据题意，得30+10y＝20+20（m﹣y），整理得，
∵1＜m＜10，且m，y均为正整数，
∴经尝试检验得，
∴文具店赠送5张兑换券，其中3张兑换钢笔，2张兑换笔记本．（答案不唯一）
5．（2023 龙港市一模）根据以下素材，探索完成任务．
如何调整蔬菜大棚的结构？
素材1 我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟，一块土地上有一个蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体OA上，另一端固定在墙体BC上，其横截面有2根支架DE，FG，相关数据如图2所示，其中支架DE＝BC，OF＝DF＝BD．
素材2 已知大棚共有支架400根，为增加棚内空间，拟将图2中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化如图3所示，调整后C与E上升相同的高度，增加的支架单价为60元/米（接口忽略不计），现有改造经费32000元．
问题解决
任务1 确定大棚形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2 尝试改造方案 当CC'＝1米，只考虑经费情况下，请通过计算说明能否完成改造．
任务3 拟定最优方案 只考虑经费情况下，求出CC'的最大值．
【解答】解：（1）如图，以O为原点，建立如图1所示的坐标系，
∴A（0，1），C（6，3.4），
∴设抛物线解析式为y＝ax2+bx+1，
∵OF＝DF＝BD＝2，DE＝BC，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴y＝ax2﹣10ax+1，将C（6，3.4）代入解析式得，，
∴．
（2）如图，建立与（1）相同的坐标系，
∵CC'＝1，
∴C'为（6，4.4），
∵改造后对称轴不变，设改造后抛物线解析式为y＝ax2﹣10ax+1，
将C'（6，4.4）代入解析式得，
∴，
∴G为，G'为，
∴，
∴共需改造经费，
∴能完成改造．
图2
（3）如图2，设改造后抛物线解析式为y＝ax2﹣10ax+1，
则G'为（2，﹣16a+1），E'为（4，﹣24a+1），
∴，
由题意可列不等式，（﹣40a﹣4）×200×60≤32000，解得，
∵CC'＝EE'＝﹣24a+1﹣3.4，
∴时，CC'的值最大，为1.6米．
6．（2023 永嘉县校级模拟）旋转的图形带来结论的奥秘．已知△ABC，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'．
初步探索 素材1： 如图①，连接对应点BB'，CC'，则． 素材2： 如图②，以A为圆心，BC边上的高AD为半径作⊙A，则B'C'与⊙A相切．
问题解决 （1）（ⅰ）请证明素材1所发现的结论． （ⅱ）如图2，过点A作AD'⊥B'C'，垂足为D'．证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．
深入研究 （2）在Rt△ABC满足∠A＝90°，，，M是AC的中点，△ABC绕点M逆时针旋转得△A'B'C'． （ⅰ）如图③，当边B'C'恰好经过点C时，连接BB'，则BB'的长为 　4　． （ⅱ）若边B'C'所在直线l恰好经过点B，于图④中利用无刻度的直尺和圆规作出直线l．（只保留作图痕迹） （3）在（2）的条件下，如图⑤，在旋转过程中，直线BB'，CC'交于点P，求BP的最大值为 　5　．
【解答】（1）（i）证明：∵AB＝AB'，AC＝AC'，
∴，
∵∠CAB＝∠C′AB′，
∴∠BAB'＝∠CAC'，
∴△ABB'∽△ACC'，
∴；
（ii）解：依次是：∠B＝∠B′，AD＝AD′；
（2）（i）解：如图1，
连接BM，MB′，作BN⊥CC′于N，作MD⊥CC′于D，
∵AB＝AM＝CM＝CM′＝，∠A＝90°，
∴∠AMB＝∠ABM＝45°，∠C＝∠C′＝，CD＝C′D＝2，
同理可得：∠A′MB′＝45°，
∴∠A′MB′+∠A′MB＝∠AMB+∠A′MB，
∴∠BMB′＝∠AMA′，
∵∠CMC′＝∠AMA′，
∴∠CMC′＝∠BMB′，
∵BM＝BM′，
∴∠MBB，
∴∠MCC′＝∠MBB′，
∴点M、B、B′、C共圆，
∴∠BB′C′＝45°，
∴BN＝B′N，
∵B′C′＝BC＝5，
∴CB′＝B′C′﹣CC′＝1，
设CN＝a，则BN＝B′N＝a+1，
在Rt△BCN中，由勾股定理得，
（a+1）2+a2＝52，
∴a＝3，
∴BN＝4，
∴BB，
故答案为：4；
（ii）解：如图2，
′
作MD⊥BB′于D，
∵C′M＝CM＝，C′D＝2，
∴DM＝1，
∵BM＝AB＝，
∴BD＝＝3，
∴BB′＝2BD＝6，
∴以点B为圆心，6为半径画弧，交大圆M于B′，则B′C′过点B；
（3）解：如图，
以BC为斜边在BC的下方作等腰直角三角形BOC，
设∠ABM＝α，
∵∠AMB＝∠A′B′M＝45°，
∴∠AMA′＝∠BMB′＝45°+α，
∵∠AMC′＝∠AMA′＝45°+α，
∴∠BMB′＝∠CMC′，
∵BM＝B′M，CM＝C′M，
∴∠BMB′＝∠BB′M＝∠MCC′＝∠CC′M，
∴点M、B、P、C共圆，
∴∠P＝∠AMB＝45°，
∵BC＝5，
∴点P在O为圆心，半径为的圆上运动，
∴当BP为⊙O的直径时，BP最大，最大值为：5，
故答案为：5．
7．（2023 鹿城区校级一模）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计跳长绳方案
素材1 图1是集体跳长绳比赛，比赛时，各队跳绳10人，摇绳2人，共计12人．图2是绳甩到最高处时的示意图，可以近似的看作一条抛物线，正在甩绳的甲、乙两位队员拿绳的手间距6米，到地面的距离均为1米，绳子最高点距离地面2.5米．
素材2 某队跳绳成员有6名男生和4名女生，男生身高1.70米至1.80米，女生身高1.66米至1.68米．跳长绳比赛时，可以采用一路纵队或两路纵队并排的方式安排队员位置，但为了保证安全，人与人之间距离至少0.5米
问题解决
任务1 确定长绳形状 在图2中建立合适的直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式
任务2 探究站队方式 当该队以一路纵队的方式跳绳时，绳子能否顺利的甩过所有队员的头顶？
任务3 拟定位置方案 为了更顺利的完成跳绳，现按中间高两边低的方式居中安排站位．请在你所建立的坐标系中，求出左边第一位跳绳队员横坐标的最大取值范围．
【解答】解：任务一：
以左边摇绳人与地面的交点为原点，地面所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图：
由已知可得，（0，1），（6，1）在抛物线上，且抛物线顶点纵坐标为2.5，
设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，
∴，
解得，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+x+1；
任务二：
∵y＝﹣x2+x+1＝﹣（x﹣3）2+，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3，
10名同学，以直线x＝3为对称轴，分布在对称轴两侧，男同学站中间，女同学站两边，对称轴左侧的3位男同学所在位置横坐标分布是3﹣0.5×＝，﹣0.5＝和﹣0.5＝，
当x＝时，y＝﹣×（﹣3）2+＝≈2.24＞1.8，
∴绳子能顺利的甩过男队员的头顶，
同理当x＝时，y＝﹣×（﹣3）2+＝≈1.656＜1.66，
∴绳子不能顺利的甩过女队员的头顶；
∴绳子不能顺利的甩过所有队员的头顶；
任务三：
两路并排，一排5人，
当y＝1.66时，﹣x2+x+1＝1.66，
解得x＝3+或x＝3﹣，
但第一位跳绳队员横坐标需不大于2（否则第二，三位队员的间距不够0.5米），
∴3﹣＜x≤2．
8．（2023 龙湾区一模）根据以下素材，探索完成任务．
如何拟定计时器的计时方案？
问题背景 “漏刻”是我国古代的一种计时工具（如图1）， 它是中国古代人民对函数思想的创造性应用．
素材1 为了提高计时的准确度，需稳定“漏水壶” 的水位．如图2，若打开出水口B，水位就 稳定在BC位置，随着“受水壶”内的水 逐渐增加，读出“受水壶”的刻度，就可以确定时间． 小明想根据“漏刻”的原理制作一个简易计时器．
素材2 实验发现，当打开不同的出水口时，水位 可以稳定在相应的高度，从而调节计时时 长T（即“受水壶”到达最高位200mm的 总时间）．右表是记录“漏水壶”水位高度 h（mm）与“受水壶”每分钟上升高度x（mm） 的部分数据，已知h关于x的函数表达式 为：h＝ax2+c． h（mm）…72162288… x（mm/min）…101520…
问题解决
任务1 确定函数关系 求h关于x的函数表达式．
任务2 探索计时时长 “漏水壶”水位定在98mm时，求计时器的计时时长T．
任务3 拟定计时方案 小明想要设计出“漏水壶”水位高度和计时时长都是 整数的计时器，且“漏水壶”水位需满足 112.5mm～220.5mm（含112.5mm，220.5mm）． 请求出所有符合要求的方案．
【解答】解：任务1：
把x＝10，h＝72和x＝20，h＝288分别代入h＝ax2+c，
得，
解得
所以h关于x的函数关系式为h＝0.72x2；
任务2：
当h＝98时，98＝0.72x2，
解得x＝或x＝﹣（舍去），
∴T＝＝＝（min），
∴计时器的计时时长为min；
任务3：
由112.5≤h≤220.5，得12.5≤x≤17.5，
∵，
∴．
∵h和T都是整数，
∴T＝12，13，14，15，16，
当T＝12时，，h＝200；
当T＝13时，x＝，h＝0.72×≈170.41；
T＝14时，x＝＝，h＝0.72×≈146.94；
当T＝15时，，h＝128；
当T＝16时，x＝，h＝112.5．
所以符合要求的方案有两种，
方案一，“漏水壶”水位高度为128mm，计时器计时时长15min；
方案二，“漏水壶”水位高度为200mm，计时器计时时长12min．
9．（2023 鹿城区一模）根据信息，完成活动任务．
活动一：探究某地正午太阳光下长方体高度与影子的关系．如图1是长方体在正午阳光下投影情况，图2是图1的俯视图，通过实验测得一组数据如表所示：
AB的长（cm） 10 20 30 40 50
BC的长（cm） 15 30 45 60 75
sin∠BCD 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8
【任务1】如图2，作BH⊥CD于点H，设BH＝y（cm），AB＝x（cm），求y关于x的函数表达式．
活动二：设计该地房子的数量与层数．
在长方形土地上按图3所示设计n幢房子，已知每幢房子形状、高度相同，可近似看成长方体，图中阴影部分为1号楼的影子，相关数据如图所示．现要求每幢楼层数不超过24，每层楼高度为3米．
【任务2】当1号楼层数为24时，请通过计算说明正午时1号楼的影子是否落在2号楼的墙上．
【任务3】请你按下列要求设计，并完成表格．
（1）所有房子层数总和超过160．
（2）正午时每幢房子的影子不会落在相邻房子的墙上．
方案设计
每幢楼层数 n的值 层数总和
　21　 　8　 　168　
【解答】解：（1）由表得，BC＝AB＝x，
∵sing∠BCD＝＝，
∴BH＝BC，
∴y＝x
＝x；
（2）如图所示：延长影子，得到 GLMN，LP交GN于点Q，
∴sin∠LQG＝sin∠MLQ＝sinα＝，
∴tan∠LGQ＝，
∴LQ＝15＝，
∵LP＝12，
∴LQ＜LP，
∴正午时1号楼的影子不落在2号楼的墙上；
（3）见下表：
方案设计1
每幢楼层数 n的值 层数总和
21 8 168
方案设计2
每幢楼层数 n的值 层数总和
22 8 176
故答案为：21，8，168等．

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