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考点46 解析几何定点、定值、定直线
知识理解
求定值问题常见的方法有两种：
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
二．直线定点问题的求解的基本思路如下：
①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；
②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程；
④根据直线过定点的求解方法可求得结果.
在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值、角度等基本量与参变量无关，这类问题统称为③定值问题．对学生逻辑思维能力计算能力等要求很高,这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用．
探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：
① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；
② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
解答的关键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程或函数，利用等量关系统一变量，最后消元得出定值。
常考题型：
①与面积有关的定值问题；②与角度有关的定值问题；③与比值有关的定值问题；
④与参数有关的定值问题；⑤与斜率有关的定值问题
考向一 定值
【例1】已知椭圆长轴的两个端点分别为，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）为椭圆上异于的动点，直线分别交直线于两点，连接并延长交椭圆于点.
（ⅰ）求证：直线的斜率之积为定值；
（ⅱ）判断三点是否共线，并说明理由.
【答案】（1）；（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）是，理由见解析.
【解析】（1）由题意得，
所以，
所以椭圆C的方程为.
（2）（ⅰ）证明：设，
因为在椭圆上，所以.
因为直线的斜率为，直线的斜率为，
所以直线的方程为.
所以点的坐标为.
所以直线的斜率为.
所以直线的斜率之积为：
.
（ⅱ）三点共线.
设直线斜率为，易得.
由（ⅰ）可知直线斜率为，所以直线的方程为.
联立可得.
解得点的纵坐标为，
所以点的坐标为.
所以，直线的斜率为，直线的斜率为.
因为直线的斜率等于直线的斜率，
所以三点共线.
【例2】已知椭圆过点，点与关于原点对称，椭圆上的点满足直线与直线的斜率之积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆相交于两点，已知点，点与关于原点对称，讨论：直线的斜率与直线的斜率之和是否为定值？如果是，求出此定值；如果不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)是定值，0
【详解】（1）因为椭圆过点，所以，
设满足，则，
又，
则，
所以椭圆的方程.
（2）直线，代入椭圆，可得，
由于直线交椭圆于两点，所以，整理得.
设，由于点与关于原点对称，所以，
于是有，
，
又，
于是有
故直线的斜率与直线的斜率之和为0.

【例3】已知直线过点且与圆：交于，两点，过的中点作垂直于的直线交于点，记的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程
(2)设曲线与轴的交点分别为，，点关于直线的对称点分别为，过点的直线与曲线交于两点，直线相交于点.请判断的面积是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)是，8
【详解】（1）由题意得，圆：的圆心为，半径为,

因为为中点，且，所以是线段的垂直平分线，
所以，
所以，
所以点的轨迹即曲线是以，为焦点的椭圆，
设曲线：，其中，.
则，，，
故曲线：
（2）的面积是定值，理由如下：

由题意易得，，且直线的斜率不为0，
可设直线：，，，
由,得，恒成立，
所以，则.
直线的方程为：，
直线的方程为：，
由，得.
又
，
解得.
故点在直线上，所以到的距离，
因为点关于直线的对称点分别为，所以设，所以，解得，所以，同理可得
因此的面积是定值，为.
【举一反三】
1．已知椭圆：()的左 右焦点分别为，，离心率为，点是椭圆上一点，的周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线：与椭圆交于，两点，且四边形为平行四边形，求证：的面积为定值.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）因为的周长为，
所以，即.
又离心率，解得，，
.
∴椭圆的方程为.
（2）设，，，
将代入
消去并整理得，
则，，
，
∵四边形为平行四边形，
∴，得，
将点坐标代入椭圆方程得，
点到直线的距离为，，
∴平行四边形的面积为
.
故平行四边形的面积为定值为.
2．如图，已知椭圆：的左焦点为，直线与椭圆交于，两点，且时，.
（1）求的值；
（2）设线段，的延长线分别交椭圆于，两点，当变化时，直线与直线的斜率之比是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，请说明理由.
【答案】（1）；（2）为定值5.
【解析】（1）设，则，由题意得焦点为
所以，.
当时，有.
联立得，，从而.
将代入，得，
所以，故.
（2）由（1）知，，椭圆：.
设：，代入椭圆：，
得.
而，即，
从而.
同理：，.
从而.
于是.
所以，的斜率之比为定值5.
考向二 定点
【例1】已知椭圆的离心率为，右顶点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)、为椭圆上的不同两点，设直线，的斜率分别为，，若，判断直线是否经过定点并说明理由．
【答案】(1)
(2)直线经过定点,理由见解析
【详解】（1）由题意可知，，，则，
所以椭圆的标准方程为.
（2）直线经过定点,理由如下，

若直线的斜率存在，设方程为，
则将直线方程代入椭圆方程消去可得，
，得，
设、，则有，，
，
，
，
化简得，解得或，
当时，方程为，过定点，不合题意，
当时，方程为，过定点，
若直线的斜率不存在，设方程为，
设，，则，
即，解得，
此时方程为，显然过点
综上，直线经过定点.
【举一反三】
1．已知焦点在轴上的椭圆：，短轴长为，椭圆左顶点到左焦点的距离为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，已知点，点是椭圆的右顶点，直线与椭圆交于不同的两点 ，两点都在轴上方，且．证明直线过定点，并求出该定点坐标．
【答案】（1）；（2）证明见解析，.
【解析】（1）由得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）当直线斜率不存在时，直线与椭圆交于不同的两点分布在轴两侧，不合题意.
所以直线斜率存在，设直线的方程为.
设、，
由得，
所以，.
因为，
所以，
即，整理得
化简得，
所以直线的方程为，
所以直线过定点.
2．已知斜率为的的直线与椭圆交于点，线段中点为，直线在轴上的截距为椭圆的长轴长的倍.
（1）求椭圆的方程；
（2）若点都在椭圆上，且都经过椭圆的右焦点，设直线的斜率分别为，，线段的中点分别为，判断直线是否过定点，若过定点.求出该定点，若不过定点，说明理由.
【答案】（1）；（2）过定点，.
【解析】设，
则，
且
两式相减得
即，
即，
所以
又直线的方程为，
令，得
所以，
所以椭圆的方程为.
（2）由题意得，直线的方程分别为，
设，联立，
得，
所以，
则
同理
所以
由
得，
所以直线的方程为
整理得，
所以直线过定点.
考向三 定直线
【例1】椭圆E的中心为坐标原点，坐标轴为对称轴，左、右顶点分别为，，点在椭圆E上．
(1)求椭圆E的方程．
(2)过点的直线l与椭圆E交于P，Q两点（异于点A，B），记直线AP与直线BQ交于点M，试问点M是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点M在定直线上
【详解】（1）设椭圆E的方程为．
则，解得，
故椭圆E的方程为．
（2）依题可设直线l的方程为，，，．
联立方程组，整理得，
则，
直线AP的方程为，直线BQ的方程为，
联立方程组，得
由，得，得．
所以.
故点M在定直线上．
【举一反三】
1．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，直线交抛物线于，两点.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过点，分别作抛物线的切线，，点为直线，的交点.
（i）求证：点在一条定直线上；
（ii）求面积的取值范围.
【答案】（1）；（2）（i）证明见解析；（ii）.
【解析】（1）抛物线的焦点到准线的距离为2，
可得，所以抛物线的标准方程为.
（2）联立方程组消去得，，
∴，
由得，，所以切线方程为
切线方程为
联立直线 方程可解得，.
（i）所以点的坐标为.
所以点在定直线上
（ii）点到直线的距离为.
所以
的面积为
所以当时，有最小值.
面积的取值范围是.
2.抛物线的弦与在弦两端点处的切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形对于抛物线给出如下三个条件：
①焦点为②准线为③与直线相交所得弦长为．
(1)从以上三个条件中选择一个，求抛物线的方程
(2)已知是中抛物线的阿基米德三角形，点是抛物线在弦两端点处的两条切线的交点，若直线经过点，试判断点是否在一条定直线上如果是，求出定直线方程如果不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点在直线上
【详解】（1）即为，
若选①，抛物线方程为，
选②，由准线为知，，解得，所以抛物线方程为.
选③，代入，解得，所以弦长为，解得，
所以抛物线方程为.
（2）令，，，则，,
，,
即为，
又即，
同理，，
，
而过点即
点在直线上
课后练习
1．已知O为坐标系原点，椭圆的右焦点为点F，右准线为直线n.
（1）过点的直线交椭圆C于两个不同点，且以线段为直径的圆经过原点O，求该直线的方程；
（2）已知直线l上有且只有一个点到F的距离与到直线n的距离之比为.直线l与直线n交于点N，过F作x轴的垂线，交直线l于点M.求证：为定值.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）设过点的直线为交于椭圆
联立消去y得
又因为以线段为直径的圆经过原点，
则
则所求直线方程
（2）已知椭圆的离心率为，右准线直线n的方程为，
因为直线上只有一点到F的距离与到直线n的距离之比为，
所以直线与椭圆相切，
设直线的方程为，联立消去y得到：
①
联立点N坐标为
得到
,
由①
2.已知双曲线C：，直线l在x轴上方与x轴平行，交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为.
(1)求C的方程；
(2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N，，均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【详解】（1）由已知C：，点A的坐标为，得，
焦点，，.
所以，，故C：.
（2）设l的方程为，则，故，
由已知直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为，故.
与双曲线方程联立得：，
由已知得，，设，，
则，①
由，得：，，
消去得：，
即②
由①②得：，由已知，
故存在定直线l：满足条件.
3．已知椭圆的一个顶点恰好是抛物线的焦点，其离心率与双曲线的离心率互为倒数.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线交椭圆于两点，设点关于轴的对称点为，当直线绕着点转动时，试探究：是否存在定点，使得三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，定点为.
【解析】（1）由题意，抛物线，可得焦点为，所以，
又由双曲线的离心率为，可得椭圆的离心率，
可得，解得，
即椭圆的标准方程为.
（2）由直线不与坐标轴垂直，可设直线的方程为，其中，
设点 ，则点，
联立直线与椭圆的方程，整理得，
由恒成立，且，，
由椭圆的对称性知，若存在定点，则点必在轴上，
故假设存在定点，使得 三点共线，则，
即，可得.
故存在定点，使得 三点共线.
4．已知分别是椭圆的左 右焦点， 为椭圆的上顶点，是面积为的直角三角形.
（1）求椭圆的方程；
（2）设圆上任意一点处的切线交椭圆于点，问：是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由.
【答案】（1）；（2）是定值，定值为.
【解析】（1）由为直角三角形，故，
又，
可得
解得
所以，
所以椭圆的方程为；
（2）当切线的斜率不存在时，其方程为
将代入，得，不妨设，，又
所以
同理当时，也有.
当切线的斜率存在时，设方程为，
因为与圆相切，
所以
即，
将代入，
得，
所以
又
，
又
，
将代入上式，得，
综上，.
6．如图，已知椭圆：的左焦点为，直线与椭圆交于，两点，且时，.
（1）求的值；
（2）设线段，的延长线分别交椭圆于，两点，当变化时，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
【答案】（1）；（2）过定点，定点为.
【解析】（1）设，则，由题意得焦点为
所以，.
当时，有.
联立得，，从而.
将代入，得，即，
所以或（舍），故.
（2）由（1）知，，椭圆：.
设：，代入椭圆：，
消去并整理得，
所以，
而，所以，
由韦达定理得，所以.
同理：，即，，
所以，
所以，
于是.
所以直线：.
令，得，
将代入得，
所以经过定点.
7．已知双曲线的标准方程为，其中点为右焦点，过点作垂直于轴的垂线，在第一象限与双曲线相交于点，过点作双曲线渐近线的垂线，垂足为，若，.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点作的平行线，在直线上任取一点，连接与双曲线相交于点，求证点到直线的距离是定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）解：由双曲线，可得焦点，其中一条渐近线方程为，
则点到渐近线的距离为，解得，
又由，可得，解得，
故双曲线的标准方程为.
（2）解：由双曲线，可得，
设点，则直线的方程为，即，
由题意，设直线的方程为，由点在直线上，可设点，
又由，可得，解得，即直线的方程为，
设，由点共线，可得，即，得，
即点，
则点到直线的距离为
.
即点到直线的距离为定值.

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