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2023-2024学年湘教版初中数学八年级下学期 4.4 用待定系数法确定一次函数表达式同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2024八上·揭阳期末）一次函数的图象如图所示，则值可能是（　　）
A．2 B． C． D．
2．（2023八上·六盘水期中）已知点和点在直线上，则（　　）
A． B． C． D．无法判定
3．（2021八上·济阳期末）函数与（，）在同一坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点.以点为旋转中心，把点按逆时针方向旋转，得到点.在，四个点中，直线PB经过的点是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八上·七星关期末） 一次函数y＝kx+2的图象绕着原点逆时针旋转90°后，经过点（﹣1，﹣3），则k的值为（　　）
A． B． C．﹣1 D．1
6．（2024八上·长春期末）正比例函数（）的函数值y随x的增大而减小，则一次函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2023八上·泗县月考）下表中给出的是一个一次函数的自变量与函数的几组对应值：
… …
… 0 …
下列各选项中，正确的是（　　）
A．y随x的增大而增大
B．该函数的图象经过点
C．该函数的图象不经过第四象限
D．该函数图象与坐标轴围成的三角形的面积为16
8．（2023九上·金沙期中）已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点，，点P是对角线OB上的一个动点，，当最短时，点P的坐标为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2021八上·普宁期中）将直线 向下平移2个单位长度，得到直线的解析式为　 　．
10．（2024八上·盐田期末）已知一次函数，它的图象经过第一、二、四象限，则　 　．
11．（2023九上·青白江期中）已知一次函数y＝2x+（k﹣3）的图象经过第一、三、四象限，那么k的取值范围为 　 　．
12．（2023八上·青羊月考）一次函数图象经过第二，三，四象限，则　 　0．（填“>，<或=”）
13．（2017八上·东台期末）如图，点M是直线y=2x+3上的动点，过点M作MN垂直于x轴于点N，y轴上是否存在点P，使△MNP为等腰直角三角形，请写出符合条件的点P的坐标　 　．
三、解答题
14．如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 B 的坐标为(12，5).若直线恰好将矩形OABC 分成面积相等的两部分，求 b的值.
15．如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+b与x轴，y轴分别交于A，B两点．直线y= x+ 交线段AB于点C(1，m)，且S△AOB=2S△BOC．
（1）求b的值．
（2）若点D是y轴上一点，点E为平面上一点，是否存在以点A，B，D，E为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．
四、综合题
16．（2021八下·前郭期末）如图，一次函数的图象与正比例函数（为常数，且）的图象都过
（1）求点A的坐标及正比例函数的表达式；
（2）若一次函数的图象与y轴交于点B，求的面积；
（3）利用函数图象直接写出当时，x的取值范围．
17．（2023八下·承德期末）如图，已知直线与y轴相较于点，直线交y轴于点B，交直线于点．
（1）求直线的解析式；
（2）过动点作x轴的垂线，与直线相交于点M，与直线相交于点N，当时，求a的值；
（3）点Q为上一点，若，直接写出点Q的坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由图象可知：一次函数 图象经过一、二、四象限，
∴k＜0.
故答案为：B .
【分析】由一次函数 图象经过一、二、四象限，可得k＜0，据此判断即可.
2．【答案】B
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵一次函数的解析式为，
∴一次函数的函数值y随x的增大而增大，
∵-3>-5，
∴，
故答案为：B.
【分析】先利用一次函数的性质与系数的关系可得一次函数的函数值y随x的增大而增大，再结合-3>-5，可得，从而得解.
3．【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、由一次函数（，）图象可知：，．
∴函数图象应该经过一、三象限，故A符合题意；
B、由一次函数（，）图象可知：，．
∴函数图象应该经过二、四象限，故B不符合题意；
C、由一次函数（，）图象可知：，．
∴函数图象应该经过一、三象限，故C不符合题意；
D、由一次函数（，）图象可知：，．
∴函数图象应该经过二、四象限，故D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】观察每一个选项，由一次函数图象判断出b的符号，由b的符号判断正比例函数是否一致即可.
4．【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：∵点A（4，2），点P（0，2），
∴PA⊥y轴，PA＝4，
由旋转得：∠APB＝60°，AP＝PB＝4，
如图，过点B作BC⊥y轴于C，
∴∠BPC＝30°，
∴BC＝2，PC＝2，
∴B（2，2+2），
设直线PB的解析式为：y＝kx+b，
，
∴，
∴直线PB的解析式为：yx+2，
当y＝0时x+2＝0，x，
∴点M1（，0）不在直线PB上，
当x时，y＝﹣3+2＝﹣1，
∴M2（，﹣1）在直线PB上，
当x＝1时，y2，
∴M3（1，4）不在直线PB上，
当x＝2时，y＝22，
∴M4（2，）不在直线PB上，
故答案为：B．
【分析】先根据含30°角的直角三角形的性质可得B（2，2+2），然后利用待定系数法可得直线PB的解析式，再依次分别将M1，M2，M3，M4四个点的横坐标代入yx+2中求出纵坐标的值，然后比较即可解答．
5．【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；旋转的性质
【解析】【解答】根据题意
一次函数y＝kx+2的图象绕着原点逆时针旋转90°
经过点（﹣1，﹣3）
则该点在旋转前坐标为（-3，1）
解得
故选：A
【分析】根据旋转的性质，在坐标系中找到旋转前的点坐标，代入一次函数解析式即可求得k值。
6．【答案】B
【知识点】正比例函数的图象和性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】
解：
正比例函数（）的函数值y随x的增大而减小， 则k<0
∴-k>0
∴一次函数 的图像过第一，第三，第四象限，
故答案为：B
【分析】
先确定k的正负，再确定-k的正负，从而判断次函数 的图像经过的象限，与y轴交点的位置。
7．【答案】D
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【解答】解：设一次函数解析式为，
将点，代入可得，
，
解得：，
∴，
∴y随x的增大而减小，图象不经过原点，经过第四象限，A、B、C不符合题意；
当时，，
当时，，
∴，D符合题意，
故答案为：D
【分析】先运用待定系数法求出一次函数的解析式，进而根据一次函数的图象与性质结合题意即可求解。
8．【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；线段的性质：两点之间线段最短；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接AC、AD分别交OB于点G、点P，如图，
四边形OABC是菱形，
AC⊥OB，点A，点C关于直线OB对称，
PC+PD=PA+PD=AD，
此时PC+PD最短，
设直线OB的表达式为
直线OB过点O（0，0）和点B（8，4），
将O（0，0）和点B（8，4）代入表达式得解得
直线OB的表达式为
直线AD过点A（5，0）和点D（0，1），
同理：可求得直线AD的表达式为
联立方程组
解得
点P的坐标为（）
故答案为：D.
【分析】连接AC、AD分别交OB于点G、点P，作BK⊥OA的延长线于点K，已知四边形OABC是菱形，根据菱形的性质得到点A，点C关于直线OB对称，PC+PD=PA+PD=AD，此时PC+PD最短，利用待定系数法结合点O、A、B、D的坐标分别求出直线OB、直线AD的表达式，联立方程组即可求解点P的坐标.
9．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平移的性质
【解析】【解答】解：将直线 向下平移2个单位长度，得到直线的解析式为： ．
故答案是： ．
【分析】根据上加下减的平移规律解答即可。
10．【答案】-1
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意，已知是一次函数，
所以|m|=1，m=±1.
已知它的图象经过第二、四象限，
所以一次项系数m<0.
故m=-1.
故答案为：-1.
【分析】根据一次函数最高项次数为1，得|m|=1；根据图象经过第二、四象限，得m<0，问题即可得到解决.
11．【答案】k＜3
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y＝2x+（k﹣3）的图象经过第一、三、四象限，
∴k-3＜0，
∴k＜3.
故答案为：k＜3.
【分析】根据一次函数的图象性质可得k-3＜0，解之即可得解.
12．【答案】>
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数图象经过第二，三，四象限，
∴k＜0，b＜0，
∴kb＞0，
故答案为：＞
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系即可求解。
13．【答案】（0，0），（0，1），（0， ），（0，﹣3）
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：当M运动到（﹣1，1）时，ON=1，MN=1，
∵MN⊥x轴，所以由ON=MN可知，（0，0）和（0，1）就是符合条件的两个P点；
又∵当M运动到第三象限时，要MN=MP，且PM⊥MN，
设点M（x，2x+3），则有﹣x=﹣（2x+3），
解得x=﹣3，所以点P坐标为（0，﹣3）．
如若MN为斜边时，则∠ONP=45°，所以ON=OP，设点M（x，2x+3），
则有﹣x=﹣ （2x+3），化简得﹣2x=﹣2x﹣3，
这方程无解，所以这时不存在符合条件的P点；
又∵当点M′在第二象限，M′N′为斜边时，这时N′P=M′P，∠M′N′P=45°，
设点M′（x，2x+3），则OP=ON′，而OP= M′N′，
∴有﹣x= （2x+3），
解得x=﹣ ，这时点P的坐标为（0， ）．
综上，符合条件的点P坐标是（0，0），（0， ），（0，﹣3），（0，1）．
故答案为：（0，0），（0，1），（0， ），（0，﹣3）．
【分析】分四种情况考虑：当M运动到（﹣1，1）时，ON=1，MN=1，由MN⊥x轴，以及ON=MN可知，（0，0）和（0，1）就是符合条件的两个P点；又当M运动到第三象限时，要MN=MP，且PM⊥MN，求出此时P的坐标；如若MN为斜边时，则∠ONP=45°，所以ON=OP，求出此时P坐标；又当点M′在第二象限，M′N′为斜边时，这时N′P=M′P，∠M′N′P=45°，求出此时P坐标，综上，得到所有满足题意P的坐标．
14．【答案】解：∵ 直线将 矩形OABC 分成面积相等的两部分，
∴ 直线过矩形的中心，
∵ 点B为（12，5），
∴ 矩形的中心（6，），
∴，
∴ b=1.
【知识点】矩形的性质；一次函数的性质
【解析】【分析】根据矩形的性质得直线过矩形的中心，再根据点B求出矩形的中心的坐标，将其代入直线解析式即可求出b.
15．【答案】（1）解：将点C(1 ，m)代入y=，得m==2，
∴点C(1，2)，
把点C(1，2)代入y=-2×+b，得2=- 2+b，
∴b=4．
（2）解：设点D(0，m)，
∵直线y=-2x+b与x轴，y轴分别交于A，B两点，b=4．
∴A(2，0) ，B(0，4)，
①当AB为矩形的边时，如图①，
∵四边形ABED是矩形，
∴∠BAD=90°，
在Rt△ABD中，AD2+AB2=BD2，
∴m2+22+22+42=(4-m)2 ，解得m=-1，
∴点D(0，-1)．
∵A(2，0)，B(0，4)，
∴点E的坐标为(-2，3)；
②当AB为矩形的对角线时，如图②，
∵四边形ADBE是矩形，
∴∠ADB= 90°，
在Rt△ABD中，AD2 +BD2 =AB2，
∴m2+22 +(4-m)2=22+42 ，解得m=0或4(舍去)，
∴点D(0，0)．
∵A(2，0) ，B(0，4)，
∴点E的坐标为(2，4)．
综上，存在以点A，B，D， E为顶点的四边形是矩形，点E的坐标为(-2，3)或(2，4)．
【知识点】矩形的性质；一次函数的性质
【解析】【分析】(1)先利用一次函数解析式求出点C的坐标，再将点C坐标代入函数y=-2×+b中解得b的值.
(2)设点D(0，m)，由坐标轴上点的特征可得A(2，0) ，B(0，4)，当AB为矩形的边时，由矩形的性质可得∠BAD=90°，利用勾股定理解得点D坐标为(0，-1)，再通过矩形性质求得点E坐标为(-2，3)；当AB为矩形的对角线时，由矩形的性质可得∠ADB= 90°，故点D与原点重合，再通过矩形性质求得点E坐标为(2，4).
16．【答案】（1）解：把代入中得
把代入中得
正比例函数解析式为：
（2）解：令，则
，
（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；一次函数的性质
【解析】【解答】解：（3）交于点
根据图象可知，
当时，
【分析】（1） 把代入中得， 再把代入中得，即可的正比例函数解析式；
（2）求出点B的坐标，利用三角形面积公式计算即可；
（3）结合函数图象即可判断当时x的取值范围。
17．【答案】（1）解：∵过点
∴即点
设的解析式为
∵过点，
∴，
解得，，
所以的解析式为．
（2）解：由题意可知，，，
因为，有两种情况：
，
解得：；
，
解得：．
（3）或
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积
【解析】【解答】解：（3）设点Q的坐标为（n，-n-2），
∵A（0，3），B（0，-2），
∴AB=3-（-2）=5，
∵P（-3，1），
∴，
∴
当点Q在线段BP上时：
∴，
∴n=-2，
此时点Q的坐标为（-2，0）；
当点Q在BP延长线上时：
∴，
∴n=-4，
此时点Q的坐标为（-4，2），
所以点Q的坐标为（-2，0）或（-4，2）。
【分析】（1）首先求出点P的坐标，然后根据点P和点A的坐标，利用待定系数法，即可求得l1的解析式；
（2）首先根据l1和l2的解析式，用含a的代数式，分别表示出M、N的坐标，然后根据M、N的位置，分成两种情况：①点M在N的上边；②点M在点N的下边，可分别求出a的值；
（3）设点Q的坐标为（n，-n-2），首先求出△ABP的面积为，再求得△APQ的面积为，然后根据点Q的位置，分成两种情况：①当点Q在线段BP上时，可得点Q的坐标为（-2，0）；②当点Q在BP延长线上时，可得点Q的坐标为（-4，2）。
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学八年级下学期 4.4 用待定系数法确定一次函数表达式同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2024八上·揭阳期末）一次函数的图象如图所示，则值可能是（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由图象可知：一次函数 图象经过一、二、四象限，
∴k＜0.
故答案为：B .
【分析】由一次函数 图象经过一、二、四象限，可得k＜0，据此判断即可.
2．（2023八上·六盘水期中）已知点和点在直线上，则（　　）
A． B． C． D．无法判定
【答案】B
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵一次函数的解析式为，
∴一次函数的函数值y随x的增大而增大，
∵-3>-5，
∴，
故答案为：B.
【分析】先利用一次函数的性质与系数的关系可得一次函数的函数值y随x的增大而增大，再结合-3>-5，可得，从而得解.
3．（2021八上·济阳期末）函数与（，）在同一坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、由一次函数（，）图象可知：，．
∴函数图象应该经过一、三象限，故A符合题意；
B、由一次函数（，）图象可知：，．
∴函数图象应该经过二、四象限，故B不符合题意；
C、由一次函数（，）图象可知：，．
∴函数图象应该经过一、三象限，故C不符合题意；
D、由一次函数（，）图象可知：，．
∴函数图象应该经过二、四象限，故D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】观察每一个选项，由一次函数图象判断出b的符号，由b的符号判断正比例函数是否一致即可.
4．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点.以点为旋转中心，把点按逆时针方向旋转，得到点.在，四个点中，直线PB经过的点是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：∵点A（4，2），点P（0，2），
∴PA⊥y轴，PA＝4，
由旋转得：∠APB＝60°，AP＝PB＝4，
如图，过点B作BC⊥y轴于C，
∴∠BPC＝30°，
∴BC＝2，PC＝2，
∴B（2，2+2），
设直线PB的解析式为：y＝kx+b，
，
∴，
∴直线PB的解析式为：yx+2，
当y＝0时x+2＝0，x，
∴点M1（，0）不在直线PB上，
当x时，y＝﹣3+2＝﹣1，
∴M2（，﹣1）在直线PB上，
当x＝1时，y2，
∴M3（1，4）不在直线PB上，
当x＝2时，y＝22，
∴M4（2，）不在直线PB上，
故答案为：B．
【分析】先根据含30°角的直角三角形的性质可得B（2，2+2），然后利用待定系数法可得直线PB的解析式，再依次分别将M1，M2，M3，M4四个点的横坐标代入yx+2中求出纵坐标的值，然后比较即可解答．
5．（2024八上·七星关期末） 一次函数y＝kx+2的图象绕着原点逆时针旋转90°后，经过点（﹣1，﹣3），则k的值为（　　）
A． B． C．﹣1 D．1
【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；旋转的性质
【解析】【解答】根据题意
一次函数y＝kx+2的图象绕着原点逆时针旋转90°
经过点（﹣1，﹣3）
则该点在旋转前坐标为（-3，1）
解得
故选：A
【分析】根据旋转的性质，在坐标系中找到旋转前的点坐标，代入一次函数解析式即可求得k值。
6．（2024八上·长春期末）正比例函数（）的函数值y随x的增大而减小，则一次函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】正比例函数的图象和性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】
解：
正比例函数（）的函数值y随x的增大而减小， 则k<0
∴-k>0
∴一次函数 的图像过第一，第三，第四象限，
故答案为：B
【分析】
先确定k的正负，再确定-k的正负，从而判断次函数 的图像经过的象限，与y轴交点的位置。
7．（2023八上·泗县月考）下表中给出的是一个一次函数的自变量与函数的几组对应值：
… …
… 0 …
下列各选项中，正确的是（　　）
A．y随x的增大而增大
B．该函数的图象经过点
C．该函数的图象不经过第四象限
D．该函数图象与坐标轴围成的三角形的面积为16
【答案】D
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【解答】解：设一次函数解析式为，
将点，代入可得，
，
解得：，
∴，
∴y随x的增大而减小，图象不经过原点，经过第四象限，A、B、C不符合题意；
当时，，
当时，，
∴，D符合题意，
故答案为：D
【分析】先运用待定系数法求出一次函数的解析式，进而根据一次函数的图象与性质结合题意即可求解。
8．（2023九上·金沙期中）已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点，，点P是对角线OB上的一个动点，，当最短时，点P的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；线段的性质：两点之间线段最短；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接AC、AD分别交OB于点G、点P，如图，
四边形OABC是菱形，
AC⊥OB，点A，点C关于直线OB对称，
PC+PD=PA+PD=AD，
此时PC+PD最短，
设直线OB的表达式为
直线OB过点O（0，0）和点B（8，4），
将O（0，0）和点B（8，4）代入表达式得解得
直线OB的表达式为
直线AD过点A（5，0）和点D（0，1），
同理：可求得直线AD的表达式为
联立方程组
解得
点P的坐标为（）
故答案为：D.
【分析】连接AC、AD分别交OB于点G、点P，作BK⊥OA的延长线于点K，已知四边形OABC是菱形，根据菱形的性质得到点A，点C关于直线OB对称，PC+PD=PA+PD=AD，此时PC+PD最短，利用待定系数法结合点O、A、B、D的坐标分别求出直线OB、直线AD的表达式，联立方程组即可求解点P的坐标.
二、填空题
9．（2021八上·普宁期中）将直线 向下平移2个单位长度，得到直线的解析式为　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平移的性质
【解析】【解答】解：将直线 向下平移2个单位长度，得到直线的解析式为： ．
故答案是： ．
【分析】根据上加下减的平移规律解答即可。
10．（2024八上·盐田期末）已知一次函数，它的图象经过第一、二、四象限，则　 　．
【答案】-1
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意，已知是一次函数，
所以|m|=1，m=±1.
已知它的图象经过第二、四象限，
所以一次项系数m<0.
故m=-1.
故答案为：-1.
【分析】根据一次函数最高项次数为1，得|m|=1；根据图象经过第二、四象限，得m<0，问题即可得到解决.
11．（2023九上·青白江期中）已知一次函数y＝2x+（k﹣3）的图象经过第一、三、四象限，那么k的取值范围为 　 　．
【答案】k＜3
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y＝2x+（k﹣3）的图象经过第一、三、四象限，
∴k-3＜0，
∴k＜3.
故答案为：k＜3.
【分析】根据一次函数的图象性质可得k-3＜0，解之即可得解.
12．（2023八上·青羊月考）一次函数图象经过第二，三，四象限，则　 　0．（填“>，<或=”）
【答案】>
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数图象经过第二，三，四象限，
∴k＜0，b＜0，
∴kb＞0，
故答案为：＞
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系即可求解。
13．（2017八上·东台期末）如图，点M是直线y=2x+3上的动点，过点M作MN垂直于x轴于点N，y轴上是否存在点P，使△MNP为等腰直角三角形，请写出符合条件的点P的坐标　 　．
【答案】（0，0），（0，1），（0， ），（0，﹣3）
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：当M运动到（﹣1，1）时，ON=1，MN=1，
∵MN⊥x轴，所以由ON=MN可知，（0，0）和（0，1）就是符合条件的两个P点；
又∵当M运动到第三象限时，要MN=MP，且PM⊥MN，
设点M（x，2x+3），则有﹣x=﹣（2x+3），
解得x=﹣3，所以点P坐标为（0，﹣3）．
如若MN为斜边时，则∠ONP=45°，所以ON=OP，设点M（x，2x+3），
则有﹣x=﹣ （2x+3），化简得﹣2x=﹣2x﹣3，
这方程无解，所以这时不存在符合条件的P点；
又∵当点M′在第二象限，M′N′为斜边时，这时N′P=M′P，∠M′N′P=45°，
设点M′（x，2x+3），则OP=ON′，而OP= M′N′，
∴有﹣x= （2x+3），
解得x=﹣ ，这时点P的坐标为（0， ）．
综上，符合条件的点P坐标是（0，0），（0， ），（0，﹣3），（0，1）．
故答案为：（0，0），（0，1），（0， ），（0，﹣3）．
【分析】分四种情况考虑：当M运动到（﹣1，1）时，ON=1，MN=1，由MN⊥x轴，以及ON=MN可知，（0，0）和（0，1）就是符合条件的两个P点；又当M运动到第三象限时，要MN=MP，且PM⊥MN，求出此时P的坐标；如若MN为斜边时，则∠ONP=45°，所以ON=OP，求出此时P坐标；又当点M′在第二象限，M′N′为斜边时，这时N′P=M′P，∠M′N′P=45°，求出此时P坐标，综上，得到所有满足题意P的坐标．
三、解答题
14．如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 B 的坐标为(12，5).若直线恰好将矩形OABC 分成面积相等的两部分，求 b的值.
【答案】解：∵ 直线将 矩形OABC 分成面积相等的两部分，
∴ 直线过矩形的中心，
∵ 点B为（12，5），
∴ 矩形的中心（6，），
∴，
∴ b=1.
【知识点】矩形的性质；一次函数的性质
【解析】【分析】根据矩形的性质得直线过矩形的中心，再根据点B求出矩形的中心的坐标，将其代入直线解析式即可求出b.
15．如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+b与x轴，y轴分别交于A，B两点．直线y= x+ 交线段AB于点C(1，m)，且S△AOB=2S△BOC．
（1）求b的值．
（2）若点D是y轴上一点，点E为平面上一点，是否存在以点A，B，D，E为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将点C(1 ，m)代入y=，得m==2，
∴点C(1，2)，
把点C(1，2)代入y=-2×+b，得2=- 2+b，
∴b=4．
（2）解：设点D(0，m)，
∵直线y=-2x+b与x轴，y轴分别交于A，B两点，b=4．
∴A(2，0) ，B(0，4)，
①当AB为矩形的边时，如图①，
∵四边形ABED是矩形，
∴∠BAD=90°，
在Rt△ABD中，AD2+AB2=BD2，
∴m2+22+22+42=(4-m)2 ，解得m=-1，
∴点D(0，-1)．
∵A(2，0)，B(0，4)，
∴点E的坐标为(-2，3)；
②当AB为矩形的对角线时，如图②，
∵四边形ADBE是矩形，
∴∠ADB= 90°，
在Rt△ABD中，AD2 +BD2 =AB2，
∴m2+22 +(4-m)2=22+42 ，解得m=0或4(舍去)，
∴点D(0，0)．
∵A(2，0) ，B(0，4)，
∴点E的坐标为(2，4)．
综上，存在以点A，B，D， E为顶点的四边形是矩形，点E的坐标为(-2，3)或(2，4)．
【知识点】矩形的性质；一次函数的性质
【解析】【分析】(1)先利用一次函数解析式求出点C的坐标，再将点C坐标代入函数y=-2×+b中解得b的值.
(2)设点D(0，m)，由坐标轴上点的特征可得A(2，0) ，B(0，4)，当AB为矩形的边时，由矩形的性质可得∠BAD=90°，利用勾股定理解得点D坐标为(0，-1)，再通过矩形性质求得点E坐标为(-2，3)；当AB为矩形的对角线时，由矩形的性质可得∠ADB= 90°，故点D与原点重合，再通过矩形性质求得点E坐标为(2，4).
四、综合题
16．（2021八下·前郭期末）如图，一次函数的图象与正比例函数（为常数，且）的图象都过
（1）求点A的坐标及正比例函数的表达式；
（2）若一次函数的图象与y轴交于点B，求的面积；
（3）利用函数图象直接写出当时，x的取值范围．
【答案】（1）解：把代入中得
把代入中得
正比例函数解析式为：
（2）解：令，则
，
（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；一次函数的性质
【解析】【解答】解：（3）交于点
根据图象可知，
当时，
【分析】（1） 把代入中得， 再把代入中得，即可的正比例函数解析式；
（2）求出点B的坐标，利用三角形面积公式计算即可；
（3）结合函数图象即可判断当时x的取值范围。
17．（2023八下·承德期末）如图，已知直线与y轴相较于点，直线交y轴于点B，交直线于点．
（1）求直线的解析式；
（2）过动点作x轴的垂线，与直线相交于点M，与直线相交于点N，当时，求a的值；
（3）点Q为上一点，若，直接写出点Q的坐标．
【答案】（1）解：∵过点
∴即点
设的解析式为
∵过点，
∴，
解得，，
所以的解析式为．
（2）解：由题意可知，，，
因为，有两种情况：
，
解得：；
，
解得：．
（3）或
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积
【解析】【解答】解：（3）设点Q的坐标为（n，-n-2），
∵A（0，3），B（0，-2），
∴AB=3-（-2）=5，
∵P（-3，1），
∴，
∴
当点Q在线段BP上时：
∴，
∴n=-2，
此时点Q的坐标为（-2，0）；
当点Q在BP延长线上时：
∴，
∴n=-4，
此时点Q的坐标为（-4，2），
所以点Q的坐标为（-2，0）或（-4，2）。
【分析】（1）首先求出点P的坐标，然后根据点P和点A的坐标，利用待定系数法，即可求得l1的解析式；
（2）首先根据l1和l2的解析式，用含a的代数式，分别表示出M、N的坐标，然后根据M、N的位置，分成两种情况：①点M在N的上边；②点M在点N的下边，可分别求出a的值；
（3）设点Q的坐标为（n，-n-2），首先求出△ABP的面积为，再求得△APQ的面积为，然后根据点Q的位置，分成两种情况：①当点Q在线段BP上时，可得点Q的坐标为（-2，0）；②当点Q在BP延长线上时，可得点Q的坐标为（-4，2）。
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