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7.1 平面直角坐标系
■重点01 有序数对
【例题】（2023秋 淮安区月考）象棋是流行广泛的益智游戏．如图是一副象棋残局，若表示棋子“炮”和“車”的有序数对分别为，，则表示棋子“马”的点有序数对为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据点的坐标确定点的位置求解即可．
【解答】解：棋子“炮”和“車”的有序数对分别为，，
表示棋子“马”的点有序数对为，
故选：．
（1）定义：有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对．记作：（a，b）．
注意：（1）两数中间有“，”两边有括号；（2）数对（a，b）与（b，a）不同．
（2）有序数对的作用：利用有序数对可以在平面内准确表示一个位置．
【闯关1】　（2023秋 运城期末）如图是小飒关于诗歌《望洞庭》的书法展示，若“湖”的位置用有序实数对表示，那么“青”的位置可以表示为　　
A． B． C． D．
【闯关2】　（2023秋 溧阳市期末）小明同学的座位位于第2列第5排，小丽同学的座位位于第4列第3排，若小明的座位用有序数对表示为，则小丽的座位用的有序数对表示是　　
A． B． C． D．
【闯关3】　（2023 碧江区 校级开学）音乐课，聪聪坐在音乐教室的第4列第2行，用数对表示，明明坐在聪聪正后面的第一个位置上，明明的位置用数对表示是　　
A． B． C． D．
【闯关4】　（2023春 青秀区校级期末）电影院里3排2列可以用有序数对表示，宁宁坐在4排5列的座位，用有序数对可表示为 　　．
【闯关5】　（2023 本溪开学）如果有序数对表示第一单元4号住户，那么第三单元6号住户用有序数对表示为 　　．
■重点02 由点的坐标符号判断点的位置
【例题】（2023秋 合肥期末）点所在的象限是　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【解答】解：点所在的象限是第四象限，故正确．
故选：．
若点的坐标是已知数，则根据各象限及坐标轴上点的坐标符号特点直接判断出该点所在的象限或坐标轴；若点的坐标含有字母，需要进行分类讨论作出判断．
【闯关6】　（2023秋 遂川县期末）点所在象限为　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【闯关7】　（2023秋 泗阳县期末）在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则可能是　　
A． B．0 C． D．2
【闯关8】　（2023秋 姜堰区期末）在平面直角坐标系中，点，一定在　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【闯关9】　（2023秋 亳州期末）平面直角坐标系中，下列各点位于第四象限的是　　
A． B． C． D．
【闯关10】　（2023秋 东河区期末）若点在轴上，则点所在象限是　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
■重点03 由平面内点到坐标轴的距离确定点的坐标
【例题】（2023秋 市北区期末）平面直角坐标系中，点在第四象限，且到轴和轴的距离分别是3和4，则点的坐标为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据点的坐标的几何意义及点在第四象限内的坐标符号的特点解答即可．
【解答】解：点在第四象限，且点到轴和轴的距离分别为3，4，
点的横坐标是4，纵坐标是，即点的坐标为．
故选：．
点到x轴的距离即点的纵坐标的绝对值，点到y轴的距离即点的横坐标的绝对值．
【闯关11】　（2023秋 紫金县期末）若点在轴的下方、轴的左方，到每条坐标轴的距离都是5，则点的坐标为　　
A． B． C． D．
【闯关12】　（2023秋 任城区校级期末）若点在第二象限，且到轴的距离为2，到轴的距离为3，则点的坐标是　　
A． B． C． D．
【闯关13】　（2023秋 白银期末）已知点位于第二象限，到轴的距离为3，到轴的距离为4，则点的坐标为　　
A． B． C． D．
【闯关14】　（2023秋 铁岭期末）点在第四象限，点到轴的距离为3，到轴的距离为4，则点坐标是　　
A． B． C． D．
【闯关15】　（2023秋 吉州区期末）在平面直角坐标系中，点的横坐标是，且点到轴的距离为5，则点的坐标是　　
A．或 B．或
C． D．
■难点01 与点的坐标有关的规律探究题
【例题】（2023 九龙坡区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，，，，一只瓢虫从点出发以2个单位长度秒的速度沿循环爬行，问第2025秒瓢虫在点　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】先根据点的坐标求出一圈的长度，再计算爬行一圈所需要是时间，再求整个周期剩下的时间．
【解答】解：，
，
瓢虫7秒爬行一圈，
，
，
，
第2025秒瓢虫在点，
故选：．
与点的坐标有关的探究题，主要以图形规律探究为主，此类题中图形的变化具有周期性，要先确定周期及图形的变化特点，然后用所求总数除以一个周期包含的次数，得到余数，进而使所求问题得以解决．
【闯关16】　（2023秋 八步区期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，根据这个规律，第2023个点的坐标为　　
A． B． C． D．
【闯关17】　（2023秋 管城区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点，依次放在点，的位置，然后向右滚动，第1次滚动使点落在点的位置，第2次滚动使点落在点的位置，，按此规律滚动下去，则第2023次滚动后，顶点的坐标是　　
A． B． C． D．
【闯关18】　（2023春 西城区校级期中）如图，一个粒子在第一象限和轴，轴的正半轴上运动，在第1秒内，它从原点运动到，接着它按图所示在轴，轴的平行方向来回运动，即，，，，，，且每秒运动一个单位长度，那么2023秒时，这个粒子所处位置为　　
A． B． C． D．
【闯关19】　（2023 兴庆区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，沿着箭头方向，每次移动1个单位，依次得到点，，，，，，则点的坐标是　　
A． B． C． D．
【闯关20】　（2023秋 天桥区期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点的友好点．已知点的友好点为，点的友好点为，点的友好点为，这样依次得到各点．若的坐标为，设，则的值是 　　．
■易错点01 点的坐标特征的综合应用
【例题】（2022春 永年区期末）已知点，分别根据下列条件求出点的坐标．
（1）点在轴上；
（2）点在轴上；
（3）点到轴、轴的距离相等．
【分析】（1）根据轴上点的纵坐标为0列方程求出，再求解即可；
（2）根据轴上点的横坐标为0列方程求出的值，再求解即可；
（3）根据点到轴、轴的距离，点的横坐标与纵坐标相等或互为相反数列出方程求出的值，再求解即可．
【解答】解：（1）点在轴上，
，
解得，
所以，，
所以，点；
（2）点在轴上，
，
解得，
所以，，
所以，点；
（3）点到轴、轴的距离相等，
或，
解得或，
当时，，
，
所以，点，
当时，，
，
点，
综上所述，点的坐标为或．
（1）坐标轴中各象限内及坐标轴上点的坐标特征
点的位置 点（a，b）的横、纵坐标的符号 图示
第一象限 a>0，b>0
第二象限 a<0，b>0
第三象限 a<0，b<0
第四象限 a>0，b<0
x轴 正半轴：a>0，b=0 负半轴：a<0，b=0
y轴 正半轴：a=0，b>0 负半轴：a=0，b<0
原点 a=0，b=0
（2）特殊直线上点的坐标特征
点的位置 点的横、纵坐标的关系
在角平分线上 在第一、三象限的角平分线上 相等
在第二、四象限的角平分线上 互为相反数
在平行于坐标轴的直线上 在平行于x轴的直线上 纵坐标相等
在平行于y轴的直线上 横坐标相等
要熟记几种类型的点的坐标特征，如：x轴或y轴上的点的坐标特征，第一、三象限角平分线或第二、四象限角平分线上点的坐标特征，各个象限内点的坐标特征，平行于x轴或y轴的直线上的点的坐标特征等．
【闯关21】　（2021春 饶平县校级期末）解答下列各题
（1）已知点在轴上，求点的坐标；
（2）已知两点，，若轴，求的值，并确定的范围．
【闯关22】　（2022春 山阳县期末）平面直角坐标系中，有一点，试求满足下列条件的的值．
（1）点在轴上；
（2）点在第二象限；
（3）点到轴距离是1．
【闯关23】　（2021春 铜官区期中）已知平面直角坐标系中有一点
（1）点到轴的距离为1时，的坐标？
（2）点且轴时，的坐标？
【闯关24】　（2022秋 宿城区期末）已知点，试分别根据下列条件，求出点的坐标．
（1）点在轴上；
（2）点在第一、三象限的角平分线上．
【闯关25】　（2023秋 田阳区期中）若点在第二象限，且点到轴与轴的距离相等，试求的值．
参考答案
1．【答案】
【分析】根据“湖”位置的表示方法，得出有序实数对里面两个数字分别表示行和列，据此可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为“湖”的位置用有序实数对表示，
所以括号内的第一个数字表示“湖”所在行，第二个数字表示“湖”所在列，
所以“青”的位置可以表示为．
故选：．
2．【答案】
【分析】利用有序实数对表示．
【解答】解：小丽同学的座位位于第4列第3排表示为．
故选：．
3．【答案】
【分析】根据聪聪坐在音乐教室的第4列第2行，用数对表示，明明坐在聪聪正后面的第一个位置上，即可得到结论．
【解答】解：音乐课，聪聪坐在音乐教室的第4列第2行，用数对表示，明明坐在聪聪正后面的第一个位置上，明明的位置用数对表示是，
故选：．
4．
【分析】第一个数表示排，第二个数表示列，将位置问题转化为有序数对．
【解答】解：排2列可以用有序数对表示，
排5列用数对可表示为．
故答案为：．
5．【答案】．
【分析】根据有序数对表示第一单元4号住户，可以用有序数对表示第三单元6号住户．
【解答】解：有序数对表示第一单元4号住户，
第三单元6号住户用有序数对表示为，
故答案为：．
6．【答案】
【分析】根据点的坐标符号可得答案．
【解答】解：第二象限坐标，
点在第二象限，
故选：．
7．【答案】
【分析】先根据第二象限内点的坐标符号特点确定的正负，然后结合各选项即可解答．
【解答】解：点在第二象限，
，
、、选项不符合题意，选项符合题意．
故选：．
8．【答案】
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【解答】解：，
，
在平面直角坐标系中，点，一定在第四象限．
故选：．
9．【答案】
【分析】平面直角坐标系中第四象限内的点的特点是横坐标大于0，纵坐标小于0，由此解答即可．
【解答】解：、点在第二象限，故此选项不符合题意；
、点在第四象限，故此选项符合题意；
、点在第一象限，故此选项不符合题意；
、点在第三象限，故此选项不符合题意，
故选：．
10．【答案】
【分析】先根据的位置确定的值，再求出的坐标，进行求解．
【解答】解：由题意得：，
，，
在第二象限，
故选：．
11．【答案】
【分析】根据点在轴的下方、轴的左方，确定点的象限，再根据到每条坐标轴的距离都是5，即可确定点的坐标．
【解答】解：点在轴的下方、轴的左方，
点在第三象限，横纵坐标皆为负，
到每条坐标轴的距离都是5，
，
故选：．
12．【答案】
【分析】根据点在第二象限确定坐标符号，根据到轴的距离为2，到轴的距离为3，确定坐标的绝对值，即可求解．
【解答】解：点到轴的距离为2，到轴的距离为3，
点的纵坐标的绝对值是2，横坐标的绝对值是3，
点在第二象限，
点的横坐标为负，纵坐标为正．
点的坐标为．
故选：．
13．【分析】根据第二象限内点的符号特征确定符号；根据到坐标轴的距离确定值的大小．
【解答】解：根据题意，点的纵坐标为3，横坐标为．
故选：．
14．【答案】
【分析】根据第四象限的点的坐标特征，以及点到轴的距离等于横坐标的绝对值，到轴的距离等于纵坐标的绝对值，求出点的横坐标与纵坐标即可得解．
【解答】解：点在第四象限，且点到轴的距离为3，到轴的距离为4，
点的横坐标为4，纵坐标为，
点的坐标为．
故选：．
15．【答案】
【分析】根据点到坐标轴的距离求解即可．
【解答】解：点到轴的距离为5，所以点的纵坐标为5或，
所以点的坐标为或，
故选：．
16．【答案】
【分析】以正方形最外边上的点为准考虑，点的总个数等于最右边上点的横坐标的平方，且横坐标为奇数时最后一个点在轴上，为偶数时，从轴上的点开始排列，求出与2023最接近的平方数为2025，然后写出第2023个点的坐标即可．
【解答】解：从正方形的观点考虑，，
第2023个点是横坐标45时，从轴上的点开始，倒数第个点，
第2023个点的坐标为．
故选：．
17．【答案】
【分析】列举几次滚动后的点坐标，找到滚动次数与点坐标之间的规律，进而求出第2023次滚动后顶点的坐标
【解答】解：第1次滚动点的坐标为，
第2次滚动点的坐标为，
第3次滚动点的坐标为，
第4次滚动点的坐标为，
第5次滚动点的坐标为，
，
每滚动4次一个循环，
，，，，
，
，即，
故选：．
18．【答案】
【分析】根据现有点、、、分析点的运动时间和运动方向，可以得出一般结论，设点，当为奇数时，运动了秒，方向向下；当为偶数时，运动了秒，方向向左；然后利用这个结论算出2023秒的坐标．
【解答】解：粒子所在位置与运动的时间的情况如下：
位置：运动了秒，方向向下，
位置：运动了秒，方向向左，
位置：运动了秒，方向向下，
位置：运动了秒，方向向左；
总结规律发现，设点，
当为奇数时，运动了秒，方向向下；
当为偶数时，运动了秒，方向向左；
，，
到处，粒子运动了秒，方向向左，
故到2023秒，须由再向左运动秒，
，
2023秒时，这个粒子所处位置为．
故选：．
19．【答案】
【分析】由、、可得规律：当下标为3的整数倍时，横坐标为，纵坐标为0，据此可解．
【解答】解：由、、可得规律：当下标为3的整数倍时，横坐标为，纵坐标为0，
，
故选：．
20．【答案】．
【分析】求出、、、的坐标，找到规律，即可求出的值．
【解答】解：根据题意，点的坐标为，
则，，，，
由此可知，每四次一循环，
因为，
所以，，
解得：，，
，
故答案为：．
21．【分析】（1）让点的横坐标为0即可求得点的坐标；
（2）让两点的纵坐标相等，保证两点不是同一个点即可．
【解答】解：（1）点在轴上，
，即，
点坐标为；
（2）两点，，且轴，
，．
22．【答案】（1）；（2）；（3）或．
【分析】（1）点在轴上，该点的纵坐标为0；
（2）根据第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标大于0解答即可；
（3）根据点到轴的距离为1，则该点的横坐标的绝对值为1，据此计算即可．
【解答】解：（1）要使点在轴上，应满足，解得，
所以，当时，点在轴上；
（2）要使点在第二象限，应满足，解得，
所以，当时，点在第二象限；
（3）要使点到轴距离是1，应满足，解得或，
所以，当或时，点到轴距离是1．
23．【分析】（1）根据题意可知的绝对值等于1，从而可以得到的值，进而得到件的坐标；
（2）根据题意可知点的纵坐标等于点的纵坐标，从而可以得到的值，进而得到件的坐标．
【解答】解：（1）点，点到轴的距离为1，
，
解得，或，
当时，点的坐标为，
当时，点的坐标为；
（2）点，点且轴，
，
解得，，
故点的坐标为．
24．【答案】（1）；（2），．
【分析】（1）根据点在轴上可知点的纵坐标为0，从而可以解答本题；
（2）根据点在一、三象限角平分线上可知点的横纵坐标相等，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）点在轴上，
，
，
，，
点的坐标是；
（2）点，点在一、三象限角平分线上，
．
解得，．
，．
点的坐标为，．
25．【答案】0．
【分析】根据题意列出方程得出的值代入即可求出．
【解答】解：由题意，得知和互为相反数，
，
解得，
把代入，得．

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